幂函数解析

专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性

【知识回顾】

一、简单的幂函数

1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常

量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．

2．简单的幂函数的图像和性质

函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x

－1在同一平面

直角坐标系中的图像如图所示：

二、函数的奇偶性

1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，

有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。

【典例应用】

考点1 幂函数的概念

例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.

①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-

【答案】①

【解析】

【分析】

由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项

【详解】

根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数

①中，3x 的系数不为1；

①中，=-3α的幂函数；

①中，3x 的系数不为1；

①中，3x 之后不能加常数项；

故答案为①

【点睛】

本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.

练习：已知幂函数2223(1)m

m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.

【解析】

【分析】

由幂函数的概念求解．

【详解】

2

223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.

当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.

故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.

【点睛】

本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．

考点2 幂函数的图像

例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）

① ① ① ①

A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=

B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=

C ．①2y x ；①3y x =；①1

2y x =；①1y x -=

D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D

【解析】

【分析】

利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.

【详解】

3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．

故选D ．

【点睛】

本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

练习：幂函数2

4m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】

【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．

【详解】

解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，

当0m =时，240m m -=，不合题意；

当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；

当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．

①m 的值为2．

故选C ．

【点睛】

本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值

例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）

A

B ．2±

C ．2

D ．2-

【答案】D

【解析】

【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.

【详解】

由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2

f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2

f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.

练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）

A ．-1

B ．2

C ．-1或2

D ．3 【答案】A

【解析】

【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．

【详解】

解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，