初等数论与小学数学
初等数论知识在小学数学中的渗透
初等数论知识在小学数学中的渗透
赵艳;李凤清
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2022(32)3
【摘要】本文通过案例分析的形式介绍初等数论知识在小学数学中如何渗透,通过突出整数以及整除特性、明确整除特征、发掘教材内容、重视整数标准分解、拓宽素数知识面等措施,扩宽学生视野,增强其解决问题能力,同时渗透数学思想方法,让学生感受数学文化,强化学习动机与学习兴趣。
【总页数】5页(P50-54)
【作者】赵艳;李凤清
【作者单位】蓬溪县实验小学;四川职业技术学院教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1.小学数学教学中如何渗透数学史知识
2.用初等数论知识巧解小学数学题
3.小学数学课堂教学中渗透中草药知识的探究——课题实践课三年级数学《分数的初步认识(2)》教学例谈
4.浅谈小学数学教学中如何渗透思想方法--以《圆的面积》教学为例浅谈小学数学教学中如何渗透思想方法——以《圆的面积》教学为例
5.试析小学数学教学中如何渗透数学史知识
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论初等数论与小学数学的关系
论初等数论与小学数学的关系—-“同余"在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号:15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉,那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过,似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法.初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。
其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。
这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外,也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。
有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。
”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2)数的整除特征（小升初常考内容）余数问题:（1)带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1)奇偶与加减运算；（2)奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解约数倍数：(1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。
对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容-—同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。
同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分.其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。
在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系,欧拉定理和循环小数等几个知识点。
在没接触初等数论学习之前,我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。
整除理论——小学数学教学中的初等数论问题
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用一问题提出初等数论在国内主要开设于高等院校，在中小学并未直接设立课程，但在该阶段的数学知识学习过程中，许多关键概念及原理都渗透着初等数论的理论，如：数的整除、带余数除法、因数与倍数、质数与合数、勾股定理等。
尽管初中阶段的数学以代数、几何为主，没有较多初等数论的内容，然而，在高中甚至后续的数学学习过程中，关于整数的部分，必不可少地将会涉及到初等数论的理论，故在初中数学教学中有必要补充和延伸与教学内容相关联的数论知识。
较多学者对初等数论课程的教学现状与教学改革进行了考察与研究，尤其强调在高等师范院校的小学教育专业开设这门课程的必要性；也有大量期刊论文、硕士论文对初等数论在数学竞赛试题中的应用进行分析，但从整体上看，针对初等数论具体应用于中小学数学教科书的研究相对较少。
另一方面，人教版数学教材是全国义务教育阶段数学学习的主流教材之一，具有较广的普及范围和较强的影响力。
本文将主要分析初等数论在现行一至九年级新人教版教科书中的融合应用。
二研究方法本文主要采用了文献研究法和案例研究法等。
基于数据资料库、图书馆等途径，进行大量文献检索，并搜集、梳理、分析相关资料；同时，通过研究案例，将理论与实际结合，梳理初等数论在中小学数学教科书中的具体应用，并对案例进行系统理解与深入分析，了解初等数论在中小学数学教学过程中的意义与价值。
三初等数论融合于中小学数学教科书中的案例分析（一）有余数的除法学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论，但结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。
学生将在二年级学习“有余数的除法”，教材呈现出用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点在本单元中，最典型的实际问题是与“日历”相联系的题型（如图2），例如：六月份有30天，有几个星期？还多几天？观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。
常见教师招聘考试笔试数学专业知识考察范围
常见教师招聘考试笔试数学专业知识考察范围（小学）教师招聘考试中小学数学部分一般是由四部分组成的：高中数学、初中数学、初等数论与小学数学教材教法研究。
高中数学这部分主要内容是：简易逻辑、数列、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线方程、直线、平面、简单几何体、数学归纳法、概率与统计。
初中数学部分主要包括数的分类、方程与不等式、简单函数、直线与圆、比例等等。
初等数论：数的整除性、不定方程。
而小学数学教材教法研究：小学数学知识的相关基础理论知识、小学数学教学法。
对于高等数学中的考试内容现在已经进入了现在高中数学的教材中，而且这部分的内容考试不难。
因此我将高中数学与高等数学放到一块看看考试的大纲。
首先是简易逻辑，简易逻辑主要是考的是四种命题、充分必要条件。
接下来是数列，数列是高考的必考内容，也成为了招教考试的必考的内容。
数列这部分考试内容是等差数列以及等比数列的通项公式以及前n项和的公式，一般情况下会和函数以及不等式结合起来一块来考察。
考试的方式基本上与高考的水平不相上下，但是考大题的可能性不是太大。
不等式这部分，主要的考点是不等式的性质及其证明，掌握均值不等式的运用，掌握简单不等式的一般解法，这部分的内容是解决函数、数列等知识的基础。
解析几何部分主要包括：直线和圆的方程，圆锥曲线方程。
直线的要求是理解直线的倾斜角和倾斜率，掌握直线方程的点斜式、两点式与一般式。
掌握两条直线位置关系以及点到直线之间的距离。
一般直线与圆一块来考，圆这部分的要求是掌握圆的标准方程和一般方程。
圆锥曲线主要是椭圆、双曲线与圆锥曲线的定义、圆锥曲线以及简单几何性质。
除此之外，还有时候直线与圆锥曲线一块来考，难度不是很大，但是计算量比较大，在小学教师招聘考试中出的可能性不大。
立体几何中主要的考点是直线、平面与简单几何体。
主要考察的是直线、平面的位置关系以及多面体柱、锥、球的表面积与体积公式等等。
概率与统计是现在教师招聘考试数学的必考环节，这部分主要的内容是会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率以及会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用作者：黄咏华来源：《成长·读写月刊》2017年第09期【摘要】随着教育制度改革不断实施，越来越多的人开始重视学生教育，特别是小学阶段。
作为小学数学教师，其要能够在实际教学中注重对学生在解决问题的能力。
关于初等数论，其作为学校为培养学生儿开设的课程，不仅能够在一定程度上培养学生扎实的数学基础知识和给课程特有的思想方法，还进一步的提高学生学习数学的综合能力。
对此，本文就对当前初等数论知识在小学数学教学中的应用进行重点探讨和分析。
【关键词】初等数论；小学数学；应用关于初等数论，其是研究数学中整数的最基苯性质，同时也是一门非常重要的数学基础课程。
在当前小学数学教学中开展这门课程，既能够进一步的加深学生对数的性质了解和掌握，还更好的理解其他与之相关的学科。
但是，在现阶段，由于大多数教师在初等数论课程教学内容上过于陈旧，且使用的教学方法也较为单一。
对于这种情况，已经严重影响整个小学数学在内初等数论的教学质量。
一、小学初等数论知识在教学中的相关概况及其作用在当前的小学数学教学过程中，初等数论知识和思想是最为常见的，因而作为小学数学教师，要给予足够的重视[1]。
在现阶段，随着新课程改革的不断深入，初等数论知识，不仅出现在正常的数学教学中，还会以小学数学竞赛的形式出现。
在通常情况下，都是以在数学教学中出现更为突出。
在实际数学教学中，教师开展初等数论知识课程，主要是为了能够进一步的提高学生的数学素养，同时在其内容上也在一定程度上反应某些特别重要的数学思想方法，这能够更好的帮助学生提高数学基础能力和实际应用意识。
总之，在小学数学教学中开展这么课程不仅极大的扩展学生的数学视野，还提高的学生对数学科学价值和文化价值的认识。
对于在小学数学教学中应用初等数论知识，有以下几个方面的作用；一是，激发学生学习数学的兴趣。
在目前的小学数学教学中，多数教师还在使用传统的教学模式和方法，这种教学方式严重影响学习学习的兴趣，对此，教师要能在教学中合理的运用数论知识，提高学生学习兴趣；二是，有助于培养学生在学习中的创造思维能力。
初等数论与小学数学
数就是 的因b数, 反之, 的因数b也就是 与
的公因0 数.b
. (ii) ( 0 , b) = b
定理2 设 a , b是, c任意三个不全为 的整0 数, 且
其中 是a非= b零q +整c, 数, 则 q与 有相同的公因a , b
数,b因, c而
( a , b)= ( b , c) .
理论依据
(a, m，) 则1
a(m) 1(mod m)
5.不定方程（组）
问题5.1 （“百鸡问题”） ：“鸡翁一, 值 钱五, 鸡母一, 值钱三, 鸡雏三, 值钱一.百钱 买百鸡.问鸡翁母雏各几何?”
问题5.2 （“搬砖问题”） ：“三十六块 砖，三十六人搬，男人搬三块，女人搬一 块，三个小孩抬一块。问男人、女人、小 孩各多少人？”
就说a,b对模m不同余,记作
. a b(mod m)
定义2 设 m是大于1的整数，且 不m 能整除a，则
ax b(m称od m为) 模 的一m次同余方程；若整数c满足上述
方程，则称
是x一 c次(m同od m余) 方程
ax b(m的od一m)个解.
理论依据
定理1（大衍求一术） 设 m是大于1的整数，
n n n
n
p(n!)
p
p2
p3
r 1
pr
3.韩信点兵与鬼谷算
问题3.1:测算某同学的年龄?
问题3.2（“物不知数”或“韩信点兵”）： “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数 之剩三, 七七数之剩二, 问物几何?”
设 是x 所求物数, 则依题意
x 2(mod 3)
个5，有些数含3个5，有些数含4个5，当然没有含5
个5的数，于是
初等数论1.8(小学教育专业)
[ x],( x Z ) 性质3 [-x]= [ x] 1.( x Z )
性质4 若[x]=[y],则|x-y|<1.
性质5 [x]+[y] ≤[x+y]. 性质6 若x≥0,y≥0,则[xy]≥[x][y].
例1 求证：若a bq r , 其中a, b, q, r均为正整数, a 且0 r b, 求证:[ ] q. b [ x] x 例2 若x是实数,n是正整数,则[ ] [ ]. n n
定理1 设x是正实数,n是正整数,则从1到x的整数中, x n的倍数有[ ]个。 n
定理2 在n!的标准分解式中,质因数p的指数是. n n n k k 1 h [ ] [ 2 ] [ k ]( p n p ). p p p
例3 求7在2000！中的最高幂指数.
例4 求2001！中末尾0的个数.
1.7高斯函数
学习目标： 1.能熟练掌握高斯函数的性质 2.能熟练应用高斯函数的性质 3.培养学生的归纳能力 重点：高斯函数的性质 难点：高斯函数的性质 教学方法：讲授法 练习法 课时数：2 授课日期：2014.5.6
不超过实数x的最大整数记作[x].例如,[π ]=3,[-1.3]=-2. 函数y=[x],x∈R叫做高斯(gauss)函数.也叫做取整函 数。 显然[x]是整数,且满足x-1<[x] ≤x<[x]+1. 高斯函数的性质： 性质1：函数y=[x]是不减函数,即若x1 ≤x2 ,则有[x1] ≤[x2]. 性质2：若n是整数,则[x+n]=n+[x],即整数可以从方括 号中提出.
例5 求30!的标准分解式.
小结：本节主要讲述高斯函数的性质及其应用， 重点掌握高斯函数性质并能灵活运用。
利用初等数论思想解决小学数学问题
利用初等数论思想解决小学数学教学问题08数学大专（1）班 30308127 丁令万小学数学的教学过程中，往往教师上课不懂怎么教、学生听不懂，导致恶性循环，使学生数学基础差，解题思想单一等问题严重。
为解决这一问题，关键在于授课老师要有良好的教学方法能使学生听懂，并且愿意听。
而要达到这一目标，我建议教学过程中采用初等数论的解题思想。
初等数论意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。
重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。
解析数论借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。
积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。
加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。
此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。
简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、角谷猜想、圆内整点问题、完全数问题……下面列举初等数论中的整除性问题来说明数论思想对小学数学教学的作用。
整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．例1 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k 为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例2 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法, 其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织, 融会贯通的知识网络, 需要我们去挖掘、揭示。
初等数论在中小学的背景
初等数论在中小学的背景
初等数论课程是高等院校初等教育专业的一门专业技术课程。
初等数论是主要用算术方法来研究整数性质的一门学.科,是数学中最
古老的分支之-。
初等数论研究的主要研究整除理论、同余理论、不
定方程及原根与指标四大部分。
其中整除理论是初等数论的基础;同
余理论是初等数论的核心内容,是初等数论所特有的思想、概念和方法;以整除和同余理论为基础,初等数论主要研究整数的性质和不定
方程。
目前高等院校中的初等数论课程教学内容相对陈旧，教学方法比较单一，而且在日常生活中的应用不明显，这些问题对于提高数论的教学质量而言十分不利,同时对我们培养具有灵活思维能力、具有创
造力的未来中小学数学教师也更加不利。
为此,本文针对初等数论课
程的特点,从教学内容和教学方法等方面对数论课程的教学进行改进。
我国初等数论课程的教学现状数学不仅仅是逻辑推理和数、式
的简单演算,而且还是活生生的科学现实。
数学史、数学意识及数学
思维方法的形成都是数学教学应当涉及的范畴,然而,在初等数论的
教学中这些几乎是盲区。
数学基础知识固然重要,但是初等数论的产生、演化、发展数学事件、数学思维方法的孕育、萌芽、形成过程及划时代的意义等也非常重要。
我们的初等数论教材中对数学史的渗透、融合重视程度还很不够。
因而,应该改变初等数论课程的现有教学模式，充分发挥数学史知识在提高教师的教学效果及进行国家提倡的素质教育方面的重要作用。
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文1小学教育专业开设初等数论课程的必要性初等数论是一门古老的数学基础学科，主要研究整数的基本性质，它的理论和方法已广泛用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域.师范院校小学教育专业开设的初等数论课程作为一门专业主干课程，主要研究整数的整除与同余及不定方程，其中的许多内容如整除、约数、倍数、分解质因数等概念和性质都是现行小学数学的主要内容，对小学数学的教学和研究具有重要的指导作用，而小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，所以小学教育专业开设初等数论课程很有必要。
由于初等数论要求论证严格，所以它是进行思维训练的有效工具，学习初等数论能发展学生的逻辑数学思维能力。
数论的许多问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解决却非常困难。
古今中外许多数学家都是由于被数论问题吸引而投身数学研究，并做出了巨大的贡献，在初等数论课程中有许多简明而又具创造性的问题，它们都是培养学生创造性的很好材料，所以学习初等数论能激发学生对数学的兴趣和创造力。
2小学教育专业初等数论课程例题和练习题的重要性例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分是照搬数学系所用的题目，或者是为了应用某个定理而生造一些例题和练习题，因而很多例题和练习题不适合小学教育专业，尤其是与小学数学教学没有多少联系。
小学数学四年级初等数论
小学数学四年级初等数论一、幻方1、三阶幻方：a)中心数=幻和÷3b)经过中心数的4组数是等差数列c)九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
依次对齐，按照口诀对应填写。
2、四阶幻方：把16个数从小到大依次填入，同一对角线的数字对调即可例题1：在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21。
例题2：如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之积都是126。
标有＊的那个数位上的数字应是。
例题3：表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？例题4：在一个乘法幻方中，每一行、每一列、对角线上的数之积都相等。
如果在图中的空格中填上正整数，构成一个乘法幻方，那么x的值是多少？例题5：把10~20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都等于45。
二、数字奇偶性知识点：1、奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数2、奇数×奇数=奇数偶数×偶数（奇数）=偶数3、和差偶数，奇偶相同；和差奇数，奇偶相反4、和与差奇偶相同5、奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数A）简单的：例题1、若三个连续奇数的和是111，则其中最小的奇数是（）例题2、有一个两位数，分别在这个数的左边、中间、右边写一个1，得到三个三位数，若这三个三位数的和是1257，求原来的两位数。
例题3、用20厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不止一种，其中，面积最小的，长（）厘米，宽（）厘米；面积最大的，长（）厘米，宽（）厘米。
例题4、将190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是（）例题5、从1~9这9个数中任取一个奇数和一个偶数相乘，不同的乘积有（）个。
例题6、有三个连续的奇数，已知前两个数的积与后两个数的积的差是252，则这三个连续奇数中最小的数是（）例题7、已知m>1，m个连续的自然数的和是33，则m的所有可能取的值是（）例题8、如果两个整数的和与差的积是77，那么这两个数是（）和（）例题9、乘积是160的两个数的和比这两个数的差大4，则这两个数的和是（）例题10、1×2+2×3×4+3×4×5×6+4×5×6×7×8+⋯+10×11×12×13×…×20的末位数字是（）例题11、小明有一本40页的故事书，非常可惜被撕掉了一页，现在所剩的页码之和为793，小明的故事书被撕掉的这一页的页码为（）例题12、一个数除以9，商和余数是相同地不为零地自然数，这个数最小是（）例题13、一个不为零地自然数，除以3和除以5的商和余数相同，则这个数是（）例题14、求一切除以6后余2的两位数的和例题15、在1-200的自然数中，求既是3的倍数，又是4的倍数的所有自然数的和。
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用-精选文档
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用-精选文档浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用关于初等数论，其是研究数学中整数的最基苯性质，同时也是一门非常重要的数学基础课程。
在当前小学数学教学中开展这门课程，既能够进一步的加深学生对数的性质了解和掌握，还更好的理解其他与之相关的学科。
但是，在现阶段，由于大多数教师在初等数论课程教学内容上过于陈旧，且使用的教学方法也较为单一。
对于这种情况，已经严重影响整个小学数学在内初等数论的教学质量。
一、小学初等数论知识在教学中的相关概况及其作用在当前的小学数学教学过程中，初等数论知识和思想是最为常见的，因而作为小学数学教师，要给予足够的重视[1]。
在现阶段，随着新课程改革的不断深入，初等数论知识，不仅出现在正常的数学教学中，还会以小学数学竞赛的形式出现。
在通常情况下，都是以在数学教学中出现更为突出。
在实际数学教学中，教师开展初等数论知识课程，主要是为了能够进一步的提高学生的数学素养，同时在其内容上也在一定程度上反应某些特别重要的数学思想方法，这能够更好的帮助学生提高数学基础能力和实际应用意识。
总之，在小学数学教学中开展这么课程不仅极大的扩展学生的数学视野，还提高的学生对数学科学价值和文化价值的认识。
对于在小学数学教学中应用初等数论知识，有以下几个方面的作用；一是，激发学生学习数学的兴趣。
在目前的小学数学教学中，多数教师还在使用传统的教学模式和方法，这种教学方式严重影响学习学习的兴趣，对此，教师要能在教学中合理的运用数论知识，提高学生学习兴趣；二是，有助于培养学生在学习中的创造思维能力。
在实际数学教学中开展初等数论知识课程过程中，教师可以根据设置相应的问题来提高学生的创造思维能力。
二、初等数论知识在小学数学教学中应用的途径作为小学数学教师，要想能够更好的提高学生学习数学的基本能力，首先就要重视初等数论知识在实际教学中的作用。
只有这样才能够进一步的提高其教学质量和教学效果[2]。
数学专业必学科目
数学专业必学科目
1、纯粹的数学专业主干课程：初等数论、概率论与数理统计、数学教学论、小学数学教材教法、数学分析选讲、复变函数、近世代数、高等代数选讲、数学教育学等、数学与应用数学。
2、应用数学主要课程：分析学、代数学、几何学、概率论、物理学、数学模型、数学实验、计算机基础、数值方法、数学史等，以及根据应用方向选择的基本课程。
3、信息与计算科学专业主要课程：数学分析、高等代数、几何、概率统计、数学模型、离散数学、模糊数学、实变函数、复变函数、微分方程、物理学、信息处理、信息编码与信息安全、现代密码学教程、计算智能、计算机科学基础、数值计算方法、数据挖掘、最优化理论、运筹学、计算机组成原理、计算机网络、计算机图形学、c/c++语言、java语言、汇编语言、算法与数据结构、数据库应用技术、软件系统、操作系统等。
结合小学数学教学新课改浅谈初等数论教学改革
结合小学数学教学新课改浅谈初等数论教学改革摘要:对师范院校的小教专业开设《初等数论》课程的必要性,教学现状等方面进行一些探讨,并且提出如何开设好该课程的教学建议,以便更好地培养适应新时期小学教育的教师。
本文科学地描述了初等数论的学与教及其两者之间的关系。
初等数论的学与教主要指的是师范院校为学生的培养开设的课程，它能够培养学生扎实的数学基础知识及数论特有的思想方法。
一方面有利于学生进一步探索数论的未知领域做准备；另一方面有利于将要从事小学数学教学的教师更好地把握初等数论的教学。
教师要有机地将初等数论的学与教结合起来，通过教师和学生的学习，掌握数论的基础知识和思想方法，进一步养成科学的人生观、价值观。
关键词:初等数论; 小学数学；创造性思维;创造性能力; 数学思想方法一、初等数论概况数论是一门古老而基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对于现代数学的发展起到了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。
在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。
初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课程，所以高等院校的本科生在可能的情况下学习数论知识是有益的，一方面通过这些内容加深对数的性质的了解，更深入地理解某些其他邻近学科；另一方面也许更重要的是可以加深他们的数学训练，这些训练在很多方面是有益的。
同时，学习一些数论的发展史也是很有好处的，尤其是中国古代和近代对数论领域的贡献。
目前大学中的数论课程教学内容比较陈旧，教学方法也比较单一，这对于提高数论教学质量十分不利，为我们培养具有灵活思维能力、具有创造力的适应《小学数学新课程标准》要求的未来小学数学教师更没有益处。
二、初等数论的基本内容和思想方法初等数论以整除和同余理论为基础，主要研究整数性质和不定方程。
初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事。
它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识和问题解决的过程中。
小学数学解题研究修订本教学课件第六章初等数论
若干个偶数的和是 偶数;另一类是送出奇数张贺年卡
【分析】 解决这类问题的关键是将全体
的人,他们送的贺年卡总张数也是偶数(总张数-送偶数
人数分成奇数和偶数两类,然后逐步研究
张贺年卡的总数=偶数-偶数)。因为只有偶数个奇数
解决。 类似的如互相通电话、互相握手、
相加,其和才能是偶数,所以送奇数 张贺年卡的人数一
(2)如果偶数是a+1,那么a+ （a+1） +（ a+2 ）+ （a+4 ）=11,解得a=1。
这四个数是1,2,3,5,它们的积是30
二、教学实例分享
(1)定理1
根据性质(1)和性质(3)不难得到一个数被2,4,8与5,25,125整除的特征。
一、主要理论
(2)定理2
根据性质(1)和性质(3)不难得到一个数被3与9整除的特征。
一、主要理论
(3)定理3
根据性质(1)不难得到一个数被11整除的特征。
二、教学实例分享
【例6-1】 两个整数相除商8余16,并且被除数、除数、商及余数的和是463,被除数是 多
提高学生学科素养、文化自信。
第一节
数的整除性
一、主要理论
1.整数的概念
通常用Z表示全体整数组成的集合,用N表示全体自然数组成的集合,用 N+ 表示全体 正
整数组成的集合。
注意:本章以后若无特殊说明,a,b,c…或α,β,γ…均表示整数。
当几个字母连写在一起并在上面标注横线时,每个字母均代表数字,如表示一个四 位数,
(1)如果两个整数都能被同一个不为零的整数整除,那么它们的和或差也能被这个数整 除,即若
bІa,blc,则bl( a±c )。
小学生数学文化数学中的皇冠数论
小学生数学文化数学中的皇冠数论小学生数学文化数学中的皇冠—数论如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁的问题，查字典数学网为大家提供了数论，希望同学们多多积累，不断进步!人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。
它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。
其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。
也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。
但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。
比如，整数可分为两大类奇数和偶数(通常被称为单数、双数)等。
利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。
后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况数论的基本内容数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。
如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依*初等的方法来研究整数性质的分支。
比如中国古代有名的中国剩余定理，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。
数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。
用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。
解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。
比如，对于质数有无限多个这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。
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人类从学会计数开始就一直和自然数 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了， 自然数打交道了， 由于实践需要，数的概念被扩充，自然数称做正整 数，而它们的相反数叫做负整数，介于两者间的中 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0），它 们合起来叫做整数 们合起来叫做整数。 整数。 人们在长期对整数进行运算的应用和研究时逐 步熟悉了整数的特性. 步熟悉了整数的特性.而利用整数的一些基本性质， 可以进一步探索更多趣味复杂的数学规律。这门学 科最初是从研究整数开始的，被称为整数论。后来 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 确切的说，数论就是一门研究整数性质 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 研究整数性质的学科
初等数论& 初等数论&小学数学 The Relation
小学教学与初等数论关系密切（尤其 体现在小学奥数中）最基本的问题包 含：数的整除，余数问题，奇数与偶 数，质数与合数，约数与倍数，完全 平方数的整除 接下来将挑选以上内容的一部分，给 出小学例题进行实际说明。
一、余数问题
例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5 例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5倍， 请求此三位数。 解法： ①设此三位数是“abc” ①设此三位数是“abc”=100a+10b+c ② 根据题意：100a+10b+c =5abc， 根据题意：100a+10b+c =5abc， 推理可知c整除5且不可为0 推理可知c整除5且不可为0，∴ c=5 ③将c=5带入，25ab= 100a+10b+5 c=5带入，25ab= 得5ab=20a+2b+1;可知5∣（1+2b） 5ab=20a+2b+1;可知5 1+2b） b是0~9之间一位的整数， ∴ b=2或7 0~9之间一位的整数， b=2或 ④ b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=7时，a=1；合理，可取 b=7时，a=1；合理，可取 结论：推得此数为175 结论：推得此数为175
二、奇数与偶数，质数与合数
例题：已知两个质数相加等于999，请问这两个质 例题：已知两个质数相加等于999，请问这两个质 数的积是多少？ 解法： ①999是个奇数，因此它必定是一个偶数与 999是个奇数，因此它必定是一个偶数与 一个奇数的和. 一个奇数的和. ②已知两者都是质数，而偶数中属于质数的 只有 数字2 数字2 ③推得：这两个数是2和97.乘积为194 推得：这两个数是2 97.乘积为194 PS：本题看似简单，实际上非常巧妙地融合了奇 PS：本题看似简单，实际上非常巧妙地融合了奇 偶数、合质数的内容。知识点虽然基本，但若要马 上联系起来，不仅考验学生掌握的娴熟程度，还考 验他们思维的灵敏度。综上所述，本题是“ 验他们思维的灵敏度。综上所述，本题是“用青菜 萝卜制出一道精致美味” 萝卜制出一道精致美味”。
写在最后的话
数论的知识广博深奥，仅分类就有初等数论、几何数论、计 算数论、 超越数论、 组合数论、 解析数论 、代数数论几大层 面。 我们所接触初等数论，意指使用不超过高中程度的初等代数 处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重 要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等 在数论的学习过程中，导师不止一次强调它“千姿百态” 在数论的学习过程中，导师不止一次强调它“千姿百态”： 每题的解法都不同，无规律套用；每次的思维都不同，要看题 寻法等等。但个人感觉：虽是千变万化，但亦万变不离其宗— 寻法等等。但个人感觉：虽是千变万化，但亦万变不离其宗— —无论如何都要娴熟地掌握基本知识，自我融会贯通，解题时 才能反应迅捷、运用自如。 亲身体验过，明白数论的确奥妙无穷，但小学教学接触的 “部分初等数论”只是“数论” 冰山一角，更不用相比数学， 部分初等数论”只是“数论” 乃至科学世界了。而小学数论虽然浅显，但若思维不够活跃、 知识储备不足，照样会成为一大难题。THE END，谢谢观看 知识储备不足，照样会成为一大难题。THE END，谢谢观看
三、数的整除
例题：证明33不能整除形如“71x5y” 例题：证明33不能整除形如“71x5y”的数 解法： ①假设可以整除，则必有3 ①假设可以整除，则必有3与11 ∣ 71x5y 整除条件：7+1+x+5+y=3n ②被3整除条件：7+1+x+5+y=3n 被11整除条件（7+x+y）-（5+1）=11b 11整除条件（7+x+y） 5+1） 71-5xy=11a（难用，舍弃） 71-5xy=11a（难用，舍弃） ③x、y必定是0~9之间的整数 必定是0~9之间的整数 ④结合② ③ 推ห้องสมุดไป่ตู้3与11 ∣ 71x5y无法成立 推出3 71x5y无法成立 ∴ 33不能整除形如“71x5y”的数得证。 33不能整除形如“71x5y”