1.2.2第一课时 函数的表示法
1.2.2 函数的表示法 课件(第一课时 )(1)
5
x
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩 姓名 测试 序号
第1次
第2次
第3次 第4次 第5次 第6次
王伟 张成 赵磊
班级平均分
98 90 68 88.2
87 76 65 78.3
91 88 73 85.4
92 75 72 80.3
88 86 75
95 80 82
思考1：票价跟里程间的关系是不是函数关系？若 是，自变量是什么？定义域是什么？ 思考2：该函数用解 析法如何表示？ 设票价y元,里程x 公里，则
2, 3, y 4, 5,
0 < x 5, 5 < x 10, 10 < x 15, 15 < x 20,
思考3:该函数用列表法怎样表示？ (0,5] 里程x （公里） (5,10] (10, 15] (15,20]
图象 能形象直观地表示出函数的变化 法 情况
例3、画出函数y x的图像。
x ,x0 解： y x y x , x 0
1
0
1
x
例4：公共汽车的票价按下列规则制定: (1)在5公里以内(含5公里),票价2元; (2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元（不足5公里按5公里计算). 若总里程为20公里,请回答以下几个 问题。
1、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的 图象如所示，那么水瓶的形状是( B )
2、等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则(
A．y＝10－x(0＜x≤10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D B．y＝10－x(0＜x＜10)
第一章 1.2 1.2.2 第一课时 函数的表示法
答案：A
返回
2．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出．
x f(x)
1 2
2 1
3 1
x g(x)
1 3
2 2
3 1
(1)f[g(1)]＝________；
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝________.
返回
解析：(1)由表知 g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知 g(2)＝2，又 g[f(x)]＝2，得 f(x)＝2， 再由表知 x＝1.
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而 乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
返回
2.函数 y＝f(x)的图象如图， f(x)的定义域 则 是 A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) ( )
解析：由图象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
返回
例：求下列函数的解析式： 1＋x 1＋x2 1 ①已知 f( x )＝ 2 ＋x，求 f(x)； x ②已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1＋x 1 1 解：①法一：(换元法) 令 t＝ x ＝x＋1，得 x＝ ， t－1
1＋x 1＋x2 1 1 则 t≠1.把 x＝ 代入 f( )＝ 2 ＋ ，得 x x x t－1 1 2 1＋ t－1 1 f(t)＝ ＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 1 2 1 t－1 t－1 ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
返回
法二：(配凑法) 1＋x 1＋x2＋2x－2x 1 ∵f( x )＝ ＋x x2 1＋x 2 1＋x－x ＝( x ) － x 1＋x 2 1＋x ＝( x ) － x ＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1. 1＋x 1 又∵ x ＝x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
人教高中数学必修1课件：1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法精讲优练课型
1.2. 2函数的表示法第1课时函数的表示法【即时小测】1 •思考下列问题: ⑴所有的函数都能用列表法来表示吗?提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y二2x+l f xe R.因为自变量X w R不能一一列出，所以不能用列表法来表示•(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?提示:函数的走义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候L般要写出函数的定义域.2・已知函数f(x)由下表给出:则f(f(2))= ____________【解析】由表格可知十⑵二4所以f(f⑵)=f⑴二0・答案：03・CU咨 f (x —l)"(x —l)2』=f(X)3晝聖【sm ffiXIlHbpMIXHt+l、s u w (t T t 2・0H (x T x 2・嘯4.已知函数y=f (x)的图象如图所示,则其定义域是3~~03^【解析】因为函数y二f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是[23]，所以其定义域为[么3]・答案:[23]5.已知f (n) =2f (n+1), f (1) =2,则f (3)= 【解析】f(n) = 2f(n + l),f(l) = 2, 所以俭)= 2f(2)=4f⑶，故f⑶二( 答案：2 2【知识探究】知识点函数的三种表示方法观察如图所示内容，回答下列问题：（函数的表示方法）——（图象法）问题1 ：应用三种方法表示函数时应注意什么问题?问题2:函数的三种表示方法各有什么优缺点?【总结提升】1 •对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示•在应用三种方法表示函数时要注意：⑴解析法:必须注明函数的定义域(2)列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.⑶图象法:是否连线.2.函数三种表示方法优缺点比较"能形象、直观地表示壓函数的变化情况点 小、 只能近似求出自变量所对应的函数值，而 R 有时误差较大 K ____________ /【题型探究】类型一待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(X)是一次函数，且f (f (x)) =4x+3,则函数f(X)的解析式为_____________ ■2.已知二次函数y=f (x)的最大值为13,且f(3)=f(-l)=5,求f (x)的解析式.【解题探究】1•典例1中一次函数解析式的形式是什么? 提示:一次函数解析式的形式为f(x)二ax+b (a工0) •2.典例2中二次函数的一般形式是什么?提示:二次函数的一般形式是f(x)二ax?+bx+c (a H 0) •【s s】l ・ffi f (x T ax +b (a H O )・ m=f (fH +b T爾糊f s H 2X +一烘f (X)H —w x —w2•方法一:利用二次函数的一般式求解.设f(x)=ax2+bx+c(a^0).由条件知，点⑶5),(也5),("3)在f(x)的图象上9a+3b+c = 5, fa = -2所以a — b+c = 5,所以f的斤邂时x+lg = ii方法二:利用二次函数的顶点式求解.由f(3)=f(・l),可知:对称轴为x“，又最大值为D故可设f(x)二a(x・l)2+13.将f⑶=5代入得a=2・所以f(x) = -2(x-l)2+13jpf(x) = -2x2+4x+ll.【方法技巧】待定系数法求函数解析式(1)适用范围：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数.(2)待定系数法求函数解析式的步骤:①设出所求函数含有待定系数的解析式;③解方程或方程组,得到待定系数的值；④将所求待定系数的值代回所设解析式.【变式训练】已知二次函数f (X )的图象过点A(0, -5), B (5, 0),其对称 轴为x=2,求其解析式.【解析】因为抛物线的对称轴为x=2, 所以设二次函数的解析式为f(x)=a(x-2)2+k(a^O).把(0,-5),(5,0)分别代入上式得丽劇嗨斛*9・ 龈敲MX 』"，类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例】求满足下列条件的函数f(x)的解析式.(1)函数f(X)满足f ( +l)=x+2 .(2)函数f (x)满足2f 占)+f (x) =x《HO).1X【解题探究】1.典例⑴中的5 +1)中的低+1与x+2低能否建立联系?提示:典例⑴中的X+2 =( +1)2-1.2 •典例(2)中x和有越关爲1提示:互为倒数关黍・(1£)「益(3欝“人1:埠只Ig lx V ^.J (T :+r (T +)J M £ V0+x只因：(+s2e H +s g(一丄jpex) J XH (X )J E5£ rH」u z +z(I £H e 4M £"(IeHxliio 存g芥企 叟+W IK ®l 4W 运(I⑵由题意知f(x) + 2f( i=x f令X二(tHO) fx t则i=t f则f(卅2f(t)二a即班？+2f(x)・(于是得剧关于f(肯f(x)的方程自—i ■x X Xf(x) + 2f』) =xf(-) + 2f(x) = I 2 x1解得f(x)拄-°)・XXX【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f(+l)=x+2 “f(2x-l)p2+x+l”，则f(x)的解析式是什么？【解析】设2x-l=t f则X二t+1所以f(t)二亍Q nX/、t+1 ° t+1 7即f(x)二一r+一+i 二一+t+—.2 2 4 41 97一x~+x -一・4 42.(变换条件)典例(1)中若将条件“f (低+ l)=x+2低”变为“f(l+ 1 )=i+x21 ”，则f(x)的解析式是什么？【解析】平(1 + * X1+?]因為寻岂占诫溜胡析幽)+hf(x)=x24c+ 1 , XG(-OO f 1) U (1 , +8).X【方法技巧】换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路⑴已知f (g (x)) =h (x),求f (x),常用的有两种方法：①换元法，即令t=g (x),解出禺代Ah(x)中,得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意:换元后新元的范围②配凑法，即从f (g(X))的解析式中配凑出即用g(x)来表示h (x),然后将解析式中的g (x)用x代替即可.(2)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.【补偿训练】已知f(x-l)=xMx-5,则f(x)的解析式是()【解析】选A.方法一:设t 二则x=t+l,因为f(x-l)=x2+4x ・5, 所以 f(t) = (t+l)2+4(t+l)-5=t 2+6t ff (x)的解析式是f (x)=x 2+6x.方法二:因为 f (x-1)=x 2+4x- 5=(x-1)2+6 (x-1),所以 f(x)=x 2+6x. 所以f (X )的解析式是f (X )二x2+6x.A. f (x) =x 2+6xC. f (x) =x 2+2x-3 B. f (x) =x 2+8x+7 D. f (x) =x 2+6x-10类型三函数的图象及其应用【典例】作出下列函数的图象:(1)y=2x+l, x G [0, 2]・(2)y=x2-2x, x E [0, 3) •(3)y=.【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象? 提示:典例中函数的图象可通过描点法来画.1X【解析】⑴当x=0时"二1;当x=2时"二5・所画图象如图(1)所示.⑵因为0<x<3f所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0«xv3 之间的一部分，如图(2)所示.⑶函数图象如图⑶所示・图(1)----------- i―I——>0 2 X图⑵图⑶【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点(1)步骤：①列表:取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示;②描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;③连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象・(2)关注点:①画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等•要分清这些关键点是实心点还是空心点.【变式训练】作出函数尸x2-2x-2, xG [0, 3]的图象并求其值域.【解析】因为y=（x-l）2-3f所以函数y二x^2x・2的对称轴为x=4顶点为（1厂3）涵数过点（0厂2）®）,具图象如图所示.由图象知函数的值域为[乜1]・• -1 - •【补偿训练】画出函数图象:y=x2-2, xWZ且|x| W2・【解析】因为y=x2・2,xwZ且|x|s2,所以x二・2厂:L,0丄2;对应y的值为2・—2厂12图象如图:\y■-2 -1 0 1 2*■2r • -1 - •易错案例换元法求函数解析式【典例】已知f (x 2+2) =x 4+4x 2,则f (x)的解析式为_严识$【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错哪里吗?)专牛十44，d'化力十？ mt"提示:错误的根本原因是忽略了函数f(x)的走义域上面的解法看上去似乎是无懈可击撚而从具结论间f(x)二x?・4来看，并未注明f(x)的走义域，那么按一般理解，就应认为直走义域是全体实数.但是f(x)=x2・4 的定义域不是全体实数.【自我矫正】因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2・4, 令t=x2+2(tn2),则f (t)=t2-4(t>2)f所以f(x)=x2・4(xn2).答案:f(x)=x2-4(x>2)【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成•所以, 当函数f (g (x)) 一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定•因此，我们由f (g (x))求f (x)时,求得的f (x)的定义域就理应与f (g (x))中的f的“管辖范一致才妥. 围”课时撮井作此/点击进入Word版可编辑套题。
高中数学课件-1.2.2 函数的表示法(一) - 课时1
合作探究（对学、群学）
例 1. (1)已知 f(x)＝ x2 ，求 f(1),
f(2) , f(a),f(x－1)；
解：（代入法）
f (x 1) (x 1)2 x2 2x 1
练习：(2)已知 f(x+2)＝ 2x2 x ，求
f(x)；
(2)已知 f(x－1)＝x2 x ，求 f(x)；
1 (4)已知 f(x)＋2f(－x)＝ ，求f(x)， 解：（解方程组法） x
练习：已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)，
解：（解方程组法）(或叫消元法) 由题意得:
2 f (x) f (x) 3x 2
2 f (x) f (x) 3(x) 2
把 f(x)和f(－x)看成未知数，×2-
（1） f (x 1) x2 1 ;
x
x2
解：配凑法
f
(x
1) x2 2 x 1
x
(x
1
)2
x
2
1 x2
2
x
∴ f (x) x2 2
（2） f (x) 2 f (1) 3x;
x
（解方程组法）由题意得
f
(x)
2
f
(1) x
3x
f
(
1 x
)
2
f
(x)
3(
1 x
)
把 f(x)和f(－x)看成未知数，×2-
(2)已知 f(x－1)＝x2 x ，求 f(x)；
法二:(换元法)
设 x－1＝t ，则 x＝t＋1，
f t t 12 t 1
∴ f (x) x2 2x 1
法二:(换元法)已知 f ( x 1) x 2 x
解：设t x 1,t 1,则 x t 1, x (t 1)2,
人教版必修一1.2.2函数的表示法课件
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较
优点
缺点
解 析 法
一是简明、全面地概括了变量 间的关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量所对应 的函数值
不够形象、直观，而且并 不是所有的函数都可以用 解析式表示
列 表 法
不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值
例：求下列函数的解析式： (1)已知f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求f(x)； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)．
解：(1)法一：(换元法) 令t＝1＋x x＝1x＋1，得x＝t－1 1，则t≠1. 把x＝t－1 1代入f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得
f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
y 0 －1 0 3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[类题通法] 1．作函数图象的三个步骤 (1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描 出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来． [注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应 该是关键处的点．
s_t函数图象与故事情节相吻合的是
()
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的 路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义
域是
()
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
1.2.2 函数的表示法 第一课时 课件(人教A版必修1)
图象法
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
课前自主学习
课堂讲练互动
1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
高中数学必修1课件第一章 1.2.2 第1课时
课
栏 目
A．f(x)＝x2－1
开 关
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
练一练·当堂检测、目标达成落实处
本 课
答案
D
栏 目
解析
由二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，可
开 关
排除 A、B；又图象过点(0,0)，可排除 C.D 项符合题意．
1．2.2 函数的表示法
第 1 课时 函数的表示法
本
课 栏
【读一读学习要求，目标更明确】
目 开
1．了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式
关
表示函数；
2．提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力．
【看一看学法指导，学习更灵活】
本 课
学习函数的表示形式，不仅是为了研究函数的性质和应
栏
目 用的需要，而且是为加深对函数概念的理解，让学生感受到
解析 ∵g(x＋2)＝f(x)，f(x)＝2x＋3，∴g(x＋2)＝2x＋3.
令 t＝x＋2，则 x＝t－2，∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 即 g(x)＝2x－1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，且
本 过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
即 2ax＋a＋b＝2x， ∴a＝1，b＝－1，从而 f(x)＝x2－x.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式通常用什么
本
课 栏
方法？这种方法的具体做法是怎样的？
目 开
答 通常用换元法．即令 g(x)＝t，反解出 x，然后代入 f(g(x))
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》课件(共23张PPT)
的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
1.2.2函数的表示法 第1课时
如何利用规律实现更好记忆呢？
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
工具
（图片来自网络）
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
费曼学习法-实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
高中数学人教A版必修一课件：1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法
(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)y= 2 ,x∈[2,+∞);
x
解:(2)列表
x y 2 1 3
2 3
4
1 2,+≦)时,图象是反比例函数 y=
2 的一部分,观察图象可知其值域为(0,1]. x
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
解:(3)列表 x -2 -1 0 1 2
自我检测
1.(解析法)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( (A)f(x)=3x-1 (C)f(x)=3x+2 (B)f(x)=3x+1 (D)f(x)=3x+4
3 1 ,则 f( )等于( x a
A )
2.(解析法)已知函数 f(x)= (A)
1 a
D
)
(B)
3 a
(C)a
(D)3a
表示两个变量之间的对应关系. 来表示两个变量之间的对应关系.
列出表格
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散点等等.
【拓展延伸】 图象的作法 (1)描点法.作图步骤是:列表、描点、连线. (2)图象变换法. (ⅰ)平移变换. ①形如y=f(x+a),把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移 |a|个单位,就得到y=f(x+a)的图象. ②形如y=f(x)+a,把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a>0)或向下(a<0)平移 |a|个单位,就得到y=f(x)+a的图象. (ⅱ)对称翻转变换. ①形如y=f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
x
(2)当x∈R时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1.故函数值域为[-1,+≦).
高一数学必修1公开课课件1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
1．函数的三种表示方法的优缺点比较
优点 一是简明、全面地概括 解 了变量间的关系；二是通过 析 解析式可以求出任意一个自 法 变量所对应的函数值 列 不需要计算就可以直接 表 看出与自变量的值相对应的 法 函数值
缺点 不够形象、直观、具 体，而且并不是所有 的函数都能用解析式 表示出来 它只能表示自变量取 较少的有限值的对应 关系
【变式练习】
1. 画出下列函数的图象:
(1) f (x) 2x,x R,且 x 2； (2) f (x) x 2,(x N,且 x 3);
解：（1） y
4
•
2
（2）
2 1 O 1 2
x
2
• 4
2.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的 站数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价y 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1.5 1.5 1.5
例4 已知 f (x 1) x2 2x 2 ，求 f (x).
解：令t = x +1,则x = t-1
∴ft = t-12 +2t-1 +2 = t2 +1
换元法
f x = x2 +1
适合：已知f(g(x))的解析式,求f(x).
例5 已知 3 f (x) 2 f (1) x(x 0)，求 f (x).
－5＝4a＋k 0＝9a＋k
，解得ak＝ ＝1－9
，
所以解析式为 y＝(x－2)2－9.
[点评]
求二次函数解析式时， (1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式 f(x)＝a(x－m)2 ＋n(a≠0)； (2) 若 已 知 f(x) 过 三 点 ， 常 设 一 般 式 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)； (3)若已知 f(x)与 x 轴两交点横坐标为 x1、x2，常设分解式， f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《1.2.2 函数的表示法》课件
人 教 Ａ
解：(1)∵f(x＋1x)＝x3＋x13＝(x＋1x)3－3(x＋1x)， ∴f(x)＝x3－3x(x≥2 或 x≤－2)．
版
(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
必 修 一
则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
·
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
Ａ
对应 关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学
版
必 表达式叫做函数的解析式．
修
一
·
新 课 标
·
数 学
温馨提示：解析法有两个优点：一是简明、全面地概
人 教
括了变量间的变化规律，二是可以通过解析式求出任意一
Ａ 个自变量所对应的函数值．缺点是并不是任意函数都可用
版 必 解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析
Ａ
版
()
必 修
A．同一函数
一
B．定义域相同的两个函数
·
新
C．值域相同的两个函数
课 标
D．图象相同的两个函数
·
数
解析：y＝f(x)与y＝f(x＋1)的自变量发生变化，而函数
学 的值域却没发生变化，故选C.
答案：C
2．可作为函数y＝f(x)的图象的是
()
人 教
解析：判断图象是否可以表示函数y＝f(x)的图象，关
人
教
Ａ
版
必
修
一
高中新课程数学（新课标人教A版）必修一《1.2.2 函数的 表示法》课件
新 课 标
·
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一
·
新
1.2.2函数的表示法(第1课时)
1.2.2函数的表示法（一）
1、某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西
红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题
.
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
2、下图中可作为函数y = f (x)的图象是（）
3、函数||x
y x
x
=+的图象为下图中的（）
4、作出下列函数的图象：（1）y = |x– 1| + 2 |x– 2|；（2）y = |x2– 4x + 3|.
1。
1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法
1．2.2函数的表示法第1课时函数的表示法明目标、知重点了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.自主学习1．函数的三种表示法(1)解析法——用表示两个变量之间的；(2)图象法——用表示两个变量之间的；f x为纵坐标就得到一个点，当自变量取完定义（以自变量x为横坐标，以对应的函数值()域内所有值时，即可得到函数图像。
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．）(3)列表法——列出来表示两个变量之间的．2．(了解)函数三种表示法的优缺点例题解析探究点一函数的表示方法例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．探究点二如何求函数的解析式例2已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．反思与感悟本题已知函数类型，故可用待定系数法求解．即设出函数关系式，代入已知条件，建立关于x的恒等式求解．跟踪训练2（1）已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)的解析式（2）已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．例3已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．反思与感悟利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的取值范围，即所求函数的定义域．跟踪训练3．已知f (1x )＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋x x C ．f (x )＝x 1＋xD ．f (x )＝1＋x 例4 已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为。
跟踪训练4：已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (－x )＋x ，则f (x )的解析式为。
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1.2.2 函数的表示法
第一课时函数的表示法
【选题明细表】
1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( D )
(A)y=2x
(B)y=2x(x∈R)
(C)y=2x(x∈{1,2,3,…})
(D)y=2x(x∈{1,2,3,4})
解析:题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.
2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( C )
(A)这天15时的温度最高
(B)这天3时的温度最低
(C)这天的最高温度与最低温度相差13℃
(D)这天21时的温度是30℃
解析:这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14℃,故C错.
3.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是( A )
(A)f(x)=x2+6x
(B)f(x)=x2+8x+7
(C)f(x)=x2+2x-3
(D)f(x)=x2+6x-10
解析:法一设t=x-1,则x=t+1,
因为f(x-1)=x2+4x-5,
所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
法二因为f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1),
所以f(x)=x2+6x,
所以f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
故选A.
4.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( A )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析:对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确.
5.已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=-f(x)的图象一定过点( D )
(A)(2,-2) (B)(2,2) (C)(-4,2) (D)(4,-2)
解析:因为函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),
所以f(4)=2,
所以函数y=-f(x)的图象一定过点(4,-2).故选D.
6.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为( D )
(A)y=20-2x (B)y=20-2x(0<x<10)
(C)y=20-2x(5≤x≤10) (D)y=20-2x(5<x<10)
解析:由题意得y+2x=20,
所以y=20-2x,
又2x>y,即2x>20-2x,即x>5,
由y>0即20-2x>0得x<10,
所以5<x<10.故选D.
7.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(3)= .
解析:法一因为f(2x+1)=x2-2x,
设2x+1=t,则x=,
所以f(t)=()2-2×=t2-t+,
所以f(3)=×32-×3+=-1.
法二因为f(2x+1)=x2-2x,令2x+1=3,
解得x=1,
所以f(3)=12-2×1=-1.
答案:-1
8.已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)= .
解析:由已知得g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2,代入g(x+2)=2x+3,
则有g(t)=2(t-2)+3=2t-1.所以g(x)=2x-1.
答案:2x-1
9.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,且f(x)=x 有唯一解,求函数y=f(x)的解析式和f(f(-3))的值.
解:因为f(2)=1,所以=1,
即2a+b=2,①
又因为f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,
所以ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,
所以Δ=(b-1)2=0,即b=1.
代入①得a=.
所以f(x)==.
所以f(f(-3))=f()=f(6)==.
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,则f(-3)等于( B )
(A)12 (B)6 (C)3 (D)2
解析:令x=y=0,得f(0)=0;
令x=y=1,得f(2)=2f(1)+2=6;
令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)+4=12;
令x=3,y=-3,得0=f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=12+f(-3)-18,
所以f(-3)=6.故选B.
11.(1)已知f(+2)=x+1,求f(x);
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解:(1)已知f(+2)=x+1,
令t=+2,(t≠2)
则x=.
那么f(+2)=x+1转化为f(t)=+1=(t≠2),所以f(x)=(x≠2).
(2)f(x)是一次函数,设f(x)=kx+b(k≠0),
因为3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
则有3(kx+k+b)-2(kx-k+b)=2x+17.
化简得kx+5k+b=2x+17,由
解得k=2,b=7.
所以一次函数f(x)=2x+7.
12.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为
y=ax+.且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过20件.
(1)写出函数y关于x的解析式;
(2)用列表法表示此函数,并画出图象.
解:(1)将
代入y=ax+中,
得⇒⇒
所以所求函数解析式为y=x+(x∈N,0<x≤20).
(2)当x∈{1,2,3,4,5,…,20}时,列表:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 8 19 20 y 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.3 28.5 28.9 29.3 29.8 依据上表,画出函数y的图象如图所示,是由20个点构成的点列.。