可逆矩阵与正定矩阵

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浅谈可逆矩阵的求法

浅谈可逆矩阵的求法逆矩阵是数学中重要的基本概念之一，在《高等代数》和《线性代数》都占有重要的地位，同时，它是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，虽然《高等代数》和《线性代数》均有介绍逆矩阵的一些求法，但知识点比较分散，对适用的题型并没有给出明确的说明，本文从逆矩阵的定义、逆矩阵的性质、矩阵可逆的条件、求逆矩阵的常用方法、逆矩阵在实际问题中的简单应用这五个方面来论述，以便更好更快地解决有关逆矩阵的问题.求解方程()0ax b a =≠可以归结为对于给定的a 求1a -使11a a -=.现在把这个想法用到,Ax B xA B ==上，那么问题就变为对于给定的A ，能否找到1A -使11A A AA E --==.为此引入如下的定义一、逆矩阵的定义设A 是数域P 上的一个方阵，如果存在数域P 上的n 阶方阵B ,使得AB BA E ==,则称A 是可逆的，此时B 称为A 的逆矩阵。

当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1A -.二、逆矩阵的性质（1）可逆矩阵A 的逆是唯一的，且()11A A --=.（2）设A 是可逆矩阵，则A '可逆，且()()11A A --''=.（3）设A 是可逆矩阵，则*A 也可逆.（4）设A 是可逆矩阵，则11A A--=.（5）设A 是可逆矩阵，则k A 可逆，且()()11kkAA --=.（6）设A 是可逆矩阵，若AB AC =,则B C =.（7）设A 是可逆矩阵，数0k ≠，则kA 可逆，而且()111kA A k--=. （8）如果A 是m n ⨯矩阵，P 是m 阶可逆矩阵，Q 是n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===.（9） A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆，且()111AB B A ---=;一般地，m 个n 阶矩阵，()1i A i m ≤≤的积可逆，且()1111112121m m m A A A A A A A ------⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.三、矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠.（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换化为n 阶单位矩阵. （3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积. （4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关. （5）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是线性方程组0Ax =仅有零解.（6）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是对任一n 元列向量b ，方程组Ax b =均有唯一解. （7）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值不为零.（8）正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的.（9）任何可逆实方阵都可以分解为正交阵Q 和上三角阵R 的乘积，其中R 的主对角元均为正. （10）设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S 和正交阵P ，使A PS =.四、求逆矩阵的常用方法１、定义法A 是数域P 上的一个n 阶方阵，设如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵，当A 矩阵可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1A -.例1：求矩阵223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵.解：因为0A ≠，所以1A -存在，设1112131212223313233x x x A x x x x x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由定义1AA E -= 于是 111213212223313233223100110010121001x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法及矩阵相等得1112131,4,3x x x ==-=- 2122231,5,3x x x ==-=- 3132331,6,4x x x =-==1143153164A ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.２、伴随矩阵法由矩阵可逆的条件知，当0A ≠时，1*1AA A-=. 例2：证实矩阵a b A b a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦可逆，当且仅当A 不是零矩阵，并在当0A ≠时，求1A -. 证明：A 可逆，⇔220A a b =+≠⇔a 、b 中至少有一个不为零⇔0A ≠ 当0A ≠时，有0A ≠，故1*2211a b A A b a A a b--⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦. 注：伴随矩阵法求矩阵的逆，一般适用于矩阵的阶数较低时. ３、初等变换法初等行变换： )()(1||A E E A -−−−−→初等行变换初等列变换： 1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换例3：用初等行变换求矩阵231013125A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解)(231100125001125001013010013010013010125001231100006112A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦11341006631250011250113013010013010010122019102111111001001663663⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦于是 1113410066313010122111001663A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦. ４、分块矩阵法常用分块矩阵求逆矩阵的类型如下：（1） 11111221s s A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2) 11121211s sA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (3) 111100A C A A CB B B ----⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (4) 111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. (其中(1,2,)i A i s =⋅⋅⋅均为可逆矩阵，A 、B 都为可逆矩阵)下面证明111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（其中A ,B 分别是k 级和r 级的可逆矩阵，C 是r k ⨯矩阵），其它可类似证明.证明：设111212122x x D x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，于是11122122000kr x x E A x x E C B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，这里，k E ，r E 分别表示k 级和级r 单位矩阵，乘出并比较等式两边，得11121121122200k rAx E Ax Cx Bx Cx Bx E =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 由第一式得111112,00x A x A --===，代入第四式，得122x B -=,代入第三式，得111211121,Bx Cx CA x B CA ---=-==-因此 111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 例4：已知矩阵0052002112001100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦求1A -.解：将A 分块如下：12005200021012001100A A A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（其中 15221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21211A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）求得 1*11112125A A A --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 1*2221211113A A A -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ 于是 112111200331100033012002500A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 5、Hamilton Caley -定理法Hamilton Caley -定理：设A 是数域P 上的n 阶矩阵，()111n n n n f E A a a a λλλλλ--=-=++⋅⋅⋅++为A 的特征多项式，则()1110n n n n f A E A A a A a A a E λ--=-=++⋅⋅⋅++=.若0n a ≠，则()12111n n n nA A a A a E E a ----++⋅⋅⋅+= 所以()112111n n n nA A a A a E a ----=++⋅⋅⋅+. 例5：已知矩阵122131213A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求1A -.解:A 的特征多项式为：()327124fE A λλλλλ=-=-+- 由Hamilton Caley -定理知()3271240f A A A A E =-+-=所以 ()128441171251344735A A A E ---⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 6、拼接新矩阵法在可逆矩阵A 的右上方补加上一个单位矩阵E ，在A 的下方补加上一个负单位矩阵E -，在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵E -化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所得的矩阵就是所要求的逆矩阵1A -.例6：求矩阵013131122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解:01313150122A ==-≠ 所以A 可逆构造矩阵 0131001310101220010100000010000001000A E E⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦将第一行依次乘以-3、-2、1，分别加到第二行、第三行和第五行，得013100108310104201100000003100001000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行得0131010831000411100831000310001000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第三行依次乘以2、-3/4和1/4分别加到第四行、第五行和第六行得01310010831000411100011213300044411100444⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以 1112133444111444A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 7、利用矩阵方程法例7：已知1310012621B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且AB A B =+ 证明：A E -可逆，并求()1A E --.证明：由AB A B =+ 得 AB B A E E --+=即 ()()A E B E E --= 故A E -可逆，且()10310002620A E B E --⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、逆矩阵在实际问题中的简单应用例8：命题1 若 A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，则当A 可逆时，1A BA D CABC D-=-,当D 可逆时，1A BD A BD C C D-=-.证明：当 A 可逆时，由1100nn A B A E A B C D C D CA B E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由Laplace 定理，得1A BA D CABC D-=-同理当D 可逆时，1100nn E A B A BD C B D CE C D D --⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以1A BD A BD C C D-=-.特别地，当A 可逆时，且AC CA =时，1A BA D CAB AD CBC D-=-=-将命题1的结论加以推广，得到更一般的结论命题2 若 A 为 n 阶矩阵，D 为m 阶矩阵，则当 A 可逆时，1A BA D CABC D-=-当D 可逆时，1A BD A BD C C D-=-.证明方法同命题1.例9：设()m nij A a R ⨯=∈，证明()1,2ii ij j ia a i n ≠>=⋅⋅⋅∑，则A 为可逆矩阵，即0A ≠.证明：设()12,,n A ααα=⋅⋅⋅，其中i α为A 的列向量（用反证法）若A 不可逆，则12,n ααα⋅⋅⋅线性相关，即存在一组不全为零的数12,n k k k ⋅⋅⋅ 使11220n n k k k ααα++⋅⋅⋅+= （ * ）令()12max ,,n k k k k =⋅⋅⋅ 显然0k >，不妨设 ik k =，那么由（ * ）式知，jjj i j ii ij ii ij ij j i j i j i j i i i i k k k a a a a a k k k αα≠≠≠≠⎛⎫⎛⎫=-⇒=-⇒≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 这与()1,2,ii ij j ia a i n ≠>=⋅⋅⋅∑的假设矛盾，所以0A ≠，即A 可逆.例10：设P 是数域，m n <，m nA P ⨯∈，()n m nB P-⨯∈，1V 和2V 分别是齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，证明：12n P V V =⊕D 的充要条件是A B ⎛⎫⎪⎝⎭可逆. 证明：充分性：因n nA PB ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭，若A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，则0,0A A x B B ⎛⎫≠= ⎪⎝⎭只有零解且秩A m =，秩B n m =-，012x V V ∀∈⋂则0000Ax Bx =⎧⎨=⎩ 即00A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以00x =即证 {}120V V ⋂= ①又12n V V P +⊆ 因而由①知，()()()()1212dim dim dim dim n V V V V n r B n r B n m m n P +=+=-+-=-+==所以 12n P V V =⊕.必要性：设12n P V V =⊕，用反证法，如果A B ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆，则0A xB ⎛⎫= ⎪⎝⎭有非零解1x ，那么1100Ax Bx =⎧⎨=⎩ 即112x V V ∈⋂,这与12nP V V =⊕矛盾，从而0A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭只有零解，即0A B ≠ 因而A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆.参考文献［1］北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M ］.北京：高等教育出版社，1978:91-99,177-181.［2］方保镕，周继东，李医民.矩阵论［M ］北京：清华大学出版社，2004.11. ［3］钱吉林.高等代数解题精粹（第二版）.北京：中央民族大学出版社，2002.10. ［4］张禾瑞，郝炳新.高等代数［M ］.北京：人民教育出版社，1980:157-168.［5］武汉大学数学系数学专业.高等代数（修订本）［M ］.北京：人民教育出版社，1980:35.［6］高等代数与解析几何，同济大学数学系编［M］.北京：高等教育出版社，2005.5.［7］陆媛.求逆矩阵的几种常用方法［J］.林区教学，2011，（02）.［8］程云鹏.矩阵论［M］.西北工业大学出版社，1998.12.［9］赵礼峰.高等代数解题方法［M］.合肥：安徽大学出版社，2004.8.［10］许莉.试谈求逆矩阵的方法［J］.承德民族师专学报，1997.(02).［11］高明.逆矩阵的求法［J］.阴山学刊（自然科学版），2006.(02).［12］杜汉玲.求逆矩阵的方法与解析［J］.高等函授学报（自然科学版）.2004.(04).［13］胡淑娟，马宝艳.可逆矩阵及求逆矩阵的方法［J］.科技致富向导，2010.(11).［14］Pullman NP.Matrix Theory and its Applications.1976.［15］Lee W.Johnson,R.Dean Riess.An Introduction to Linear Algebra.China Machine Press.2002.［16］Householder A S. The Theory of Matrices in Number Analysis.Blaisdell Publishing Company,1960.。

线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。

矩阵的判定条件

关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。

本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。

全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。

关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。

矩阵正定

则XTAX = XT CT ACX = (CX)TA(CX) = a12x12 + a22x22 +……+ an2xn2>0
∴A是正定的。□
1.5． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于零。
证明：（）
半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有ຫໍສະໝຸດ TAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=STS。
∴ A是正定的。□
1.4． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。
证明：（）若A是正定矩阵，则由1.3可知，A相合于E
∴存在实可逆矩阵C，使A = CTEC = CTC
（）若A=CTC，C是实可逆矩阵
∴ f（α，β）是正定的
∴ A是正定的。□
1.3． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E。
证明：（）任取正定矩阵A，它对应唯一的正定双线形函数f，且存在V上的一组基：η1η2……ηn，使任取向量α= ，β= ,双线形函数f有:
证明：若A，B都是n阶正定矩阵，则任取X，有XTAX >0，XTBX >0
则XT（A+B）X = XTAX + XTBX >0
XTkAX = kXTAX >0
即：A+B ，kA都是正定矩阵。□

正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。

At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。

The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。

正定矩阵的性质及判定方法

和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学圆与方程时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

可逆矩阵的lq分解

可逆矩阵的LQ分解是一种矩阵分解方法，它将一个可逆矩阵分解为两个矩阵的乘积，这两个矩阵分别称为左矩阵和右矩阵。

在数学和工程领域，LQ分解被广泛应用于各种问题求解、系统分析和控制等领域。

可逆矩阵的LQR分解的主要思想是将原问题转化为一个更加易于处理的问题，即通过分解原矩阵，将其转化为两个可直接求解的子问题。

在LQ分解中，左矩阵通常是一个低维矩阵，右矩阵是一个正定矩阵。

通过对原矩阵进行分解，可以将原问题的求解转化为求解两个子问题的解，从而大大降低了问题的复杂度。

具体来说，左矩阵通常是一个低维矩阵，可以通过一些算法（如奇异值分解）得到。

右矩阵是一个正定矩阵，可以通过求解线性方程组得到。

通过将原问题转化为求解两个子问题，可以大大简化问题的求解过程，并且可以得到更加精确的解。

在实际应用中，LQ分解已经被广泛应用于控制系统、信号处理、通信等领域，并且取得了很好的效果。

在实际应用中，可逆矩阵的LQR分解也存在着一些挑战和限制。

首先，对于一些复杂的系统或问题，可能需要使用更加复杂的方法来求解左矩阵和右矩阵。

其次，对于一些特定的系统或问题，可能无法得到有效的分解方法。

最后，由于LQ分解将原问题转化为两个子问题，因此可能会增加计算的复杂性。

综上所述，可逆矩阵的LQR分解是一种非常有效的矩阵分解方法，它可以将一个可逆矩阵分解为两个低维矩阵和正定矩阵的乘积。

通过将原问题转化为求解两个子问题，可以大大简化问题的求解过程，并且可以得到更加精确的解。

虽然在实际应用中存在一些挑战和限制，但是它仍然被广泛应用于各种领域，并且取得了很好的效果。

未来随着计算技术的不断发展，我们相信LQ分解将会在更多领域得到应用和发展。

线性代数_华中农业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

线性代数_华中农业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设方阵A 和B 相似，则它们一定相似于同一个对角矩阵.参考答案:错误2.初等行变换与初等列变换均不改变矩阵的秩.参考答案:正确3.排列326514的逆序数为( )参考答案:84.n阶正定矩阵有n个特征值且全部大于0.参考答案:正确5.所有的实对称矩阵都可相似对角化.参考答案:正确6.正定矩阵一定是可逆矩阵.参考答案:正确7.正交矩阵一定是可逆矩阵.参考答案:正确8.排列 453162 的逆序数为（）参考答案:99.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 相似于对角矩阵的( )参考答案:充分而非必要条件10.所有的方阵都可相似对角化.参考答案:错误11.可逆矩阵的行最简形为单位矩阵.参考答案:正确12.二次型的标准形是唯一的.参考答案:错误13.设A，B为n阶正定矩阵，则AB也是正定矩阵.参考答案:错误14.A+B和BA都有意义的充要条件是：矩阵A和B是（）参考答案:同阶方阵15.n阶正定矩阵有n个非负的特征值.参考答案:错误16.排列32514的逆序数为（）参考答案:517.设A和B是阶方阵，则以下命题不正确的是（）参考答案:若A和B是初等方阵，则A B也是初等方阵18.设n阶方阵A与B相似，则下列命题不正确的是（）参考答案:A与B的特征向量相同19.设A,B,C是同阶方阵，且A可逆，则下列命题中，正确的是（）参考答案:若AB=AC，则 B=C._若AC=0，则 C=0.20.若 A,B,C为同阶方阵, 满足AB=C, 且A与B可逆，则C也可逆.参考答案:正确21.正定矩阵是可逆矩阵.参考答案:正确22.下列命题中，正确的是（）参考答案:若则或_若则或23.A+B和AB都有意义的充要条件是:矩阵A和B是（）参考答案:同阶方阵。

正定矩阵条件

正定矩阵条件正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将从几个不同的角度来解释正定矩阵的概念和条件。

我们来看正定矩阵的定义。

一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示x 的转置。

这个定义可以用来判断一个矩阵是否为正定矩阵。

为了更好地理解正定矩阵的条件，我们可以从它的几何意义入手。

正定矩阵定义了一个二次型，即x^T * A * x，它表示了一个向量x 经过矩阵A的变换后的平方和。

当这个平方和大于零时，我们可以说矩阵A是正定的。

换句话说，正定矩阵定义了一个椭球体，所有的非零向量都位于这个椭球体内部。

正定矩阵的条件有很多种形式。

其中一种常见的条件是所有的特征值都大于零。

特征值是矩阵A的一个重要性质，它可以看作是矩阵A对应的线性变换在某个方向上的缩放比例。

如果矩阵A的所有特征值都大于零，那么它就是正定矩阵。

另一个条件是矩阵的所有主子式都大于零。

主子式是矩阵A的一个重要概念，它是通过去掉矩阵的某些行和列后得到的子矩阵的行列式。

如果矩阵A的所有主子式都大于零，那么它也是正定矩阵。

除了以上两个条件，正定矩阵还有其他等价的条件。

例如，矩阵A 可以被分解为A = LL^T的形式，其中L是一个下三角矩阵。

这个分解被称为Cholesky分解，它可以将正定矩阵表示为一个下三角矩阵的平方。

通过Cholesky分解，我们可以很容易地判断一个矩阵是否为正定矩阵。

正定矩阵在许多领域中都有广泛的应用。

在优化问题中，正定矩阵是一个非常重要的概念。

许多优化算法都依赖于正定矩阵的性质，例如共轭梯度法和牛顿法。

在机器学习中，正定矩阵用于定义二次型的正则化项，以及计算协方差矩阵和相关矩阵。

总结起来，正定矩阵是一个重要的概念，它定义了一个二次型，描述了一个向量经过矩阵变换后的平方和。

正定矩阵的条件有很多种形式，包括所有的特征值都大于零，所有的主子式都大于零等等。

正定矩阵的判定

泰山学院毕业论文材料汇编正定矩阵的判定所在学院专业名称申请学士学位所属学科年级学生姓名、学号指导教师姓名、职称装订日期 2015 年 6 月 30 日.材料汇编目录一、开题报告二、任务书三、论文1. 封面2. 中文摘要3. 英文摘要4. 目录5. 正文6. 参考文献7. 致谢四、成绩评定书泰山学院毕业论文开题报告.题目正定矩阵的判定学院年级专业姓名学号指导教师签字学生签字2014 年 12 月 15 日... 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。

方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。

方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。

方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时，A 正定。

（二）研究方法主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。

三、进度安排1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。

2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。

3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。

四、主要参考文献[1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996.[2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989.[3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993.[4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012.[7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003..泰山学院毕业论文任务书题目正定矩阵的判定学院年级专业姓名学号指导教师签字学生签字2014 年 12 月 20 日你的毕业论文开题报告已通过，现将毕业论文工作任务下达给你,请按照要求认真完成。

可逆矩阵知识点总结

可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。

例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。

2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。

假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。

由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。

二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。

因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。

- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。

证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。

- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。

因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。

2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。

当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。

例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。

正定矩阵的性质及应用

[1]刘仲奎等，高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003. [2]北大数学系几何与代数研究室.高等代数[M].北京：高等教育出版社. [3]王卿文.高等代数数学综论[M].香港：香港天马图书有限公司， 2002. [4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M]. 高等教育出版社.
§1 0 0 ·
例
1
矩阵
A=
¨ ¨
0
2
-1¸¸ 的正惯性指数为 3，所以 A 是正定
¨© 0 -1 3 ¸¹
矩阵.矩阵
§0 1 1 ·
B=
¨ ¨
1
0
-3¸¸
¨© 1 -3 0 ¸¹
的秩为 3，但正惯性指数为 2≠3，即 B 不能合同于 I3，所以 B 不是正定矩阵。
例 2 证明：如果 A 是正定矩阵，那么 A-1 也是正定矩阵.
利用构造法巧解高中数学问题
王运行
（兰州新区舟曲中学甘肃兰州 730087）
【摘要】在中学数学中，构造法在技巧与方法中占据着非常重要的地位，它可以起到化繁为简，化难为易的作用，将中学数学中的技巧性展示的淋漓尽致。下面笔者将从一些常见的数学问题中来阐述构造法的具体应用。
【关键词】构造；转化；中学数学解题应用【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）16-0266-02
aij xi x j 是正定二次型。
i1 j1
证明：必要性设 A 是正定矩阵，则 A 与 In 合同，即存在 n 阶可逆矩阵 P，使得
令那么
PT AP In X PY
f x1, x2,", xn X T AX PY T A PY
= Y T PT APY Y T InY

正定矩阵的性质

法拟合出的曲线模型 , 拟合效果最好 . 其次 , 用等间隔时间序列分析方法拟合出的模型来预测 9 月 29 日和 9 月 30 日的震级 , 其误差分别为 3. 28% 和 2. 02 % , 而用记录值理论拟合出的模型 , 误差仅为 0. 1% . 综上所述 , 记录值方法分析效果更好 . 记录值在很多领域有着广泛的应用 , 但是目前还没有相关的用记录值理论分析地震余震序列的文章 . 通过本文对于汶川地震余震序列的分析 , 以后可以把该方法应用到类似的地震余震分析中 .
1 于是 ann - aT A n- 1 a =
存在某个排列矩阵 P, 使 P T AP 的 k 阶顺序主子式为 i1 ik A . 因为 A > 0, 由 ( 1 )基本性质知 P T AP > 0 ,从 i1 ik
+ 1
=
i= 1
(
i
+ 1) . ( 下转 112 页 )
数学学习与研究 2011 3
1 ann A n- 1a
i1 ik > 0 . i1 ik 充分性由性质 2 即得 . 性质 3 n 阶 H er m ite矩阵 A 正定的充分必要条件是存在 n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得 A = LL T. 证明充分性明显 . 必要性 . 若 A 是 n 阶正定矩阵 , 由性质 2 知 A 的顺序主子式全大于零 , 由定理知 , A 有唯一的 LDU 分解 : A = L 1D U1 , 其中 L 1 , U1 分别为单位下三角矩阵和单位上三角矩阵 , D = d iag ( d 1 , d 2, , dn ) 且 d i > 0 ( i = 1, T T T 2, , n ). 因为 AH = A, 则 A = L 1 DU 1 = UT 1 D L 1 = A . 由 LDU T T 分解的唯一性 , 有 L 1 = U1 , 从而有 A = L 1 DL 1 . 令 L = 而由性质 1 有 A L 1 diag( d 1, d 2, , d n ), 则 L 是非奇异下三角矩阵 , 并且 A = LLT . 性质 4 若 A, C 均为 n 阶 H er m ite 正定矩阵 , 且 AC = CA, 则 AC 为正定矩阵 . 证明因为 ( AC ) T = CT AT = CA = AC, 所以 AC 是 H erm ite矩阵 . 又因为 A > 0, 由性质 1 知 , 存在 n 阶可逆 H erm ite矩阵 B 使 A = B 2 , 于是 B - 1 (A C ) B = BCB = B T CB, 则 AC 与 BT CB 具有相同的特征值 , 由 C > 0 及 ( 1 ) 基本性质知 B T CB > 0 , 故 BT CB 的特征值均为正数 , 从而 A C 的特征值均为正数 , 由性质 1 知 AC > . 2 二次型正定矩阵的性质及其应用二次型 f = xT Ax 正定即 x 0 , 恒有 xT A x > 0. 有如下性质 : 性质 1 f = xTA x 的正惯性指数为 n. 例 1 设 A 是 m n, m < n 矩阵 , 证明 AA T 正定 r (A ) = m. 分析本题在顺推的时候用到 1 基本性质 2. AAT 正定 r (A ) = m. AAT 正定 |AAT | > 0, r (AAT ) = m r (A ) , 又 r (A ) m, 故 r( A ) = m, r (A ) = m AA T 正定 . 在逆推时用到性质 1 . r (A ) = m, 任给 x 0, 则 A x 0, 故 xT AAT x = (A x ) T (Ax ) > 0 , AAT 是正定阵 . 性质 2 存在可逆矩阵 P, 使得 P T AP = I. 例 2 设 A 是 n 阶正定矩阵 , E 是 n 阶单位矩阵 , 证明 A + E 的行列式大于 1 . 分析本题主要在中间转换的过程中用了性质 2, 而在最后式子判断的时候运用了性质 3, 即特征值全部为零 , 所以 i + 1> 1. 对于正定矩阵存在正交阵 P 使 P - 1 AP = P T AP = diag { 1 , 2, , n } , 其中 i > 0 ( i = 1, 2 , , n )是 A 的特征值 , 所以 A = P d iag{ 1, 2 , , n }P - 1 . |A + E | = |P d iag{ 1, 2, , n } P - 1 + E | = P [ d iag{ 1, 2 , , n } + E ]P - 1 1+ 1 2 + 1 = |P | |P - 1 |

正定矩阵的重要性质

正定矩阵的重要性质
封京梅
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2011(000)024
【摘要】矩阵是数学中一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具,而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值,单位矩阵,上三角矩阵.可逆矩阵这些知识给出正定矩阵的一些重要性质,希望能起到推广正定矩阵应用的作用.
【总页数】1页(P103)
【作者】封京梅
【作者单位】陕西广播电视大学工程管理系
【正文语种】中文
【相关文献】
1.两类分块矩阵的性质与矩阵正稳定和亚正定判定 [J], 游兆永;黄廷祝
2.正定二次型的几个等价条件以及正定矩阵的若干性质 [J], 张淑娜;郭艳君
3.关于正定矩阵平方根分解性质的讨论及正定矩阵某个特征的证明 [J], 苏尔
4.半正定二次型及半正定矩阵性质的推广 [J], 魏慧敏
5.正定矩阵的性质研究及应用 [J], 李绍刚; 迟晓妮
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正定矩阵的判定

正定矩阵的判定摘要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。

关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型The Determination Of The Positive Definite MatrixName:Zheng Shasha Student Number:200640501443Abstract : In view of the importance and the wide range of applications of positive definite matrix, this paper gives several equivalent conditions of the of the determintion positive definite matrix, also proves them one by one , and assist some typical examples.Key words : Positive definite matrix; Orthogonal matrix; determinant; Characteristic value; Positive definite quadratic form一、利用定义（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有T X AX 0>。

正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。

例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则TP AP 也是正定矩阵。

证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。

1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量X =12x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。

正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用摘要：正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。

矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。

把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字：正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5）一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，，为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，，称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，，处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件）设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，，定理 2.（极值的充分条件）设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，，则：（1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。

正定矩阵与性质

2(2 t 2 ) (2 t)2
22
4 2t 2 4 4t t 2 3t 2 4t t(3t 4) 0. t(3t 4) 0, t1 4 / 3, t2 0. 4 / 3 t 0.
23
定义实对称矩阵A的第 i1 ,L , ik 行和第 i1 ,L , ik 列的元素组成的行列式称为主子式.
25
证明由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT. 8. 若A为n阶正定矩阵,r(Pnm ) m n, 则 P T AP 正定. 证明对于任意m维列向量 X O, 由于 r(Pnm ) m n, 矩阵P的列向量组线性无关, PX 是P的列向量的非零线性组合,故 PX O, 而A正定,故
12
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进
定义给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素组成的行列式
As | aij |ss , s 1,L , n 称为A的顺序主子式.即
A1
(a11 ), A2
a11
a21
a12 a22
, A3
a11
a21
a31
a12 a22 a32
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
9
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可逆,PX≠o,故 X o