九年级数学辅导： 二次函数图象的变换
二次函数图象的几何变换(图文运用)
二次函数图象的几何变换知识点拨一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称例题精讲【例12】 如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．DCBAO【例13】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例14】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例15】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例16】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++【例17】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例18】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例19】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例20】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．yxO A B My x O A B MMNBAO x y⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例21】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．Oyxh(x)=(x -2)2。
二次函数图像的变换与解析式
二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。
在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。
首先，我们来讨论二次函数图像的变换。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。
首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。
当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。
这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。
其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。
当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。
这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。
最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。
当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。
这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。
除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。
例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。
接下来，我们来讨论二次函数的解析式。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。
首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。
其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。
然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。
接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。
最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。
通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。
二次函数的变换规律
二次函数的变换规律二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种常见的数学函数形式。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的变换规律，即通过对函数中的参数进行变化，能够改变函数的形状和位置。
在本文中，我将详细介绍二次函数的变换规律，以加深对该主题的理解。
1. 平移变换平移变换是指通过改变二次函数的平移量，使函数图像在坐标平面上上下左右移动。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在平移变换中，平移量为h和k，表示在横轴和纵轴上的平移距离。
1.1 沿x轴平移二次函数沿x轴正方向平移h个单位，相当于将函数图像向左移动h个单位；沿x轴负方向平移h个单位，相当于将函数图像向右移动h个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = a(x-h)² + bx + c，其中h代表横轴的平移量。
1.2 沿y轴平移二次函数沿y轴正方向平移k个单位，相当于将函数图像向上移动k个单位；沿y轴负方向平移k个单位，相当于将函数图像向下移动k个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = ax² + bx + (c-k)，其中k代表纵轴的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是指通过改变二次函数的参数a和导致函数图像的纵向和横向的缩放。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在缩放变换中，缩放因子为p和q，表示纵向和横向的缩放比例。
2.1 纵向缩放当缩放因子p大于1时，二次函数的图像会纵向收缩；当p在0和1之间时，二次函数的图像会纵向拉伸。
缩放后的函数可表示为f(x) = pax² + bx + c，其中p表示纵向缩放因子。
2.2 横向缩放当缩放因子q大于1时，二次函数的图像会横向拉伸；当q在0和1之间时，二次函数的图像会横向收缩。
缩放后的函数可表示为f(x) =a(qx)² + bx + c，其中q表示横向缩放因子。
3. 翻转变换翻转变换改变了二次函数图像的方向。
九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》二次函数图象变换秘诀 (新版)北京课改版-北京
二次函数图象变换1. 二次函数图象关于x轴对称变换变形：特点：a、b、c符号都改变；依据：点关于x轴对称，该点的横坐标不变，纵坐标变为相反数；图例：2. 二次函数图象关于y轴对称变换变形：特点：a、c符号不变，b符号改变；依据：点关于y轴对称，该点横坐标变为相反数，纵坐标不变；图例：3. 二次函数图象关于原点中心对称变换变形：特点：a、c符号改变，b符号不变；依据：点关于原点对称，该点的横纵坐标都变为相反数；图例：4. 二次函数图象关于顶点中心对称变换变形：特点：变为顶点式后a符号改变；依据：变换后顶点坐标不变，开口大小不变，只改变开口方向；图例：例题1（某某）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，43），M是OA的中点。
（1）求此二次函数的解析式。
（2）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A，B′为B关于x轴的对称点，在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D。
若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。
解析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）假设存在满足条件的点C ，由△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，可得点C 纵坐标是点D 纵坐标的3倍，由此列方程求出点C 的坐标。
答案：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y ＝ax 2＋bx ∵抛物线经过点A （4，0），B （2 ，43） ∴16a 4b 034a 2b 3+⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，解得3a 43b 3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴二次函数解析式为：2343y x =- （2）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：2343y x x 33=-+ 假设存在这样的点C ，∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍， ∴CD＝2MD ，∴CM＝3MD如下图所示，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，则有DE∥CF∴DE ME MDCF MF MC＝＝MD CM 3=∴CF＝3DE ，MF ＝3ME 令0=y ，则x x y 334332-=的图象与x 轴的交点坐标分别为)0,4(A ，)0,0(O ∵M 为OA 中点)0,2(M ∴ 设C2343x -（，）， 则MF ＝x －2，11ME MF x 233==-（），14OE ME OM x 33=+=+ ∴D2143144314x x x 333333+++（，（）（）） ∵CF＝3DE ， ∴223433144314x x 3[x x ]33333333-=-+++（）（）， 整理得：x 2－4x －8＝0，解得：12x 223,x 223=+=- ∴128383y y 33== ∴存在满足条件的点C ，点C 的坐标为：838322323+-（，，）点拨：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、翻折变换等知识点。
二次函数的像变换
二次函数的像变换二次函数是数学中的一种特殊函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——拱形或抛物线，且拥有一条对称轴。
在学习二次函数时，我们会涉及到像变换，即通过对函数图像进行平移、缩放或翻转等操作，从而改变函数图像的位置、大小和方向。
一、平移变换平移变换指的是将函数图像沿x轴或y轴方向进行移动，可以使图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移将函数图像沿x轴的正方向平移k个单位，可记作f(x - k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向左平移k个单位后的新函数为y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
2. 向右平移将函数图像沿x轴的负方向平移k个单位，可记作f(x + k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向右平移k个单位后的新函数为y = a(x - k)^2 + b(x - k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
3. 向上平移将函数图像沿y轴的正方向平移k个单位，可记作f(x) + k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向上平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c + k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
4. 向下平移将函数图像沿y轴的负方向平移k个单位，可记作f(x) - k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向下平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c - k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
二、缩放变换缩放变换指的是改变函数图像的大小，可以使图像变窄或变宽，变高或变矮。
二次函数图像的转化与性质
二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。
本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。
一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。
平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。
常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。
这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。
这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。
二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。
翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。
常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。
1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。
具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。
这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。
2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。
具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。
这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。
三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。
初三数学. 二次函数的图象判断和几何变换
二次函数的图象判断和几何变换模块一：二次函数的图象判断1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2．二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b 的正负性． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的正负性． （4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得2ba-与1±的大小关系，可得2a b ±的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a ，b ，c 的等式．（7）根据抛物线的顶点，判断244ac b a -的大小．模块二：二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x 轴对称关于x 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =---． （2）关于轴对称关于y 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =++． （3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是．2y ax bx c =++2y ax bx c =---y 2y ax bx c =++2y ax bx c =-+2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-2()y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =-+-． （4）关于点(,)m n 对称2()y a x h k =-+关于点(,)m n 对称后，得到的解析式是2(2)2y a x h m n k =-+-+- 3．二次函数图象的翻折函数的图象可以由函数通过关于x 轴的翻折变换得到．具体规则为函数图象在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．|()|y f x =()y f x =()y f x =模块一 二次函数的图象判断题组一：（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数()y a b x ac =++的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-2，则下列六个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -、24b ac -中，其值为正的式子的个数是（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，则22a b c a b c a b a b ++--+++--_______0．（填“>”、“<”或“=”）．图1-1 图1-2 图1-3题组二：（1）如图2-1，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③2b <-；④22()a c b +<，其中正确的结论有________．（填序号）（2）如图2-2，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)，下列结论：①20a b +<；②0abc <；③1a c +<-；④284b a ac +<，其中正确结论的有________．（填序号）（3）（成外半期）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3题组三：（1）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图3-1所示，它与x 轴两个交点分别为(1,0)-，30（，）．对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③102a b c --+<；④80a c +>．其中正确的有________．（填序号）（2）如图3-2，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是1x =-，且过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240a b c -+=；③251040a b c -+=；④320b c +>．其中正确的结论有________．（填序号） （3）如图3-3，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(10A -，），对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间（包括这两点），下列结论：①当3x >时，0y <；②30a b +<；③213a -≤≤-；④248acb a ->；其中正确的结论是_________．（填序号）图3-1 图3-2 图3-3题组四：（1）已知二次函数y ax bx c 2=+++2的图象如图4-1所示，顶点为(,)-10，下列结论：①abc <0；②b ac 2-4=0；③a >2；④a b c 4-2+>0．其中正确结论的个数是____________．（填序号） （2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图4-2所示，给出下列结论：①20a b +>；②若11m n -<<<，则bm n a+<-；③3||||2||a cb +<；④b ac >>，其中正确的结论有____________．（填序号）图4-1 图4-2yAO xx =1模块二 二次函数的几何变换题组一：（1）二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）． A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位（2）一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．（3）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6)，那么a 的值为__________． 题组二：（1）如图6-1所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-，则抛物线0C 的顶点坐标____________；将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线1C 、2C 、3C 、…、n C （n 为正整数），则抛物线n C 的解析式为___________． （2）如图6-2，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为___________．图6-1 图6-2题组三：已知二次函数221y x x =--，求：（1）与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （2）与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________． 题组四：已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ． （1）求1C 关于点(1,0)R 中心对称的图象2C 的解析式；（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A ，B ，当||18AB =时，求a 的值．xyO…C nC 1C 0题组五：作出2|5|y x x =+的函数图象． 题组七：已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1()2y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．复习巩固模块一 二次函数的图象判断（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数by ax c =-的图象不经过第________象限．（2）如图1-2，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-和(1,0)，给出五个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >；⑤9640a b c ++>．其中结论正确的是________．（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，其中结论正确的是________．图1-1 图1-2 图1-3（1）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2-1所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +>；④930a b c ++<；⑤80a c +>．其中结论正确的是________．（填序号即可）（2）如图2-2，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(,0)A x 、(2,0)B ，交y 轴正半轴于C ，且OA OC =．下列结论：①0a b c ->；②1ac b =-；③12a =-；④22bc +=，其中结论正确的是________．图2-1 图2-2Oyx模块二 二次函数的几何变换（1）（树德实验半期）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为________．（2）将函数2y x x =+的图象向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为________．（3）如图，在平面直角坐标xOy 中，抛物线1C 的顶点为(1,4)A --，且过点(3,0)B -： ①将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式_____________； ②写出阴影部分的面积S =_____________．（1）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．（2）已知二次函数234y x x =--的图象，将其函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线(1)y x n n =+<与这个新图象有两个公共点时，n 的取值范围为__________．y xOyxO AB。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
中考数学基础巩固与突破,二次函数的图像变换
二次函数是形式为f（x）= ax^2 + bx + c的多项式函数，其中a、b和c是常数。二次函数的图是抛物线，可以通过
二次函数图最常见的变换类型是：
垂直拉伸或压缩：当系数a发生变化时，就会发生这种情况。正值a将导致图形拉伸，而负值将导致压缩。
水平拉伸或压缩：当系数b发生变化时，就会发生这种情况。正值b将导致图形拉伸，而负值将导致压缩。
反射：当系数a改变其符号时，就会发生这种情况。正值a将导致向上ຫໍສະໝຸດ 抛物线，而负值将导致向下的抛物线。
转换：当系数c发生变化时，就会发生这种情况。正值c将导致在y轴上向上平移，而负值将导致在y轴上向下平移。
请务必注意，这些转换可以通过各种方式组合，以创建更复杂的图形转换。理解图的这些变换对于解决与二次函数相关的问题非常重要，例如找到顶点、对称轴和函数范围。
《二次函数的图像变换》
《二次函数的图像变换》
二次函数的图像变换是一种用来描述函数变化规律的重要内容，它是数学分析中不可或缺的一部分。
本文将主要介绍二次函数图像变换的基本原理，以及如何利用此变换来有效地描述函数的变化规律。
二次函数的图像变换是指利用一组特定的二次函数f(x)来对原
函数y=f(x)的图像进行变换，使得原函数的图像发生变化。
一
般来说，二次函数的图像变换可以分为三种：平移、拉伸/缩
放和旋转。
首先，我们来看平移变换，即将图像上每一点沿着特定方向移动一段距离。
使用二次函数实现图像平移变换时，只需要对原函数中的参数进行一定的调整就可以实现。
比如，可以通过调整函数中的常数项C来实现图像的水平平移变换。
接下来，我们再来看拉伸/缩放变换。
它是指将函数图像中每
一点沿着竖轴或者横轴方向进行缩放变换，使得函数图像发生变形。
利用二次函数进行拉伸/缩放变换时，可以通过调整函
数中a和b参数来实现，a控制纵轴变换，b控制横轴变换。
最后，我们再来看旋转变换，它是指将函数图像绕着原点旋转一定角度，使得图像转变方向。
二次函数的图像旋转变换可以通过调整函数中d参数来实现，d为旋转角度的对数，值越大，图像旋转越快，比如d=1时，将会旋转45度。
以上就是二次函数的图像变换的基本原理及方法，它是一种常
用的工具，可以用来实现函数图像的各种变形。
这样在数学分析过程中，可以更好地利用它来描述函数的变化规律，也就是说，它有助于我们更好地理解函数及其变化规律。
二次函数与三次函数的图像变换
二次函数与三次函数的图像变换在数学中，函数是数与数之间的一种对应关系。
它描述了输入值（自变量）和输出值（因变量）之间的关系。
二次函数和三次函数是常见的数学函数，它们都可以通过图像变换来进行研究和探索。
本文将介绍二次函数和三次函数的图像变换。
一、二次函数的图像变换二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数形式，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。
1.平移变换：y = ax^2 + bx + c + m将二次函数的图像上下平移m个单位，可以通过在原函数上或下方添加m来实现。
正的平移值表示向上平移，负的平移值表示向下平移。
平移变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是位置发生改变。
2.缩放变换：y = a(x - p)^2 + q将二次函数的图像沿x轴缩放p倍，y轴缩放q倍，可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。
当p>1时，图像水平方向收缩；当p<1时，图像水平方向拉伸。
当q>1时，图像竖直方向收缩；当q<1时，图像竖直方向拉伸。
缩放变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是大小发生改变。
3.翻折变换：y = -ax^2 - bx - c将二次函数的图像关于x轴翻折，可以通过在原函数前添加负号来实现。
翻折变换后的图像与原图像形状一致，只是关于x轴对称。
二、三次函数的图像变换三次函数是形如y = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数形式，其中a、b、c、d为常数。
三次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。
1.平移变换：y = ax^3 + bx^2 + cx + d + m将三次函数的图像上下平移m个单位，可以通过在原函数上或下方添加m来实现。
平移变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是位置发生改变。
2.缩放变换：y = a(x - p)^3 + q将三次函数的图像沿x轴缩放p倍，y轴缩放q倍，可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。
二次函数的变换
二次函数的变换引言二次函数是一种重要的数学函数之一，既有数学意义，也有实际应用价值。
通过一些基础的变换，我们可以得到更多的二次函数图像，这些变换方式不仅方便了我们的计算，也可以拓展我们的思维，提高我们的数学素养。
一、平移变换在二次函数图像中，如果我们希望将图像向左或向右平移，可以考虑在函数中加上一个常数。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(x-a)=(x-a)^2$时，其图像就会向右平移a个单位。
反之，如果我们写成$f(x+a)=(x+a)^2$，那么图像就会向左平移a个单位。
这个变换的实际应用是很广泛的，比如在地图上移动坐标轴。
二、缩放变换在二次函数图像中，如果我们需要缩放图像，那么我们可以改变函数中二次项系数的值。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(kx)=kx^2$时，其图像就会沿x轴方向缩放k倍。
当我们将其写成$f(x/k)=\frac{1}{k}x^2$时，其图像就会沿y轴方向缩放k 倍。
这个变换的实际应用比较广泛，例如在计算机图像处理中，可以对图像进行缩放。
三、翻转变换在二次函数图像中，如果我们需要翻转图像，那么我们可以改变函数的系数。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(-x)=x^2$时，其图像就会以y轴为对称轴进行翻转。
反之，如果我们写成$f(-x)=-x^2$，那么图像就会以x轴为对称轴进行翻转。
这个变换的实际应用比较多，例如在研究物理现象时，可以通过翻转图像得到更多的信息。
四、平移、缩放和翻转的组合变换在二次函数图像中，我们还可以通过组合上述变换来得到更多的图像。
例如，对于$f(x)=x^2$函数，我们希望将其变成以点(-a,b)为顶点，开口向上的二次函数。
那么我们可以进行如下组合变换：$f(x-a)=x^2$，然后将图像沿y轴方向缩放为$\frac{1}{b}$倍，最后将其沿x轴翻转。
这样，我们就可以得到所需的二次函数图像。
二次函数的图像和变换
二次函数的图像和变换二次函数是数学中一个重要的概念，在数学中有着广泛的应用。
本文将以二次函数的图像和变换为主题，介绍二次函数的基本性质、图像的特征以及常见的变换方式。
一、二次函数的基本性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负确定。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
二次函数的图像在坐标系中的对称轴为直线x = -b/2a，对称轴将图像分为两部分，称为左右分支。
当x值大于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而增大；当x值小于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而减小。
二、二次函数图像的特征1. 零点：二次函数的零点指的是函数图像与x轴（即y = 0）的交点，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的方程来确定。
二次函数的零点可能有0个、1个或者2个。
2. 非常数项c：二次函数的非常数项c代表了函数图像与y轴的交点，即在x = 0时的函数值。
如果c > 0，则函数图像与y轴正向交点在y轴上方；如果c < 0，则函数图像与y轴负向交点在y轴下方。
3. 极值点：二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近的点。
当a > 0时，函数的极值点为最小值；当a < 0时，函数的极值点为最大值。
极值点的横坐标为对称轴的横坐标，可通过对称轴方程得到。
三、二次函数的常见变换二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换方式进行图像的调整。
1. 平移：沿着坐标轴的平移可以调整二次函数图像的位置。
平移的方式有水平平移和垂直平移两种。
水平平移可以通过在x轴上添加或减去常数来实现，例如f(x) = (x - a)^2 + b表示将二次函数图像沿x轴平移a个单位，并沿y轴平移b个单位。
垂直平移可以通过在函数整体上加或减常数来实现，例如f(x) = x^2 + c表示将二次函数图像沿y轴平移c个单位。
九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解
九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解一、基础知识图像的平移：（1）平移：将图像F 每个点，都沿着同一个方向，移动相同的距离，得到一个新图像F '， 我们称这个过程为一次平移；常见的平移有向左（右）平移，向上（下)平移；（2）以二次函数的顶点式来说明二次函数的平移：020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向左平移h 020))((y x h x a y +-+=； 020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向上平移k k y x x a y ++-=020)(；归纳为：左加右减，上加下减**（3）对称：此处只学习关于x 轴、y 轴、原点对称；图形对称前后，形状、大小均保持不变。
20)(y x x a y +-=−−−−−→关于x 轴对称200()y a x x y -=-+， 即200()y a x x y =--- 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于y 轴对称200()y a x x y =--+， 即200()y a x x y =++ 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于原点对称200()y a x x y -=--+，即200()y a x x y =-+-二、例题解析与跟进训练：练习：求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．（1）y=4x 2+24x+35； （2）y=﹣3x 2+6x+2；（3）y=x2﹣x+3；（4）y=2x2+12x+18．例1 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．例2 已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．例3 已知二次函数y=﹣2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过（0，1）和（1，6）两点？写出平移后的函数解析式．例4 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．当堂练习1．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．2．（1）请在坐标系中画出二次函数y=﹣x2+2x的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出y=﹣x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式．注：图中小正方形网格的边长为1．3．已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，求这条抛物线的顶点坐标．4．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标；（2）阴影部分的面积S=______________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．5．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．6．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的解析式．7．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．8．一次函数y=x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B．（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y=x﹣3的图象；**（2）求二次函数的解析式及它的最小值．课后挑战1．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．2．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．。
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千 变 万 化
——二次函数图象的变换
【知识要点】
1．二次函数的表达式：
①一般式：2
y ax bx c =++ (a ≠0)
②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h
③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律
① 二次函数2(0)y ax bx c
a =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的
2y ax =的图象
顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。
Ⅰ.沿
x
轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+
Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =-
Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+
Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2
y ax k =-
3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．
（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2
（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2
（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=2
4．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】
2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ）
例1．（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？
（2）若抛物线2
y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
例2．抛物线3422+-=x x y 平移后经过点()()0,26,1-和，问应该怎样平移？
例3．抛物线2
y ax bx c =++向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着顶点旋转0180得到抛物线22
1x y =
，则a= ，b= ，c= . 例4．已知抛物线()21y a x h k =-+与2221y x x =+-开口方向和大小都相同，最低点的坐标是（-2，-1）．
（1）求抛物线1y 的解析式，并指出抛物线可否由2y 平移得到，如果可以，应怎样平移？
（2）求抛物线1y 与直线1y x =+的两交点的坐标及这两交点间距离．
例5．抛物线21:21l y x x =-+沿对称轴方向向下平移一个单位后得到抛物线2l ．
（1）求2l 的解析式．（2）若2l 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），顶点为D ，P 为2l 上一点，90PAD ∠=︒，求P 点坐标．
例6．一个抛物线与x 轴交于A （1,0x ），B （2,0x ），与y 轴交于C （30,y ）．如果把它向上平移
()904
a a >个
单位，再向左平移
52
个单位，就得到函数2y ax =的图像．若3y 是12,x x 的比例中项，求原抛物线的解析式.
【课堂练习】
一、选择题 1．将抛物线22y x =如何平移得到抛物线22(14)21y x =--（ ）
A ．向左平移14个单位，再向上平移21个单位。
B ．向左平移14个单位，再向下平移21个单位。
C ．向右平移14个单位，再向上平移21个单位。
D ．向右平移14个单位，再向下平移21个单位。
2．要从抛物线2211(1)322y x y x =-=-+-得到的图象，则抛物线212
y x =-必须（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位。
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位。
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位。
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
3．把抛物线23y x =向右平移一个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A ．23(1)2y x =--
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =++
D ．23(1)2y x =-+
4．与抛物线1542--=x y 形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线15
42--=x y 的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是（ ）
A ．3542+-=x y B.3542--=x y C.2542+-=x y D.25
42--=x y
5.下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( )
A ．y=2x
B ．y=―2x+5
C ．y=―3x
D ．y=―x 2
+2x ―1 6．抛物线bx x y +=22的对称轴在y 轴右侧，则b 的取值范围是（ ）．
A ．0>b
B ．4>b
C ．4->b
D 0<b 二．填空题
1．把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则抛物线的解析式为 。
2．把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是 。
3．将抛物线22y x =经过 可得到抛物线22(4)1y x =--。
4．将函数22(3)y x =-的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是 。
5．把函数2(1)y x =-的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式是 。
6．若抛物线2245y x x =--向左向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图象的解析式是 。
7．将抛物线223y x x =-+向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的解析式为 。
将抛物线223y x x =-+向 平移 个单位，再向 平移 个单位，便可得到2y x =的图象，抛物线223y x x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式为 。
8．抛物线2(0)y ax bx c
a =++≠向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着顶点旋转180°得到抛物线212
y x =，则a= ,b= ,c= 。
9．把函数212y x =的图象向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可得到21(3)22
y x =+-的图象。
10．把函数21(3)2
y x =-的图象向上平移2个单位，得到函数 的图象。
11．抛物线222
++=x x y 记作C ，直线12+=x y 记作L ，平行移动C ，使它与x 轴两交点的距离为4，
且与L 只有一个交点，此时C 的解析式为 ，平移方法为
12.把函数23x y -=的图象沿x 轴翻折,得到的图象的解析式是
三．解答题
1．（1）抛物线()3122+-=x y 是由抛物线22x y =怎样平移得到的？（2）若抛物线2x y -=向左平移2个单
位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式.
2．将抛物线2143y x x =---向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到22y ax bx c =++．
（1）求,,a b c 的值；
（2）设抛物线2y 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，求ABC ∆面积．
3．已知以x 为自变量的二次函数()()
341222-+-++-=m m x m x y ，m 为非负整数，它的图象与x 轴交
于点A 、B ，其中A 在原点左边，B 在原点右边．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一次函数b kx y +=的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且10=∆ABC S ，求一次函数解析式．
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1.抛物线4632++=x x y ，（1）与抛物线4632+-=x x y 关于 对称；（2）与抛物线4632
---=x x y
关于 对称；（3）与抛物线4632-+-=x x y 关于 对称；（4）与抛物线2632---=x x y 关于 对称.
2．（1）求与抛物线()2211y x =-+关于y 轴对称的抛物线的解析式；
（2）求与抛物线2245y x x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式．
3．二次函数2
y ax bx c =++的图象向左平移两个单位，再向上平移三个单位，得到二次函数 221y x x =-+的图象，求b,c 。
4．如图，在ABC ∆中AB=AC=4，F B D B ,,,30︒=∠分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，x 表示CD 的长，y 表示
（1）求y 关于x 的函数关系式和自变量x
的取值范围．
（2）问点D 位于何处时 的面积最大？最大面积是多少？。