S4 S5的子群
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S4及其子群
S4的元
已知|S
4
|=24及S4的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd），其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）；
2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C
42+
2
1
( C
4
2•C
2
2)=9个，即：
(12),(34),(13),(24)，（14），(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23)；
3阶元：形式为（abc）,共有C
43A
2
2=8个，即：
(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243)；
4阶元：形式为（abcd）,共有C
44A
3
3= 6，即：
(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)；
S4的子群
因为|S
4
|=24，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为|24|=23×3，根据sylow定理，S4必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S4有平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。
1阶子群：N
1
={（1）}，为一共轭类。
2阶子群：由S4的2阶元生成的循环群，因为S4的2阶元有9个，所以S4的2阶子群有9个，即：
N
2
=<(12)>={（1），（12）}，
N
3
=<(13)>={（1），（13）}，
N
4
=<(23)>={（1），（23）} ，
N
5
=<(24)>={（1），（24）} ，
N
6
=<(14)>={（1），（14）} ，
N
7
=<(34)>={（1），（34）} ，
N
8
=<(12)(34)>={（1），（12）（34）}，
N
9
=<(13)(24)>={（1），（13）（24）}，
N
10
=<(14)(23)>={（1），（14）（23）}，
其中N
2至N
7
为一共轭类，N
8
至 N
10
为一共轭类。
3阶子群：由S4的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的3阶元同单位元可以组成一个子群，而S4的3阶元有6个，所以S4的3阶子群有3个，且为一共轭类，即：
N
11
=<(123)>={（1），（123），（132）} ，
N
12
=<(134)>={（1），（134），（143）} ，
N
13
=<(124)>={（1），（124），（142）} ，
N
14
=<(234)>={（1），（234），（243）} ，
4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S4的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S4的4阶元有三对互逆的元，故4阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
N
15
=<(1234)>={（1），（1234），（13）（24），（1432）}，
N
16
=<(1324)>={（1），（1324），（12）（34），（1423）}，
N
17
=<(1243)>={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共轭类，即：
N
18
={（1），（12），（34），（12）（34）} ，
N
19
={（1），（13），（24），（13）（24）},
N
20
={（1），（14），（23），（14）（23）}，
和N
21
={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}
8阶子群：此群里的元的阶只能为1阶、2阶、4阶，且由sylow 定理，8阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故8阶子群有3个，且为一共轭类，即：
N
22
={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），
（14）（23）}，
N
23
={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34），（14）（32）}，
N
24
={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23），（13）（24）}，
24阶子群：即N
25=S
4
以上为S4里必存在的子群，下面讨论S4里可能存在的子群：
6阶子群：因为S4包含着S3，故S4必有同构于S3的一类6阶子群，而同构于S3的S4的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S4的6阶子群有4个，且为一共轭类，即：
N
26
={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，
N
27
={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}，
N
28
={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}，
N
29
={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，
12阶子群：若S4有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、4阶子群和3阶子群，经计算，S4的12阶子群只有一个，即：
N
30
={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}。
综上，S4共有30个子群，分为10个共轭类，其中，由正规子群定义及定理6知S4的1阶子群，N21，12阶子群和24阶子群为正规子群。
§3.2 S5的元