判断可逆矩阵的方法

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求可逆矩阵的四种方法

求可逆矩阵的四种方法可逆矩阵是线性代数中的重要概念，具有很多应用。

本文将为大家介绍可逆矩阵的四种求解方法，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 列主元素消元法列主元素消元法是一种求解可逆矩阵的常见方法。

这种方法的基本思想是将矩阵的每一列中绝对值最大的元素作为主元素，通过消元达到求解可逆矩阵的目的。

消元的过程中需要遵循一定的规则，如保持主元素所在的列不变等。

2. 求逆矩阵法求逆矩阵法是另一种常用的方法。

这种方法的核心是根据矩阵的伴随矩阵求解矩阵的逆矩阵。

求伴随矩阵的过程需要先求出矩阵的行列式，并计算每个元素的代数余子式。

最后将代数余子式按照矩阵对应位置构成伴随矩阵即可。

逆矩阵的求解需要将伴随矩阵除以矩阵的行列式。

3. 奇异值分解法奇异值分解法也是求解可逆矩阵的重要方法之一。

该方法通过将矩阵进行奇异值分解，从而得到矩阵的逆矩阵。

奇异值分解的过程需要求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成新的矩阵，再将特征值按照从大到小的顺序排列成对角矩阵。

最后通过逆矩阵的公式求解得到原矩阵的逆矩阵。

4. LU分解法LU分解法是一种常用的矩阵分解方法，也可用于求解可逆矩阵。

该方法先将原矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，然后通过求解分解后的矩阵求解原矩阵的逆矩阵。

LU分解的过程需要使用高斯-约旦消元法将矩阵化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积的形式，然后通过回代求解得到原矩阵的逆矩阵。

综上所述，可逆矩阵的求解方法有很多种。

通过列主元素消元法、求逆矩阵法、奇异值分解法和LU分解法，我们可以得到矩阵的逆矩阵。

这对于线性代数的学习是非常重要的，也为日后的求解问题提供了重要的基础。

矩阵可逆的若干判别方法.doc

山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法郭晓平姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学0701班班级学号**********指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。

在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。

而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。

鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。

其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。

另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。

【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。

二阶矩阵的可逆矩阵

二阶矩阵的可逆矩阵
摘要：
一、可逆矩阵的定义
二、二阶矩阵的可逆矩阵判定条件
三、可逆矩阵的性质
四、求解二阶矩阵的可逆矩阵方法
正文：
矩阵的可逆性是矩阵理论中的一个重要概念，特别是在二阶矩阵中，可逆矩阵的判定和性质有着非常直观的理解。

一、可逆矩阵的定义
一个可逆矩阵，也被称为非奇异矩阵，是指与其行列式值非零的矩阵，即如果一个n阶矩阵A的行列式|A|≠0，则称A为可逆矩阵。

二、二阶矩阵的可逆矩阵判定条件
对于二阶矩阵，我们可以通过行列式的值来判断其是否可逆。

具体来说，如果一个二阶矩阵A的行列式|A|≠0，则A是可逆矩阵。

这是因为，二阶矩阵的行列式可以表示为其主对角线元素之积减去副对角线元素之积，如果这个值非零，那么矩阵A就可以通过初等行变换进行逆矩阵的求解。

三、可逆矩阵的性质
可逆矩阵具有很多重要的性质，其中包括：可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一，即对于任意可逆矩阵A，都存在唯一的逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵；可逆矩阵的行列式与其逆矩阵的行列式互为倒数，
即|A|·|A^-1|=1。

四、求解二阶矩阵的可逆矩阵方法
对于二阶矩阵，我们可以通过初等行变换来求解其可逆矩阵。

具体来说，设A=|a11 a12|，|a21 a22|，我们可以通过交换行或者用非零行的倍数替换行来得到单位矩阵，这样得到的矩阵就是原矩阵A的可逆矩阵。

证明矩阵可逆的9种方法是

证明矩阵可逆的9种方法是矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。

下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。

方法一：行列式法要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。

如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。

方法二：逆矩阵法如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。

方法三：初等变换法通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。

如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。

方法四：伴随矩阵法对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。

如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。

方法五：特征值法计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。

方法六：线性相关法将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。

方法七：投影矩阵法如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。

方法八：正交矩阵法如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。

方法九：哈达玛矩阵法如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。

以上是证明矩阵可逆的9种方法。

每种方法都有其独特的思路和侧重点。

可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。

§1.5可逆矩阵

1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知当A，B可逆时，它们有唯一解：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1

2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；

矩阵可逆的条件

矩阵可逆的条件矩阵可逆是线性代数中一个重要的概念，一个矩阵是否可逆对于很多问题都有着重要的意义。

矩阵可逆的条件是怎样的呢？下面我们来详细介绍。

矩阵的定义首先，我们来回顾一下矩阵的定义。

矩阵是一个二维数组，由m行n列的数构成。

比如一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix} \]其中每一个\(a_{ij}\)表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的可逆一个矩阵A可逆的条件是存在一个矩阵B，使得\[AB=BA=I\]，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵可逆，那么我们称这个矩阵为非奇异矩阵；如果一个矩阵不可逆，那么我们称这个矩阵为奇异矩阵。

矩阵的条件矩阵可逆的条件有以下几个方面：行列式不为0对于一个n阶方阵A，如果它的行列式\[|A|eq 0\]，那么矩阵A是可逆的，反之亦然。

行列式不为0保证了矩阵A的列是线性独立的，使得矩阵A可以被逆矩阵所逆。

矩阵秩等于行数矩阵A的秩等于它的行数时，矩阵A是可逆的。

这是因为矩阵的秩反映了矩阵A的列空间的维数，如果矩阵的秩等于行数，那么矩阵的列空间就是整个空间，所以矩阵A是可逆的。

列向量线性无关如果一个矩阵的列向量线性无关，那么这个矩阵是可逆的。

列向量线性无关保证了矩阵A的列是一个基，可以表示整个空间，从而使得矩阵A是可逆的。

总的来说，矩阵可逆的条件主要包括行列式不为0、矩阵的秩等于行数和列向量线性无关。

只有在满足这些条件的情况下，一个矩阵才是可逆的。

结论矩阵可逆是线性代数中一个非常重要的概念，矩阵的可逆性决定了很多问题的解的存在性。

通过本文的介绍，我们了解了矩阵可逆的条件，包括行列式不为0、矩阵的秩等于行数和列向量线性无关。

希望本文能帮助读者更好地理解矩阵的可逆性。

矩阵可逆的若干判别方法

毕业论文题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院专业：姓名：学号：指导老师：完成时间：摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法, 其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.AbstractMatrix is a very important concept in mathematics and is a main object of study on linear algebra and important tool.Invertible matrix plays a very important role in the matrix theory.Deciding whether a matrix reversible plays a vital role in matrix operations. To provide more convenient methods to calculating inverse matrix, this article introduces several methods, including definition method，determinant method, elementary transformation method, eigenvalue discriminant method, rank discriminant analysis, feature value determination method and ect.，according to the different characteristics of different matrixs.It also briefly demonstrates the principle and provides the relevant examples.Keyword: Invertible matrix；Elementary transformation；Rank; Feature value.目录引言矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.第一章矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念定义1.1n级方阵A称为可逆的，如果有n级矩阵B,使得==（1）AB BA E这里E是n级单位矩阵.注可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且1A-与A为同阶方阵,即11A A AA E --==.定义1.2 如果B 适合（1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记作1-A .定义1.3 如果n 阶方阵A 的行列式不等于0 ,则称A 是非奇异的（或非退化的）；否则称A 是奇异的（或退化的）.定义1.4 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ija 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为A 的伴随矩阵.定义 1.5 矩阵()ij m n A a ⨯=中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()r A .定义1.6 设()ij m n A a ⨯=, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为()r A .定义1.7 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义1.8 矩阵的三类初等变换： (1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列) 乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵ij p 表示将单位矩阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：101101ij p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.注 ij p 也可以由单位矩阵的第i 列与第j 列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵)(c p i 等于将常数)0(≠c c 乘以单位阵的第i 行（或i 列）而得到的矩阵：1()1i p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 第三类初等矩阵()ij P c 表示将单位阵的第i 行（第j 列）乘以c 后到第i 行（第j 列）上得到的矩阵：101()01ij p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 定义1.9 如果n 阶矩阵A 满足E A A T =(即T A A =-1), 则称A 为正交矩阵. 定义1.10 如果矩阵B 可以由矩阵A 经过有限次初等变换得到，则称矩阵A 与B 是等价的.1.2 基本定理和推论定理1.1 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化，而A 可逆时1*1(||0)A A d A d-==≠证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：**000000d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）其中d A =如果0d A =≠那么由（2）得**11()()A A A A E d d==（3）当||0d A =≠，有（3）可知，A 可逆，且1*1A A d-=.反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=.两边取行列式，得11A A E -==,因而||0A ≠，即A 非退化.定理 1.2 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左侧乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.定理1.3[克拉默法则] 若非齐线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组有唯一解，其解为,1,2,,j j D x j n D==其中(1,2,,)j D j n =是将系数行列式D 中第j 列的元素12,,,j j nj a a a 对应地换成方程组右端的常数项12,,,n b b b ，而其余各列保持不变得到的行列式.若线性方程组的常数项0(1,2,,)i b i n ==，即111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，称为齐次线性方程组.定理 1.4 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组只有零解.证：因为0D ≠，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解,1,2,,jj D x j n D==，又因0(1,2,,)i b i n ==，可知行列式j D 中的第j 列元素全为零（1,2,,j n =），因为0(1,2,,)j D j n ==，齐次线性方程组只有零解. 定理1.5 任意一个矩阵()ij m n A a ⨯=都与一个形如rE O D OO ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵等价.矩阵D 称为矩阵A 的标准型.证明：若A O =,则A 已是标准型（此时0r =）,结论成立. 若A O ≠,则A 中至少有一个元素不等于零，不妨设110a ≠，用111i a a -乘以第一行加到第i 行上(1,2,,)i m = ，再将所得矩阵的第一列乘以 111j a a -加到第j 列上(1,2,,)j n = ，并将11a 化为1，于是矩阵A 化为''2221''2100010n m mn a a O A O A a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，若1(1)m A O -⨯=（n-1），则已为标准型（此时1r =），若1(1)m A O -⨯≠（n-1），则按上面的方法继续下去，最终有rE O A O O ⎡⎤→→⎢⎥⎣⎦. 推论1.1 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶初等矩阵12,,,s P P P 和n 阶初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使得2112r s t E O P P P AQ Q Q O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令21sP P P P =,12t Q Q Q Q =，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此P ,Q 为可逆矩阵，从而有如下推论.推论1.2 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当A 为n 阶可逆矩阵时，由A 可逆的充分必要条件，0A ≠.又由推论1.2，存在n 阶可逆矩阵P , Q ,使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而 0PAQ P A Q =≠于是只有r n =，所以由如下推论.推论1.3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是的A 等价标准型为n E .推论 1.4 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：由推论1.1和推论1.3可知，A 可逆的充分必要条件是存在n 阶初等矩阵12,,,s P P P 和12,,,t Q Q Q ，使得 2112st n P P P AQ Q Q E =而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有1111111221s n t A P P P E Q Q Q ------=1111111221s t P P P Q Q Q ------=.第二章矩阵可逆的性质性质2.1 若A 是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.证明：若,B C 都是的A 逆矩阵，则B 与C 均满足式AB BA E ==，即,AB BA E AC CA E ====从而有()()B BE B AC BA C EC C =====即的逆矩阵是唯一的.性质2.2 若A 可逆，则1A -可逆，且A A =--11)(证明：由11A A E AA --==可得1A -可逆且A A =--11)(性质2.3 若A 可逆，则T A 也可逆，且11()()T T A A --=证明：因为11()()T T T T A A A A E E --===,所以T A 可逆，且11()()T T A A --=性质2.4 若A ,B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆且111()AB B A ---=证明：若A ,B 可逆，则1A -，1B - 存在且()()111111()AB B A A BB A AEA AA E ------====所以AB 可逆且111()AB B A ---=若12,,,m A A A 均为同阶可逆方阵，则它们的乘积12m A A A 也可逆且()11111221m mA A A A A A ----=性质2.5 若12,,,m A A A 均为可逆方阵，那么12m A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦也可逆且111121m A A A A ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦性质2.6 若A 可逆，0k ≠，则kA 可逆且111()kA A k --=证明：若A 可逆，则0A ≠，又0k ≠，可得0n kA k A =≠,所以kA 可逆，再由11111()()()kA A k AA AA E k k---=⋅==得111()kA A k --=性质2.7 若A 可逆，则11A A-=. 证明：若A 可逆，则存在1A -，使得1AA E -=, 11AA E -==。

可逆矩阵的判定及求法

逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念袁必须深入理解.
关于逆矩阵的一条基本定理是院方阵 A 可逆圳|A|≠ 0袁且当
A
可逆时袁有
A-1=
1 dБайду номын сангаас
A*. 求逆矩阵的方法有定义法尧公式法尧
初等变换法尧分块矩阵求逆法等袁其中袁初等变换法是求逆
矩阵的基本方法 .
1 基本概念与判定尧性质
1.1 逆矩阵的定义
A-1=PsPs-1噎P1
初等行变换
即有[A,E]要要要→渊 PsPs-1噎P1A,PsPs-1噎P1E冤 =(E,A-1) 渊 2冤初等列变换法院仿 1 的分析可得到
蓸蔀蓸蔀蓸蔀 A E
初等列变换 AQ1 噎 Q1 要要要→
EQ1 噎 Q1
E =
A-1
蓘蓡例 3
设 X=
2 1
5 3
要计算 |A|袁计算量较大袁且容易出错袁因此用公式法求矩阵
的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵袁以及
理论问题.例如二级尧三级矩阵就适用公式法袁四级矩阵用此
法就比较麻烦.
2.3 初等变换法
渊 1冤初等行变换法
因为当 n 级方阵 A 可逆时袁A 可由初等行变换化成单
位矩阵袁即 PsPs-1噎P1A=E. 于是 PsPs-1噎P1E=A-1,这里 PsPs-1噎P1 都是初等矩阵袁可见
阵运算规律从矩阵方程中凑出 AB=E渊或 BA+E冤的形式袁从
而可得 A-1=B.这一方法适用于抽象矩阵求逆.
蓘蓡例 1
设 A=
a c
b d
袁ad-bc曰求 A-1.
解因为 |A|=ad-bc=1 ≠ 0 所以 A 可逆.

可逆矩阵

(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高等代数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2

An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n

高等代数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高等代数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是性质2

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (2122212)12111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

可逆矩阵的概念

The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2) Q A = a1a2 L an ,
可逆. ∴ 当 ai ≠ 0 ( i = 1,2,L , n) 时，A可逆. 可逆且由于
− a1 1 1 a1 −1 1 a2 a2 =E = O O O −1 an 1 an − a1 1 − −1 a2 1 ∴ A = . O − an 1
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Dr. Zhi hui Li
四、矩阵方程
1. 线性方程组 .
a11 x1 + L + a1n xn = b1 LLLLLLLLL an1 x1 + L + ann xn = bn
(1)
x1 b1 x2 b2 令 A = (aij )n×n , X = M , B= M x b n n
A −1
( ) 1 d −b = ad − bc ( − c a )
.
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Dr. Zhi hui Li
0 3 3 练习已知 A = 1 1 0 , AB = A + 2 B, 求矩阵B．求矩阵． −1 2 3
解：由 AB = A + 2 B ，得 ( A − 2 E ) B = A ，又
1 −1 3 3 −1 ∴ A − 2 E 可逆，且 ( A − 2 E ) = −1 1 3 可逆， 2 1 1 −1 0 3 3 −1 ∴ B = ( A − 2 E ) A = −1 2 3 1 1 0

逆矩阵的几种求法及解析

. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

逆矩阵的几种求法与解析

因此E-A是可逆矩阵,且
(E-A) = E + A + A +…+A .
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A) = E -A + A +…+（-1） A .
由此可知,只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A的逆矩阵.
例2设A = ,求E-A的逆矩阵.
分析由于A中有许多元素为零,考虑A 是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.
3.伴随阵法
定理n阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A =
其中A 是中元素a 的代数余子式.
矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A = A*.
证明必要性：设A可逆，由AA =I，有 = ，则 = ，所以 0，即A为非奇异.
充分性：设A为非奇异，存在矩阵
B= ，
其中
AB=
X= A ，Y=0，Z=0，W= A
故 A =
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
=
4.2.准三角形矩阵求逆
命题设A 、A 都是非奇异矩阵，则有
=
证明因为 =
两边求逆得
=
所以 =
=
同理可证
=
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1计算（A+4E）（4E-A）（16E-A ）的行列式，其中 A=

简谈矩阵可逆的判别法与其运用

简谈矩阵可逆的判别法与其运用内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。

首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。

下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。

关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，1.导言：矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。

2.预备知识：逆矩阵定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ；这里E是单位矩阵。

记作B=1-A 。

判别法1：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化。

判别法2：n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。

引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解。

引理4:对矩阵A 进行初等行（列）变换得到矩阵B ，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。

引理5：设∂是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数0λ，存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=∂.那么0λ称为∂的一个特征值，而ξ称为∂的属于0λ的一个特征向量。

引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称A A E A A E P A n --∈⨯λλ,n且A E -λ=()()A S S nk n k kn n 1111-++-++--- λλλ，其中k S 为A 中一切k 阶主子式之和，由此可知A E -λ=0在P 中最多有n 个不同的解，但在P 中也可能没有一个解，但在复数域C 中，A 一定有n 个解（包括重根个数）。

矩阵可逆的判别方法

矩阵可逆的若干判别方法学院：数学与数量经济学院班级：数学与应用数学1班姓名：黄新菊学号：1250411025 内容摘要：学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。

矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。

可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。

例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。

并且还可以物理、经济等各种问题。

有重要的理论和实践意义。

所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。

关键词：矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。

导言：高等代数已经学了差不多两个学期。

自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。

前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。

而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。

突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。

为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。

我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。

希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。

整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。

正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。

有关矩阵的逆的定义：定义1：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是级单位矩阵. 即称A 可逆，B 为A 的逆。

(AB 1-=)定义2：设矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=a aa aa a a aa Ann n n n n............ (2)12222111211 中元素a ij 的代数余子式，矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=A AA A A A A AA A nnn n n n ... (2)12222111211* 称为A 的伴随矩阵。

检验逆矩阵方法的原理是

检验逆矩阵方法的原理是
检验一个矩阵是否可逆的方法是通过计算该矩阵的行列式是否为0。

如果行列式不为0，则该矩阵可逆，可以计算出它的逆矩阵。

如果行列式为0，则该矩阵不可逆，没有逆矩阵存在。

具体地说，如果一个n阶矩阵A的行列式不为0，那么矩阵A就可逆，且它的逆矩阵可以表示为A的伴随矩阵除以A的行列式。

也就是说，如果A的行列式不为0，则它的逆矩阵A^-1为：
A^-1 = adj(A) / det(A)
其中，adj(A)为A的伴随矩阵，det(A)为A的行列式。

因此，检验逆矩阵方法的原理是通过计算矩阵的行列式是否为0来确定该矩阵是否可逆，从而决定是否能够计算出该矩阵的逆矩阵。

n阶矩阵可逆的充分必要条件

n阶矩阵可逆的充分必要条件矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵可逆性是矩阵理论中的关键性质。

本文将探讨矩阵可逆的充分必要条件。

一、矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个按照矩形排列的数的集合。

一个矩阵被描述为“m × n 矩阵”，其中 m 和 n 分别表示矩阵的行数和列数。

一个m × n 矩阵可以写成如下形式：矩阵 A = [a_{ij}]_{m × n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}其中 a_{ij} 表示矩阵中第 i 行第 j 列元素。

二、矩阵可逆的定义设 A 是一个n × n 矩阵，如果存在一个n × n 矩阵 B，使得AB = BA = I_n，其中 I_n 是 n 阶单位矩阵，那么矩阵 A 称为可逆矩阵，B 称为 A 的逆矩阵，记作 A^{-1}。

三、矩阵可逆的充分必要条件矩阵可逆的充分必要条件可以通过多种方式进行证明，下面将介绍两种常用的方法。

1. 行列式判别法设 A 是一个n × n 矩阵，如果det(A) ≠ 0，其中 det(A) 表示矩阵 A 的行列式，那么 A 是可逆矩阵。

证明：假设 A 是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵 B，使得 AB = BA = I_n。

根据行列式的性质，有det(AB) = det(A)det(B) = det(B)det(A) = det(BA) = det(I_n) = 1。

由于 A 是可逆矩阵，所以det(A) ≠ 0。

广义可逆矩阵

广义可逆矩阵广义可逆矩阵是指在数学中，对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵A就是可逆矩阵，同时矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。

对于一个n×n的矩阵A，如果矩阵A是可逆矩阵，那么也意味着矩阵A的行和列线性无关，在这种情况下，可以通过消元法将矩阵A 转换为一个单位矩阵。

通过矩阵的初等变换，可以将单位矩阵转换为矩阵A的逆矩阵。

要判断一个矩阵是否可逆，可以使用行列式的方法。

如果矩阵A 的行列式不等于0，那么矩阵A是可逆矩阵。

这是因为行列式等于0表示矩阵A的行向量或列向量线性相关，从而不满足可逆的条件。

另外一个判断矩阵是否可逆的方法是使用秩的方式。

如果矩阵A 的秩等于矩阵的维度，即rank(A)=n，那么矩阵A是可逆矩阵。

这是因为秩等于维度意味着A的行向量和列向量都是线性无关的，从而可以通过初等变换将单位矩阵转换为逆矩阵。

在实际应用中，可逆矩阵有很大的重要性。

可逆矩阵是线性变换的基本工具之一，可以用来表示坐标变换、几何变换等。

例如，在计算机图形学中，矩阵的可逆性可以用来进行平移、旋转、缩放等变换。

另外，可逆矩阵在线性方程组的求解中也有着重要的应用。

对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆的，那么可以通过A的逆矩阵求得x=A^(-1)b，从而解出线性方程组的解。

可逆矩阵还有着很多重要的性质。

首先，如果矩阵A和矩阵B都是可逆矩阵，那么矩阵AB也是可逆矩阵，且有(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。

此外，矩阵A的逆矩阵也一定是唯一的，没有其他的逆矩阵。

在一些特殊情况下，矩阵可能没有逆矩阵。

这种矩阵被称为奇异矩阵或非可逆矩阵。

奇异矩阵的行列式等于0，意味着其行向量或列向量线性相关。

奇异矩阵在一些应用中是非常重要的，例如在图像压缩中使用的奇异值分解算法(SVD)。

总结起来，广义可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵。

可逆矩阵在数学和应用中有着广泛的应用和重要性，可以用来进行坐标变换、线性方程组的求解等。