2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
上海市浦东新区2022届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
上海市浦东新区2021-2022学年第一学期高三数学期中质量检测试卷 (满分: 150分答题时间:120分钟)一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.1．幂函数经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝，则此幂函数的解析式为.2.若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3. 设()1f x -为函数()21x f x x =+的反函数，则()12f -=_____.4.不等式102xx ->+的解集是.5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6．已知球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π，则线段AB 的长度为________.7．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．8．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．3.09．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ．11．已知命题2430m m α-+≤：，命题2680m m β-+<：.若αβ、中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动.有以下四个命题： ①平面MB 1P ⊥ND 1；②平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；③△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值； ④△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
绝密★考试结束前2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名：座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝A.{x|1≤x<2}B.{x|0<x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|0≤x≤2}2.设(1＋2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则|z|＝A.3B.2C.3D.23.若实数x，y满足约束条件x y10x y103x y50-+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则z＝x－2y的取值范围是A.[1，5]B.[－1，5]C.[－5，－1]D.[－5，5]4.(1－2x)6展开式中，x3的系数为A.20B.－20C.160D.－1605.函数f(x)＝x2－|x＋a|＋a2，(a>1)的图象可能是6.在△角形ABC中，“tanA＋tanB＋tanC>0”是“△ABC为锐角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设随机变量X ～B(2，p)，若P(x ≥1)＝59，则E(X)＝ A.23 B.13 C.43D.1 8.对于平面内不共线的四点O 、A 、B 、C ，若存在一组正实数λ1、λ2、λ3，使得123OA OB OC 0λλλ++=，则三个角∠AOB 、∠BOC 、∠COAA.都是钝角B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角 9.若对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，当x 2>x 1时，恒有aln 21x x <2(x 2－x 1)成立，则实数a 的取值范围是A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.(－∞，2]D.(－∞，3] 10.已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝n na nb n ⎧⎨⎩，为奇数，为偶数，n ∈N *。
2021-2022学年江苏省徐州市高三(上)期中数学试卷【含答案】
2021-2022学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|y=√x−1}，则A∪B＝（）A．R B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）2．复数z满足z1−z=2i，则z平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．若（x−ax）8的二项展开式中x6的系数是﹣16，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（60，102），若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）A．12B．23C．46D．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A （a ，b ），B （c ，d ），且sin θ+3cos θ＝0，若a +c ＝﹣1，则1b+4d 的最小值为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．48．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝（13）n +1﹣b ，数列{（ab ）n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ＜b ，则下列结论错误的是（ ） A ．1a＞1bB ．a 2＜b 2C ．（12）a ＞（12）bD ．ln （b ﹣a ）＞010．已知圆M ：x 2+y 2+4x ﹣1＝0，点P （a ，b ）是圆M 上的动点，则（ ） A ．圆M 关于直线x +3y +2＝0对称 B ．直线x +y ＝0与圆M 相交所得弦长为√3 C ．b a−3的最大值为12D ．a 2+b 2的最小值为√5−211．已知函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx （ω＞0）的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）（ ）A ．是偶函数B ．其图象关于直线x =π4对称 C ．在[π4，π2]上是减函数D ．在区间[π6，2π3]上的值域为[−√3，2]12．若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，且方程f [g （x ）]＝x 有实数解，则下列式子中可以为 g [f （x ）]的是（ ） A ．x 2+2x B ．x +1C ．e cos xD ．ln （|x |+1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=13AB →+23AD →，则CP →⋅DC →的值是 ．14．设f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1+x ）＝f （﹣x ）．若f （−13）＝3，则f （113）的值是 ．15．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，P 为C 上一点，若A （﹣2，0），则PA PF的最大值为 ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在棱D 1C 1上运动，点Q 在棱BC 上运动，且PQ 与BB 1所成的角为π4，若线段PQ 的中点为M ，则点M 的轨迹的长度是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ）{}{}211,20,Z∣∣A x x B x x x x =-≤≤=-≤∈A B = A.B.C.D.{}0,1[]1,2-[]0,1{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】解不等式可得集合，进而求交集即可. B 【详解】解得：，220x x -≤02x ≤≤所以， {}220,Z {0,1,2}∣B xx x x =-≤∈=所以. {0,1}A B = 故选：A2. 已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“O R t ∈()1OC t OA tOB =-+三点共线”的（ ）,,A B C A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.【详解】充分性：由得，()1OC t OA tOB =-+ OC OA tOA tOB =-+故，则，故三点共线，所以充分性成立，()OC OA t OB OA =-- AC t AB =,,A B C 必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而,,A B C AC t AB =，所以，所以，()OC OA t OB OA =-- OC OA tOA tOB =-+()1OC t OA tOB =-+所以必要性成立.综上所述：”是“三点共线”的充要条件.()1OC t OA tOB =-+,,A B C 故选：C3. 已知等比数列，则（ ） {}31017,8n a a a a =10a =A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质得到，进而得到，从而得解. 230171a a a =3108a =【详解】因为是等比数列， {}n a 所以，230171a a a =故，得.131030178a a a a ==102a =故选：B.4. 三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式和海伦公S =式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面S =2a b cp ++=积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则2a b c dp +++=θ四边形最大面积为（ ）A. 21B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答345692p +++==n S θ=案．【详解】∵a ＝3，b ＝4，c ＝5，d ＝6，∴，又易知，，345692p +++==0πθ<<sin 0θ>则S =，i n θ==当，即时，有最大值为sin 1θ=π2θ=故选：D ．5. 已知为第三象限角，，则（ ）θ1sin cos 5θθ-=-()2cos 12sin sin cos θθθθ-=+A. B. C.D.425-325-325425【答案】B 【解析】【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】由，且， 1sin cos 5θθ-=-22sin cos 1θθ+=解得：或，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩又因为为第三象限角，所以，，θsin 0θ<cos 0θ<所以.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. ()2234[12()]cos 12sin 35543sin cos 2555--⨯--==-+--θθθθ故选：B6. 函数的图象大致为（ ）()32e2e xx f x =-+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再()f x ()f x 令求得有唯一零点，从而排除选项BCD ，而选项A 的图象满足的性()0f x =()f x ()f x 质要求，由此得解. 【详解】因为，所以，()32e2e xx f x =-+()323e 4e x x f x '=-+令，得；令，得；()0f x ¢>4ln 3x <()0f x '<4ln 3x >所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x 4,ln3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4ln ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故的极大值点为，且， ()f x 4ln3x =4ln ln103x =>=令，则，得，且， ()0f x =320e 2e x x +=-ln 2x =ln 2ln10x =>=即在上有唯一大于的零点.()f x R 0ln 2对于B ，其图象的极大值点为，矛盾，故B 错误； 0x =对于C ，其图象先减后增，矛盾，故C 错误； 对于D ，其图象有两个零点，矛盾，故D 错误；对于A ，其图象满足上述结论，又排除了BCD ，故A 正确. 故选：A.7. 在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则ABC ,,A B C ,,a b c 6,4b c ==O （ ）AO BC ⋅=A.B.C. 10D. 2020-10-【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运0OD BC ⋅=算即可求得结果.【详解】记的中点为，连结，如图，BC D ,,AO OD AD 因为点为的外心，为的中点，所以，则，O ABC D BC OD BC ⊥0OD BC ⋅=所以()AO BC AD OD BC AD BC OD BC AD BC⋅=-⋅⋅==⋅-⋅ .()()()()()222211113616102222AC AB AC AB AC AB b c =+-=-=-=⨯-=故选：C.8. 设方程和的根分别为和，函数e e 0x x ++=ln e 0x x ++=p q ()()e xf x p q x=++，则（ ） A. B. ()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得，由此得到，再由函数的单调性易得，e p q +=-()e e xf x x =-()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭构造函数与，利用导数证得()()4341e 3g x x x x =--≥()()4233213h x x x x x =--≥与，从而解出. ()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】方法一：由得，由得， e e 0x x ++=e e x x =--ln e 0x x ++=ln e x x =--因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为e e 0x x ++=p e x y =e y x =--P ，p 同理：函数与的图象交点的横坐标为， ln y x =e y x =--Q q 因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，e x y =ln y x =y x =易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称， y x =e y x =--,P Q y x =即的中点一定落在，亦即点为与的交点，,P Q M y x =M y x =e y x =--联立，解得，即，e y x y x =⎧⎨=--⎩e 2e2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩e e ,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，e p q +=-故，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),1-∞()1,+∞所以， ()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，，()43440e e 133f f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭4242333342422e e e e e e e 33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则， ()()4341e 3g x x x x =--≥()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=-≥-=-> ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()g x [)e,+∞所以，即，故()()()4433e 33503811255g g <=-<=<=434e e 1<03--()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令，则，()()4233213h x x x x x =--≥()1133422333h x x x -'=--令，得，所以在上单调递增， ()0h x '>1x >()h x [)1,+∞所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--⨯=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-==⨯--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯--=⨯>>⎣⎦则，故， 42332e e e 03-->4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.方法二：前面部分同方法一得，，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增，所以， ()f x (),1-∞()1,+∞()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，当且仅当时取等号，所以，e 1x x ≥+0x =e 1x x -≥-+当时，，所以，()0,1x ∈1e 1xx <-413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=--<-=< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭即，下面比较的大小关系， ()403f f ⎛⎫<⎪⎝⎭42,33f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，()()()2g x f x f x =--()0,1x ∈所以，()()()222e e e e e e 2e 0x x x x g x f x f x --'''=+-=-+-=+--=故在上递增，，即有，亦即()g x ()0,1x ∈()()10g x g <=222033f f ⎛⎫⎛⎫--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：. 4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在区间上有解，则解可能为（ ） cos22x x +=[]0,2πA.B.C.D.π62π37π65π3【答案】AC 【解析】【分析】先由辅助角公式得到，再逐一代入检验选项中的解即可. πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1πcos22cos22sin 226x x x x x ⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以，即， π2sin 226x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于A ，当时，，故A 正确； π6x =ππππsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，当时，，故B 错误； 2π3x =π4ππ3πsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，当时，，故C 正确； 7π6x =π7ππ5ππsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，当时，，故D 错误. 5π3x =π10ππ7π3πsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+===- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：AC.10. 已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ） {}n a n 202312022,0,1n a S a a ><-A.B. 的最大值为 20220a >n S 2023SC. 的最小值为D.n a 2022a 40440S <【答案】ACD 【解析】【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数{}n a 2023120220,1a a a ><-202320220,0,a a <>列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， {}n a 2023120220,1a a a ><-数列为递减的等差数列， ∴{}n a∴202320220,0,a a <>故A 正确，对于B, 数列为递减的等差数列，{}n a 202320220,0,a a <>的最大值为，∴n S 2022S 故B 错，对于C,202320220,0,a a <>由得 ∴202320221a a <-20232022,a a <- ∴202320220,a a +<∴20232022||||,a a >的最小值为,即，∴n a 2022||a 2022a故C 正确， 对于D,140444044202220234044()2022()0,2a a S a a +==+<故D 正确. 故选：ACD11. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）0,0,21a b a b >>+=A.B. 119a b+ (18)ab …C. 2215a b +…【答案】BCD 【解析】【分析】对A 用“1”的妙用进行变形即可，对C 利11112()3b a a b a b a b a b+=++=++用柯西不等式可求最值，对BD 利用基本不等222222211()(21)(2)55a ab a b b =++≥++式式及其变形即可得解.【详解】由得：0,0,21,a b a b >>+=对A ，， 11112()333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+当且仅当，时取等，故A 错误； 2b aa b=b =对B ，，时取等， 21a b +=≥2b a =两边平方可得，故B 正确； 18ab ≤对C ，由柯西不等式可得：，2222222111()(21)(2)555b a b a b a =++≥=++取等，故C 正确；2b a =对D ，由，时取等， 22(2)2a b ≤+=2b a =D 正确；+故选：BCD12. 在中，内角所对的边分别为，且ABC ,,A B C ,,a b c）()()tan 1tan tan A B A B +-=A. π6A =B. 若，则为直角三角形 b c -=ABCC. 若面积为1，则三条高乘积平方的最大值为ABCD. 若为边上一点，且，则 D BC 1,:2:AD BD DC c b ==2b c +【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数值即可得到； π3A =对于B ，利用余弦定理得到，将代入解得，从而得222a b c bc =+-b c =+a =到，由此得证；2b c =对于C ，利用三角形面积公式得到，从而得到222,,AD BF CE a b c===，利用基本不等式得证； ()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭对于D ，利用向量的线性运算及数量积运算得到，从而利用基本不等式“1”12c b+=的妙用即可证得. 2b c +≥【详解】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+， ()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =因为，所以，故0πC <<sin 0C >tan A =又，所以，故A 错误； 0πA <<π3A =对于B ，由余弦定理得，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-因为，即，代入上式得，b c -=b c =+222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪+-+⎪⎭⎭⎪整理得，解得或（舍去），则，22320c a +-=a =a =2b c =所以，故B 正确；222b a c =+对于C ，设边上的高分别是，,,AB AC BC ,,CE BF AD 则由三角形面积公式易得，则， 222,,AD BF CE a b c ===()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭此时，得，所以， 1sin 12S bc A ==bc =()2212AD BF CE a ⨯⨯=又，当且仅当时等号成立， 222a b c bc bc =+-≥=b c =所以，故C 正确； ()2212AD BF CE a =⨯⨯≤对于D ，因为，所以:2:BD DC c b =22c AD AB AB BC b cBD =+=++，()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ 可得， 22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++整理得，故， ()22227b cb c +=12c b+=所以()1222225b c b c b c c b cb ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭5⎫≥+=⎪⎪⎭，当且仅当且，即时，等号成立，22b c c b=12c b +=b c==所以，即，故D 正确.2b c +≥2b c +故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则与夹角的余弦值为__________.()()2,1,0,1a b =-= 2a b - b【答案】## 35-0.6-【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，先求出的坐标和模长，然后利用平面向量数量2a b -积公式即可求解.【详解】因为，所以，则， ()()2,1,0,1a b =-= 2(4,3)a b -=-2=5a b - 又因为，，()0,1b =1b = 由平面向量的数量积公式可知：， ()2·33cos 2,552a b b a b b a bb---===--所以与夹角的余弦值为，2a b - b 35-故答案为：. 35-14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________. ()38,2,2xax x f x a x -<⎧=⎨≥⎩R a 【答案】 (][)1,24,∞⋃+【解析】【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在()f x R 上的任意函数值要不大于上的最小值，据此解答即可.(),2-∞[)2,+∞【详解】因为在上单调递增，()f x R 所以当时，在上单调递增，故，且2x <()38f x ax =-(),2-∞0a >，()()268f x f a <=-当时，在上单调递增，故，且，2x ≥()xf x a =[)2,+∞1a >()()2min 2f x f a ==所以，解得或，268a a -≤2a ≤4a ≥由于上述条件要同时成立，所以或， 12a <≤4a ≥故的取值范围为. a (][)1,24,∞⋃+故答案为：.(][)1,24,∞⋃+15. 已知是定义域为R 的奇函数，为奇函数，则__________.()f x ()21f x -+161()i f i ==∑【答案】68 【解析】【分析】由和均是奇函数可推出，赋值可得()f x ()21f x -+()()42f x f x +=+，从而根据递推公式可知.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=161()i f i =∑【详解】而是定义域为R 的奇函数，故有，且， ()f x ()()f x f x =--(0)0f =因为为奇函数，所以， ()21f x -+()()2121f x f x --+=---而， ()2[(2)](2)f x f x f x --=-+=-+所以，()()222f x f x +=-+用替换得：， 2x +x ()()42f x f x +=+令，则有， =1x -(3)(1)2(1)2f f f =-+=-+即；(1)(3)2f f +=令，则， 2x =-(2)(2)2(2)2f f f =-+=-+则，即； 2(2)2f =(2)1f =令，则有； 0x =(4)(0)22f f =+=所以.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=；(1)(2)(3)(4)813(5)(6)(7)(8)f f f f f f f f ++++++=+=； (9)(10)(11)61(12)(5)()(7)(8)82f f f f f f f f +++++++==；(9)(10)(11)(12)829(13)(14)(15)(16)f f f f f f f f ++++++==+ 所以161()(1)(2)(3)(4)(16)i f i f f f f f ==+++++∑ .=513212968+++=故答案为：6816. 若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果{}n x ()()1n n n n f x x x f x +=-'{}n x ，数列为牛顿数列，设，且，则()256f x x x -=+{}n x 22log 3n n n x a x -=-11a =2x =__________；数列的前项和为，则__________.{}n a n n S 2023S =【答案】 ①. ②. 103202321-【解析】【分析】（1）由定义可得，从而， 21212()3(23)n n n n x x x x ++=----1222log 23n n n n x a a x +=-=-得出是以为首项，公比为2的等比数列，从而可求得； {}n a 11a =2x （2）由等比数列前项和公式即可得解.n 【详解】（1）因为，所以，()256f x x x -=+()25f x x '=-，()()2125665522n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +=-=-='-+---则，，2126255()2222n n n n n x x x x x +-=-----=2126355()3322n n n n n x x x x x +-=-----=则有，21212()3(23)n n n n x x x x ++=----则， 211222212()2log log log 232(23)3n n n n n n n n x x x a a x x x +++---===--=-所以是以为首项，公比为2的等比数列， {}n a 11a =所以，所以， 11122n n n a --=⨯=2222223l og a x x -==-解得：. 2103x =（2），所以. 1(12)2112n n n S ⨯-==--2023202321S =-故答案为：；. 103202321-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数.()22cos cos f x x x x =+（1）求的最小正周期； ()f x （2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的()y f x =6π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴.12()y g x =()g x 【答案】（1）； π（2）. ,Z 46k x k ππ=+∈【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简为标准型，再求其最小正周期即可； ()f x （2）根据三角函数图象的变换，求得的解析式，再求对称轴即可. ()g x 【小问1详解】，()22cos cos f xx x x =+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭故的最小正周期. ()f x 22T ππ==【小问2详解】的图象先向右平移个单位得到()y f x =6π的图象；2sin 212sin 21666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到12的图象；()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，解得， 4,Z 62x k k πππ-=+∈,Z 46k x k ππ=+∈故的对称轴为. ()g x ,Z 46k x k ππ=+∈18. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，{}n a {}n b n n S 且有. 1122431,1,a b a b a S ===+=（1）求数列的通项公式；{}{},n n a b （2）令，数列的前11项和.,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩当为奇数时当为偶数时{}n c 11T 【答案】（1）,21n a n =-12n n b -=（2）748 【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为{}n a d {}n b ,再根(0)q q >据已知条件列出方程，即可得到两数列的通项公式.,d q (2)先求出的通项公式，再根据通项公式求出的前11项和即可. n c {}n c 【小问1详解】设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为，{}n a d {}n b (0)q q >由得：，22431a b a S =+⎧⎨=⎩112111113a d b q a d b b q b q +=+⎧⎨+=++⎩，111a b ==Q ，23d q d q q =⎧∴⎨=+⎩解得：2,d q ==，12(1)21n a n n ∴=+-=-12.n n b -=【小问2详解】 由（1）知， 121,2,n n n n a n n c b n -=-⎧=⎨=⎩当为奇数时当为偶数时∴111234567891011T a b a b a b a b a b a =++++++++++ 1357911246810()()a a a a a a b b b b b =++++++++++3579(159131721)(22222)=++++++++++.56(121)2(14)748214⨯+-=+=-19. 在中，内角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c ()2cos cos a B b A c -=（1）证明：； tan 3tan A B =（2）若，求. 22a b bc -=B 【答案】（1）证明见详解 （2） π6B =【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，可将题设条件转化为，再由sin cos 3cos sin A B A B =三角形内角的性质得出结果；（2）由（1）可推得，.进而根据余弦定理可推出，，求cos 3cos a B b A =2c b=a 解即可得到.222cos 2a c b B ac+-=【小问1详解】证明：因为，()2cos cos a B b A c -=所以，又， ()2sin cos sin cos sin A B B A C -=sin sin()C A B =+∴， ()2sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+即，sin cos 3cos sin A B A B =又且为三角形内角，，0π,0πA B <<<<,A B cos sin 0A B ≠则，即.sin cos 3cos sin cos cos cos cos A B A BA B A B=tan 3tan A B =【小问2详解】由（1）知，， sin cos 3cos sin A B A B =由正弦定理可得，.cos 3cos a B b A =根据余弦定理可知，，2222cos a b c bc A =+-，222222cos 6cos b a c ac B a c bc A =+-=+-联立可得，.22222c a b =-又，则，所以，则，22a b bc -=2c b =2222226a b c b =+=a则， 222cos 2a c b B ac +-===又，则. 0πB <<π6B =20. 已知三次函数. ()()32111212322f x ax a x x =+---（1）当时，求曲线在点处的切线方程， 3a =()y f x =()()1,1f （2）讨论的单调性. ()y f x =【答案】（1）； 650x y --=（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义，可得曲线()2952f x x x '=+-()y f x =在点处的切线斜率为，，利用直线点斜式即可得解； ()()1,1f (1)12f '=(1)3f =（2）求导可得，对参数进行讨论即得解.()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+a 【小问1详解】 当时，， 3a =()3251222f x x x x =+--，()2352f x x x '=+-所以曲线在点处的切线斜率为，()y f x =()()1,1f ()16f '=又，， ()51112122f =+--=()611y x =-+整理可得曲线在点处的切线方程为；()y f x =()()1,1f 650x y --=【小问2详解】 ，()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+若，由可得，0a =()(2)0f x x '=-+=2x =-当时，，为增函数，(,2)x ∈-∞-()0f x '>()f x 当时，，为减函数，(2,)x ∈-+∞()0f x '<()f x 当时，，0a >()(1)(2)0f x ax x '=-+=可得或， 1x a=2x =-所以在 为增函数，在上为减函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若， 102a -<<在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若， 12a <-在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -综上可得：若，0a =在上为增函数，在上为减函数，()f x (,2)-∞-(2,)-+∞当时， 在 为增函数，在上为减函数，0a >()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若 102a -<<在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若，在 为减函数，在上为增函数. 12a <-()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -21. 设正项数列满足，且.{}n a 11a =()()222*11N n n na n a n n n +-+=+∈（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）设，求证：数列的前项和. n b ={}n b n 32n S <【答案】（1）证明见解析；n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得22111n n a a n n +-=+2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；n a n =（2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可n b =1n =2n ≥证得. 32n S <【小问1详解】因为， ()()222111n n na n a n n n n +-+=+=+所以， 22111n n a a n n+-=+又，故， 11a =2111a =所以是首项为，公差为的等差数列， 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11故，则， ()2111n a n n n=+-⨯=n a n =±因为数列是正项数列，所以.{}n a n a n =【小问2详解】由（1）得， n b ==当时，； 1n =111322S b ==<当时，2n ≥n b ==<=， <=所以； 1331222n S ⎛<+-+++=< ⎝ 综上：. 32n S <22. 已知函数. ()1ln f x a x x x =-+（1）若恒成立，求的取值范围；()1,0x f x ∀≥≤a （2）证明：对任意；()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ （3）讨论函数零点的个数.()f x 【答案】（1）；(],2-∞（2）见详解； （3）时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x 【解析】 【分析】（1）进行求导可得，讨论函数的单调性，求得最大值满足221()x ax f x x -+-'=()f x 小于0即可；（2）取，时，成立，代入（）整理即可得证； 2a =1x >12ln x x x <-1k x k+=N k *∈（3）由导函数，讨论的单调性，结合图象即可求得零点. 221()x ax f x x -+-'=()f x 【小问1详解】求导可得：， 22211()1a x ax f x x x x-+-=--'=若，对任意的，，为减函数，所以，符合题0a ≤1x ≥()0f x '<()f x ()(1)0f x f ≤=意；若，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-当，即时，，此时在上为减函数，有0∆≤02a <≤()0u x ≤()f x [)1,+∞()(1)0f x f ≤=，符合题意；当，即时，令可得：0∆>2a >()0u x =，， 11x =<21x =>所以，当时，，为增函数，所以，不符题意， ()21,x x ∈()0f x '>()f x ()(1)0f x f >=综上可得：的取值范围为.a (],2-∞【小问2详解】由（1）知当时，成立，即时，恒有， 2a =()0f x ≤1x ≥12ln 0x x x-+≤即当时，成立. 1x >12ln x x x<-取（），有， 1k x k +=N k *∈112ln ()1k k k k k k ++<-+即，， 111ln(1)ln ()21k k k k +-<++1,2,3,k n = 所以，, ()11111111ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2222321n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+-<+⋯+-<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭将上述不等式相加可得：， 11111ln(1)(2232(1)n n n +<++++++ 整理可得， 1111ln(1)232(1)n n n n ++++->++ 即成立； ()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ 【小问3详解】由（）， 221()x ax f x x -+-'=0x >当时，，为减函数，0a <()0f x '<()f x又，， 11(ln 22022f a =--+>1(2)ln 2202f a =-+<此时在内有一个零点； ()f x (0,)+∞01,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当时，令，可得或（舍）， 0a =1()0f x x x=-+=1x ==1x -此时有一个零点， ()f x 当时，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-若，即时，，240a ∆=-≤02a <≤()0u x ≤所以为减函数，由， ()f x ()1010101e 10e 0e f a =-+<，此时有一个零点在内； 10101011()10e 0e e f a =--+>()f x 10101,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，时，有两解，240a ∆=->2a >2()10u x x ax =-+-=，， 12x x ==1201x x <<<此时在上为减函数，在上为增函数，()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x 由可知，所以极小值,极大值， ()10f =()()110f x f <=()()210f x f >=由， ()1ln f x a x x x =-+取，， e a x =()2e 1(2)ee a a af a a =-+>令， 21()e (2)ex x h x x x =-+>，令，则， 1()2e e x x h x x '=--()12e e x x g x x =--()12e +ex x g x '=-由所以，所以为减函数， 2x >()12e 0ex x g x -'=+<()h x '所以，所以为减函数， 221()(2)4e 0eh x h ''<=--<()h x 所以，所以， 221()(2)4e 0e h x h <=-+<()20e e 1e a a a f a =-+<可得，此时有三个零点， 21e 1e e +0a a af a ⎛⎫⎪⎭-=-> ⎝()f x 综上可得：时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：（1）分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；（2）用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；（3）在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换.。
江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题
启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数 学 试 卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝ ． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝ ．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为 ．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为 ；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点． 设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足 ．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。
2023届河北省唐山一中高三上学期期中数学试题及答案
唐山一中2022—2023 学年度第一学期期中考试高三年级 数学试卷说明：1.考试时间 120分钟，满分 150分。
2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。
卷Ⅰ（选择题 共60分）一．单项单选题（本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|12}A x x =-< ，{|}B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．{|2}a a <B ．{|2}a a >-C ．{|1}a a >-D ．{|12}a a -< 2．()12i 34i z +=-，则=z （）A ．2B CD ．33．已知a ，b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题错误的是（）A ．若,//αγβα⊥，则βγ⊥B ．若//,//,a αββγα⊥，则a γ⊥C ．若,,//a b a b αγβγ== ，则//αβD ．若,,αγβγαβ⊥⊥= b ，则b γ⊥4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则6=a （）A ．103B ．107C ．109D ．1055．若,x R k Z ∈∈，则“||4x k ππ-<”是“|tan |1x <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知()cos()f x x =+ωϕ（其中0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，下列四个结论：（1）函数()f x 的单调递增区间为ππ2π,2π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（2）函数()f x 的单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（3）函数()f x 的最小正周期为π（4）函数()f x 在区间[,]-ππ上有5个零点．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知0.30.22,3a b ==，若()2log c a b =+，则a b c ､､大小关系为（）A ．c b a>>B ．c a b>>C ．a b c>>D ．b a c>>8．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（）A B C D ．18二．不定项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，CDE △是边长为2的正三角形，点N 为正方形ABCD 的中心，M 为线段DE 的中点，BC DE ⊥则下列结论正确的是（）A ．直线BM 与EN 是异面直线B ．线段BM 与EN 的长度不相等C ．直线DE ⊥平面ACMD ．直线EA 与平面ABCD 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是等边三角形B ．若cos cos a A b B =，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A B >是sin sin A B >成立的充要条件D ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的是（）A ．若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -仍为等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -仍为等比数列C ．若{}n a 为等差数列，则{}n aa （a 为正常数）为等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}lg n a 为等差数列12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()(),f x g x ''分别为()(),f x g x 的导函数，()()5f x g x '+=，()()225f x g x '--+=，若()g x 为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A ．()25f -=B ．()()4g x g x +=.C ．()()8g x g x -'='D ．()()8f x f x +'='卷Ⅱ（非选择题共90分）三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1== a b ，则|2|a b +=_____________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111012S S S >>，则满足0n S >的正整数n 的最大值为____15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，4PA =，AB BC AC ===M 为AC 的中点，球O 为三棱锥P ABM -的外接球，D 是球O 上任一点，则三棱锥-D PAC 体积的最大值为____________．16．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）已知等比数列{}n a 的公比>1q ，满足：2346=13,=3S a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1,=+,n n n a n b b n n -⎧⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .18.（本题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝3π，AB ＝1，CD ＝3，M 为PC上一点，且MC ＝2PM.（1）证明：BM //平面PAD ；（2）若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离.19.（本题12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，点E 为棱1A A 的中点，1EB EC =，平面1B CE ⊥平面11BB C C ．(1)证明：平面11BB C C ⊥平面ABC ；(2)求平面1AB C 与平面1B CE 的夹角的余弦值．20．（本题12分）如图，矩形纸片ABCD 的长AB为3，将矩形ABCD 沿折痕,EF GH 翻折，使得,A B 两点均落于DC 边上的点P，若EG EPG ∠θ==.(1)当sin2sin θθ=-时，求矩形的宽AD 的长度；(2)当0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求矩形的宽AD 的最大值.21．（本题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，5212S S =+；数列{}n b 的前n 项和n T ，且11b =，数列{}n b 的11n n b T +=+，()*n ∈N ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足：()()112141n n n n n n n a a c a a b -++=-+，当2n ≥时，求证：12212n c c c ++⋅⋅⋅+<．22．（本题12分）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性；(2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．高三数学期中考试参考答案：1-8CCCBCBAA 9-12BD AC AC ACD13-162129e 17.（1）法一：因为{}n a 是公比1q >的等比数列，所以由3246=13=3S a a ⎧⎨⎩，得()12323511++=13=3a a a a q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，即()2111++=13=3a q q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，两式相除得21133q q q ++=，整理得231030q q -+=，即()()3130q q --=，解得3q =或13q =，又1q >，所以3q =，故131a q ==，所以1113n n n a a q --==，（2）当n 为奇数时，13n n n b a -==，当n 为偶数时，213n n n b b n n --=+=+，所以12342122n n n b b b b S b b -=++++++ ()()1321242n n b b b b b b -=+++++++ ()()222022023332n n n --=++++++++++ ()()022********n n -=+++++++ ()()22132+2=2+132nn n --⨯91(1)4nn n -=++.18.（1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE .因为AB //CD ，故AB //EM .又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，故13EM PM DC PC ==，解得EM ＝1.由已知AB ＝1，得EM =AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM //AE ，又AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以BM //平面PAD.（2）连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝3π，可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ＝3，即DB 因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD ＝2π.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝2π.因为DC ＝3，故BC =.由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，故PB =，PC =，则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，其面积为S △PBC ＝12·PC 12=×2.设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △而直角三角形BDC 的面积为S△BDC ＝12·DC ·DB ＝12三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC ＝13·S △·PD ＝13因为V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC ，即2h ＝2，故h ＝5.所以点D 到平面PBC 的距离为5.19解：（1）分别取BC ，1B C 的中点O 和F ，连接OA ，OF ，EF ，1B O ，如下图：因为O ，F 分别是BC ，1B C 的中点，所以1FO BB ，且112FO BB =，因为点E 为棱1A A 的中点，所以1AE BB ，且112AE BB =，所以FO AE ，且FO AE =，所以四边形AOFE 是平行四边形，所以EF AO ∥．因为1EB EC =，F 是1B C 的中点，所以1EF B C ⊥，又因为平面1B CE ⊥平面11BB C C ，且平面1B CE 平面111BB C C B C =，所以EF ⊥平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ，因为AO ⊂平面ABC ，所以平面11BB C C ⊥平面ABC ．（2）因为侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，所以1BB C △为正三角形，所以1B O BC ⊥，由（1）知平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，所以1B O ⊥平面ABC ，又由AB AC =，故OA ，OC ，1OB 两两垂直，设2AB =，则1AA BC ==，以O 为坐标原点，OA →，OC →，1OB →分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如下：则)A，()C，(1B，,22E ⎭，所以(1B C →=，2CE →=⎭，()AC →=，设平面1B CE 的法向量为()111,,m x y z →=，则1111110022m B C m CE y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩，令11z =，则1y =10x =，从而()m →=．设平面1AB C 的法向量为()222,,n x y z →=，则122220,0,n B C n AC ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩令2y =21z =，2x =从而)n →=，设平面1AB C 与平面1B CE 的夹角为θ，则||2cos =|cos<,|7||||m n m n m n θ→→→→→→⋅>==⋅，所以平面1AB C 与平面1B CE的夹角的余弦值为7．20（1）依题意,在△EPG 中,EG =,3PE PG +=,EPG ∠θ=,AD 的长度即为△EPG 的边EG 上的高,当sin2sin θθ=-时，2sin cos sin θθθ=-,所以12cos ,(0,),23πθθπθ=-∈∴=EG = ,,PE AE x PG BG y ====x y ∴+，①由余弦定理得,2222cos EG PE PG PE PG θ=+-⋅得,221272x y xy ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，227x y xy ∴++=,②21212,sin 232PEG xy S xy AD AD π-⇒=∴=⋅=⋅⇒ ①②.（2）在PEG △中，,,3PE AE x PG BG y x y ====+=，①222cos 7x y xy θ+-=，②()2121cos 2,1cos xy xy θθ-⇒+=∴=+①②22sincostan11222sin 2212cos 12PEG S xy AD AD θθθθθ==⋅⇒==+-max 0,0,0tan 1,()2242AD πθπθθ<≤∴<≤<∴=21（1）解：因为11a =，由5212S S =+，得34512a a a ++=，所以4312a =，即44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以41141a a d -==-，所以()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=．由11n n b T +=+，()*n ∈N ，得11n n b T -=+，()2n ≥，两式相减得()11n n n n n b b T T b +--=-=，即()122n n b b n +=≥，又2111112b T b b =+=+=，所以数列{}n b 是以1为首项、2为公比的等比数列，则11122n n n b b --=⋅=；（2）由（1）知：()()()()()()1111221114112n n n n n n n n n a a n n c a a b n n --+++++=-=-⋅++⋅，()()11111212n n n n n -+⎡⎤=-⋅+⎢⎥⋅+⋅⎣⎦，∴21232122334111111122222323242n n T c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+-+++-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121111112221222122n n n n n n ++⎛⎫-+=-< ⎪ ⎪⋅+⋅+⋅⎝⎭．22解1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a>-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t --==-()1a g x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g ax x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+ ⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t <∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t tt λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）24λ≥时，204t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增∴()()10h t h <=恒成立，∴(][),22,λ∈-∞-+∞ 合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞。
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足： （1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ． （1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2020+2S 2021=3S 2022， 所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022）， 即a 2021+a 2022=-2a 2022， 所以3a 2022=-a 2021， 所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ， 故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ， 因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可， 所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ， 故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ． 故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个． 小明购买了4个盲盒， 基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49． 故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|， 所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3， 所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， （极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ， 又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数， 又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0， 解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1， 所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错； 故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（ ） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°， 如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ； 当D 与M 重合时，所求值为4； 当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ， 因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ， 所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10， 所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33， 因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ， 所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]， 由于4√33＜2.5， 所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）． 因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ． 联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0， 所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ， 所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ． 若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ． 其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ， 因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2． 因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ． 所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ． 综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式； （3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *）， 所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1； 当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2， 当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6， 所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。
河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷
2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束，只交答题卡。
第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。
若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。
2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．115．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣87．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．18．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为411．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是312．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为；该矩形纸最多能对折次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝1﹣i，∴，∴z（+i）＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i．故选：B．2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（2，4），（﹣3，9）}．故选：C．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．运用定义来做题目．解：由＜1，可得a＞1或a＜0，故，由a＞1，能够推出＜1，故，a＞1，是＜1的充分条件，由＜1，不能够推出a＞1，故，a＞1，是＜1的不必要条件，综上所述，a＞1，是＜1的充分不必要条件，故选：A．4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．11【分析】把都用来表示，即可求．解：设AB边的中点为D，则，同理，所以．故选：D．5．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数【分析】由定点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象，可令φ∈（0，），∵它的经过点A（，），∴sin（+φ）＝cosφ＝，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝，不是最值，故A、B都错误；由于f（x+）＝sin（2x+）＝cos2x，故f（x+）是偶函数，故C正确，由于f（x+）＝sin（2x+），故f（x+）不是奇函数，故D错误．故选：C．6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣8【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．解：∵a n+1＝S n，∴n≥2时，a n＝S n﹣1，相减可得：a n+1＝2a n．n＝1时，a2＝S1＝﹣2≠2a1，∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，∴a6＝a2×24＝﹣2×24＝﹣32．故选：B．7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．1【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F2|，D为AF2的中点，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，所以a＝2c，sin∠AF1F2＝＝，所以∠AF1F2＝，直线AF1的斜率为tan∠AF1F2＝tan＝，故选：B．8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b【分析】构造函数f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，g（x）＝，f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，求导判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，故当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（e，+∞）上单调递减，而g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，故g（e）＞g（3）＞g（π），令f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减，而f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，故f（a）＝g（3），f（b）＝g（e），f（c）＝g（π），故f（b）＞f（a）＞f（c），故b＜a＜c，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元【分析】对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为（0.02+0.04）×1＝6%，故A正确，对于B，家庭年收入介于2.5万元至7.5万元之间的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2＝0.5，故该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确，对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2＝0.64＞0.5，故C正确，对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5，故D错误．故选：ABC．10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为4【分析】A．根据正实数x，y满足2x+y＝1，可得0＜2x＝1﹣y＜1，解得x范围即可判断出正误；B．由正实数x，y满足2x+y＝1，利用基本不等式即可判断出正误；C．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得y＝1﹣2x，x∈（0，），代入x2+y2，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得4x+2y＝22x+2y，结合基本不等式即可判断出正误．解：A．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴0＜2x＝1﹣y＜1，解得0＜x＜，即x∈（0，），因此正确；B．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴1≥2，解得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确；C．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，x∈（0，），∴x2+y2＝x2+（1﹣2x）2＝5+≥，x＝时取等号，因此正确；D．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴4x+2y＝22x+2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确．故选：AC．11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3【分析】A三棱锥C﹣EFG的体积＝＝．B由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F．即可判断出结论．C如图所示，建立空间直角坐标系．对于C利用cos＜，＞＝，即可得出异面直线EF与AG所成的角的余弦值；②过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，可得的截面的面积S为以EF为一边的等边三角形面积的6倍．解：对于A、三棱锥C﹣EFG的体积＝＝＝1，故A错误；对于B、由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F，∴A1C⊥平面EFG；故B正确；对于C、如图所示建立空间直角坐标系．则F（1，0，0），E（2，1，0），A（2，0，0），G（1，2，2），＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，2，2），∴cos＜，＞＝＝﹣＝﹣．∴异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，故C正确；对于D、过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，所得的截面的面积S＝＝3≠4，因此D错误；故选：BC．12．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心【分析】根据周期的定义证得函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，即可判断B选项；进而求出g（2022）的函数值，即可判断A选项；然后求出g（x）的在[0，4]上的值域，进而求出在R的值域即可判断C选项；求出对称轴与对称中心即可判断D选项．解：因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+4）＝f（x），所以g（x+4）＝f（x+4）+f（x+5）＝f（x）+f（x+l）＝g（x），所以函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，故B正确；因此g（2022）＝g（2）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（﹣1）＝f（2）﹣f（1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A正确；对于C，当x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝x+2﹣（x+l）＝x+2﹣x﹣l＝1，当x∈（1，2）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝f（x）+f（x﹣3）＝f（x）﹣f（3﹣x）＝2﹣x﹣[2﹣（3﹣x）]＝﹣2x+3，所以g（x）单调递减，故g（x）∈（﹣l，1），当x∈（2，3）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝﹣f（4﹣x）﹣f（3﹣x）＝﹣[2﹣（4﹣x）]当x∈（3，4）时，g（x）＝f（x）+f（x+l）＝﹣f（4﹣x）+f（x﹣3）＝﹣（4﹣x）﹣（x ﹣3）＝﹣1，且g（0）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，g（1）＝f（l）+f（2）＝1+0＝1，g（2）＝f（2）+f（3）＝0+f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，g（3）＝f（3）+f（4）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝﹣1，g（4）＝g（0）＝1，所以x∈[0，4]时，g（x）∈[﹣1，1]，由于g（x）周期为4，故g（x）的最大值为1，故C错误；对于D，因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝﹣f（x+l），又g（1﹣x）＝f（1﹣x）+f（2﹣x）＝﹣f（x﹣1）﹣f（x﹣2）＝f（x）+f（x+1）＝g（x），所以函数g（x）关于x＝对称，即函数y＝g（x）的图象有对称轴，因为g（x）+g（3﹣x）＝f（x）+f（x+l）+f（3﹣x）+f（4﹣x）＝f（x）+f（x+1）+f（﹣1﹣x）+f（﹣x）＝f（x）+f（x+1）﹣f（1+x）﹣f（x）＝0．所以函数g（x）关于（，0）对称，即函数y＝g（x）的图象有对称中心，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝﹣3．【分析】直接利用二项展开式的应用求出结果．解：＝x3+3x2+3x+1；①同理：+＝x4①+②得：（x+1）3+（x﹣1）4＝x4﹣3x3+9x2﹣x+2，由于（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，所以a1＝﹣3．故答案为：﹣3．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．解：由题意可得，抛掷两次骰子出现的总可能数为6×6＝36种，其中满足a≥2b的有（2，1），（4，1），（4，2），（6，1），（6，2），（6，3），共6种，故所求的概率P＝．故答案为：．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是3x﹣y+2＝0．【分析】由已知求得x＜0时的函数解析式，求其导函数，得到函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1），然后利用直线方程的点斜式得答案．解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（﹣x）﹣x2，则f′（x）＝﹣2x﹣（x＜0），∴则f′（﹣1）＝3，又f（﹣1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．故答案为：3x﹣y+2＝0．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为64；该矩形纸最多能对折6次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．解：∵n≤log2，∴当对折完4次时，≥4，即，∴，∴的最小值为64，∵＝＝＝≈，∴矩形纸最多能对折6次．故答案为：64，6．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．【分析】（1）求得等差数列{a n}的公差，利用等差数列的通项公式可求得{a n}的通项公式；（2）b n＝|2n﹣1000|＝，利用分组求和及等比数列的求和公式可求得数列{b n}的前15项和T15．解：（1）∵{a n}是等差数列，a2+a3+a4＝18，∴a3＝6，又a1＝2，∴公差d＝＝2，∴a n＝2n；（2）∵a n＝2n，∴b n＝|（）﹣1000|＝|2n﹣1000|＝，∴数列{b n}的前15项和T15＝（1000﹣21）+...+（1000﹣29）+（210﹣1000）+（211﹣1000）+...+（215﹣1000）＝（9000﹣6000）﹣（21+22+...+29）+（210+211+ (215)＝3000﹣+210•＝3000+4+61×210＝65468．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.【分析】（1）由题意写出方案一，二的解析式即可；（2）由条形图分别求出概率，再列出分布列，求期望，判断哪个方案更省钱，更合适．解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x+60，x∈N，方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以E（X）＝190×0.1+200×0.4+210×0.1+220×0.2+230×0.2＝210（元）．方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为X200220240P0.60.20.2E（Y）＝200×0.6+220×0.2+240×0.2＝212（元）．所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．【分析】（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，可得AB的值，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得解；（2）设∠ACD＝α，用含α的式子表示出∠ACB和∠BAC，先在Rt△ACD中，利用三角函数表示出AC，再在△ABC中，由正弦定理，即可得解．解：（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，知2＝AB•4•sin，所以AB＝2，在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝4+16﹣2×2×4×＝12，所以AC＝2．（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，∠BAC＝π﹣（∠ABC+∠ACB）＝﹣α，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝，在△ABC中，由正弦定理知，＝，所以＝，即3cosα＝2sinα，所以tanα＝＝，所以tan∠ACD＝．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由线面垂直的判断和性质，可得证明；（2）在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．建立空间坐标系，求出平面A1CM的法向量，证明⊥，即可得出PQ∥平面A1CM．解：（1）由△A1B1C1中，A1B1＝B1C1，N为B1C1的中点，可得A1N⊥B1C1，又B1B⊥平面A1B1C1，A1N⊂平面A1B1C1，可得B1B⊥A1N，而B1B∩B1C1＝B1，所以A1N⊥平面B1BCC1，即有A1N⊥BC1，连接CN，由tan∠C1CN＝＝，tan∠CC1B＝＝＝，则tan∠C1CN•tan∠CC1B＝1，可得∠C1CN+∠CC1B＝90°，即有BC1⊥CN，而CN∩A1N＝N，所以BC1⊥平面A1CN，则A1C⊥BC1；（2）以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A1（0，0，2），C（2，0，0），M（0，1，0），N（1，1，2），P（1，1，1），所以＝（1，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2，0，2），设平面A1CM的法向量为＝（x，y，z），则令y＝2，可得＝（1，2，1），设＝m＝（m，m，0），则＝﹣＝（m﹣1，m﹣1，1），所以•＝m﹣1+2（m﹣1）+1＝3m﹣2，当⊥时，可得PQ∥平面A1CM，所以3m﹣2＝0，即m＝．所以在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）设M（，y1），N（，y2），由直线的斜率公式可得直线MN的斜率，再由k PM•k PN＝﹣，可得y1，y2的关系式，求得直线MN的方程，再确定定点即可．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，由抛物线的定义可得|PF|＝1+＝2，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，P（1，2）；（2）证明：设M（，y1），N（，y2），则k MN＝＝，所以k PM•k PN＝•＝＝﹣，所以y1y2+2（y1+y2）＝﹣36，即y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣36，则直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），所以y＝x+，所以y＝x﹣﹣2，即y+2＝（x﹣9），所以直线MN恒过定点（9，﹣2）．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．【分析】（1）求出f'（x），分a≥0和a＜0两种情况，利用导数的正负判断函数的单调性即可；（2）（i）将问题转化为证明，令t＝，设，转化为证明g（t）＞0，然后利用导数研究函数g（t）的单调性，确定g（t）的取值范围，即可证明结论；（ii）设h（x）＝，由导数确定h（x）的单调性，得到﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，确定a的取值范围且1＜x1＜e＜x2，lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，转化为，得到，结合（i）中的结论，即可证明．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝ax+lnx，所以f'（x）＝，当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，当0＜x＜时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，则f'（x）单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：（i）原不等式等价于，因为﹣ax1＝lnx1①，﹣ax2＝lnx2②，由②﹣①，可得﹣a（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，故，则等价于，因为x2＞x1＞0，所以lnx2﹣lnx1＞0，即证明③，等价于证明，令t＝，设，即证明g（t）＞0，因为，则g（t）在（1，+∞）上单调递增，且g（t）＞g（1）＝0，因此x1+x2＞﹣；（ii）设h（x）＝，则h'（x）＝，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因为﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，且h（e）＝，则且1＜x1＜e＜x2，因为lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，所以，因为x1＞0，所以，又因为a＜0，△＝4+4ae＞0，所以或，因为0＜x1＜e且，所以，因为，所以，所以．。
2021-2022学年北京四中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，1} B ．{1，5} C ．{3，5} D ．{1，3}2．下列命题中的假命题是（ ） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞03．若tan α＞0，则（ ） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞04．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（ ） A ．最大值为4，最小正周期为2π B ．最大值为4，最小正周期为π C ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1 B ．2 C ．54D ．529．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1D ．f(x)=x+1x 2+4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是 ．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ ．13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ ；cos(α+π4)= ．14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处．（1）当点P 第一次入水时，t ＝ ． （2）当t =134π时，H ＝ ．15．已知函数y＝f（x），任取t∈R，定义集合At＝{y|y＝f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）＝M t﹣m t，给出以下四个结论：①若函数f（x）＝x2，则h（0）＝1；②若函数f（x）＝x2，则h（t）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x，则h（t）在（1，2）上单调递增；④若函数f(x)=sin π2x，则h（t）的最小正周期为2．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．）16．（14分）已知集合A＝{x|﹣x2+7x﹣10≥0}，B={x|12＜2x+1＜4a}．（1）若a＝2，求A∪B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．17．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B=√33．（1）求AC的长；（2）若_____，求△ABC的面积．从①∠BCA=π3，②BC=√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．（14分）已知函数f(x)=12x2−3x+4ln(x+2)．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f（x）＝k恰有三个不同的解，求实数k的取值范围．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．20．（15分）设函数f（x）＝（x﹣1）e x+ax2，其中a∈R．（Ⅰ）若x＝1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}解：∵集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜4}＝{0，1，2，3}， B ＝{﹣4，1，3，5}， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：D ．2．下列命题中的假命题是（ ） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞0解：对于A ，当x =12时，（12）2＞（12）3，所以∃x ＞0，x 2＞x 3，故A 正确；对于B ，由y ＝lnx 的单调性可知，当x ＞1时，lnx ＞0，当0＜x ＜1时，lnx ＜0，当x ＝1时，lnx ＝0，故B 错误；对于C ，由y ＝sin x 的值域为[﹣1，1]可知C 正确； 对于D ，由y ＝2x 的值域为（0，+∞）可知D 正确； 故选：B ．3．若tan α＞0，则（ ） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞0解：∵tan α＞0， ∴sinαcosα＞0，则sin2α＝2sin αcos α＞0． 故选：C ．4．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度解：y ＝e2x +1=e2(x+12)，即只需把函数y ＝e 2x 的图像向左平移12个单位即可，故选：C ． 5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b解：∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，所以A 不正确；|b |＞|a |，所以a 2＜b 2，所以B 不正确； ∴a +b ＜0＜ab ，所以C 正确； ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，−1b ＜−1a ，所以a −1a＞b −1b，所以D 不正确； 故选：C ．6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（ ） A ．最大值为4，最小正周期为2πB ．最大值为4，最小正周期为πC ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π解：y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x ＝sin 2x ﹣2sin x +1﹣cos 2x ＝2sin 2x ﹣2sin x ， 可得函数的最小正周期为2π，且y ＝2（sin x −12）2﹣2×14=2（sin x −12）2−12， 当sin x =12时，函数取到最小值−12，当sin x ＝﹣1时，函数由最大值2×（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝4， 故选：A ．7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：由条件f （x +1）＝﹣f （x ），可以得：f （x +2）＝f （（x +1）+1）＝﹣f （x +1）＝f （x ），所以f （x ）是个周期函数．周期为2． 又因为f （x ）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数． a ＝f （3）＝f （1+2）＝f （1），b ＝f （√2）＝f （√2−2）＝f （2−√2）c ＝f （2）＝f （0） 0＜2−√2＜1 所以a ＜b ＜c 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1B ．2C ．54D ．52解：∵|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14， ∴a →2−4a →•b →+4b →2=9﹣4×3|b →|×14+4|b →|2=19， 解得：|b →|＝2或|b →|=−54（舍去）， 故选：B ．9．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，cos A ＜cos B ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B ， 故“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件， 故选：C ．10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1 D ．f(x)=x+1x 2+4解：对于A ，f （x ）＝3|x﹣1|+2≥30+2＝3，所以函数f （x ）没有零点，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，f （x ）＝lg （x +3）−12，此时f （x ）为单调递增函数，当x =√10−3时，f （x ）＝0，即（0，+∞）时f （x ）有零点，因为f （x ）定义域为R ，f （﹣x ）＝f （x ），所以函数为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在（﹣∞，0）上也有零点，故B 正确；对于C ，因为f （x ）=x 33−x ﹣1，f ′（x ）＝x 2﹣1，当﹣1＜x ＜1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ＞1时，f （x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值f （﹣1）=−13， 在x ＝1处取得极小值f （1）=−53＜0， 其图象为，而f （3）＝5＞0，所以f （x ）在R 上有且只有一个零点，从而f （x ）没有“折点”故C 不符合题意； 对于D ，f （x ）=x+1x 2+4， 定义域为R ， f ′（x ）=−(x 2+2x+4)(x 2+4)2=−(x+1)2+3(x 2+4)2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减，所以函数f （x ）至多有一个零点，不符合题意，故D 错误； 故选：B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是 （﹣2，0）∪（0，+∞） ． 解：由题意得：{x +2＞0x ≠0，解得：x ＞﹣2且x ≠0， 故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞）， 故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ −152 ． 解：根据题意，向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），则a →+b →=（2，m +5）， 若（a →+b →）∥a →，则2m ＝6（m +5）， 解可得：m =−152，故答案为：−152． 13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ 3√1010 ；cos(α+π4)= √55．解：已知α为第三象限角，且tan α＝3， 所以sin α=10，cos α=10； 故sin （α﹣π）＝﹣sin α=3√1010，cos （α+π4）=cosαcos π4−sinαsin π4=−√1010×√22+3√1010×√22=4√520=√55．故答案为：3√1010；√55． 14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处． （1）当点P 第一次入水时，t ＝ 2π3．（2）当t =134π时，H ＝ 4−3√22．解：（1）如图所示，当P 第一次入水时到达A 点，由几何关系知|OB |=32， 又圆的半径为3，故∠AOB =π3，此时轮子旋转的圆心角为：π−π3=2π3，故t =θω=2π31=2π3，（2）由题可知H （t ）＝4+3cos θ，θ＝ωt ，即H （t ）＝4+3cos t ， 当t =13π4时，H （13π4）＝4+3cos 13π4=4+3×cos 5π4=4﹣3×√22=4−3√22． 故答案为：2π3，4−3√22．15．已知函数y ＝f （x ），任取t ∈R ，定义集合At ＝{y |y ＝f （x ），点P （t ，f （t ）），Q （x ，f （x ））满足|PQ |≤√2}．设M t ，m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h （t ）＝M t ﹣m t ，给出以下四个结论： ①若函数f （x ）＝x 2，则h （0）＝1；②若函数f （x ）＝x 2，则h （t ）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）在（1，2）上单调递增； ④若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）的最小正周期为2． 其中所有正确结论的序号为 ①②③④． ． 解：对于①，∵函数f （x ）＝x 2，当t ＝0时，P （0，0），Q （x ，x 2），且√(x −0)2+(x 2−0)2≤√2，即x 2+x 4≤2， 令x 2＝m ，即m 2+m ≤2，解得0≤m ≤1， ∴M t ＝1，m t ＝0，h （0）＝1﹣0＝1，故①正确，由题意可得，Q 的轨迹是以P 为圆心，√2为半径的圆及其内部．当点P 在曲线上运动，h （t ）的最大值与最小值的差一定小于等于圆的直径2√2，故②正确， 对于③和④，如图所示，若函数f （x ）=sin π2x ，此时函数的最小正周期为2ππ2=4，点P （t ，sinπt 2），Q （x ，sinπx 2），当P 在A 点时，点O 在曲线OAB 上，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从A 接近B 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在B 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从B 接近C 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在C 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从C 接近D 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在D 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从D 接近E 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在E 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，依次类推，发现h （t ）的最小正周期为2，同时h （t ）在（1，2）上单调递增． 故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（14分）已知集合A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}，B ={x|12＜2x+1＜4a }． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}＝{x |2≤x ≤5}，a ＝2时，B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜24}＝{x |﹣1＜x +1＜4}＝{x |﹣2＜x ＜3}，故A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}；（2）B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜22a }＝{x |﹣1＜x +1＜2a }＝{x |﹣2＜x ＜2a ﹣1}，若A ∩B ≠∅，则2a ﹣1＞2，解得：a ＞32， 故a 的取值范围是（32，+∞）．17．（14分）如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B =√33． （1）求AC 的长；（2）若_____，求△ABC 的面积．从①∠BCA =π3，②BC =√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：（1）∵∠D ＝2∠B ，cos B =√33， ∴cos D ＝cos2B ＝2cos 2B ﹣1=−13， 在三角形ADC 中，AD ＝1，CD ＝3，∴AC =√AD 2+DC 2−2AD ×DC ×cosD =√1+9−2×1×3×(−13)=2√3； （2）选①：∠BCA =π3，由（1）知AC ＝2√3， 由cos B =√33，可得sin B =√63，所以sin ∠BAC ＝sin （B +∠BCA ）＝sin B cos ∠BCA +sin ∠BCA cos B =3+√66，在△ABC 中，由正弦定理，得ACsinB=ABsin∠BCA，则AB =3√62，所以S △ABC =12AB •AC •sin ∠BAC =12×3√62×2√3×3+√66=9√2+6√34． 选②：BC =√6，由（1）知AC ＝2√3，由cos B =√33，得sin B =√63，在△ABC 中，由余弦定理，得cos B =BC 2+AB 2−AC22BC⋅AB ，即√33=22√6AB，解得AB ＝3√2， 所以S △ABC =12AB •BC •sin ∠B =12×3√2×√6×√63=3√2． 18．（14分）已知函数f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2⇒f ′（0）＝﹣1， 又f （0）＝4ln 2，所以y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程为：y ﹣4ln 2＝﹣x ，即x +y ﹣4ln 2＝0；（Ⅱ）方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解⇔直线y ＝k 与曲线f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)（x ＞﹣2）有三个不同的交点，因为f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2=(x+1)(x−2)x+2（x ＞﹣2）， 所以①当﹣2＜x ＜﹣1或x ＞2时，f '（x ）＞0， ②当﹣1＜x ＜2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣2，﹣1），（2，+∞）上为增函数，在（﹣1，2）上为减函数，所以当x ＝﹣1时，f （x ）取得极大值f （﹣1）=72，当x ＝2时，f （x ）取得极小值f （2）＝4ln 4﹣4； 又当x →（﹣2）+时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→+∞， 所以若f （x ）＝k 恰有三个不同的解， 则4ln 4﹣4＝8ln 2﹣4＜k ＜72，所以实数k 的取值范围为（8ln 2﹣4，72）．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．解：（Ⅰ）因为f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ＝sin 2x +3cos 2x +2√3sin x cos x ﹣2cos2x =1−cos2x2+3•1+cos2x 2+√3sin2x ﹣2cos2x=√3sin2x ﹣cos2x +2 ＝2sin （2x −π6）+2，令−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 可得：−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ，所以f （x ）的单调递增区间为[−π6+k π，π3+k π]，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝2sin （2x −π6）+2， 若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4， 则y ＝sin （2x −π6）在[0，m ]（m ＞0）上的最大值是1， 由0≤x ≤m ，可得−π6≤2x −π6≤2m −π6， 所以2m −π6≥π2，可得：m ≥π3， 所以m 的取值范围为[π3，+∞）．（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）＝2in （2ωx −π6）+2＝3，可得sin （2ωx −π6）=12， 所以2ωx −π6=π6+2k π，（k ∈Z ），或2ωx −π6=5π6+2k π，（k ∈Z ）， 可得x =π6ω+kπω，k ∈Z ，或x =π2ω+kπω，k ∈Z ，因为曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，所以π2ω+kπω−（π6ω+kπω）=π9，可得ω＝3，或π6ω+(k+1)πω−（π2ω+kπω）=π9，可得ω＝6，所以ω的所有可能取值为3或6．20．（15分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2，其中a ∈R ． （Ⅰ）若x ＝1是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．解：（Ⅰ）f′（x）＝e x+（x﹣1）e x+2ax＝xe x+2ax，因为x＝1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即e+2a＝0，所以a=−e2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），a＜0，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝ln（﹣2a），当−12＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＜ln（﹣2a）或x＞0，令f'（x）＜0，解得ln（﹣2a）＜x＜0，当a=−12时，f'（x）≥0恒成立，当a＜−12时，f'（x）＞0，解得x＞ln（﹣2a）或x＜0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln（﹣2a），综上所述，当−12＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））和（0，+∞）单调递增，f（x）在（ln（﹣2a），0）上单调递减，当a=−12时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜−12时，f（x）在（﹣∞，0）和（ln（﹣2a），+∞）单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减．（Ⅲ）证明：当a＝0时，f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1，设h（x）＝xe x﹣lnx﹣x﹣1，定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可，因为h′（x）＝（x+1）e x−x+1 x，所以h′（0.1）＜0，h′（1）＞0，又因为h″（x）＝（x+2）e x+1x2＞0，所以函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）＝0有唯一的实根x0∈（0，1），且e x0=1x，当0＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以函数h（x）的最小值h（x0）所以h（x）≥h（x0）＝x0e x0−lnx0﹣x0﹣1＝1+x0﹣x0﹣1＝0，所以f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，•，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，•，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。
江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期中抽测数学试题及答案
2021~2022学年度第一学期高三年级期中抽测数 学 试 题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0，x ∈N }，B ＝{x |2x ＞14}，则A ∩B ＝A ．{x |－2＜x ≤1}B ．{1}C ．{0，1}D ．{－1，0，1}2．在复平面内，复数21－i是虚数单位)对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(x ＋2x)6的展开式中的常数项为A ．15B ．60C ．80D ．1604．在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小．降水量的测量方法是从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度．降水量以mm 为单位，一般取一位小数．现某地10分钟的降雨量为13.1mm ，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm 的圆柱型量简收集的雨水体积约为(其中π≈3.14)A ．1.02×103mm 3B ．1.03×103mm 3C ．1.02×105mm 3D ．1.03×105mm 35．从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是A ．142B ．17C ．314D ．376．若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝4，则|a ＋b ＋c |＝A ．3B ．3或6C ．3或6D ．3或67．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝2和两点A (m ，0)，B (0，m )，若圆C 上存在点P ，使得PA ·P B ＝0，则实数m 的取值范围为A ．[3－2，3＋2]B ．[22，42]C ．[－4，－2]D ．[2，4]8．a ＝e 0.2，b ＝log 78，c ＝log 67，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省百校联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题及答案
2023~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学试题2023.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．图中的阴影部分表示的集合为（）．A ．ABC B ．()U A B CðC ．()U A B CðD ．()U A B Cð2．若1Z ，2Z 为复数，则“12Z Z -是纯虚数”是“1Z ，2Z 互为共轭复数”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象为（）．A ．B ．C ．D ．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度（单位：米）约为（）．A ．3B ．4C ．)61D ．)31+5．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）．A ．13B ．12C ．11D ．106．如图，AB 是圆O 的一条直径，且4AB =．C ，D 是圆O 上的任意两点，2CD =．点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（）．A ．[]1,2-B ．2⎤⎦C ．[]3,4D ．[]1,0-7．已知直线5π6x =，4π3x =是函数()()π4sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图像相邻的两条对称轴，将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图像．若()g x 在(),m m -上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（）．A ．7π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦B ．7π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦C ．5π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦D ．5π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦8．已知0.11a e =， 1.11.1b =， 1.11c =，则（）．A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c >>D ．b c a>>二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设正实数a ，b 满足2a b +=，则下列说法正确的是（）．A ．2b a b+的最小值为3B ．ab 的最大值为1C 的最小值为2D ．22a b +的最小值为210．函数()()π2sin ,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（）．A ．函数()f x 在3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增B．圆的半径为3C ．函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称D ．函数()f x 在2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，1224AD AB AA ===，E ，F 分别是棱AD ，11B C 的中点，点P在侧面11A ADD 内，且(),BP xBE yBF x y =+∈R，则三棱锥1P BB F -外接球表面积的取值可能是（）．A ．10πB ．20πC ．12πD ．44π12．已知数列{}n a 满足11a =，()12ln 11n n n a a a +=++，则下列说法正确的有（）．A ．31225a a a <+B ．2211n n n a a a +-≤+C ．若2n ≥，则131141n i i a =≤<+∑D ．()()1ln 121ln 2nnii a =+≤-∑三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知π3sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．14．已知非零向量a ，b满足)b = ，π,3a b = ，若()a b a -⊥，则向量a 在向量b 方向上的投影向量的坐标为______．15．已知数列{}n a 满足()122222n na a a n n *+++=∈N L ，()214n n b a n n λ=--+，若数列{}n b 为单调递增数列，则λ的取值范围为______．16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点．”在ABC 中，60A =︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，则13O AO ∠=______；若123O O O，则三角形中AB AC +的最大值为______．四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()()()π2cos 22x x f x ϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()f x a =在π5,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围．18．已知函数()()ln 1x a a f x x =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2a =-，是否存在整数()m m *∈N ，都有()()1f x m x ≤+恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．19．设数列{}n a 前n 项和n S 满足21n n n S a n n-+=+，n *∈N ．（1）证明：数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列；（2）记111n n S b n =-+，求数列()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD．（1）证明：平面CDM ⊥平面PAB ；（2）若//AD BC ，24AD BC =<，2AB =，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为33434，求三棱锥P MCD -的体积．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()sin 0,0,0,πy A x A ωϕωϕ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且//CD EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知函数()sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 在[]π,πx ∈-的单调区间与最值；（2）当13a >时，若()()212g x f x ax =-，证明：()g x 有且仅有两个零点．2023年~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学评分参考标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BDCCBDAA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ABDCDBCDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6314．31,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭15．3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．2π3，4四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，所得函数为ππ52sin 22sin 2π366y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴5πππ62k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ3k ϕ=-+，k ∈Z ．又π2ϕ<，∴π3ϕ=-，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）∵π5,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ2π2,663x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，当πππ2662x ≤-≤，即ππ63x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ2π2263x <-≤，即π5π312x <≤时，()f x 单调递减．且π23f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵方程()f x a =在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实数根，2a ≤<，∴实数a 的取值范围为)2．18．解：（1）∵0x >，()1f x a x'=-，当0a ≤，()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞单调递增，当0a >时，()1axf x x -'=，令()0f x '>，得1x a <，()0f x '<得1x a>，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．综上，0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．（2）∵2a =-，∴()ln 21f x x x =++，∴()ln 211x x m x ++≤+，∴ln 211x x m x ++≥+，令()ln 211x x g x x ++=+，∴()()212ln 1xx g x x +-'+，令()12ln u x x x =+-，()2110u x x x '=--<，∴()u x 在()0,+∞单调递减．∵()2222112ln 220u e e e e =+-=+->∵()3333112ln 230u e e e e=+-=+-<，∴()230,x e e ∃∈，使得()00u x '=，即0012ln 0x x +-=，0012ln x x +=，当()00,x x ∈，()0u x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当()0,x x ∈+∞，()0u x <，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()()02000000max00000123ln 2123112111x x x x x x g x g x x x x x x ++++++=====++++，∵()230,x e e ∈，()010,1x ∈，∴3m ≥，∴m 的最小值为3．19．（1）证明：∵21n n n S a n n-+=+，且()12n n n a S S n -=-≥，∴()121221n n S S n n n--=-≥+，∴()111221n n S S n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪+⎝⎭，∴()1111212n n S n n S n--+=≥-，令1n =，可得10S =，∴11122S -=-，所以数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为12-，公比为12的等比数列．（2）由（1）可得111111222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴11112n n n S b n ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭，∴2nn b =，∴()()()()1112111121212121n n n n n n n n b b b +++==-------，∴1111111111111337715212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．20．【解析】（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以PN AD ⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN ⊂面PAD ，所以PN ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PN AB ⊥，又因为PD AB ⊥，PN PD P = ，PN ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥，因为M 为AP 中点，所以DM PA ⊥，且PA AB A = ，PA ，PB ⊂平面PAD ，所以DM ⊥平面PAB ，且DM ⊂平面CDM ，所以平面CDM ⊥平面PAB．（2）由（1）可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN PD P = ，所以AB ⊥平面PAD ，且AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，设()22AD a a =<，则可得()0,0,0A ，()2,0,0B，()0,P a，0,,22a M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()2,,0C a ，()0,2,0D a ，即()2,,PB a =- ，()2,,0DC a =- ，330,,22DM a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MCD 的法向量为(),,n x y z =，则2033022DC n x ay DM n ay ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩则可得2a x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，取2y =，则x a =，z =所以平面MCD的一个法向量为(,2,n a =，设直线PB 与平面MCD 所成角为θ，所以sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====，解得216a =，或21a =，即4a =（舍去）或1，所以2AD =，111123323P MCD PMD V S AB -=⋅=⨯⨯=．21．解：（1）由已知条件，得2A =，又∵34T =，2π12T ω==，∴π6ω=．又∵当1x =-时，有π2sin 26y φ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴2π3φ=，∴曲线段FBC 的解析式为π2π2sin 63y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]4,0x ∈-．（2）由π2π2sin 163y x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭得()()614k x k k =+--∈Z ，又[]4,0x ∈-，∴0k =，3x =-，∴()3,1G -，OG =，∴景观路GO长为（3）如图，OC =1CD =，∴2OD =，π6COD ∠=，作1PP x ⊥轴于1P 点，在1Rt OPP △中，1sin 2sin PP OP θθ==，在OMP △中，()sin120sin 60OP OMθ=︒︒-，∴()()sin 60sin 602cossin1203OP OM θθθθ⋅︒-==︒-=-︒，12cos sin 2sin 3OMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭平行四边形24sin cos sin 2sin 2cos 2333θθθθθ=-=+-πsin 2363θ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当ππ262θ+=时，即π6θ=时，平行四边形面积最大值为233．22．解：（1）∵()sin cos sin cos 0f x x x x x x x '=+⋅-=⋅=，解得π2x =-或0或π2，∴()f x 与()f x '的分布列如下：xπ-ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭π2-π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π2π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭π＋－＋－1-↑极大值π2↓极小值1↑极大值π2↓1-所以，()f x 的增区间为：ππ,2⎛⎫--⎪⎝⎭，π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为：π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的最大值为π2，最小值为1-．（2）()g x 的定义域为R ，∵()()()()()21sin cos 2g x x x x x a g x =-+---=--，所以()g x 为偶函数．∵()010g =>，∴当13a >时，()g x 有且仅有两个零点⇔当13a >时，()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点．∵()()cos x x x a g '=⋅-，当1a ≥时，若0x >，则()0g x '<，所以()g x 在()0,+∞上单调递减，∵()21π1π02g a =--<，∴()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点；当113a <<时，存在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得cos a θ=，当0x θ<<时，()0g x '>，当()2π2π2πk x k k θθ+<<+-∈N 时，()0g x '<，当()2π2π2π2πk x k k θθ+-<<++∈N 时，()0g x '>，所以，()g x 在()0,θ递增，在()()2π,2π2πk k k θθ++-∈N 上递减，在()()2π2π,2π2πk k k θθ+-++∈N 上单调递增，tan θ=，113a <<，可得0tan θ<<，当k ∈N 时，(2π2πtan 2πk θθ++->，所以，()()2112π2π2π2πtan 122g k k a θθθ⎡⎤++=-++--+⎣⎦()2132π2πtan 162k θθ⎡⎤<-++--+⎣⎦()22π2πtan 1006k θθ++--=-<所以，()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点，综上，当13a >时，()g x 有且仅有两个零点．。
2022-2023学年安徽省合肥市一中高三上学期期中考试数学试题及答案
合肥一中2022—2023学年第一学期高三年级阶段性诊断考试数学试卷时长：120分钟分值：150分命题人：王晓冉、朱寒梅审题人：王晓冉、朱寒梅一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z i i (2)13+=+，则z =()A ．1+i B ．-+i 51C ．+i 3355D ．-+i 33152．已知集合A x x -1={|0}x +2，B x x x =-{|(1)0}，则A B =()A ．x x <<{|01}B ． x x {|01}C ． x x <{|01}D ．<x x {|01}3．已知数列{}a n 为等差数列，，,则=()B ．11C ．13D ．15A ．94．已知⎝⎭⎪⎛⎫a =21 3.1，b =3.10.1，c =log 20.1，则，，的大小关系是()A. >>a b c B.>>a c b C.>>c b a D.>>b a c 5.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为()A ．π72B. π48C ．π36D ．π186．已知α-=π104cos()，，π)．则下列结论正确的是()A. 51 B. -57C. -43 D.α-=πcos(2)225247.在平行四边形中，，，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．设，则下列结论错误的是()A.=→→EF AE 31 B.=+→AF a b 31→→C. =→AFD.→→AF AB ⋅=37 8.已知1a >，1b >，且 ，则 的最小值为( ) A ．92B ．9C ．132D ．139．设函数()f x 的定义域为R ，函数 为偶函数，函数 为奇函数，若(0)f f +（3） ，则 ) A ．11B ．9C ．7D ．510.已知函数22,1(),1x x x e x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩,若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( )A. 222,8e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 222,,82e e e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 222,,82e e e ⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦ D.222,,82e e e ⎡⎫⎛⎫⋃+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭11.已知函数2()3sin 22cos 136f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若1x 、2x 是关于 的方程 在[0，]2π内的两根，则 的值为( )ABC． D． 12. 已知函数 ， 1()a xg x x e =-，若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值是( )A. B. C. 1e- D. 21e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(6,1)a =-，，且()(3)a mb a b +-，则 =__________. 14. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若 ， ，则 __________.15．已知幂函数 在(0,)+∞上单调递增，函数 ， ， ， ， ，使得12()()f x g x 成立，则实数 的取值范围是__________.16．已知正三角形ABC 的边长为2，点D ，E ，F 分别在线段AB ，BC ，CA 上，且D 为线段AB 的中点.若DE DF ⊥，则三角形DEF 面积的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知函数()2cos cos )f x x x x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（2）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．18.(本小题满分12分)若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.(本小题满分12分)已知向量33(cos ,sin )22a θθ=，(cos ,sin )22b θθ=-，[0,]3πθ∈，（1）若()32a a b ⊥-，求θ的值；（2）求||a ba b ⋅+的最大值和最小值．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22sin sin (sin sin )sin A B C A B C +=． （1）求角C ；（2）若 ，边AB 上的中线CD =，求边,a b 的长．21.(本小题满分12分)已知函数()(13)(0)f x ln x ax a =+-≥ （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：111(1)(1)4164(1)n ++⋯+< (e 为自然对数的底数，*)n N ∈．22.(本小题满分12分)已知函数()3sin (x f x e x e =为自然对数的底数）． （1）求()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）记()()g x f x ax =-，09a <<，试讨论()g x 在(0,)π上的零点个数．（参考数据：2 4.8)e π≈数学参考答案一、选择题9.(1)f x + 为偶函数，+2−1为奇函数，()f x ∴既关于直线1x =对称，又关于点(2,1)对称，且2−1=0，(0)f f ∴=（2）=1，f （3）=2−（1）=7，()(2)f x f x =- 且op +o4−p =2，∴o2−p +o4−p =2，4T ∴=，∴o2023)=o3)=2×94−8=7．故选：C ．10.解关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根，⇔关于x 的方程()[()2]0f x f x a -=有两个不相等的实数根，⇔关于x 的方程()20f x a -=有一个非零的实数根，⇔函数()y f x =与2y a =有一个交点，横坐标0x ≠，结合图象可得：22424e a e <<或2a e >，所以的取值范围是222(,)(,)82e ee ⋃+∞.11.函数op =3sin(2−−cos(2−3)=10sin(2−3−p ，其中，cos =sin =把函数()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数g(p =10sin(2−p 的图象，∈[0，]2π时，2−∈[−s −p ，所以21−+22−=，所以1+2=+2，所以cos 1+2=−sB =−12.当=0时，+1−1>0显然成立，下面讨论<0时即+1≥−B +，考察函数ℎ(p =+1ℎ'(p =1−1知ℎ(p 在(0, +∞)为增函数．ℎ(−B )=−B +B =−B +B=−B +.即ℎ(p ≥ℎ(−B )，当≥1，∵<0, >1，∴−B >0，等价于≥−B题号123456789101112选项ACCDCBCACBCA∵B >0∴≥−B.考察op =−B ，n(p =−B K1(B )2op 在区间(1, p 是增函数，在区间(s +∞)上是减函数，op 的最大值为op =−B =−，∴≥−s ∴的最小值为−u二、填空题：13．=−1314.15215．≤−216．32-16.解：根据题意，设BDE θ∠=，090θ︒︒ ，在BDE ∆和ADF ∆中，由正弦定理知sin 60sin(120)DE BD θ=︒︒-，sin 60sin(30)DF ADθ=︒︒+，化简得sin(60)2DE θ=︒+，sin(30)2DF θ=︒+，故1328sin(60)sin(30)DEF S DE DF θθ∆=⋅=︒+︒+，因为311313sin(60)sin(30)(sin )(cos sin )sin 2222224θθθθθθθ︒+︒+=++=+，所以32DEF S ∆==-，故三角形DEF面积的最小值为32-．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（Ⅰ）2()2cos cos )22f x x x x x cos x=+=+2cos 212sin(2)16x x x π=++=++．22T ππ∴==，由26x k ππ+=，得122k x ππ=-+，k Z ∈．()f x ∴的对称中心为(122k ππ-+，1)，k Z ∈；（Ⅱ）由222262k x k πππππ-+++ ，k Z ∈．解得36k x k ππππ-++ ，k Z ∈．由3222262k x k πππππ+++ ，k Z ∈．解得263k x k ππππ++ ，k Z ∈．取0k =，可得()f x 在区间[0,2π上的增区间为[0，]6π，减区间为(6π，2π．18．【解答】解：（1）根据题意，设等差数列{}n a 公差为(0)d d ≠，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =，所以221424S S S S ⎧=⋅⎪⎨=⎪⎩，整理得：21111(46)(2)24a a d a d a d ⎧⋅+=+⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．故21()n a n n N +=-∈．证明：（2）由（1）得：3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，3111113133[(1)(...()](123352*********n T n n n n =-+-++-=-=--+++．19．【解答】解：（1）)2a b⊥-∴)20a b -=，20a ab ⋅-⋅= ||1a =，33cos cos sin sin cos 22222a b θθθθθ⋅=-=∴2cos20θ-=，[0,3πθ∈∴12πθ=；（2） 33(cos ,sin )22a θθ=，(cos ,sin )22b θθ=- ∴33cos cos sin sin cos 22222a b θθθθθ⋅=-= ，||||1a b ==∴2222||222cos 24cos a b a b a b θθ+=++⋅=+=，∴||2cos ([0,])3a b πθθ+=∈，∴2cos 22cos 12cos 2cos ||a b a b θθθθ⋅-==+ ．令cos t θ=，1[,1]2t ∈，22111([,1])222||a b t y t t t t a b ⋅-===-∈+ ，21102y t '=+>，设2cos t θ=，则221122||a b t t t t a b ⋅-==-+ ，1[,1]2t ∈，令12y t t =-，则21102y t '=+>∴12y t t =-在1[,1]2上递增12t =时，12y =-；1t =时，12y =∴||a ba b ⋅+的最大值为12，最小值为12-；20．【解答】解：（1）22222sin sin (sin sin )sin sin 33A B C A B C a b c ab C +=-⇒+=-，即2cos sin ab C C =，即tan C =故23C π=；（2）由余弦定理知2219b a ab +=+， CDB CDA π∠+∠=∴cos cos 0CDB CDA ∠+∠=，即222222()()2202222c cCD b CD a c c CD CD +-+-+=⋅⋅⋅⋅．∴2213a b +=,解得3a =，2b =或2a =，3b =．21．【解答】（1）解：33()13133ax af x a x x-+-'=-=++，当0a =时，()0f x '>()f x ∴在(31-，)+∞上单调递增；当0a >时，()0f x '=1131333x a a a ==->---，由()0f x '>11331x a ∴-<<-，再令()0f x '<，得113x a >-，()f x ∴在(31-，11)3a -上单调递增，在11(3a -，)+∞上单调递减．综上所述：当0a =时，()f x 在(31-，)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(31-，11)3a -上单调递增，在11(3a -，)+∞上单调递减．（2）证明：由（1）知，当3a =时，()f x 在(0，)+∞上单调递减，当(0,)x ∈+∞时，由()(0)0f x f <=，(13)3ln x x ∴+<，(1)ln x x ∴+<114161[(1)(1)]4n ln ∴++⋯+114161(1)(1)4(1n ln ln ln =++++⋯++24411(1)144434311111(41)11n n n -<++⋯+==-<-，416111(1)(1))4(1n ∴++⋯+<22．【解答】（1）()3sin x f x e x =，(0)0f =()3(sin cos )x f x e x x '=+，则(0)3f '=则切线方程是3y x =；（2）()3sin x g x e x ax =-，()3(sin cos )x g x e x x a ∴'=+-，令()()h x g x ='，则()6cos x h x e x '=，(0,)2x π∈时，()0h x '>，(2x π∈，)π时，()0h x '<，()g x ∴'即()h x 在(0,2π单调递增，在(2π，)π上单调递减，(0)3g a '=- ，()30g e a ππ'=--<，①当30a - 即03a <≤时，(0)0g ' ，()02g π∴'>，∴存在0(2x π∈，)π，使得0()0g x '=，∴当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，当0(x x ∈，)π时，()0g x '<，()g x ∴在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)π上单调递减，(0)0g = ，0()0g x ∴>，又()0g a ππ=-<，则()g x 在(0,)π上仅有1个零点，②当39a <<时，(0)30g a '=-<，()g x ' 在(0,)2π上单调递增，在(2π，)π上单调递减，且2(302g e a ππ'=->，∴存在1(0,)2x π∈，2(2x π∈，)π，使得1()0g x '=，2()0g x '=，且当1(0,)x x ∈，2(x ，)π时，()0g x '<，1(x x ∈，2)x 时，()0g x '>，()g x ∴在1(0,)x 和2(x ，)π上单调递减，在1(x ，2)x 上单调递增，(0)0g = ，1()0g x ∴<，229(330222g e a e πππππ=->-> ，2()0g x ∴>，又()0g a ππ=-<，故()g x 在1(x ，2)x 和2(x ，)π上各有1个零点，综上：当03a <≤时，()g x 仅有1个零点，当39a <<时，()g x 有2个零点．。
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2021-2022学年上学期期中考试
高三数学（文科）试题
考试时间：120分钟 分数：150分
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题）
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则
U C A =
( )
A.{1,3,5,6}
B.{2,3,7}
C.{2,4,7}
D.{2,5,7}
2. 131i
i +- = ( )
A. 1+2i
B. -1+2i
C. 1-2i
D. -1-2i
3. 已知实数x , y 满足约束条件
100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
,则z=y-x 的最大值为 ( )
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π
(5题图) （6题图）
是
否
开始
k=1,s=1
k<5?
输出s
结束 k=k+1
s=2s-k
6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 5
7. 已知x 与y 之间的几组数据如表：
x 0 1 2 3 y
2
6
7
则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+必过点 ( )
A. (1,2)
B. (2,6)
C. (315,
24) D. (3,7)
8. 下列函数中，在定义域内与函数3
y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）
A. sin y x =
B. 3y x x =-
C. 2x y =
D.
2
lg(1)y x x =++
9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若
,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +
的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 23
10.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中11121321222331
32
33a a a a a a a
a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
所有数的和等于36，那么
22
a = （ ）
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
11.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D.10
12.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式
()1x x
e f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =
14.已知数列
{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为
15.抛物线
2
(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：
①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;
④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为
833π
+．其中正确命题的序号为
三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知
3cos 3cos c b C c B =+
（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1
cos ,23
3B b =-=，求∆ABC 的面积。
18.(本小题12分）某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机
抽取n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表.
组号 分组
频数 频率 第一组
)90,100⎡⎣
5
0.05
O(A)
C
B
y
第二组 )100,110⎡⎣ a
0.35 第三组 )110,120⎡⎣
30 0.30
第四组 )120,130⎡⎣ 20 b
第五组
)130,140⎡⎣
10
0.10 合计
n
1.00
(I) 求,,a b n 的值；
(II)若从第三，四、五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率。
19.（本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯
形,AD//BC,ADC ∠=90°，平面PAD ⊥底面ABCD,Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，
PA=PD=2,BC=1
2AD=1，3
（I ）求证：平面PBQ ⊥平面PAD ； （II ）求四面体C-BQM 的体积。
20.（本小题12分）设函数21()2x f x x e =
.
（I ）求()f x 的单调区间； （II ）若当[]
2,2x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围。
21.（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为25
，
它的一个顶点恰好是抛物线
214y x
=
的焦点。
（I ）求椭圆C 的标准方程；
(II)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A,B 两点，交y 轴于M 点，若
12,MA AF MB BF λλ==,，求12λλ+的值.
22.（本小题10分）已知直线l 的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数
方程为cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩（θ为参数）。
（I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同
的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为
(4,)
6π
,判断点P 与直线l 的位置关系；(II)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 距离的
最小值与最大值。
2021-2022学年上学期期中考试
高三数学（文科）答案
一. 选择
CBABA CCDBB AA 二.填空
13. 10 14.16± 15.)41
,0(a
16.①②④ 三.解答 17. （1）3 （2）2
18.（1）n=100,a=35,b=0.2 (2) 0.8 19.(2)
4
1 20.（1）单调递增区间是),0()2,(+∞--∞和 单调递减区间是)0,2(- （2）0<m
21.（1）15
22
=+y x （2）-10
22.（1）不在直线上 （2）最小值21，最大值25。