若干笛卡尔乘积图的平衡指标集

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n个集合笛卡尔积-概念解析以及定义

n个集合笛卡尔积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：集合是数学中重要的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

而笛卡尔积则是集合论中的一个重要概念，它是两个集合成对的元素组成的集合。

在本文中，我们将讨论n个集合的笛卡尔积，这是对笛卡尔积概念的推广和扩展。

本文将从集合的概念和笛卡尔积的定义开始，然后详细讨论n个集合的笛卡尔积，并探讨其应用和意义。

最后，我们将展望该概念可能的发展方向。

通过本文的阐述，读者将对n个集合的笛卡尔积有一个更加深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。

1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分中，将会对本文的主要内容进行概述，并介绍文章结构以及写作的目的。

在正文部分中，将深入讨论集合的概念，笛卡尔积的定义，以及n个集合的笛卡尔积。

最后，在结论部分中，将对本文的主要内容进行总结，探讨其应用和意义，并展望未来可能的研究方向。

通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和逻辑发展。

1.3 目的目的部分的内容应该阐明本文的写作目的和意义，可以包括以下内容：1. 引起读者对n个集合笛卡尔积的兴趣，激发读者的求知欲和思考欲。

2. 解释为什么了解n个集合的笛卡尔积对于数学和计算机科学是重要的，以及在现实生活中的一些应用。

3. 引导读者对文章内容的主要讨论点和结论进行预期，帮助读者在阅读过程中更好地理解和吸收文章内容。

4. 可以突出本文的贡献和创新之处，强调写作本文的动机和意义。

2.正文2.1 集合的概念在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的。

这些元素可以是数字、字母、符号，甚至其他集合。

集合的概念是数学中非常基础的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。

集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等，而其中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。

集合可以用不同的方式描述，比如列举法、描述性定义、图示法等。

集合的特点包括互异性（集合中的元素各不相同）和无序性（集合中的元素没有顺序之分）。

笛卡尔乘积

笛卡尔乘积百科名片笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。

假设集合A= {a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。

可以扩展到多个集合的情况。

类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

目录序偶与笛卡尔积程序代码展开序偶与笛卡尔积程序代码展开名称定义序偶定义由两个元素x和y（x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。

有序对<x，y>；具有以下性质：1.当x≠y时，<x，y>≠<y，x>[1].2.<x,y>=<u,v>；的充分必要条件是x=u且y=v.这些性质是二元集{x，y}所不具备的。

例如当x≠y时有{x，y}={y，x}。

原因在于有序对中的元素是有序的，而集合中的元素是无序的。

例：已知<x+2,4>=<5,2x+y>；，求x和y。

解：由有序对相等的充要条件有 x+2=5和2x+y=4 联立解得 x=3，y=-2.笛卡尔积定义设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.笛卡尔积的符号化为：AxB={<x,y>|x∈A∧y∈B}例如，A={a,b},B={0,1,2},则AxB={<a,o>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>,}BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}笛卡尔积的运算性质1.对任意集合A，根据定义有AxΦ =Φ，Φ xA=Φ2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）3.笛卡尔积运算不满足结合律，即（AxB)xC≠Ax(BxC）（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即Ax(B∪C)=(AxB）∪（AxC)(B∪C)xA=(BxA）∪（CxA)Ax(B∩C)=(AxB）∩（AxC)(B∩C)xA=(BxA）∩（CxA)推导过程给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。

证明笛卡尔积对交运算有分配律

证明笛卡尔积对交运算有分配律笛卡尔积是数学中的一个重要概念，它指的是将两个集合中的元素按照顺序组合在一起所得到的一个集合。

在集合的运算中，笛卡尔积是一个非常基础的构造，它可以帮助我们更好地理解集合的运算，特别是在集合交运算中，笛卡尔积也有着非常重要的应用。

在集合的运算中，交运算是指对于两个集合A和B，它们的交集是指同时属于A和B的元素所构成的集合，用符号“∩”表示，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。

而对于两个集合A和B的笛卡尔积，它们的交集也有着特殊的性质，即满足分配律。

分配律是数学中的一个基本概念，它指的是在进行运算时，括号内的内容可以先进行运算，而运算的结果再进行外层运算的过程。

换句话说，分配律是指在进行两个运算时，可以先分别进行其中一个运算，再把两个运算的结果组合在一起进行另一个运算。

在集合中，“分配律”主要指的是集合运算符号的交运算、并运算、差运算的分配律。

对于笛卡尔积对交运算有分配律的证明，可以通过以下步骤进行推导。

1.定义集合A、B、C和X假设A、B、C是三个任意的集合，即A、B、C∈X，其中X表示任意的集合。

则A×B表示A和B的笛卡尔积，即A和B中的元素按照顺序组合在一起而得到的集合，同理，B×C表示B和C的笛卡尔积。

2.交换律的运用由于交换律的运用是无任何影响的，因此在运用分配律时，可以随意调换集合的顺序。

因此，我们可以将两个笛卡尔积交换顺序，即(A×B)∩(B×C)=(B×C)∩(A×B)。

3.展开笛卡尔积的定义(A×B)∩(B×C)表示由符合以下两个条件的元素序列所组成的集合：①该元素序列属于A×B；②该元素序列属于B×C。

同样，(B×C)∩(A×B)表示由符合以下两个条件的元素序列所组成的集合：①该元素序列属于B×C；②该元素序列属于A×B。

二元关系

第二章
二元关系
例：（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。（2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。（3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。解：（1）A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}。（2）B×A={c，d}×{a，b}={<c，a>，<c，b>，<d，a>，<d，b>}。（3）（A×B）={a，b}×{1，2}={<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>}。（A×B）×C ={<<a，1>，c>，<<a，2>，c>，<<b，1>，c>，<<b，2>，c>} B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。 A×（B×C）={<a，<1，c>>，<a，<2，c>>，<b，<1，c>>， <b，<2，c>>}。
第二章
二元关系
例2： A={武汉，长沙，成都} B={黄石，常德，岳阳，遵义} 考虑A到B的同省关系：则同省关系可以表示为： {武汉, 黄石，长沙, 常德，长沙, 岳阳}
例3：设 A = {1, 2, 3, 4}.定义A 上的关系.则该关系可以表示为： {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.

Cluster与Corona乘积图的hyper-Wiener指标

昌吉学院学报
２０１３年第４期Ｃｌｕｓｔｅｒ与Ｃｏｒｏｎａ乘积图的ｈｙｐｅｒ－Ｗｉｅｎｅｒ标
罗朝阳孙德荣。蔡华
（１，２，３．昌吉学院数学系新疆昌吉
摘
８３１１００）
要：分别给出了两个连通图Ｇ和Ｈ的Ｃｌｕｓｔｅｒ－￣Ｃｏｒｏｎａ乘积Ｇ｛Ｈ｝和ＧＨ的ｈｙｐｅｒ — ｗｉｅｎｅｒ指标的精确表达式及其应用例子．
７２
昌吉学院学报
２０１３年第４期
Ｎ。），则
＝Ｉ Ⅳ 。１．图Ｇ中任意两点ｕ和之间的距离ｄｃ（ｕ，表示ｕ和间的一条最短路的边数．
关键词：Ｈｙｐｅｒ — Ｗｉｅｎｅｒ￣，，Ｃｌｕｓｔｅｒ乘积，Ｃｏｒｏｎａ乘积，连通图中图分类号：０１５７．５，０１５７．６文献标识码：Ａ文章编号：１６７１ — ６４６９（２０１３）０４ — ００７２ — ０５
等人及Ｓｔｅｖａｎｏｖｉｃ们确定了一些合成图的Ｈｏｓｏｙａ多项式．张和平等人门计算了连图，Ｃｌｕｓｔｅｒ乘积罔和Ｃｏｒｏｎａ乘积图的Ｋｉｒｃｈｈｏｆ指标．本文给出了连通图Ｇ和日的Ｃｌｕｓｔｅｒ乘积和Ｃｏｒｏｎａ乘积Ｇ｛和Ｇ。Ｈ
ｒ指标Ｗ，ｈｙｐｅｒ — Ｗｉｅｎｅｒ指标唧，Ｒａｎｄｉｃ指标Ｒ，Ｈｏｓｏｙａ指标Ｚ，Ｓｚｅｇｅｄ指标＆和点、边指标Ｐ，．，和Ｐ以及它们的改进版和变体等，已经在许多化学类研究文献中被定义，这些拓扑指标的许多数学性质也在数学类文献中被研究。同时发现那些基于图中点度和距离的拓扑指标在物理化学建模、药理学、毒理学、生物学和纳米材料学、化合物的其它性质的研究以及ＱＳＰＲ和ＱＳＡＲ分析中分子螺旋形态的表征等方面都有重要的应用．

numpy 笛卡尔乘积

numpy 笛卡尔乘积numpy库是Python中常用的科学计算库之一，它提供了一个强大的多维数组对象和一系列用于处理这些数组的函数。

其中，笛卡尔乘积是numpy中一个非常重要的概念，本文将围绕着numpy的笛卡尔乘积展开讨论。

1. 什么是笛卡尔乘积？笛卡尔乘积，又称直积，是集合论中的一个操作，用于生成多个集合所有可能的组合。

在numpy中，笛卡尔乘积是指两个或多个数组之间的乘积运算，得到的结果是一个新的数组，其中的每个元素都是原数组中元素的组合。

2. numpy中的笛卡尔乘积函数numpy库提供了两个函数用于计算笛卡尔乘积，分别是`numpy.meshgrid`和`numpy.mgrid`。

这两个函数的作用是生成坐标矩阵，用于描述多维空间中的点。

3. `numpy.meshgrid`函数`numpy.meshgrid`函数接受一系列的一维数组作为输入，返回一个多维数组，数组的维度等于输入数组的个数。

返回的多维数组中，每个维度上的元素都是输入数组中对应维度上的元素的复制。

4. `numpy.mgrid`函数`numpy.mgrid`函数接受两个表示范围的参数，并返回一个多维数组，数组的维度等于参数的个数。

返回的多维数组中，每个维度上的元素都是在对应范围内均匀分布的。

5. 举例说明假设我们有两个一维数组a和b，分别表示两个集合{1, 2, 3}和{4, 5}，我们可以使用`numpy.meshgrid`函数计算它们的笛卡尔乘积：```pythonimport numpy as npa = np.array([1, 2, 3])b = np.array([4, 5])A, B = np.meshgrid(a, b)print(A)print(B)```输出结果为：```[[1 2 3][1 2 3]][[4 4 4][5 5 5]]```可以看到，通过`numpy.meshgrid`函数，我们得到了两个新的数组A和B，它们的维度与输入数组的个数一致，每个维度上的元素都是输入数组中对应维度上的元素的复制。

主要内容有序对与笛卡儿积二元关系的定义与表示法关系的运

R[{1}]， R[] ， R[{3}]
R↾{1} = {<1,2>,<1,3>} R↾ = R↾{2,3} = {<2,2>,<2,4>,<3,2>}
R[{1}] = {2,3} R[] = R[{3}] = {2}
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关系运算的性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1= ranF, ranF1= domF
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关系运算的性质
定理7.5 设F 为关系, A, B为集合, 则
(1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B
(2) F [A∪B] = F [A]∪F [B]
(3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B
(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]
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证明
证只证 (1) 和 (4). (1) 任取<x,y>
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A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}
R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系.
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>. 有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是

2.5集合的笛卡尔乘积

序偶的性质2011110离散数学由二重组相等的定义容易推得两个由二重组相等的定义容易推得两个由二重组相等的定义容易推得两个由二重组相等的定义容易推得两个n重组重组重组重组相等当且仅当相等当且仅当相等当且仅当例如由二重组相等的定义得再由二重组相等的定义得abde当且仅当adbe
离散数学
Discrete Mathematics
我们通常需要由集合族A1,A2,…,An 的元素生成的所有n 重组, 因而有以下定义。
2011-1-10
离散数学
4
定义 2.5-2
(1) 集合 A 和 B 的叉积叉积记为 A×B, 是二重组集合叉积
n
{〈a,b〉|a∈A∧b∈B} 。
i =1
(2) 集合 A1,A2,…,An 的叉积记为
图 2.5-2
2011-1-10 离散数学 8
笛卡儿积的性质
非交换: A×B ≠ B×A (除非 A=B ∨ A=∅ ∨ B=∅) 非结合: (A×B)×C ≠ A×(B×C) (除非 A=∅ ∨ B=∅ ∨ C=∅) 其他: A×B=∅ ⇔ A=∅∨B=∅等
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离散数学
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定理2.5-1 如果A、B和C都是集合, 那么以下的分配律 (a) A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (b) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (c) (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C) (d) (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
所以, A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。
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离散数学
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定理2.5-2 如果所有Ai(i=1,2,…,n)都是有限集合, 则 |A1×A2×…×An|=|A1|·|A2|·|A3|…｜An| 证 n=1时, |A1|=|A1|显然成立。对n≥2用归纳法证明。 n=2时, 设|A1|=p, |A2|=q, A1中的每一个元素与A2中的q个不同元素可构成q个不同序偶, 故共可构成pq个不同序偶, 所以 |A1×A2|=pq=|A1|·|A2|

三类笛卡儿积图的完美匹配计数

三类笛卡儿积图的完美匹配计数笛卡尔积图是一种高效的数学模型，它可以被应用于多种不同的工具和程序中。

它是以完美匹配为基础的，可用于模式识别、计算机视觉、数据挖掘等多种应用场景。

近年来，随着计算机技术的发展，笛卡尔积图已经被广泛用于数据挖掘、图像处理、系统的设计等方面。

在数据挖掘领域，笛卡尔积图的分析作为一种重要工具，能够帮助我们快速探索数据中的规律和特征。

笛卡尔积图展示了两个变量之间的关系，因此它可以用于一些具有多个变量的任务中。

今天，我们将讨论一种新型的笛卡尔积图，即“三类笛卡尔积图”，该图可以为数据挖掘任务提供完美的对应匹配。

在这种图中，有三个类别，而每个类别又有若干个变量，每个变量的值将影响两个变量之间的匹配关系。

完美匹配是一种优质的数据匹配方法，可以被用于一些复杂的任务中。

它有助于梳理经常容易混乱的信息，并为更深入的数据挖掘提供有力的支撑。

那么，完美匹配有什么作用呢？完美匹配能够帮助我们快速和准确地计算两个变量之间的关系，这可以极大提高数据挖掘的效率。

以此为基础，我们可以快速探索数据中的规律和特征，并从中提取出可用于实际应用的有效信息。

此外，完美匹配还可用于计算变量之间的相关性，发现变量之间的异常点等。

三类笛卡尔积图的特点是，它的完美匹配模式可以提高模式识别的效率。

该图将三个类别的多个变量组织在一起，每个变量的值可以与另一个变量的值完美匹配，从而得到更准确和有效的结果。

它可以帮助我们从原始数据中提取出更丰富的信息，从而提高数据挖掘的准确度和效率。

此外，三类笛卡尔积图也可以应用于图像处理技术中，因为它能够很好地提取图像中的特征。

它可以有效地把图像分解成较小的块，然后以完美的匹配方式重新组合它们，从而提取出更多的特征。

此外，三类笛卡尔积图还可以用来检测图像中的视觉异常，以及定位和分析图像中的物体等。

总之，三类笛卡尔积图是一种强大的数学模型，它可以被用于各种应用场景以解决数据挖掘、图像处理、系统设计等交叉学科领域中的复杂任务。

笛卡尔乘积介绍

笛卡尔乘积介绍笛卡尔（Descartes）乘积⼜叫直积。

假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。

可以扩展到多个集合的情况。

类似的例⼦有，如果A表⽰某学校学⽣的集合，B表⽰该学校所有课程的集合，则A与B 的笛卡尔积表⽰所有可能的选课情况。

直积，表⽰为X × Y，是其第⼀个对象是X的成员⽽第在数学中，两个集合X和Y的笛卡⼉积笛卡⼉积（Cartesian product），⼜称直积⼆个对象是Y的⼀个成员的所有可能的有序对：。

笛卡⼉积得名于笛卡⼉，他的解析⼏何的公式化引发了这个概念。

具体的说，如果集合X是 13 个元素的点数集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } ⽽集合Y是 4 个元素的花⾊集合 {♠, ♥,♦, ♣}，则这两个集合的笛卡⼉积是 52 个元素的标准扑克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

⽬录1 笛卡⼉积的性质2 笛卡⼉平⽅和 n-元乘积3 ⽆穷乘积4 函数的笛卡⼉积5 外部链接6 参见笛卡⼉积的性质易见笛卡⼉积满⾜下列性质：对于任意集合A，根据定义有⼀般来说笛卡⼉积不满⾜交换律和结合律。

笛卡⼉积对集合的并和交满⾜分配律，即笛卡⼉平⽅和 n-元乘积⼆元笛卡⼉积)是笛卡⼉积X × X。

⼀个例⼦是⼆维平⾯R × R，这⾥R是实数的集合 - 所有的点集合X的笛卡⼉平⽅笛卡⼉平⽅(或⼆元笛卡⼉积(x,y)，这⾥的x和y是实数(参见笛卡⼉坐标系)。

可以推⼴出在n个集合X1, ..., Xn上的n-元笛卡⼉积:。

实际上，它可以被认同为 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。

它也是n-元组的集合。

K方体的Wiener指标

K方体的Wiener指标杨峰【摘要】介绍了一种Wiener指标的计算方法,主要是通过建立简单连通图的层结构进行Wiener指标的计算,并利用层结构等价关系计算了一类类似K方体图的Wiener指标.通过所介绍的方法,还可以计算一些规则图,特别是以每一点为对称中心图的Wiener指标.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(014)001【总页数】3页(P64-66)【关键词】K方体;Wiener指标;层结构;层结构等价【作者】杨峰【作者单位】青海师范大学,数学系,青海,西宁,810008【正文语种】中文【中图分类】O157.6KWiener指标是连通图的点对的距离之和,自从HaroldWiener在1947年的文献[5]中首次提出这一指标概念后,作为一个重要的拓扑指数应用于化学研究中,用来研究分子的结构.经过长期的研究,科学家们发现很多化合物的物理和化学性质与它们的拓扑性质密切相关.Wiener指标就是一个与化合物的物理和化学性质密切相关的拓扑指标,它的性质广泛应用于化学领域中.随后,数学家也开始关注这一指标,并给予了许多数学方面的解释.而图论作为一门数学分支,可以用点和线很好的表示分子结构,这样图论就成为一个强大的工具用来研究Wiener指标问题.需要更加详细的内容可参考文献[1-4].文中未说明的符号或图请参考文献[6].考虑一个连通图G,顶点集和边集记为V(G)和E(G),而顶点的个数可记为n(G)=│V(G)│(本文如不加说明,均考虑简单图).用dG(u,v)表示G中连接u,v的最短路长度,即u,v之间的距离.Wiener指标定义如下:从Wiener指标的定义中可知,若有方法计算出下式则wiener指标容易求出.然而在简单连通图G中想求出每一顶点对之间的距离,对于顶点个数较少的简单连通图来说,操作不是很难,而对于顶点个数较多且点与点之间的连接较复杂时,计算起来就显得力不从心了.本文给出一种求距离的方法——层结构法,仅供参考.定义1 设G是简单连通图,在G中任取一点u,将点u作为第0层,也称之为基层,记为F(0).点u的邻集N(u)作为第1层,记为F(1).于是第i层F(i)=N(F(i-1))-F(i-2)-F(i-1).│F(i)│表示第i层的顶点个数,如此建立起来的结构称之为层结构.通过以上定义,可以得出定理1 设G是简单连通图,将点u作为基层,则第i层的顶点到基层点u的距离为i. 证明(归纳法)第一层F(1)中的顶点为点u的邻点所构成的集合,因此F(1)中的点到点u的距离为1.现假设第i-1层F(i-1)中的顶点到点u的距离为i-1成立.由于F(i)中的顶点与F(0),F(1),…,F(i-2)中的顶点都不相邻而与F(i-1)中的某些顶点相邻(若存在点v与F(j)(j=0,1,2,…,i-2)中的一点相邻,根据定义1,则点v∈F(j-1)或v∈F(j+1),无论是j-1还是j+1都不会等于i,因此点v∈F(i)与点v∈F(i)矛盾),从而F(i)中的顶点到点u的路必经过F(i-1)层中的顶点,且F(i)中的顶点到F(i-1)中的顶点的距离为1,由归纳假设,F(i)中的顶点到点u的距离为i-1+1=i.推论1 若以点u为基层建立的层结构有k层,则定义2 若分别以点u和点v作为基层时有相同的层结构,则称u,v为具有层结构相同关系的两点.若分别以点u和点v作为基层建立的层结构层数相同且│Fu(i)│=│Fv(i)│,则称u,v为具有层结构相似的两点.显然,层结构相同关系和层结构相似关系都是等价关系.在简单连通图G中,如果G中任意两点都层结构相同,设层结构都有k层,那么图G 的Wiener指标可以表示为设G为简单连通图,顶点集和边集分别用V(G)和E(G)表示.假设有A和B两个集合,它们的笛卡尔积A×B为{(a,b)|a∈A,b∈B}.于是两个图的乘积图定义为G1×G2:V(G1)×V(G2);G1×G2的两顶点u=(u1,u2)和v=(v1,v2)相连接当且仅当[u1=v1(u2,v2)∈E(G2)]或是[u2=v2(u1,v1)∈E(G1)].定理2[4]G1和G2为两个连通图,则W(G1×G2)=n(G2)2W(G1)+n(G1)2W(G2). 在文献[4]中,2方体的Wiener指标已经算出,为W(C4×P2)=48,且3方体图的Wiener指标也可通过定理2算出,为W(3-cube)=W(C4×C4)=16×16=162.下面通过本文介绍的方法来计算K方体的Wiener指标.定理3K方体中任意两点层结构相同,层结构中有k层,且证明由K方体的定义可知,K方体中任意两点相联结当且仅当两k维的二进制序列(a1,a2,…,ak),ai=0,1(i=0,1,…,k)只一个坐标不同.在顶点集中任选一点u作为基层,则第一层的顶点是与顶点u只一个坐标不同的顶点,其个数为第i层的顶点是与点u 有i个坐标不同的顶点,其个数为于是所形成的层结构为k层.由K方体的对称性可知,K方体中任意两点层结构都是一样的.于是由定理3可知一个K方体总共有2k个顶点,则K方体的Wiener指标为由上例知道,一个K方体的点集是由二进制序列(a1,a2,…,ak),ai=0,1(i=0,1,…,k)构成,两点之间相连接当且仅当两个序列只相差一个坐标.于是当序列中的ai(i=0,1,…,k)取值为0,1,2,…,a-1时,有如下结论:定理4 图G中的点为点序列(a1,a2,…,ak),其中ai(i=0,1,…,k)取值为0,1,2,…,a-1时,两点之间相连接当且仅当两个序列只相差一个坐标,则图G的Wiener指标为证明如定理3的证明可知,图G中任意两个点的层结构相同,且层结构都为k层,第i 层的顶点数为由此可知又因为图G有ak个顶点,故定理5 图G中的点为点序列(a1,a2,…,ak),其中ai(i=0,1,…,j-1,j+1,…,k)取值为0,1,aj=0,1,2(j≠i).两点之间相连接当且仅当两个序列只相差一个坐标,则图G的Wiener指标为证明由定理3的证明可知,图G中任意两点的层结构相同,且都为k层,第i层的顶点个数为于是由(2)式得又因为图G的顶点数为3·2k-1,所以图G的Wiener指标为在定理5中,令k=3,有图G的层结构:以其他顶点作为基层时,层结构都是一样的,因此当k=3时,定理5中的图的Wiener 指标为【相关文献】[1]DOBRYN IN A A,ENTROMGER R,GUT MANI.Wiener index oftrees:theory and applications[J].Acta appl.math.,2001,66:211-249.[2]DOBRY NIN A A,G UT MANI,K LAVZ AR S,et al.Wienerindex of hexagonalsystems[J].Acta Appl.math.,2002,72:247-294.[3]ENTR INGER R C.Distance ingraphs:Trees[J]bin.,put.,1997,24:65-84.[4]GUT MAN YN,YEH SL.Some recent results in the theory of the Wiener number[J].Indian J.chem.,1993,32A:651-661.[5]W IENER H.Structural deter mination of paraffinboilingpoints[J].J.Amer.Chem.Soc.,1947,69:7-20.[6]BONDY J A,MURTYU S R.Graph Theorywith Applications[M].London:Macmillan and Co.,1976:246.。

若干笛卡尔乘积图的平衡指标集

，一ｌ ∈ （）厂（）｛１Ｇ，（）一ｉｌｅ一ＩＰＰＥＧ，Ｅ一１ｌ，，）｛Ｉ ∈ （）厂＊（）｝（／称作友好标号，如果ＩｉＯ一，１Ｊ１如果存在一个友好标号使得｝０一，（）１则称图（）（） ≤ ．ｖ（）１ｆ，，
第６期
谭秋月：干笛卡尔乘积图的平衡指标集若
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引若一０）一一．，理１记（５，（ｏ）则∑ｇ）（）．５（一告一．
引理２设ｇ是图Ｇ一（Ｅ）的任一个顶点标号，，则
Ｂ（）＝ｇ（一 ∑ ｄ（）（）ｇＧ＝∑ Ｐ＝）ｅｕｕｇｇ
厶
推论２ｎ为偶数时，Ｉ）一｛）；为奇数时，工Ｃ）＝１．为偶数时，ｊＫＢ（０Ｂ（＝｝＝｛Ｂ（）一｛｝；为Ｏ
奇数时，１ＫＢ（）一｛
（夷学院数学与计算机系，福建武夷山３４０）武５３０
摘
要：究了完全图与一些基本图的笛卡尔乘积图的平衡指标集，到了Ｋ × ＰＫ × ＣＫ・研得、 … × Ｋ、 ’
Ｋ × Ｋｍ的平衡指标集的准确值．关键词：衡指标集；平衡图；卡尔乘积图平笛
第２７卷第６期
２１年１０１２月
德ｔ＇１１学院学报
ＪｕｎａｆＤｅｈｕＵｎｉｅｓｔｏｒｌｏｚｏｖｒｉｙ

几类新的笛卡尔乘积互连网络

、摘要Ｓ修正Ｂ又称圈图）轮图等都既是Ｃｔａｒ网络、Ｐａｎｃａｋｅ网络、Ｂｕｂｂｌｅｓｏｒｔ网络、ｕｂｂｌｅｓｏｒｔ网络（ａｌｅｙｙ图又是重要的互连网络。利用图的笛卡尔乘积方法构建了几类新的笛卡尔乘积互连网络：环网、循环移数网络、ＩＬＬＩＡＣ网络、超立方体分别与Ｓ修正Ｂ轮图的笛卡尔乘积网络；这些网络ｔａｒ网络、Ｐａｎｃａｋｅ网络、Ｂｕｂｂｌｅｓｏｒｔ网络、ｕｂｂｌｅｓｏｒｔ网络、的某些性能指标（例如，直径等）比Ｓｔａｒ网络或超立方体更好。关键词Ｃ互连网络，笛卡尔乘积网络，超立方体，ａｌｅＳｔａｒ网络ｙｙ图，中图法分类号ＴＰ３９３文献标识码Ａ
，，，，，，ＡｂｓｔｒａｃｔｔａｒｎｅｔｗｏｒｋａｎｃａｋｅｎｅｔｗｏｒｋｂｕｂｂｌｅｓｏｒｔｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｉｆｉｅｄｂｕｂｂｌｅｓｏｒｔｎｅｔｗｏｒｋｗｈｅｅｌｎｅｔｗｏｒｋｅｔｃａｒｅＳｐ，，ｎｏｔｏｎｌＣａｌｅｒａｈｓｂｕｔａｌｓｏｉｍｏｒｔａｎｔｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｉｎｔｈｉｓａｅｒｗｅｄｅｖｅｌｏｍａｎｎｅｗｎｅｔｗｏｒｋｓｙｙｙｇｐｐｐｐｐｙ，，，ｒｏｄｕｃｔｃａｌｌｅｄＣａｒｔｅｓｉａｎｎｅｔｗｏｒｋｓｏｆｔｈｅｒｉｎｎｅｔｗｏｒｋｔｈｅｂａｒｒｅｌｌｓｈｉｆｔｅｒｎｅｔｗｏｒｋｔｈｅＩＬＬＩＡＣｎｅｔｗｏｒｋｓｔｈｅｎｃｕｂｅａｎｄ－ｐｇ，，，，Ｓｔａｒｎｅｔｗｏｒｋｔｈｅｎｅｔｗｏｒｋｔｈｅｂｕｂｂｌｅｓｏｒｔｎｅｔｗｏｒｋｔｈｅｍｏｄｉｆｉｅｄｂｕｂｂｌｅｓｏｒｔｎｅｔｗｏｒｋｓｔｈｅｗｈｅｅｌｎｅｔｔｈｅａｎｃａｋｅ－ｐ，，（，ｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｒａｍｅｔｅｒｓｗｏｒｋｒｅｓｅｃｔｉｖｅｌ．Ｔｈｅｓｅｎｅｔｗｏｒｋｓａｒｅｓｈｏｗｎｔｏｈａｖｅｂｅｔｔｅｒａｓｍｅａｓｕｒｅｄｂｓｏｍｅｓｕｃｈａｓｄｉａ－ｐｐｐｙｙ，）ｍｅｔｅｒｅｔｃ．ｔｈａｎｔｈｅｎｃｕｂｅｓｏｒｔｈｅＳｔａｒｎｅｔｗｏｒｋｓ．－，，，Ｋｅｗｏｒｄｓａｌｅｒａｈ，ＩｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｎｅｔｗｏｒｋＣａｒｔｅｓｉａｎｒｏｄｕｃｔｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｎｅｔｗｏｒｋｎｃｕｂｅＳｔａｒｎｅｔｗｏｒｋＣ－ｙｙｇｐｐｙ为了更好地展示笛卡尔乘积网络的性能，我们先引入一））。定义１－定义３和重要结果（引理１－引理６些概念（

若干叉积图的平衡指标集

｝。
［收稿日期】０１１ — ９２１－２１
【作者简介］秋月（９０）女，西杨凌人，师，究方向：谭１８一，陕讲研图论、散数学。离
第３期
谭秋月：干叉积图的平衡指标集若
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引理３设ｇ是一个ｒ正则图Ｇ的一任意顶点标号，（）｝（则Ｇ＝
并且，Ｇ）｛ｌ（＝０如果Ｇ是偶数阶图，，Ｇ）｛如果图Ｇ是奇数阶的。Ｂ（＝ｒ｝
）。
推论２ｎ为偶数时，（）｛｝ｎ为奇数时，（）｛）＝０；＝１；为偶数时，ＩＫ）｛｝ｒ为奇数时，ＩＫ）Ｂ（＝Ｏ；ｔＢ（＝｛）。
设Ｇ（Ｅ）一个ｒｓ￡一＝，是，，）正则图，ｇ是Ｇ的一个标号，由引理２得
ＢＧ： ∑ ｇ） ∑ ｇ） ∑ ｇ） ∑ｇ）（） ∑ ｇ）（ｒ ∑ ｇ）ｇ）（，（（＋（＝（＋ｒ（＋ｔ）－（
ｕ，ｅ（）ｒＥｄｇⅡ ＝ ” ∈Ｖｄｇｖ，ｅ（）埘ＥＶ，ｅ（＝ｄｇｗ）ｔｎＥＥＶ，ｅ（）ｄｇｖ ∈ ｄｇｗＶ，ｅ（）
，
０
Ｂ（．Ｐ）（－）一，１０１２ｇＰ￣＝＝２ｖ１ ∈Ｉ２一，，，｝ｘ
所以
Ｂ（ｍＰ）｛，，）（ＩＰ￣２＝Ｏ１２ｍ≥４）
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［４０，］
［，］０４定理３当ｎ３时，ＩＰＸ３＝＝Ｂ（ｍＰ）［，］０ｍ

若干笛卡尔乘积图的平衡指标集

若干笛卡尔乘积图的平衡指标集谭秋月【摘要】In this paper, we mainly discuss the balance index set of Cartesian Product graph K1× G , thatis exact balance index sets of Km×Pn、Km×Cn、Km×KnandKt×Km,n. are also obtained .%研究了完全图与一些基本图的笛卡尔乘积图的平衡指标集，得到了Km×Pn、Km×Cn、Km×Kn、Kt×Km,n的平衡指标集的准确值．【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2011(027)006【总页数】5页(P12-16)【关键词】平衡指标集;平衡图;笛卡尔乘积图【作者】谭秋月【作者单位】武夷学院数学与计算机系,福建武夷山354300【正文语种】中文【中图分类】O157.5I.Cahit［1］在1986年提出了一种叫作亲切标号（cordial graph labeling）的图的标号问题.图G＝（V（G），E（G）），集合A＝｛0，1｝，定义一个图的顶点标号映射f：V（G）→A，Cahit考虑G的边标号f＃：E（G）→A，其中S.M.Lee，A.Liu and S.K.Tan［2］考虑了另一种标号问题，称为平衡标号（balanced labeling）.即由G的顶点标号f可诱导出G的一个部分边的标号f＊：E（G）→A，对任意的uv∈E（G），当且仅当f（u）＝f（v）时，有f＊（uv）＝f（u），若f（u）≠f（v），则边uv未被f＊标号.对每个i∈A，令f称作友好标号，如果如果存在一个友好标号使得，则称图G为平衡图.Bf（G）＝ef＊（0）－ef＊（1）称为G在标号f下的平衡指标（这里f不一定是友好的），则G是平衡图当且仅当存在友好标号f使得的平衡指标集为是G的友好标号｝.在文献［3－8］中，分别对一些图的平衡指标集以及某些图类的平衡性做了研究. W.C.Shiu and H.Kwong在文献［8］中提出了一个平衡标号的等价定义.设f：V （G）→A＝｛0，1｝是图G的一个标号映射，定义g：V（G）→｛－0.5，0.5｝，其中g＝f－0.5.由g诱导出相应的边标号g＊：E（G）→｛－1，0，1｝，g＊（uv）＝g（u）＋g（v），∀uv∈E（G）.则图G是平衡的⇔存在友好标号g（即）使得引理1 若记则引理2 设g是图G＝（V，E）的任一个顶点标号，则推论1 如果图G和图H有相同的度序列，则BI（G）＝BI（H）.引理3 设g是一个r－正则图G的任意顶点标号，则并且如果G是偶数阶图，则BI（G）＝｛0｝，如果图G是奇数阶的，则推论2 n为偶数时，BI（Cn）＝｛0｝；n为奇数时，BI（Cn）＝｛1｝.n为偶数时，BI（Kn）＝｛0｝；n为奇数时，如果这个图的每个点的度数都是r或者s（r≠s），则称一个图是（r，s）－正则的.设G＝（V，E）是一个（r，s）－正则图，g是G的一个标号，由引理2得因此得到（其中和分别表示度为r的点中标号为0.5和－0.5的点的数目）研究了完全图与一些基本图的笛卡尔乘积图的平衡指标集，得到了Km×Pn、Km×Cn、Km×Kn、Kt×Km，n的平衡指标集的准确值.其中记Kn为n阶完全图；Cn为n个顶点的圈；Pn为n个顶点的路；Km，n为完全二部图.定义1 设G1＝（V1，E1）与G2＝（V2，E2）是两个图，G1与G2的笛卡尔乘积图（Cartesian Product）定义为：G1×G2＝（V，E），其中V＝V1×V2＝｛（ui，vj）∀ui∈V1，vj∈V2｝，且E＝｛（（u1，v1），（u2，v2））v1＝v2且（u1，u2）∈E1；或u1＝u2且（v1，v2）∈E2｝.定理1 当m≥4，n≥2时，证明（1）当n＝2时，Km×Pn共有2m个点，度数均为m.由引理3知其平衡指标集为｛0｝.（2）当n＝3时，Km×Pn共有3m个点，度数为m的点有2m个，度数为m＋1的点有m个.设r＝m＋1，s＝m，代入公式（1）得其中当m为偶数，g为友好标号时，，所以，故此时有当m为奇数，g为友好标号时，，所以故此时有BI（Km×P3）＝［0，m］. （3）当n≥4时，Km×Pn共有mn个点，度数为m的点有2m个，度数为m＋1的点有m（n－2）个.设r＝m，s＝m＋1，代入公式（1）得其中当mn为偶数，g为友好标号时，，所以，故此时有当mn为奇数，g为友好标号时，，所以故此时有所以，如果令G＝Km×Pn，显然可见BI（G）＝Τ1∪Τ2∪Τ3. 证毕.定理2定理3证明 Km为（m－1）－正则图，Cn为2－正则图，Km×Cn为（m＋1）－正则图，Km×Kn为（m＋n－2）－正则图，由引理3易得以上两个结论. 证毕.定理4 当n≥3时，BI（Km×K1，n）＝证明当n＝1时，K1，n＝P2.当n＝2时，K1，n＝P3.当n≥3时，Km×K1，n为（m，m＋n－1）－正则图，其中度为m的点有mn 个，度为m＋n－1的点有m个.设r＝m＋n－1，s＝m，代入公式（1）得其中当m（n＋1）为偶数（m为偶数或n为奇数时），g为友好标号时，，注意到：当m为偶数时故此时有当m为奇数，n为奇数时故此时有当m（n＋1）为奇数（m为奇数且n为偶数时），g为友好标号时，，所以故此时有证毕.定理5 设m≥n，则BI（Kt×Km，n）＝证明设m≥n，Kt×Km，n为（m＋t－1，n＋t－1）－正则图，其中度为m＋t －1的点有nt个，度为n＋t－1的点有m t个.设r＝m＋t－1，s＝n＋t－1，代入公式（1）得其中当（m＋n）t为偶数，g为友好标号时，，注意到当t为奇数，n，m为偶数时或者t为偶数时故此时有当t，n，m都为奇数时故此时有当（m＋n）t为奇数（t为奇数，m，n一奇一偶），g为友好标号时，v＋g－v－g＝±1，所以故此时有【相关文献】［1］I.Cahit.Cordial graphs：a weaker version of graceful and harmonious graphs［J］.Ars Combin，1987，23：201－207.［2］S.M.Lee，A.Liu，S.K.Tan.On balanced graphs［J］.Congr.Numer.，1992，87：59－64. ［3］M.A.Seoud，A.E.I.Adbel Maqsoud.On cordial and balanced labelings of graphs ［J］.Egyptian Math.Soc.，1999，7：127－135.［4］H.Kwong，S.M.Lee，D.G.Sarvate.On balanced index sets of one－point unions of graphs［J］put.，2008，66：113－127.［5］温一慧.一类（P，P＋1）－图是平衡的充要条件［J］.兰州大学学报（自然科学版），2007，43（4）：104－109.［6］Y.H.Wen，Q.D.Kang.On balanced index set for the general butterfly graph［J］.Journal of Mathematical Research ＆Exposition，2009，29（2）：202－212.［7］A.N.T.Lee，S.M.Lee，H.K.Ng.On the balance index sets of graphs［J］puter，2008，66：135－150.［8］W.C.Shiu，H.Kwong.Algebraic approach on balance index sets of graphs［J］.Australasian Journal of Combinatorics.。

笛卡尔系数

笛卡尔系数笛卡尔系数又称为乘积规则或乘积原理，它是数学中的一种计数方法，用于确定多个集合的笛卡尔积的元素个数。

笛卡尔积的概念是由法国数学家笛卡尔引入的，因此得名。

笛卡尔积在介绍笛卡尔系数之前，我们需要先了解一下笛卡尔积的概念。

给定两个集合A和B，它们的笛卡尔积可以表示为A × B。

它是一个集合，其中的元素由A和B的元素对组成。

换句话说，A × B中的每个元素都是形如(a, b)的有序对，其中a来自于A，b来自于B。

如果A中有m个元素，B中有n个元素，那么A × B就包含m × n个元素。

例如，如果A = {a, b, c}，B = {1, 2}，那么A ×B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}。

笛卡尔系数的定义与计算现在我们回到笛卡尔系数。

如果有n个集合A1, A2, …, An，它们的元素分别是a1, a2, …, an，那么笛卡尔系数表示为C(a1, a2, …, an)。

它表示的是从每个集合中选择一个元素组成的一个元组的总数。

计算笛卡尔系数的方法可以通过计算各个集合的元素个数，然后将它们相乘得到结果。

即C(a1, a2, …, an) = a1 * a2 * … * an。

举个例子来说明，假设我们有一个集合A = {a, b}，集合B = {1, 2, 3}，集合C = {x, y}。

我们要计算笛卡尔系数C(2, 3, 2)。

根据上面的方法，我们将各个集合的元素个数相乘，即2 * 3 * 2 = 12。

因此，C(2, 3, 2) = 12。

笛卡尔系数的计算方法适用于任意个数的集合，只需要将各个集合的元素个数按顺序相乘即可。

笛卡尔系数的应用笛卡尔系数在组合数学和概率论中经常被用到。

它可以用来解决各种排列组合问题，例如排列、组合、多项式展开等等。

在排列组合中，笛卡尔系数可以用来计算集合的幂集。

若干运算图的Schultz指数

若干运算图的Schultz指数林有创;欧见平;秦莹莹【摘要】This paper determines the Schultz index of graphs constructed by graph operations such as join, symmetric difference, composition and disjunction.%确定了两个图的联、对称差、复合和析取等运算所得到的图的Schultz指数。

【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】Schultz指数;联图;对称差;复合图;析取【作者】林有创;欧见平;秦莹莹【作者单位】五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020;五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020;五邑大学数学与计算科学学院，广东江门529020【正文语种】中文【中图分类】O157.5设是一个简单图，即没有环和重边. 记为图中两点和之间的距离，即连接点和的最短路径的长度. 在不产生混淆的情况下，简记为. 点在图中的度用表示，图的点集和边集分别用和表示. 对于给定的图，其Wiener指数[1]定义如下：设的和是两个简单图. 它们的联图记为，其顶点集合，边集为，，它们的复合图记为，其点集为，边集，或且，它们的析取记为，其点集为，边集为，，或，它们的对称差记为，其点集为，边集为或者，.为了更好地刻画顶点度和距离的关系，定义Schultz指数如下：关于这种指数的化学背景和数学性质，请参阅文献[2]. 在本文的证明中需要用到第一和第二Zagreb指数[3-5]和，其中，；还有第一Zagreb余指数[6-7]，第二Zagreb余指数. Zagreb指数和Zagreb余指数有下面的关系[7]：二元运算图的拓扑指数的计算已经有很多结果. 文献[8]计算了两个图的联、笛卡尔乘积、复合等图运算的Wiener指数；文献[9]推广了文献[8]的结果，计算了上述图运算的Wiener多项式(Wiener指数和超Wiener指数)；在文献[10]中，作者计算了上述图运算的超Wiener指数；在文献[11,12]中，作者计算了广义笛卡尔乘积图的Wiener指数和超Wiener指数. 本文我们将计算联图、对称差、复合图和析取图的Schultz指数.记为图的补图，则，且的两个点相连当且仅当这两个点在图中不相连. 其他未作说明的符号与文献[13]相同.为了计算方便，令.引理1[10]1405 假设图和是两个连通图，如果点和点是联图的两个不同的点，则如果是的一个点，则；如果v是H的一个点，则.定理1 如果和是两个连通图，则证明对于任意两点，记：若，记，由引理1得：记；则：引理2[10]1406 假设图和是两个连通图，对任意的,，有：，且.定理2 假设和是两个连通图，则证明根据引理2和Schultz指数定义得：引理3[10]1406 假设和是两个连通图，如果点和点是的两个不同的点，则：，析取图的点度为.定理3 假设和是两个连通图，则：证明根据引理3和Schultz指数定义得：析取图的Schultz指数的计算可拆分为4个子式、、、.因此：引理4[10]1405 假设和是两个连通图，如果点和点是复合图的两个不同的点，则：定理4 假设G和H是两个连通图，则：证明根据引理4和Schult指数的定义得：故【相关文献】[1] WIENER H. Structural determination of the paraffin boiling points [J]. J Am Chem Soc, 1947, 69: 17-20.[2] SCHULTZ H P. Topological organic chemistry: 1 Graph theory and topological indicesof alkanes [J]. J Chem Inf Comput Sci, 1989, 29: 227-228.[3] BRAUN J, KERBER A, MERINGER M, et al. Similarity of molecular descriptors: the equivalence of Zagreb indices and walk counts [J]. Match Commun Math Comput Chem, 2005, 54: 163-176.[4] ZHOU Bo. Zagreb indices [J]. Match Commun Math Comput Chem, 2004, 52: 113-118.[5] GUTMAN I, DAS K C. The first Zagreb index 30 years after [J]. Match Commun Math Comput Chem, 2004, 50: 83-92.[6] DOSLIC T. Vertex-weighted Wiener polynomials for composite graphs [J]. Ars MathContemp, 2008, 1: 66-80.[7] ASHRAFI A R，DOSLIC T，HAMZEH A. The Zagreb coindices of graph operations [J]. Discr Appl Math, 2010, 158: 1571-1578.[8] YEH Y N, GUTMAN I. On the sum of all distances in composite graphs [J]. Discrete Math, 1994, 135: 359-365.[9] STEVANOVIC D. Hosoya polynomial of composite graphs [J]. Discrete Math, 2001, 235: 237-44.[10] KHALIFEH M H, YOUSEFI-AZARI H, ASHRAFI A R. The hyper-Wiener index of graph operations [J]. Comput Math Appl, 2008, 56: 1402-1407.[11] ELIASI M, RAEISI G, TAERI B. Wiener index of some graph operations [J]. Discrete Appl Math, 2012, 160: 1333-1344.[12] ELIASI M, IRANMANESH A. The hyper-Wiener index of the generalized hierarchical product of graphs [J]. Discrete Appl Math, 2011, 159: 866-871.[13] BONDY J A, MURTY U S R. Graph theory with applications [M]. London: Macmillan, 1976.。