高数上册第一章第二节数列的极限 优质课件

第二天截下的杖长总和
为
X2

1 2

1 22
;

第n天截下的杖长总和为X n

1 2

1 22



1 2n
;
Xn

1
1 2n
1
4
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二、数列的定义
【定义】按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
lim
n
xn

a
或 xn a (n )
【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的.
【说明】发散有 ①不存在；②-∞；③+∞；④∞。
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【注意】
(1). xn a 刻划了xn与a的无限接近 ;
(2). N的存在性（能找到）, N 依赖 ( N N ( ))
【例2】
证明：lim n
(1)n (n 1)2

0
【证】
xn
a

(1)n (n 1)2
0

1 (n 1)2

1 n1
1 n
任给

0,
欲使 xn
0

,
只要 1 n

,
即n
1即可，

现取N

1

,
则当n N时，有
xn 0 成立,
所以,
【思考】认为“当n>N时，有无穷多个点落在(a-ε,a+ε)
内”是等价解释，正确吗？（ 不 正 确)
无 穷 多 个 点 并 不 包 括 所有 的 点 12 机动 目录 上页 下页 返回 结束
【注意】数列极限的定义未给出求极限的方法.
【例1】 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
【证】
三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 }当n 时的变化趋势. n
单击观任察意结点束开始观察
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【问题1】当 n无限增大时,xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当n
无限增大时,
xn

1

(1)n1 n
无限接近于1.
1 n

1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只要
n

100时,
有
xn
1

1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1

1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1

1, 10000
给定
0,
只要 n N ( [1])时,
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2.【 ε—N 定义】
lim
n
xn

a


0,
N

0,使n
N时,恒有 xn
a
.
Any表任意(给)
Exist表存在或至少有一个
3.【几何解释】
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外. 等价解释
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R

正6 2n1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
3
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2.【截丈问题】
公元前300年左右，中国 古代思想家墨子语：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为
X1

1; 2
第二节 数列的极限
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限
四、数列极限的性质
五、小结 思考题
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一、概念的引入
【引例】
1.【割圆术】
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
单击任观意察点完开毕始观察
2
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【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确 定的常数a，称a是数列xn的极限.
【问题2】 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它，描述它。
无限接近 可任意接近 “距离任意 小” “绝对值任意小”
即 xn 1可任意小.
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xn
1

(1)n1

有
xn 1 成立.
9
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1.【精确定义】
设{xn}为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数 ε(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n >N 时，
不等式 | xn -a |<ε都成立,那么就称 a是数列{xn} 的 极限,或者称数列{xn} 收敛于a, 记为
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
【注意】 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
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xn 1

n (1)n1 1 n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 ,
n
或n 1 ,

所以,取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1
n
即lim n (1)n1 1.
n
n
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越小，通常正整数N 越大.
（但不是函数关系， 因N不唯一）
(3). xn a 的一致性：n N 的一切 xn 成立.
(4). 0 任意、给定二重性：
只有任意（小）才能刻划出 xn “无限接近于a ”， 而只有给定才能找到相应的N. （已知极限存在时， 常用给定性来论证）
（5）.［意义］用一个有限数，概括出一个无限变化 的量(用常量研究变量)。
lim
n
(1)n (n 1)2

0
【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）
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【小结】 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为 { xn }.
【例如】 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
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1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;