S4 S5的子群

S4及其子群S4的元已知|S4|=24及S4的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd），其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）；2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C42+21( C42•C22)=9个，即：(12),(34),(13),(24)，（14），(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23)；3阶元：形式为（abc）,共有C43A22=8个，即：(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243)；4阶元：形式为（abcd）,共有C44A33= 6，即：(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)；S4的子群因为|S4|=24，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为|24|=23×3，根据sylow定理，S4必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S4有平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。

1阶子群：N1={（1）}，为一共轭类。

2阶子群：由S4的2阶元生成的循环群，因为S4的2阶元有9个，所以S4的2阶子群有9个，即：N2=<(12)>={（1），（12）}，N3=<(13)>={（1），（13）}，N4=<(23)>={（1），（23）} ，N5=<(24)>={（1），（24）} ，N6=<(14)>={（1），（14）} ，N7=<(34)>={（1），（34）} ，N8=<(12)(34)>={（1），（12）（34）}，N9=<(13)(24)>={（1），（13）（24）}，N10=<(14)(23)>={（1），（14）（23）}，其中N2至N7为一共轭类，N8至 N10为一共轭类。

3阶子群：由S4的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的3阶元同单位元可以组成一个子群，而S4的3阶元有6个，所以S4的3阶子群有3个，且为一共轭类，即：N11=<(123)>={（1），（123），（132）} ，N12=<(134)>={（1），（134），（143）} ，N13=<(124)>={（1），（124），（142）} ，N14=<(234)>={（1），（234），（243）} ，4阶子群：（循环群和非循环群）循环群：由S4的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S4的4阶元有三对互逆的元，故4阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：N15=<(1234)>={（1），（1234），（13）（24），（1432）}，N16=<(1324)>={（1），（1324），（12）（34），（1423）}，N17=<(1243)>={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共轭类，即：N18={（1），（12），（34），（12）（34）} ，N19={（1），（13），（24），（13）（24）},N20={（1），（14），（23），（14）（23）}，和N21={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}8阶子群：此群里的元的阶只能为1阶、2阶、4阶，且由sylow 定理，8阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故8阶子群有3个，且为一共轭类，即：N22={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），（14）（23）}，N23={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34），（14）（32）}，N24={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23），（13）（24）}，24阶子群：即N25=S4以上为S4里必存在的子群，下面讨论S4里可能存在的子群：6阶子群：因为S4包含着S3，故S4必有同构于S3的一类6阶子群，而同构于S3的S4的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S4的6阶子群有4个，且为一共轭类，即：N26={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，N27={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}，N28={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}，N29={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，12阶子群：若S4有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、4阶子群和3阶子群，经计算，S4的12阶子群只有一个，即：N30={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}。

综上，S4共有30个子群，分为10个共轭类，其中，由正规子群定义及定理6知S4的1阶子群，N21，12阶子群和24阶子群为正规子群。

§3.2 S5的元已知|S5|=120及S5的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（abcde），（ab）（cd），（ab）（cde）其中a，b，c，d，e∈{1,2,3,4,5}1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）=(e),所以1阶元有1个，即单位元（1）；2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C52+21( C52C32)=25个，即：（12），(13),(14)，(15)，(23)，(24)，(25)，(34)，(35)，(45),(12)(34)，(12)(35),(12)(45),(13)(24),(13)(25),(13)(45)(14)(23),(14)(25)(14)(35) (15)(23),(15)(24),(15)(34),(23)(45)，(24)(35),(25)(34)；3 阶元：形式为（abc）,共有C53A22=20个，即：（123)， (124)，(125)，(132)， (134)，(135)，(142)，(143)，(145)， (152)，(153)， (154)，(234)，(235)，(243)，(245)， (253)，(254)，(345)，(354)；4阶元：形式为（abcd）,共有C54A33= 30，即：(1234)，(1235)，(1243)，(1245)，(1253)，(1254)，(1324)，(1325)，(1342)，(1345)，(1352)，(1354)，(1423)，(1425)，(1432)，(1435)，(1452)，(1453)，(1523)，(1524)，(1532)，(1534)，(1542)，(1543)，(2345)，(2354)，(2435)，(2453)，(2534)，(2543)；5阶元：形式为（abcde）,共有C55A44= 24，即：(12345)，(12354)，(12435)，(12453)，(12534)，(12543)， (13245)，(13254)，(13425), (13452) ,(13524)，(13542)， (14235)，(14253)， (14325)，(14352)，(14523)，(14532)，(15234)，(15243)，(15324)，(15342)， (15423)，(15432)；6阶元: 形式为（ab）（cde）,共有C52C33A22=20，即：(12)(345),(12)(354),(13)(245),(13)(254),(14)(235),(14)(253), (15)(234)，(15)(243),(23)(145)，(23)(154) , (24)(135), (24)(153)，(25)(134),(25)(143),(34)(125),(34)(152),(35)(124),(35)(142), (45)(123)，(45)(132);§3.3 S5的子群因为|S5|=120，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20, 24,30,40,60,120，又因为|120|=23×3×5，根据sylow定理，S5必存在2阶、3阶、4阶、5阶和8阶子群，另S5有平凡子群1阶子群和120阶子群，可能有6阶、10阶、12阶、15阶、20阶、24阶、30阶、40阶和60阶子群。

下述S5的各个阶子群的情况：1阶子群：S5的一阶子群为平凡子群，只包含单位元（1），即H={(1)}。

12阶子群：由S5的2阶元生成的循环群，由于2阶子群里只有两个元，其中一个为单位元，由定理2，可知另一个元必为2阶元，因为S5共有25个二阶元，所以S5共有25个2阶子群，其中分为两个共轭类，第一个共轭类为：=<(12)>={(1)，(12)}，H1=<(13)>={(1)，(13)}，H2H=<(14)>={(1)，(14)}，3H=<(15)>={(1)，(15)}，4=<(23)>={(1)，(23)}，H5=<(24)>={(1)，(24)}，H6=<(25)>={(1)，(25)}，H7=<(34)>={(1)，(34)}，H8H=<(35)>={(1)，(35)I，9=<(45)>={(1)，(45)}；H10第二个共轭类为：H11=<(12)(34)>={(1)，(12)(34)}，=<(12)(35)>={(1)，(12)(35)}，H12=<(12)(45)>={(1)，(12)(45)}，H13H=<(13)(24)>={(1)，(13)(24)}，14=<(13)(25)>={(1)，(13)(25)}，H15H=<(13)(45)>={(1)，(13)(45)}，16=<(14)(23)>={(1)，(14)(23)}，H17=<(14)(25)>={(1)，(14)(25)}，H18=<(14)(35)>={(1)，(14)(35)}，H19H=<(15)(23)>={(1)，(15)(23)}，20=<(15)(24)>={(1)，(15)(24)}，H21H=<(15)(34)>={(1)，(15)(34)}，22=<(23)(45)>={(1)，(23)(45)}，H23=<(24)(35)>={(1)，(24)(35)}，H24H=<(25)(34)>={(1)，(25)(34)}。