六年分数计算裂项法培训资料

小学六年级奥数裂项第一讲

小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1. 掌握分数裂项的基本原理。

2．掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。

一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。

2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。

第一类：“裂差”型运算。

当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。

两项的裂差非常重要，一定要掌握。

第二类：“裂和”型运算。

当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。

四、归纳总结1、裂差型基本形式：2、裂项和基本形式：3、裂项的实质和意义裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。

五、课堂检测~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~例1仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？分析:先通分（把分母都变成各分母之积），分母相同后，再相加或者相减，把两项整理成一项，注意步骤的完整例2 仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？在此处键入公式。

在此处键入公式。

分母拆分为两个数字的乘积，分子拆分为两个数字的差或和，分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。

把一个分数拆分成两个分数的和或差，最后再把这两各数分别约分化简。

例3 阅读下列巧算方法，解决问题：分析：分析拆分为两个数字的乘积，分子拆分为这两个数字的差（如果分子不是这两个数的差，那么就先变成差，相应的也要让此分数再乘上一个数使得结果和原分数相等），分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。

六年级分数裂项

六年级+分数裂项————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

六年级+分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小分数裂项计算教学目标知识点拨的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

五六年级分数巧算裂项拆分

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求型分数求和分析：因为＝（n为自然数）所以有裂项公式：【例1】求的和。

（二）用裂项法求型分数求和：分析：型。

（n,k均为自然数）因为所以【例2】计算（三）用裂项法求型分数求和：分析：型（n,k均为自然数）＝＝所以＝【例3】求的和（四）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例4】计算：（五）用裂项法求型分数求和分析：（n,k均为自然数）【例5】计算：（六）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例6】计算：【例7】计算：＋＋＋＋＋＋＋＋【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把、、、这四个分数，可以拆成是两个分数的和。

另一类是把、、这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然后再根据题目中的相关分数合并。

原式＝＋＋（－）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）＝＋＋－＋＋＋＋＋＋＋＋＋－＋－＝（＋＋＋＋）＋（＋＋＋）＋（＋＋）＋（－）－（＋）＝1＋1＋＋－＝【例8】计算：（1＋＋＋…＋）＋（＋＋…＋＋＋…＋）＋…＋（＋）＋【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。

原式＝1＋＋（＋）＋（＋＋＋＋＋）＋（＋…＋）＋…＋（＋＋＋…＋＋）＝1＋＋×＋×＋×＋……＋×＝1＋＋＋＋＋……＋＝1＋×（1＋2＋3＋4＋ (59)＝1＋×＝1＋15×59＝886【巩固练习】1、＋＋＋……＋2、＋＋＋3、＋＋＋＋＋4、1－＋＋＋5、＋＋……＋6、＋＋＋……＋7、＋＋＋＋8、－＋－＋－9.＋＋＋＋＋10．69316.931÷69.31＝11、（11－×15）+(13－×13)÷(15－×11)19．4×5×6×7×……×355×356的末尾有( )个零。

六年级分数-裂项法

六年级分数-裂项法1.2分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。

法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。

对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=- （2）等差数列求和公式：()n a a a aa a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n ②)(1d n n +＝d 1×（n 1－dn +1）例1. 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋ (100991)例2. 计算：110×11＋111×12 ＋……＋159×60例3. 计算：12 ＋16 ＋112＋120 ＋130 ＋142例4. 计算：110×11＋111×12 ＋……＋119×20 例5. 计算12×3 ＋13×4＋……＋16×7 ＋17×8例6. 计算：1＋12 ＋16 ＋112＋120例7. 计算：16 ＋112 ＋120＋130 ＋142 ＋156 ＋172例8. 计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9. 计算：11111144771*********++++⨯⨯⨯⨯⨯例10. 计算：22222315356399++++例11. 计算：1111118244880120168+++++例12. 计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13. 计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005⨯例2. 计算:（751×911×116）÷（113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861）例7. 计算:⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211=.例8. 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .例9. 计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .例10. 计算:4513612812111511016131+++++++= .例11. 计算:()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .例12. 计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211=能力训练：1、计算：1) 5132÷132＋7143÷143＋9154÷1542) 156 ＋172 ＋190 ＋11103) 18 ＋124 ＋148 ＋180 ＋1120 4) 212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋……＋200520042005⨯5) 212＋772＋1652＋……＋16772＋202126) 21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097) 1＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋91908) 21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋5125119) 5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。

(完整word版)六年级奥数分数裂项

分数裂项计算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，能够分为察看、改造、运用公式等过程。

好多时候裂项的方式不易找到，需要进行适合的变形，或许先进行一部分运算，使其变得更为简单了然。

本讲是整个奥数知识系统中的一个精髓部分，列项与通项概括是密不行分的，因此先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。

知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

碰到裂项的计算题时，要认真的察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相像部分，让它们消去才是最根本的。

(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前方，即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将 x提拿出来即可转变为分子都是1 的运算。

（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的中心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。

六年级分数计算技巧一裂项

小学数学六年级数学分数计算技巧1目录1.分数的计算技巧--裂项法1.11n n +1=1n -1n +1分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 1.2d n (n +d )=1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 1.31n n +d=1d 1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=1 1.41n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2分子为1，分母是三个连续自然数乘积 1.51n n +1 n +2 (n +3)=13⋅[1n n +1 n +2 -1n +1 n +2 n +31.6a +b a ×b =a a ×b +b a ×b =1b +1a =1a +1b 例题1.12+16+112+⋅⋅⋅+19900分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 =1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+199-1100=1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+198-199 +199-1100(通过裂项，除了首位中间的所有项都消去了)=1-1100=99100例题2.31×4+34×7+37×10+⋅⋅⋅+397×100分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 =1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-1100=99100例题3.215+235+263+⋅⋅⋅+2143有些时候分母不会直接给出两个数相乘，需要你去仔细观察 =23×5+25×7+27×9+⋅⋅⋅+211×13=13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113 =13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113=13-113=13-339=1039例题4.11×2+12×3+23×5+25×7+37×10+310×13这题看上去分子不怎么统一，但每个分数完全符合分子=分母两数的差过程同学自己动手操作,最后结果为1-113=1213例题5.32×3+33×4+34×5+⋅⋅⋅+349×50提示：把分子3提到前面来就跟我们之前的题目一样的操作了。

六年级分数巧算裂项拆分

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1一型分数求和分析：因为n(n 1)1 n(n 1) n(n 1)（n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）【例1】求丄10 1111 121的和。

59 60【例2】咕右）'111 110 60112用裂项法求1 1k(n计算n(n k)1 1 -[2 5115n(n 1)59 60)型分数求和:k)nn(n k)]分析：n（nk）型。

（n,k均为自然数）因为n(n k) 所以n(n k)k(； n k9 11 11 13 13 157)11)丄(12 71(19) 1(1 却2、111 1 1 11 , 1 1、1(丄丄2(13 15113)1用裂项法求9 11 11 13型分数求和:n（n k）n n k n(n k) n(n k) n(n k)13分析：型（n,k均为自然数）n（n k）k所以一-n(n k) n n k(11 3 97 99 32009603自然数）n(n k)( n 2k)( n 3k)3k (n(n k^(n 2k)1139 20520I(n k)(n 2k)(n 3k)【例3】的和97 9998 99(四)13) (351 1 )(5 1 7)1 11 99 用裂项法求型分数求和:n （n k ）（n 2k ）分析:2k n(n k)(n 2k)【例4】计算：44 441 3 53 5 793 959795 97 99(1I II 315) (315 517)…(11)(1 1)3 93 95 95 9/ V 95 9797 99,11（n,k 均为自然数）【例5】 1 1计算：1 2 3 4 2 3 4 51 17 18 19 203[(1 1 1 3[1 2 3 （丘18 19 20]1 17 18 191 18 19 20)]2k n(n k)(n 2k)1 1n(n k) (n k)( n 2k)(五) 用裂项法求型分数求和分析:n(n k)(n 2k)(n 3k)(n,k 均为n(n k)(n 2k)(n 3k)（六）用裂项法求3kn(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和：分析:3kn(n k)(n 2k)( n 3k)(n,k均为自然数）3k 1 1n(n k)(n 2k)( n 3k) n(n k)( n 2k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算： 3 3 31 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20“ 1 1 1 1 、“ 1 1 、(- ) (—)... ...(- )1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 201 11 2 3 18 19 2011396840【例7】计算:1 + 3 + 上 + 29 + 37 + 竺 + 兰 + 里 + 27 8 36 56 63 72 77 84 88【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把295637634j72这四个分77/ 58 58 59 + — ） + —596060【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。

(完整版)六年级分数裂项法.doc

第二讲分数 1.2NT1.2 分数计算（裂项法）知要点和基本方法分数算是小学数学的重要内容，也是数学的重要内容之一。

分数算同整数算一既有知要求又有能力要求。

法、定律、性是行算的依据，要使算快速、准确，关是掌握运算技巧。

算式真察，剖析算是的特点及个数之的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改运算序，使算便易行，启迪思，培养合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（ 1）平方差公式：a2 b2 ( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2 a3 an 1 a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：① 11) ＝1－ 1n(n n n 1② 1d) ＝1×（1－ 1 ）n(n d n n d 裂项法：例1. 算： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯⋯＋99 11 2 2 3 3 4 10011 1例4.算：＋＋⋯⋯＋10×1111×1219× 20例2.1 1 1算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60例5.1 1 1 1算2×3＋3×4 ＋⋯⋯＋6× 7＋7× 8例3.算：21＋16＋121＋201＋301＋421六年级第一学期NT例6. 算： 1＋1＋1＋1＋126 12 20例 10. 算：22 2 2 23 15 35 63 99例7. 算：1 1 1 1 1 1 16＋12＋20＋30＋42＋56＋72例 11. 算：11 1 1 1 18 24 48 80 120 168例 8.算：1＋1＋1＋1＋1＋1 315 3563 99 143例 9. 算：14 1711011311 4 7 10 13 16例 12. 算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋ 1 ＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋ 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100 100 100例 13. 算： 1＋ 1 ＋1 1 ＋113＋⋯⋯＋1 2 311 2 2 3 2 4 2005例 14．算： 2×（ 1－ 1 2）×（ 1－ 1 2）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005 2004 2003 2第二讲分数 1.2NT六年级第一学期NT综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例 2. 计算 : （ 1 5 × 1 1 × 6 ）÷（ 3 × 6 × 5）7 9 11 11 7 9例 3.计算 : 98＋ 99 8 ＋ 999 8＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算 : （ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－ 1）2468357 9例 5. 计算 : 2004 1 － 1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 － 200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算 : （ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ）÷（ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）979797979797 97979797868686868686 86868686第二讲分数 1.2NT例 7.计算 : 11 1 11 111 111 11 1=.2 4 610359例 8.计算 :567345 566 =.567 345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .6 7 5 6 4 5 3 4 2 3例 10. 计算 :11 1 1 1 1 1 1 = .3 6 10 15 21 28 36 451 29 1 29 1 291 29 1 29例 11. 计算 :2 3 30 31 = .1 31 1 31 1 311 31 1 312 328 29计算 :12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7211 2 3 4 5 6 2 3 4 5 62 345 673 456 =7六年级第一学期NT能力训练：1、分数化成最分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝18 27 20 65 32 82、小数化成最分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、算：1) 51 2 ÷1 2 ＋ 71 3÷1 3 ＋ 914÷1 4 2005 2005 2005 20053 34 45 51 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)1 1 1 156 ＋72 ＋90＋1102222 25)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213) 1 1 1 1 18＋24＋48＋80＋120 1 5 11 19 1096) 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋⋯⋯＋ 1101111111 17)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990第二讲分数 1.2NT137 1531 631272555118) 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＋ 128 ＋ 256 ＋ 5121 1 1 1 1 19) 3 45 ＋ 4 56 ＋ 5 67 ＋ 6 78 ＋ 7 89 ＋ 8 9 10。

六年级分数简算——分数裂项

分数裂项分数裂项是分数加减法计算的逆向过程分数裂差a与b互质1a－1b＝1×b a×b－1×a b×a＝b－a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的差，那么这个分数就可以写成两个分数单位相减的形式。

b－a a×b＝b a×b－a b×a＝1a－1b分数裂和a与b互质1a＋1b＝1×b a×b＋1×a b×a＝b＋a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的和，那么这个分数就可以写成两个分数单位相加的形式。

b＋a a×b＝b a×b＋a b×a＝1a＋1b例1：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋⋯⋯＋19×10＝11－12＋12－13＋13－14＋14－15＋⋯⋯＋19－110＝1－110＝91021×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝1－111＝1011例3：11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝21×3×12＋23×5×12＋25×7×12＋27×9×12＋29×11×12＝12×21×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝12×11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝12×1－111＝12×1011＝511例4：31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋15＋16＝1＋12－12－13＋13＋14－14－15＋15＋16＝1＋16＝116+16+112+120+130+142+156+172+190+1110（1）12（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50（3）1－14＋120＋130＋142＋156（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11（5）12×5＋15×8＋18×11＋⋯⋯＋120×23（6）113－712＋920－1130＋1342－1556（7）712－920＋1130－1342练习答案：（1）12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＝1－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋19－110＋110－111＝1－111＝1011（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50＝11－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋149－150＝1－150＝4950（3）1－14＋120＋130＋142＋156＝1－14＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＝1－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＝1－18＝78（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11观察发现，每一个分数的分子都是2002，分母都是差值位2的两个数的乘积。

六年级第一讲分数裂项(含答案)

【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算
【解析】原式
18、计算：
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】原式
【关键词】第五届，小数报，初赛
【解析】原式
8、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】首先分析出
原式
9、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
10、计算：．
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
【解析】原式＝＋＋＋＋…＋
＝（）＋（）＋（）＋（）＝
14、 .
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，
原式
15、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
16、
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
17、计算：
原式
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
11、
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】原式
12、
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】原式
13
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

(完整版)六年级分数裂项法

1.2分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。

法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。

对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=-（2）等差数列求和公式：()n a a a a a a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①＝－)1(1+n n n 111+n ②＝×（－）)(1d n n +d1n 1d n +1裂项法：例1.计算：＋＋＋……＋211⨯321⨯431⨯100991⨯例2.计算：＋＋……＋110×11111×12159×60例3.计算：＋＋＋＋＋ 1216112120130142例4.计算：＋＋……＋110×11111×12119×20例5.计算＋＋……＋＋12×313×416×717×8例6.计算：1＋＋＋＋1216112120例7.计算：＋＋＋＋＋＋16112120130142156172例8.计算：＋＋＋＋＋311513516319911431例9.计算：11111144771010131316++++⨯⨯⨯⨯⨯例10.计算：22222315356399++++例11.计算：1111118244880120168+++++例12.计算：＋＋＋＋＋＋＋＋＋……＋＋＋……＋＋＋……＋11212221313233323110011002100100100991001例13.计算：1＋＋＋＋……＋211+3211++43211+++20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－）×（1－）×（1－）×……×（1－）220051220041220031221综合计算例1.计算:20042003200312005例2.计算:（××）÷（××）7519111161137695例3.计算:＋＋＋……＋98998999899999989999个例4.计算:（1＋）×（1＋）×（1＋）×（1＋）×（1－）×（1－）×（1－）21416181315171×（1－）91例5.计算:2004－1＋2002－3＋2000－5＋……＋4－2001＋2－200321312131213121312131例6.计算:（＋＋＋）÷（＋＋＋）971979719797971979797971861868618686861868686861例7.计算:= .⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211例8.计算:= .222345567566345567+⨯⨯+例9.计算:= .322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯例10.计算:= .4513612812111511016131+++++++例11.计算:= .()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291例12.计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ = ⎪⎭⎫⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211能力训练：1、分数化成最简分数：＝＝＝＝＝＝181227182046513328822、小数化成最简分数：0.75＝4.8＝1.25＝0.36＝3.2＝5.4＝3、计算：1)51÷1＋71÷1＋91÷13232434354542)＋＋＋15617219011103)＋＋＋＋1812414818011204)212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋……＋200520042005⨯5)212＋772＋1652＋……＋16772＋202126)21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9161121201301421561721908)21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋5125119)5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。

六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程;很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了;本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高;分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差;遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的;1对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即：知识点拨教学目标分数裂项计算1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有：裂差型裂项的三大关键特征：1分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是xx 为任意自然数的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算;2分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”3分母上几个因数间的差是一个定值;二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：111a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 22222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的;【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ; 考点分数裂项难度2星题型计算关键词美国长岛,小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以分母差分之一,如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯,计算过程就要变为：111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭．答案56考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-=例题精讲答案112考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 答案715考点分数裂项难度3星题型计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题;此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律;从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……, 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 答案991101考点分数裂项难度2星题型计算答案50101【巩固】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭考点分数裂项难度2星题型计算关键词2009年,迎春杯,初赛,六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=答案12考点分数裂项难度2星题型计算关键词2008年,台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭答案211532【巩固】计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12= 答案12【例 2】计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=考点分数裂项难度2星题型计算关键词2008年,101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）答案4289【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______考点分数裂项难度2星题型计算关键词2008年,第六届,走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：答案25考点分数裂项难度6星题型计算关键词2008年,第6届,走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111212312341234567 =+++++++++++++++++答案74【巩固】计算：111111111 2612203042567290 --------＝考点分数裂项难度3星题型计算关键词2006年,第4届,走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111111 () 223344556677889910 =-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案110【巩固】11111104088154238++++= ;考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111 255881111141417 =++++⨯⨯⨯⨯⨯答案534【例 3】计算：1111 135357579200120032005 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算关键词2005年,第10届,华杯赛,总决赛,二试【解析】原式1111111 4133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案100400312048045考点分数裂项难度3星题型计算关键词2007年,仁华学校【解析】原式791611111 18290113355779 133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯【例 4】计算：11111123420261220420+++++ 考点分数裂项难度3星题型计算关键词第五届,小数报,初赛【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭答案2021021【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270++++= ; 考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 答案51005054【巩固】计算：1122426153577++++= ____; 考点分数裂项难度2星题型计算答案11【巩固】计算：1111111315356399143195++++++考点分数裂项难度3星题型计算【解析】分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯,2154135=-=⨯,……,21951411315=-=⨯,所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案715【巩固】计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ．考点分数裂项难度3星题型计算关键词2008年,四中【解析】原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案198100考点分数裂项难度3星题型计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【巩固】计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案494919800【巩固】计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14113⨯－12123⨯＋14124⨯－12224⨯ ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032答案38625340032 考点分数裂项难度3星题型计算答案32009603考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案5124101考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭答案1192160考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案11396840【例 5】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2．相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列该数列的第n 个数恰好为n 的2倍,原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．答案2315【巩固】计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）考点分数裂项难度3星题型计算关键词2009年,迎春杯,初赛,五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以所以原式31115565155=⨯=．法二上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为a nd +,其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式,再将a 与nd 分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了．11223413112220311422055=-+-=-=, 所以原式31115565155=⨯=．法三本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式31115565155=⨯=．法四对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++2n =,3,……,9如果将分子21n +分成2n 和1,就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +,就是上面的法一．答案651【巩固】计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式：23154=⨯+,24264=⨯+,25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案75616考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案36287993628800考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案50395040【巩固】计算：23993!4!100!+++= . 考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案112100!-考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝11-13＋13-16＋16-110＋11225-11275＝12741275 答案12741275考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 2111(12)112=-⨯++,311(12)(123)12123=-+⨯+++++,……, 10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++,所以原式1112100=-+++答案50495050考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯答案155【例 6】 22222211111131517191111131+++++=------ .考点分数裂项难度3星题型计算关键词仁华学校【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+,原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案314【巩固】计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯,2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯,……所以,原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=答案2549【巩固】计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯答案6364【巩固】计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案9979971996【巩固】计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 2221310213+=-,2222420318+=-,22235344115+=-,……由于104233=,204288=,34421515=,可见原式222244442222213141991=++++----答案47511984950【巩固】计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-,241-,261-,……,21001-,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭答案6312101考点分数裂项难度3星题型计算答案310考点分数裂项难度3星题型计算关键词第三届,祖冲之杯,人大附中【解析】原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4答案4巩固计算：1325791011193457820212435++++++++=考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=答案5考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式12311111121133573445475667=++++++++++++答案334考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案127考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦答案10【巩固】计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案35考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式111111112111453445355646=+++++++++++答案3考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式1232341918192021919 (217362123431819201912020)=++++++++++=+⨯+= 答案193620考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =1200820082008120072007(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =1111()2008200720072015028⨯+=答案12015028【例 7】计算：11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度5星题型计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11491502550=+-= 答案4950【例 8】计算：24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯ 135134135135=答案135134135135【例 9】计算：28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭考点分数裂项难度5星题型计算【解析】 3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭921512133379192113399399-=-==⨯⨯ 答案379399。

六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

六年级+分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

六年级+分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

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