八上数学【角平分线】历年真题精选30道（含解析），抓紧掌握练习

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角平分线的性质与判定大题培优专练-八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】(原卷版)

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.4角平分线的性质与判定大题培优专练班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．2．（2023春•横山区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的AC边上的中线．（1）若△ABE的周长为13，BE＝6，CE＝4，求AB的长度；（2）若∠A＝90°，△ABD的面积为10，AB＝5，求点D到BC的距离．3．（2023春•城关区校级期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．4．（2023春•莲池区校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H．（1）求∠AEB的度数．（2）若AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面积．5．（2023春•泌阳县月考）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，与CD交于点D．若AD＝8，求点P到BC的距离．6．（2023春•开福区校级期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．（1）若∠B＝34°，求∠BAC的度数；（2）若D是BC的中点，△ABC的面积为27，CD＝3，求AE的长．7．（2023春•石阡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分线l1，l2相交于点O．（1）求证点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，OB＝4，OA＝2，求点O到BC边的距离．8．（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．9．（2023•蓬江区校级三模）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC．10．（2023春•新华区期末）如图，△ABC中，AE⊥BC于点E，点P为AE上的点（不与点A，E重合），连接BP，∠C＝78°，∠CBA＝38°，AE＝8cm．（1）当BP平分∠CBA时，求∠APB的度数；（2）若BP为△ABE的中线，且△PBE的面积为10cm2，直接写出BE的长．11．（2023春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD ＝2.5，求△ABD的面积．12．（2022秋•赵县期末）在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则S△ABD：S△ACD＝；（用含m，n的代数式表示）（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．13．（2022春•成安县期末）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．14．（2022秋•孝感期中）如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若△ABC的周长是30，△ABC的面积为45，求OF的长．15．（2022秋•濮阳县期中）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．16．（2021秋•遂宁期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．17．（2021秋•南沙区期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．18．（2022秋•香洲区期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠BAC＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数；（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC；（3）如图③，若OC⊥PC，求∠P的度数．（用含α的式子表示）19．（2022秋•苏州期中）如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取点M 、N ，连接MN ．若MP 平分∠AMN ，NP 平分∠MNB ．（1）求证：OP 平分∠AOB ；（2）若MN ＝8，且△PMN 与△OMN 的面积分别是16和24，求线段OM 与ON 的长度之和．20．（2022春•福州期末）在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，M 为直线AC 上一动点，ME ⊥BC ，E 为垂足，∠AME 的平分线交直线AB 于点F ．（1）如图1，点M 为边AC 上一点，则BD 、MF 的位置关系是，并证明；（2）如图2，点M 为边CA 延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是，并证明；（3）如图3，点M 为边AC 延长线上一点，补全图形，并直接写出BD 、MF 的位置关系是．21．（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线．（1）若∠A ＝80°，∠ABC ＝58°，则∠ADB ＝ °．（2）若AB ＝6，设△ABD 和△CBD 的面积分别为S 1和S 2，已知S 1S 2=23，则BC 的长为．（3）如图（2），∠ACE 是△ABC 的一个外角，CF 平分∠ACE ，BD 的延长线与CF 相交于点F ，CG 平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．22．（2021秋•谷城县期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．23．（2021春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．（1）求证：BF平分∠DBC；（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．24．（2018秋•武昌区校级期中）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．25．（2021春•罗湖区校级期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOB＝40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC ∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC＝PE．求∠EPN的度数？26．（2022秋•原州区校级期末）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC的值．27．（2019秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；（2）若点P使得PB+PC＝AC时，求出此时t的值．28．（2023春•南明区校级期中）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．29．（2023春•万源市校级期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．（1）求证：GA平分∠DGB；（2）若S四边形DGBA＝6，AF=32，求FG的长．30．（2023春•长沙期末）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．。

【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 两外角平分线问题(解析版)

两外角平分线问题类型一三角形两外角平分线问题1．如图所示在△ABC中分别延长△ABC的边AB AC到D E △CBD与△BCE的平分线相交于点P 爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：①若△A＝50° 则△P＝65°＝90°－502︒；②若△A＝90° 则△P＝45°＝90°－902︒；③若△A＝100° 则△P＝40°＝90°－1002︒.(1)根据上述规律若△A＝150° 则△P＝________；(2)请你用数学表达式写出△P与△A的关系；(3)请说明(2)中结论的正确性．【答案】（1）15°；（2）△P＝90°－12△A；（3）见解析.【解析】【详解】【试题分析】（1）按照规律求解即可；（2）根据题意中的规律写出等量关系；（3）根据外角的性质证明.【试题解析】(1) △P＝90°－1502︒=15°；(2)△P＝90°－△A；(3)因为△DBC是△ABC的一个外角所以△DBC＝△A＋△ACB.因为BP 是△DBC 的平分线所以△PBC ＝△A ＋△ACB.同理可得△PCB ＝△A ＋△ABC.因为△P ＋△PBC ＋△PCB ＝180°所以△P ＝180°－(△PBC ＋△PCB)＝180°－＝180°－＝90°－△A.【方法点睛】本题目是一道规律探究题先猜想后证明主要利用外角的性质三角形的内角和来证明. 2．如图 BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线若60P ∠=︒ 则A ∠的大小为（）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】【分析】首先根据三角形内角和与△P 得出△PBC+△PCB 然后根据角平分线的性质得出△ABC 和△ACB 的外角和进而得出△ABC+△ACB 即可得解.【详解】△60P ∠=︒△△PBC+△PCB=180°-△P=180°-60°=120°△BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线△△DBC+△ECB=2（△PBC+△PCB ）=240°△△ABC+△ACB=180°-△DBC+180°-△ECB=360°-240°=120°△△A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用熟练掌握即可解题.3．如图在△ABC中△ABC和△ACB的外角平分线交于点O设△A=m则△BOC =（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和可得△ABC+△ACB根据角的和差可得△DBC+△BCE根据角平分线的定义可得△OBC+△OCB根据三角形的内角和可得答案．【详解】解：如图：由三角形内角和定理得△ABC+△ACB=180°-△A=180°-m由角的和差得△DBC+△BCE=360°-（△ABC+△ACB）=180°+m由△ABC和△ACB的外角平分线交于点O得△OBC+△OCB=12（△DBC+△BCE）=90°+12m由三角形的内角和得△O =180°-（△OBC +△OCB ）=90°-12m ．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理利用三角形内角和定理角的和差角平分线的定义是解题关键． 4．如图已知在ABC ∆中 B 、C ∠的外角平分线相交于点G 若ABC m ∠=︒ ACB n ∠=︒ 求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【解析】【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：△B 、△C 的外角平分线相交于点G在BCG ∆中△BGC=180°-（12△EBC+12△BCF ）=180°-12（△EBC+△BCF ）=180°-12（180°-△ABC+180°-△ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）； =()12+m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．5．如图点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点延长BP 交AC 于G 请写出A ∠和CPG ∠【答案】1902CPG A ∠=︒+∠ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含A ∠的式子表示出CBP ∠和BCP ∠的和再利用三角形外角的性质即可得到A ∠和CPG ∠的数量关系.【详解】解：△180ACB ABC A ∠+∠=︒-∠,△1802(180)180ECB FBC A A ∠+∠=︒⨯-︒-∠=︒+∠,△点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点△CBP ∠+BCP ∠＝11(180)9022A A ︒+∠=︒+∠ 又△CPG ∠＝CBP ∠+BCP ∠ △1902CPG A ∠=︒+∠. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.6．如图已知射线OE ⊥射线OF B 、A 分别为OE 、OF 上一动点 ABE ∠、BAF ∠的平分线交于C 点.问B 、A 分别在OE 、OF 上运动的过程中 C ∠的度数是否改变？若不变求出其值；若改变说明理由.【答案】不变 45C ∠=︒.【解析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到△C=90°-12△O ．【详解】解：△C 的度数不会改变．△△ABE 、△BAF 的平分线交于C △△CAB=12△FAB △CBA=12△EBA △△C=180°-（△CAB +△CBA ）=180°-12（△ABE+△BAF ） =180°-12（△O+△OAB+△BAF ） =180°-12（△O+180°） =90°-12△O=45°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理角平分线的定义三角形外角的性质定理熟练掌握相关的性质是解题的关键．类型二多边形两外角平分线问题7．如图已知点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点．若149A ∠=︒ 91B ∠=︒ 求P ∠的度数．【答案】60°【解析】【分析】根据四边形的内角和公式即可求出120BCD CDA ∠+∠=︒ 然后根据平角的定义即可求出240CDE DCF ∠+∠=︒ 再根据角平分线的定义即可求出120CDP DCP ∠+∠=︒ 最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：因为360A B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=︒ 149A ∠=︒ 91B ∠=︒所以120BCD CDA ∠+∠=︒．因为180CDE CDA ∠+∠=︒ 180BCD DCF ∠+∠=︒所以240CDE DCF ∠+∠=︒．因为点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点所以12CDP CDE ∠=∠ 12DCP DCF ∠=∠．所以120CDP DCP ∠+∠=︒所以()18060P CDP DCP ∠=︒-∠+∠=︒．【点睛】此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．8．如图五边形ABCDE 中 BCD ∠、EDC ∠的外角分别是FCD ∠、GDC ∠ CP 、DP 分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P 若140A ∠=︒ 120B ∠=︒ 90E ∠=︒ 则P ∠=__________︒．【答案】95【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：()2180-︒n 可得出△BCD 、△EDC 的和从而得出相邻两外角和然后根据角平分线及三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：多边形的内角和定理可得五边形ABCDE 的内角和为：()52180-︒=540°△△BCD+△EDC=540°-140°-120°-90°=190°△△FCD+△GDC=360°-190°=170°又△CP 和DP 分别是△BCD 、△EDC 的外角平分线 △()170851122PCD PDC FCD GDC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒根据三角形内角和定理可得：△CPD=180°-85°=95°．故答案为：95．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理熟悉相关性质是解题的关键． 9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒由此可得1∠ 2∠与A ∠ D ∠的数量关系是______；（2）知识应用：如图② 已知四边形ABCD AE DE 分别是其外角NAD ∠和MDA ∠的平分线若230B C ∠+∠=︒ 求E ∠的度数；（3）拓展提升：如图③ 四边形ABCD 中 90A C ∠=∠=︒ CDN ∠和CBM ∠是它的两个外角且14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ 求P ∠的度数．【答案】（1）1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）65°；（3）45°【解析】【分析】（1）根据平角的定义即可解答；（2）根据（1）的结论求出MDA NAD ∠+∠ 再根据角平分线的定义求出ADE DAE ∠+∠ 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解；（3）由四边形内角和定理得180ABC ADC ∠+∠=︒ 可求得180MBC NDC ∠+∠=︒ 再由14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠可求得45PBC PDC ∠+∠=︒ 最后利用四边形内角和定理求出P ∠．【详解】解：（1）如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒△1∠+2∠=A ∠+D ∠故答案为：1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）△230B C ∠+∠=︒△=230MDA NAD ∠+∠︒△AE 、DE 分别是△NAD 、△MDA 的平分线△△ADE =11,22MDA DAE NAD ∠∠=∠ △11()23011522ADE DAE MDA NAD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △180()18011565E ADE DAE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒;（3）△90A C ∠=∠=︒△180ABC ADC ∠+∠=︒△180MBC NDC ∠+∠=︒ △14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ △()111804544CDP CBP CDN CBM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △18045225ABP ADP MBC CBP NDC CDP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒△360()3609022545P A ABP ADP ∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了四边形的两个外角和等于与它不相邻的两个内角的和的性质四边形的内角和定理角平分线的定义熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．10．已知如图四边形ABCD BE 、DF 分别平分四边形的外角△MBC 和△NDC 若△BAD ＝α △BCD ＝β （1）如图1 若α+β＝150° 求△MBC +△NDC 的度数；（2）如图1 若BE 与DF 相交于点G △BGD ＝45° 请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2 若α＝β 判断BE 、DF 的位置关系并说明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行理由见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：（1）在四边形ABCD 中 △BAD +△ABC +△BCD +△ADC ＝360°△△ABC +△ADC ＝360°﹣（α+β）△△MBC +△ABC ＝180° △NDC +△ADC ＝180°△△MBC +△NDC ＝180°﹣△ABC +180°﹣△ADC ＝360°﹣（△ABC +△ADC ）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β △α+β＝150°△△MBC +△NDC ＝150°（2）β﹣α＝90°理由：如图1 连接BD由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBG＝12△MBC△CDG＝12△NDC△△CBG+△CDG＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）在△BCD中在△BCD中△BDC+△DBC＝180°﹣△BCD＝180°﹣β 在△BDG中△BGD＝45°△△GBD+△GDB+△BGD＝180°△△CBG+△CBD+△CDG+△BDC+△BGD＝180°△（△CBG+△CDG）+（△BDC+△CDB）+△BGD＝180°△12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°△β﹣α＝90°（3）平行理由：如图2 延长BC交DF于H由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBE＝12△MBC△CDH＝12△NDC△△CBE+△CDH＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）△△BCD＝△CDH+△DHB△△CDH＝△BCD﹣△DHB＝β﹣△DHB△△CBE+β﹣△DHB＝12（α+β）△α＝β△△CBE+β﹣△DHB＝12（β+β）＝β△△CBE＝△DHB△BE△DF．【点睛】此题是三角形综合题主要考查了平角的意义四边形的内角和三角形内角和三角形的外角的性质角平分线的意义用整体代换的思想是解本题的关键整体思想是初中阶段的一种重要思想要多加强训练．类型三综合解答11．如图点M是△ABC两个内角平分线的交点点N是△ABC两外角平分线的交点如果△CMB：△CNB＝3：2 那么△CAB＝_________．【答案】36°【解析】【详解】试题分析：由题意得：△NCM=△MBN=12×180°=90°△可得△CMB+△CNB=180°又△CMB：△CNB=3：2 △△CMB=108°△12（△ACB+△ABC）=180°-△CMB=72°△△CAB=180°-（△ACB+△ABC）=36°．考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．12．如图在△ABC 中 △ABC △ACB 的平分线交于点O D 是△ACF 与△ABC 平分线的交点 E 是△ABC 的两外角平分线的交点若△BOC =130° 则△D 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得△OCD ＝△ACO ＋△ACD ＝90° 根据外角的性质可得BOC OCD D ∠=∠+∠ 继而即可求解．【详解】解：△CO 平分ACB ∠ CD 平分ABC ∠的外角 △12ACO ACB ∠=∠ 12ACD ACF ∠=∠ △180ACB ACF ∠+∠=︒ △()1902OCD ACO ACD ACB ACF ∠=∠+∠=∠+∠=︒ △BOC OCD D ∠=∠+∠△1309040D BOC OCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒故选择C ．【点睛】本题考查角平分线的定义平角定义三角形的外角性质解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得△OCD＝90° 根据外角的性质求得BOC OCD D∠=∠+∠．13．如图在△ABC中△A=60° BD、CD分别平分△ABC、△ACB M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上BE、CE分别平分△MBC、△BCN BF、CF分别平分△EBC、△ECQ 则△F=________．【答案】15°【解析】【分析】先由BD、CD分别平分△ABC、△ACB得到△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB 在△ABC中根据三角形内角和定理得△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=60° 则根据平角定理得到△MBC+△NCB=300°；再由BE、CE分别平分△MBC、△BCN得△5+△6=12△MBC △1=12△NCB 两式相加得到△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150° 在△BCE中根据三角形内角和定理可计算出△E=30°；再由BF、CF分别平分△EBC、△ECQ得到△5=△6 △2=△3+△4 根据三角形外角性质得到△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E 利用等量代换得到△2=△5+△F 2△2=2△5+△E再进行等量代换可得到△F=12△E．【详解】解：△BD、CD分别平分△ABC、△ACB △A=60°△△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB△△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=12×（180°-60°）=60°△△MBC+△NCB=360°-60°=300°△BE、CE分别平分△MBC、△BCN△△5+△6=12△MBC △1=12△NCB△△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150°△△E=180°-（△5+△6+△1）=180°-150°=30°△BF 、CF 分别平分△EBC 、△ECQ△△5=△6 △2=△3+△4△△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E即△2=△5+△F 2△2=2△5+△E△2△F=△E △△F=12△E=12×30°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．14．已知BM 、CN 分别是△1A BC 的两个外角的角平分线 2BA 、2CA 分别是1A BC ∠ 和1A CB ∠的角平分线如图①；3BA 、3CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的三等分线（即3113A BC A BC ∠=∠ 3113A CB ACB ∠=∠）如图②；依此画图 n BA 、n CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的n 等分线（即11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n ∠=∠）且n 为整数． 2n ≥（1）若1A ∠=70︒ 求2A ∠的度数；（2）设1A α∠= 请用α和n 的代数式表示n A ∠的大小并写出表示的过程；（3）当3n ≥时请直接写出n MBA ∠+n NCA ∠与n A ∠的数量关系．【答案】（1）02125A ∠=；（2）001=180(180)n A nα∠-- 过程见解析；（3）02()(2)=180n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-∠【解析】【详解】（1）先根据三角形内角和定理求出11A BC A CB ∠+∠ 根据角平分线求出22A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理求出2A ∠即可；（2）先根据三角形内角和定理求出1A BC ∠+1A CB ∠ 根据n 等分线求出n n A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理得出180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠ 代入求出即可（3）试题分析：试题解析：（1）1=70A ∠︒1118070110A BC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒ △2BA 、2CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的角平分线 △221110552A BC A CB ∠+∠=⨯︒=︒ △218055125A ∠=︒-︒=︒.（2）在△1A BC 中 1A BC ∠+1180ACB α∠=︒-11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n∠=∠ ()()1111180n n A BC A CB A BC ACB n n α∴∠+∠=∠+∠=︒- 180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠()1180180n A nα∴∠=︒-︒- （3）()()22180.n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-⋅∠=︒点睛：本题以三角形为载体主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是180 的性质熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.。

八年级数学上册三角形角平分线几何模型专项练习(含解析)

三角形角平分线几何模型专项练习一、填空题1．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________ 度．2．∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点An ．设∠A ＝θ．则1A ∠＝_________，∠A 2021＝____________．3．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=________︒．4．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____5．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）6．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则∠BOC=__________．7. 如图，在△ABC 中，ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和A CD 1∠的角平分线交于点A 2，得A 2∠，……，1n A BC -∠和n A CD 1-∠的角平分线交于点n A ，得n A ∠ （1）若80A ∠=︒，则1A ∠=_______，2∠=A ________，3∠=A ________ （2）若A m ∠=︒，则2015∠=A ________．二、解答题8．如图，已知在ABC ∆中，B 、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.9．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与BAC ∠，ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE BC ⊥的延长线于点E ，已知30∠=︒CDE ，50ABC ∠=︒，求ADB ∠、BDC ∠的度数.10．如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A ，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于2A ，以此类推，2A BC ∠与2A CD ∠的平分线相交于3A ，求n A ∠与A ∠数量关系.11．如图，46A ∠=︒，72C ∠=︒，BE 为ABO ∠平分线，DE 为∠CDO 的平分线，求E ∠的度数.12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O .ABC ∠和ACD ∠的平分线相交于点P .若30P ∠=︒，求A ∠与OCP ∠的度数.13．ABC 中，50A ∠=︒．（1）如图①，若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（2）如图②，若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（3）如图③，若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（4）若A β∠=.请直接写出图①，②，③中P ∠的度数，(用含β的代数式表示)14．直线MN 与直线PQ 相交于O ，∠POM ＝60°，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动．(1)如图1，∠BAO=70°,已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，试求出∠AEB 的度数． (2)如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．(3)在（2）的条件下，在△CDE 中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE 的度数． 15．（2020·福建省福州民族中学八年级月考）如图，在△ABD 中，∠ABD 的平分线与∠ACD 的外角平分线交于点E ，∠A=80°，求∠E 的度数16．如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝80°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC 、∠NCB 的平分线交于点Q ，试探索∠Q 、∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP 、QC 交于点E ，△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A 的度数．17.在△ABC 中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝60°，则△ABC 为倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP 是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为．（3）如图，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，若△AEF 为4倍角三角形，求∠ABO 的度数．18．如图，ABC 的角平分线BD CE 、相交于点P ．（1）若50,70ABC ACB ∠=︒∠=︒，则A ∠=________︒；（2）试探究DPC ∠与A ∠之间的数量关系并说明理由． 19．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______ （2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．20．如图，∠CBF ，∠ACG 是△ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．21．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．22．平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小．（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC ．23．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）； ②BDC ∠的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，ACD ∠与CAD ∠的平分线交于点E ，BCD ∠与CBD ∠的平分线交于点F ，试判断AEC ∠与BFC ∠的数量关系，并说明理由.25．如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合），AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．（1）若∠MON ＝60°，则∠ACG ＝ °；若∠MON ＝90°，则∠ACG ＝ °；（2）若∠MON ＝n°，请求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON ＝n°，过C 作直线与AB 交于F ，若CF ∥OA 时，求∠BGO －∠ACF 的度数．（用含n 的代数式表示）．26．（1）如图1所示，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线将于点O ，则有1902BOC A ∠=+∠︒，请说明理由．（2）如图2所示，在ABC 中，内角的平分线ABC ∠和外角ACD ∠的平分线交于点O ，请直接写出BOC ∠与BAC ∠之间的关系，不必说明理由．（3）如图3所示，AP ，BP 分别平分CAD ∠，CBD ∠，则有1()2P C D ∠=∠+∠，请说明理由．（4）如图4所示，AP ，BP 分别平分CAM ∠，CBD ∠，请直接写出P ∠与C ∠，D ∠之间的关系，不必说明理由．27．（1）如图1所示，BD ，CD 分别是△ABC 的内角∠ABC ，∠ACB 的平分线，试说明：∠D=90°+12∠A ．（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：①如图2所示，BD ，CD 分别是△ABC 两个外角∠EBC 和∠FCB 的平分线，试探究∠A 与∠D 之间的等量关系；②如图3所示，BD ，CD 分别是△ABC 一个内角∠ABC 和一个外角∠ACE 的平分线，试探究∠A 与∠D 之间的等量关系．28．（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B 的度数．29．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．30．已知，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）求证：180ABC ADC ∠+∠=︒．（2）如图1，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明．（3）如图2，若BF 、DE 分别平分ABC ∠，ADC ∠的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明．参考答案1．125【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【详解】70A ∠=︒ ，180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒ ．∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠ ，1()552DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：125．【点拨】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．2．2θ 20212θ 【分析】据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可求出∠A 1的度数，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】解：∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，又∵∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1， ∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1，∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A=θ，∴∠A 1=2θ，同理可得：∠A n =2n θ， ∴∠A 2021=20212θ，故答案为：2θ，20212θ．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 3．36【分析】首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∵CG 是ACM ∠的角平分线，∴2ACM GCM ∠=∠，∴2A ABC GCM ∠+∠=∠，∵BG 是ABC ∠的角平分线， ∴12GBC ABC ∠=∠， ∴GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠， ∴22ABC G GCM ∠+∠=∠，∴2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∴2A G ∠=∠，∵ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∴CE AB ⊥，BD AC ⊥，∴90AEF ADF ∠=∠=︒，∴在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∵DFE BFC ∠=∠，∴180A BFC ∠+∠=︒， ∵18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠， ∴45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180536A ︒∠=÷=︒．【点拨】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 4．40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO=12∠ACB ， ∵CD 平分∠ACE ， ∴∠ACD=12∠ACE ， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°， ∵∠BOC ＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键． 5．①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝12∠ACD，∠DBE＝12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝12（∠ACD−∠ABC）＝12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝12ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝12∠ACB，∠ACE＝12∠ACD，∴∠OCE＝12（∠ACB＋∠ACD）＝12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．6．120︒【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．【详解】60A∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，BD 、CE 是ABC 的角平分线，11,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ()1602OBC OCB ABC ACB +=∠+∠∴=∠∠︒， ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒，故答案为：120︒．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 7．40° 20° 10° 20152m ⎛⎫︒⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，进而可求∠A 1，同理易证∠A 2=12∠A 1，∠A 3=12∠A 2，进而可求∠A 2和∠A 3；（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，进而可求∠A 1，同理易证∠A 2=12∠A 1，∠A 3=12∠A 2，…，以此类推可知∠A 2015即可求得．【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD －∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC∵ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，80A ∠=︒∴∠A 1CD=12∠ACD ，∠A 1BC=12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC =12∠ACD －12∠ABC =12（∠ACD －∠ABC ） =12∠A =40°同理可证：∠A 2=12∠A 1=20°，∠A 3=12∠A 2=10°故答案为：40°；20°；10°．（2）∵∠A=∠ACD －∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC∵ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，A m ∠=︒∴∠A 1CD=12∠ACD ，∠A 1BC=12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC =12∠ACD －12∠ABC =12（∠ACD －∠ABC ） =12∠A =2⎛⎫ ⎪⎝⎭m ° 同理可证：∠A 2=12∠A 1=22⎛⎫ ⎪⎝⎭m °， ∠A 3=12∠A 2=32⎛⎫ ⎪⎝⎭m ° ∴∠A 2015=20152⎛⎫ ⎪⎝⎭m ° 故答案为：20152⎛⎫⎪⎝⎭m °．【点拨】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A 1=12∠A ，并依此找出规律． 8．()12BGC m n ∠=+ 【解析】【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG 中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ） =180°-12（∠EBC+∠BCF ） =180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ） =180°-12（180°-m°+180°-n°）； =()12+m n 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．9．30ADB ∠=︒；35BDC ∠=︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义得出1302∠=∠=︒ADB ACB ，1352∠=∠=︒BDC BAC 即可【详解】解：30CDE ∠=︒，DE BC ⊥，60DCE ∴∠=︒． DC 平分ACE ∠，120∴∠=︒ACE60ACB ∠=︒∴．ADB ∠是内、外角平分线的交角，1302ADB ACB ∴∠=∠=︒． 180180506070BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．BDC ∠是内、外角平分线的交角，1352BDC BAC ∴∠=∠=︒．【点拨】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．10．12n n A A ∠=∠ 【解析】【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A 1与∠A 的关系，同理得出∠A 2与∠A 1的关系，从而推导出∠A 2与∠A 的关系，……，进而归纳出∠A n 与∠A 的关系，即可得出答案.【详解】解：在ABC ∆中，有∠ACD =∠A +∠ABC ，在1A BC ∆中，有∠A 1CD =∠A 1+∠A 1BC ，∵ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A ，∴∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ， ∴∠A 1=12∠A ，同理，∠A 2=12∠A 1，即∠A 2=212∠A ，由此可得，∠A 3=312∠A ， …… ∴12n n A A ∠=∠. 【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A 1、∠A 2……∠A n 与A 的关系是解题的关键.11．59E ∠=︒【解析】【分析】根据三角形外角的性质分别用三个式子表达出BOD ∠，进而利用等式性质即可得出答案.【详解】解：由四边形BODE 中，BOD E EDO EBO ∠=∠+∠+∠①；在三角形COD 中，BOD C CDO ∠=∠+∠②，在三角形AOB 中，BOD A ABO ∠=∠+∠③，由②+③得，2BOD C A CDO ABO ∠=∠+∠+∠+∠，即111()222BOD C A CDO ABO ∠=∠+∠+∠+∠， ∵BE 为ABO ∠平分线，DE 为∠CDO 的平分线，∴12EDO CDO ∠=∠，12EBO ABO ∠=∠， ∴()1592E C A ∠=∠+∠=︒. 【点拨】本题考查了三角形外角的性质.在图形中利用三角形外角的性质得出BOD ∠的三种表达形式，并灵活应用等式的性质是解题的关键.12．60A ∠=︒，90OCP ∠=︒.【解析】【分析】先利用三角形外角的性质得到A ACD ABC ∠=∠-∠,P PCD PBC ∠=∠-∠,再根据角平分线的性质即可得到2A P ∠=∠,即可求出A ∠的度数,再根据平角及角平分线的性质即可求出OCP ∠的度数.【详解】解:∵PB 平分ABC ∠,PC 平分ACD ∠,∴2,2ACD PCD ABC PBC ∠=∠∠=∠,∵A ACD ABC ∠=∠-∠,P PCD PBC ∠=∠-∠, ∴260A P ∠=∠=︒,∴180120ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒,∵PC 平分ACD ∠, OC 平分ACB ∠, ∴11,22OCA ACB ACP ACD ∠=∠∠=∠, ∴112212OCP OCA AC AC A D B P B C CD ∠∠=∠+∠∠∠=+=, ∵180BCD ∠=︒,∴90OCP ∠=︒.【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.13．（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；②1902P β∠=︒-；③1122P A β∠=∠= 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB ）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P 的度数；（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=12（∠CBD+∠BCE ）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=12∠A ，即可得出结果；（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【详解】解:（1）50A ∠=︒，18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 11()1306522PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=⨯︒=︒， 180()115P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）18050130ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，360130230CBD BCE ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，1()1152PBC PCB CBD BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011565P ∴∠=︒-︒=︒；（3）点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCF ACF ∠=∠， PCF P PBC ∠=∠+∠，ACF A ABC ∠=∠+∠，2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，1252P A ∴∠=∠=︒；（4）若A β∠=，在（1）中，11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；在（2）中，同理得：1902P β∠=︒-；在（3）中，同理得：1122P A β∠=∠=．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．14．(1) ∠AEB 的度数为120°；(2) ∠CED 的大小不发生变化，其值为60°；(3) ∠DCE 的度数为40°或80°．【分析】（1）由∠POM ＝60°，∠B AO=70°，可求出∠ABO 的值，根据AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，可得∠EAB 和∠EBA 的值，在△EAB 中，根据三角形内角和即可得出∠AEB 的大小；（2）不发生变化，延长BC 、AD 交于点F ，根据角平分线的定义以及三角形内角和可得∠F =90°-12∠AOB ，∠CED =90°-12∠F ，即可得出∠CED 的度数；（3）分三种情况求解即可．【详解】解：（1）∵∠POM ＝60°，∠BAO=70°，∴∠ABO=50°． ∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠EAB=12∠OAB=35°，∠EBA=12∠OBA=25°， ∴∠AEB=180°-35°-25°=120°；（2）不发生变化，理由如下：如图，延长BC 、AD 交于点F ，∵点D 、C 分别是∠PAB 和∠ABM 的角平分线上的两点，∴∠FAB=12∠PAB=12(180°-∠OAB)，∠FBA=12∠MBA=12(180°-∠OBA)， ∴∠FAB+∠FBA=12(180°-∠OAB)+12(180°-∠OBA)=12(180°+∠AOB)=90°+12∠AOB ， ∵∠AOB=60°， ∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-12∠AOB=60°，同理可求∠CED =90°-12∠F=60°；（3）①当∠DCE=2∠E 时，显然不符合题意；②当∠DCE=2∠CDE 时，∠DCE=()2180603-=80°； ③当∠DCE=12∠CDE 时，∠DCE=()1180603-=40°，综上可知，∠DCE 的度数40°或80°．【点拨】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和的定理．15．40°【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，则有2=2=y x A y x E+∠⎧⎨+∠⎩①② ， ①-2×②可得∠A=2∠E ， ∴∠E=12∠A=40°．【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．16．（1）130°；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）60°或120°或45°或135° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣12∠A，求出∠E＝12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12∠MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．【点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．17．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．【详解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，故答案为：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．故答案为22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝12（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝14×90°或15×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝12∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键．18．（1）60；（2）1902︒-∠A，见解析．【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12（∠ABC+∠ACB ），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，易得∠BPC=90°+12∠A ，再根据平角的定义解答即可．【详解】（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-12∠A ，理由：,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点P ，111,222ABC ACB ∴∠=∠∠=∠， ()11118012180180222BPC ABC ACB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠ 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111801809022BPC A ∴∠=︒-︒-∠A =︒+∠， ∴∠DPC=180°-（90°+12∠A ）=90°-12∠A ．故答案为：90°-12∠A ．【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．19．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠ 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=， ∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒ 故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A ∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠， ∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠， ∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠， ∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠， ∴12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．20．（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG ，∠DBC=12∠ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A ，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD 平分∠MAC ，∠ABD=12∠ABC ， ∴∠DAM=12∠MAC ， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB ，∠MAC=∠ABC+∠ACB ，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点拨】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．21．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°， ∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∴360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∴180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点拨】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．22．（1）33°；（2）123°【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∴设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a ①，又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b ②，①式＋②式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∴=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∴设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ，∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°①，又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）②，①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°， ∴123ANC ∠=︒．【点拨】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键． 23．（1）①130；②1902α+；(2) 12BFC α∠=（3）1904BMC α∠=+ 【详解】：（1）①130；②1902α+；（2）∵BF 和CF 分别平分ABC ∠和ACE ∠∴12FBC ABC ∠=∠,12FCE ACE ∠=∠ ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠()12ACE ABC =∠-∠ 12A =∠ 即12BFC α∠=（3）由轴对称性质知：12BGC BFC α∠=∠=由（1）②可得1902BMC BGC ∠=+∠ ∴1904BMC α∠=+． 24．AEC BFC ∠=∠，见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余，可分别求出135AEC ∠=︒，135BFC ∠=︒，即可判断出AEC ∠与BFC ∠的数量关系.【详解】解：AEC BFC ∠=∠.理由如下：∵CD AB ⊥，∴90DAC DCA ∠+∠=︒，∵ACD ∠与CAD ∠的平分线交于点E ，∴1()452EAC ECA DAC DCA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴180()135AEC EAC ECA ∠=︒-∠+∠=︒，同理可求135BFC ∠=︒，AEC BFC ∴∠=∠.【点拨】本题考查了角平分线的性质及直角三角形两锐角互余等相关知识.熟练根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余这一性质求出AEC ∠与BFC ∠的度数是解题的关键.25．（1）60°；45°；（2）90°－12n ；（3）90°－12n ．【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO 的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG 的度数；（2）根据（1）中的结论即可求出答案；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC ，利用外角的性质得到∠BGO －∠ACF=∠ACG ，由此得到答案.【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=60°，当∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=45°，故答案为：60°，45°；（2）由（1）知∠ACG=12（180°-∠MON），∵∠MON＝n°，∴∠ACG=12（180°-∠MON）=90°－12n；（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－12 n，∴∠BGO－∠ACF=90°－12 n.【点拨】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用. 26．(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC ；(3) 理由见解析；(4) 11+9022P D C ∠=∠∠+︒ 【分析】(1)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ，分析等式即可得出结果；(4) AP 是∠MAC 的角平分线，B P 是∠DBC 的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y ，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线∴∠ABO=OBC ，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=()11802902A A ︒-∠÷=︒-∠ ∴∠BOC=11=180909022A A ⎛⎫︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭(2)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO=∠OCD∵∠BAC +∠ABC=∠ACD ，∠OBC+∠BOC =∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠DAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴1()2P C D ∠=∠+∠(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y∴x+y=1190 22D C∠-∠+︒∴119022P D C C ∠=∠-∠+︒+∠∴11+9022P D C∠=∠∠+︒【点拨】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析【分析】（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；（2）①首先理由角平分线性质得出∠E BC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.【详解】（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12(180°−∠A)=180°−90°+12∠A=90°+12∠A，即：∠D=90°+12∠A；（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，即：∠A−360°+2∠D=−180°，∴2∠D=180°−∠A，即：∠A=180°−2∠D；②∠A=2∠D，理由如下：∵∠DCE是△ABC的一个外角，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，∵∠A+∠ABC=∠ACE，∴∠A+2∠DBC=2∠DCE ，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D ，∴∠A=2∠D.【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.28．（1）70︒；（2）20︒；（3）70︒．【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）根据100APC ∠=︒以及AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，算出BAD ∠和BCD ∠,从而算出B【详解】如图AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P∴90BDA CEA ∠=∠=︒又∵110BPC ∠=︒∴110EPD BPC ∠=∠=︒∵在四边形AEPD 中，内角和为360︒∴=360-110-90-90=70A ∠︒︒︒︒︒（2）∵AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠∴,BAP FAC BCE ACE ∠=∠∠=∠又∵100APC ∠=︒∴+18010080FAC ACE ∠∠=︒-︒=︒∴160BAC BCA ∠+∠=︒∴=180-160=20B（3）如图：连接AC∵130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒∴18013050,18010080DAC DCA PAC PCA ∠+∠=︒-︒=︒∠+∠=︒-︒=︒∴2+3=30∠∠︒又∵AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠∴1+4=2+3=30∠∠∠∠︒∴110BAC BCA ∠+∠=︒∴=180-110=70B【点拨】三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键．29．（1）∠BDC ＝90°+2α；（2）∠BFC ＝2α；（3）∠BMC ＝90°+4α．【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α，由三角形的内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质可得∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得∠G ＝∠BFC ＝2α，方法同（1）可求∠BMC ＝90°+2G ∠，即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α， ∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠ACB ， ∴∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α， ∴∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠BCD ）＝90°+2α；（2）∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，∴∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ， ∵∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠FCE ＝∠BFC +∠FBC ，∴∠BFC ＝12∠A ＝2α；（3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M ， ∴方法同（1）可得∠BMC ＝90°+2G ∠， ∵将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∴∠G ＝∠BFC ＝2α， ∴∠BMC ＝90°+4α. 【点拨】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.30．（1）证明见详解；（2）DE ⊥BF ，证明见详解；（3）DE ∥BF ，证明见详解【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；（2）如图1，延长DE 交BF 于G ，易证∠ADC=∠CBM ，可得∠CDE=∠EBF ，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE ⊥BF ；（3）如图2，连接BD ，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE ∥BF ．【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，。

八年级数学上册《第十二章-角平分线的性质》同步练习题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一个角的平分线的尺规作法，其理论依据是全等三角形判定定理（）A．边角边B．边边边C．角角边D．角边角2．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝10，点G是线段OP的中点，连接EG，点F 是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4，则△PGE的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．403．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（）A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm4．如图，已知△ABC的周长是20，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是( )A．20 B．25 C．30 D．355．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=7，则AC=( )A．3 B．4 C．6 D．56．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．57．如图，在△ABC中∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3，AB=8则△ABD的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．68．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，并且满足BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①ΔCDE≅ΔBDF；②∠DBC=∠DCB；③CE=AB+AE④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．已知点P的坐标为（5，a），且点P在第二、四象限角平分线上，则a= 。

10．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是.11．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为12．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝．13．如图，若BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，当∠BAP＝130°时，∠BPC＝度.三、解答题14．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE=150°，∠AOB=40°。

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质(含答案解析)

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质（含答案解析）专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥ABBAC B∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A﹨B﹨C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC﹨BC两边高线的交点处B．在AC﹨BC两边中线的交点处C．在∠A﹨∠B两内角平分线的交点处D．在AC﹨BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO ∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ． 4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A ﹨∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》练习题附答案

13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图 1 所示，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则下列结论中错误的是（）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上任意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，其中正确的个数是（）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的平分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（）．A ．2B ．1+2C ． 2D．无法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 平分∠ AOB ， ?作法的合理顺序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ；（ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1）二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，根据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，根据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD平分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只需O 添加一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．如图所示，∠ AOB=40°， OM平分∠ AOB， MA⊥ OA于 A，MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为什么？AN M BBE与 CFEBDA F C2．如图所示，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM平分∠ ADC，判断 AM?是否平分∠ DAB，说明理由．M DCA B3．如图所示，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP= ∠ CDP吗？为什么？ADCBP探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，?红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交叉处 B 点 700m．如果你是红方指挥员，?请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．BA区比例尺 1:200002．（探究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．3．如图所示，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下面三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 解析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 解析：如答图，设点 P 为 AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 解析：∵ AD 平分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ．又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：设法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（ 2）∠ AOB 的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示， AD 平分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的平分线的性质．D3． AD 平分∠ BAC ．4．解析：∵ OM 平分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．解析： BE=CF．∵AD平分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△ BDE≌△ CDF提供了条件．2．解析： AM平分∠ DAB．理由：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM平分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM平分∠ DAB．3．解析：可以．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP平分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的平分线上．又∵比例尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（ 1）解析：按题意画图，如答图13-11 ．（2）可以得到 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．理由如下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另三角形全等来寻找相等的线段．3． C解析：如答图所示，连结AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP平分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外本题主要应用角的平分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：本题的突破口是判断出点P 在∠ BAC的平分线上．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (66)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)已知∠AOB，用直尺和圆规作图：（1）作∠AOB的平分线；（2）过∠AOB边OA上一点P分别作边OA、OB的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；（2）分别过已知点作已知直线的垂线即可．【详解】（1）（2）如图：【点睛】考查角平分线及线段垂线的基本作图；掌握基本作图的作法是解决本题的关键．52．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．【答案】∠EOF=52°.【解析】【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠DOE，然后根据∠EOF＝∠DOF－∠DOE代入数据计算即可得解．【详解】由对顶角相等得，∠BOD＝∠AOC＝76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝12∠BOD＝38°，∵∠DOF＝90°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠DOE＝90°﹣38°＝52°【点睛】本题考查了对顶角、邻补角,和角平分线的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.53．如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，∠PFD=∠C，点D到AB和AC的距离相等．求证：点D到PE和PF的距离相等．【答案】证明见解析【解析】【分析】首先由∠PFD＝∠C推出PF∠AC，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，又由点D到AB和AC的距离相等，证得AD是∠BAC的平分线，即可证得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得结论．【详解】∵∠PFD＝∠C，∠PF∠AC，∠∠DPF＝∠DAC．∠PE∠AB，∠∠EPD＝∠BAD．∵点D到AB和AC的距离相等，∠AD是∠BAC的角平分线，∠∠BAD＝∠DAC，∠∠EPD＝∠FPD，即DP平分∠EPF，∴点D到PE和PF的距离相等．【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，平行线的性质，此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质和判定定理的应用，注意数形结合思想的应用．54．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，求证：AD是EF的垂直平分线。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (89)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．【答案】3．【解析】∵∵ACB=90°，∵∵ECF+∵BCD=90°．∵CD∵AB，∵∵BCD+∵B=90°．∵∵ECF=∵B，在∵ABC和∵FEC中，∵∵ECF=∵B，EC=BC，∵ACB=∵FEC=90°，∵∵ABC∵∵FEC（ASA）．∵AC=EF．∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∵AE=5﹣2=3cm．82．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE∠AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm。

【答案】8【解析】试题解析：∵CD⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴CD=DE=3，BC=CD+BD=3+5=8cm．83．已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝________.【答案】15°【解析】角平分线的定义。

根据角平分线的定义解答：∵∵ABC=30°，BD是∵ABC的平分线，∵∵ABD=12∵ABC=12×30°=15°。

84．如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为.【答案】65°【解析】【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【详解】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．85．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC ＝15，且BD∠DC＝3∠2，则D到边AB的距离是_________．【答案】6．【解析】【分析】【详解】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，⊥在直角⊥ABC中，⊥C=90°，AD平分⊥BAC，⊥CD=DE⊥BD：CD=3：2，BC=15⊥CD=6，⊥DE=6．故答案为6．考点：角平分线的性质∠，BC=9cm，BD=6cm，86．如图，在ABC中，90∠=，AD平分CABC那么点D到直线AB的距离是cm【答案】3【解析】CD=BC-BD=3cm，根据角平分线上的点到角两边的距离相等87．如图，AB//CD,CE平分∠ACD，若∠1=250，那么∠2的度数是 .【答案】500【解析】解：如图，∵AB∥CD，CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠2=∠1+∠3，∵∠1=∠3=25°，∴∠2=25°+25°=50°88．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC∠AO于C，PD∠OB于D，写出图中一组相等的线段__________（只需写出一组即可）【答案】PC=PD【解析】解：∵OP平分∵AOB，PC∵OA，PD∵OB，∵PC=PD（角平分线性质）．故填PC=PD．89．如图，在△ABC中，,AD平分,BC=8,BD=5,那么CD=________,点D到线段AB的距离是________.【答案】3；3【解析】考点：角平分线的性质．分析：首先过点D作DE∵AB于点E，由在∵ABC中，∵C=90°，AD平分∵CAB，根据角平分线的性质，可得DE=CD，又由BC=8，BD=5，即可求得答案．解：过点D作DE∵AB于点E，∵在∵ABC中，∵C=90°，AD平分∵CAB，∵DE=CD，∵BC=8，BD=5，∵CD=BC-BD=3，∵DE=CD=3，即点D到线段AB的距离是3．故答案为3，3．90．如图所示，在∠ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．【答案】2【解析】【分析】【详解】解：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，则点D到BC的距离为2cm故答案为：2．【点睛】本题考查角平分线的性质．。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

部编数学八年级上册专题06角的平分线性质问题(解析版)含答案

2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题06 角的平分线性质问题一、选择题1. （2023湖南张家界）如图，已知直线AB CD P ，EG 平分BEF Ð，140Ð=︒，则2Ð的度数是（）A. 70︒B. 50︒C. 40︒D. 140︒【答案】A 【解析】根据平行线的性质可得140EFG ︒Ð=Ð=， 180EFG BEF Ð+Ð=︒，EGF BEG Ð=Ð，推得140BEF Ð=︒，根据角平分线的性质可求出BEG Ð的度数，即可求得2Ð的度数．∵AB CD P ，∴140EFG ︒Ð=Ð=，180EFG BEF Ð+Ð=︒，EGF BEG Ð=Ð，∴18040140BEF Ð=︒-︒=︒，又∵EG 平分BEF Ð，∴1702BEG BEF Ð=Ð=︒，∴027BEG =Ð=︒Ð故选：A ．【点睛】考查平行线的性质和角平分线的性质．掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键．2.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　）A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°【答案】C ．【解析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形角平分线的性质求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出∠A 即可．∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣35°=85°3.如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A.59°B.60°C.56°D.22°【答案】A ．【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB ，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。

人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质同步练习(含答案)

12.3 角的平分线的性质同步测试基础闯关全练知识点一作已知角的平分线1．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，如图12 -3-1，则说明∠CAD= ∠DAB 的依据是 ( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．作∠AOB 的平分线时，以O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于C ，D ，然后分别以C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点．则这个适当的长度为 ( )A ．大于21CDB ．等于21CD c ．小于21CD D ．以上都不对知识点二角平分线的性质3．如图12 -3-2，已知BG 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，DE=6．则DF 的长度是 ( )A.2B.3C.4D.64．如图12-3-3，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD=5，AB=18，则△ABD 的面积是 ( )A.15 B ．30 C.45 D ．605．如图12-3-4，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，若BC=5，△BCD 的面积为5，则DE= ( ) A.21 B.1 C.2 D.56．如图12-3-5．在△ABC 中，∠ACB= 90°．AD 是△ABC 的角平分线，BC= 10 cm ，BD ：DC=3:2．则点D 到AB 的距离为 .7.如图12-3-6，已知点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，求证：OB= OC.知识点三角平分线的判定8．如图12-3 -7，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B的平分线上：②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰在∠B ，∠DAC ，∠ECA 的平分线的交点处，上述结论中，正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9．如图12 -3-8．PM ⊥OA ．PN ∠OB ，垂足分别为点M ，N ，PM =PN,∠BOC= 30°．则∠AOB= .10.如图12-3-9，BE= CF ，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB= DC.求证：AD 是∠BAC 的平分线．知识点四证明几何文字命题的一般步骤11.求证：三角形的互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等．能力提升全练1．如图12 -3 -10．△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长分别为12，18，24，O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S S S OAC OBC OAB △△△::= ( )A.1 : 1 : 1B.1 : 2 : 3C.2 : 3 : 4D.3 : 4 : 52．如图12 -3 - 11，△ABC 的外角的平分线BD 与CE 相交于点P ，若点P 到AC 的距离为3，则点P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.3D.43．如图12 -3 - 12，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A=70°．则∠BOC 的度数为 ( )A.35°B.125°C.55°D.135° 三年模拟全练一、选择题1．如图12 -3 -13，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ．△ABC 的面积为15，AB=6，DE=3．则AC 的长是 ( ) A.8 B.6 C.5 D.42．如图12 -3 -14，在△ABC 中，点D 在边BC 上，若∠BAD=∠CAD ，AB=6，AC=3,S ABD △=3，则S ACD △= ( )A. 3B. 6C.23D.293．如图12 -3 - 15，已知AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AE ⊥BC 于点E ，∠DAC= 35°，AD=AE ，则∠B 等于 ( )A.50°B.60°C.70°D.80° 三，解答题4．如图12 -3 - 16，四边形ABCD 中，∠B= 90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上一点，且AM平分∠BAD ，DM 平分∠ADC.求证：(1)AM ⊥DM ；(2)M 为BC 的中点.五年中考全练选择题1．如图12 -3 -17，∠B= ∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，且∠ADC= 110°，则∠MAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°2．如图12 -3 - 18，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥ OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论错误的是 ( )A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO= ∠DPOD.OC=OD3．如图12 -3 -19，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ．AD 过点P ．且与AB垂直，若AD=8，则点P 到BC 的距离是 ( )A.8B.6C.4D.2 核心素养全练1．本节课我们知道了角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．从而小芳产生了以下的想法：如图12 -3 - 20．已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，那么AB ：AC= BD ：CD 成立吗？若成立，请尝试证明．2．如图12 -3 -21，在△ABC 中，∠B= ∠C ，D 是BC 边上的一动点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．当点D 移动到什么位置时，AD 恰好平分∠BAC?请说明理由．12.3角的平分线的性质基础闯关全练1.A从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边对应相等，则△AFD≌△AED( SSS)，所以∠CAD= ∠DAB.故选A．2.A适当的长度为大于21CD．3.D ∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=6．故选D．4.C作DE⊥AB于E，由题意知AD是△ABC的角平分线，∵∠C= 90°，DE⊥AB，∴DE=DC=5．∴△ABD的面积=21AB·DE=45，故选C．5.C作DF⊥BC交BC的延长线于F．∵BC=5．△BCD的面积为5，∴21BC·DF=5，∴DF：2，∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=2，故选C．6．答案4 cm解析∵BC= 10 cm,BD：DC=3：2，∴DC=4 cm,∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB= 90°，∴点D到AB的距离等于DC的长，即点D到AB的距离等于4 cm.7.∴证明∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC,CO⊥AB, ∴OE=OD,∠BEO= ∠CD0=90°.在△BEO和△CDO中，∵∴△BEO≌△CDO( ASA)，∴O B=OC．8.D点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，根据角平分线的判定可知①②③④都是正确的．9．答案60°解析∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM =PN，∴∠AOC= ∠BOC=30°．∴∠AOB= 60°．10.证明∵DE⊥AB．DF⊥AC，∴∠AED= ∠CFD=90°．又∵DB =DC．BE= CF．∴Rt△BED≌Rt ACFD( HL).∴DE =DF．又∵DE⊥AB．DF⊥AC．∴AD是∠BAC的平分线．11.证明已知：如图，BD为△ABC的外角∠CBG的平分线，CE为△ABC的外角∠BCH 的平分线，BD、CE相交于点P求证：点P到△ABC的三边（或所在直线）的距离相等，证明：如图，过点P作PF⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AH，垂足分别为F，M．N．∵PF⊥BC，PM⊥AG，且BD平分上CBG，∴PF=PM．同理，PF=PN，∴PF=PM=PN，即点P到△ABC的三边（或所在直线）的距离相等．能力提升全练1．C ∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB，BC，AC的长分别为12,18,24,∴SSS OACOBCOAB△△△::=AB：CB：AC= 12: 18：24=2：3：4故选C2.C如图，过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，∴PQ=PW，PW=PR，∴PR=PQ，∵点P到AC的距离为3，即PQ=3，∴PR=3．即点P到AB的距离为3．3.B ∵∠A= 70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC+ ∠OCB=21×( ∠ABC+∠ACB)= 550,∴∠BOC=180°-55°=125°，故选B．三年模拟全练一、选择题1.D过点D作DF⊥AC于F．如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=3，∴S ABC△=21×6×3+21AC×3= 15,解得AC=4．故选D．2.C如图，过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,DQ∠AB于Q，∵∠BAD=∠CAD,∴DP=DQ,∵S ABD△=21AB·DQ=21×6·DQ=3,∴DQ=1，∴DP=1，∴S ACD△=21AC·DP=23，故选C．3.C ∵AD⊥DC,AE⊥BC,AD=AE,∴CA平分∠BCD, ∵∠DAC=35°,AD⊥DC,∴∠ACD=90°-35°=55°,∴∠BCD=2∠ACD=2×55°=110°,∵AB∥CD,∴∠B=180°-∠BCD=180°-110°=70°.故选C．二、解答题4．证明(1)∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°, ∵AM平分∠BAD ,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2 ∠ADM= 180°,∴∠MAD+ ∠ADM= 90°,∴∠AMD= 90°,即AM⊥DM.(2)如图，过M作MN⊥AD,交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB, CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM =MN ,MN= CM，∴BM=CM．即M为BC的中点.五年中考全练选择题1.B 如图，作MN⊥AD于N，∵∠B= ∠C=90°, ∴AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC=70°,∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD,MB⊥AB,∴∠MAB=21∠DAB=35°，故选B．2.B A．由角平分线上的点到角两边的距离相等，得PC= PD,故A中结论正确；B.∵DP为∠AOB的平分线，∴∠COP= ∠DOP,∵∠COP≠∠CPO,∴∠CPO≠∠DOP,故B中结论错误；C.∵PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠PCO= ∠PDO=90°,∵∠COP= ∠DOP,OP=OP,∴△COP≌△DOP( AAS),∴∠CPO= ∠DPO,故C中结论正确； D.∵△COP≌△DOP,∴OC=OD,故D中结论正确．故选B．3.C 如图，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD, PA⊥BA,∴PD⊥CD,∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD，∵PA +PD =AD=8，∴PA= PD=4，∴PE =4．故选C．核心素养全练1．解析成立．在图1中作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E,F,∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S ABD△=21AB·DE，SACD△=21AC·DF,∴SABD△:S ACD△=AB:AC.在图2中作AP⊥BC，垂足为P, ∴S ABD△=21BD·AP,SACD△=21CD·AP,∴S ABD△:S ACD△=BD:CD.∴AB：AC=BD：CD.2．解析当点D移动到BC的中点时．AD恰好平分∠BAC. 理由：当D是BC的中点时，BD= CD.∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠DEB= ∠DFC=90°.又∵∠B=∠C，BD= CD，∴△DEB≌△DFC( AAS).∴DE =DF.又∵DE⊥AB．DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.。

人教八上：专题三--角平分线的性质与判定(含解析)

专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。

人教版八年级数学上册《角平分线性质》练习题及答案

角平分线课后训练基础巩固1．作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是()．①作射线OC；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；③分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C.A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．三角形中到三边距离相等的点是()．A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条中线的交点D．三条内角平分线的交点3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是()．A．PD＝PEB．OD＝OEC．∠DPO＝∠EPOD．PD＝OD4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于()．A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm5．在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC 于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC 的距离分别为()．A．2 cm,2 cm,2 c m B．3 cm,3 cm,3 cmC．4 cm,4 cm,4 cm D．2 cm,3 cm,5 cm能力提升6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DCO＝________.7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为__________．8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为__________．9．如图，BN是∠ABC的平分线，点P在BN上，点D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP ＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角，求证：PD＝PE.10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF.(1)试说明CF＝EB的理由；(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．11．如图，木工师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作∠AOB的平分线，并说明理由．12．已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上．参考答案1．C2．D 点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以到三角形三边距离相等的点是三条内角平分线的交点．3．D 点拨：由角平分线的性质得PE ＝PD ，进而可证△PEO ≌△PDO ，得OE ＝OD ，∠DPO ＝∠EPO ，但PD ＝OD 是错误的．4．B 点拨：因为BE 平分∠ABC ，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB 于点D ，所以DE ＝EC ，AE ＋DE ＝AE ＋EC ＝AC ＝3 cm.5．A 点拨：因为点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，OF ⊥AB 于点F ，所以设点O 到三边AB ，AC ，BC 的距离为x cm. 由三角形的面积公式得，12×6x ＋12×8x ＋12×10x ＝12×6×8，解得x ＝2(cm)．6．60° 点拨：因为CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD ＝CE ，所以OC 为∠AOB 的平分线．所以∠AOC ＝30°.所以∠DCO ＝60°.7．14 点拨：设BD ＝9x ，CD ＝7x ，所以9x ＋7x ＝32，解得x ＝2.所以BD ＝18，CD ＝14.由于AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离等于CD ＝14.8．120° 点拨：点O 到三边的距离相等，所以点O 是三个内角的平分线的交点．又因为∠A ＝60°，所以∠B ＋∠C ＝120°，12∠B ＋12∠C ＝60°. 所以∠BOC ＝180°－60°＝120°.9．证明：如图，过点P 分别作PF ⊥AB 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∵BN 是∠ABC 的平分线，∴PF ＝PG .又∵∠BDP ＋∠BEP ＝180°，∠PEG ＋∠BEP ＝180°，∴∠BDP ＝∠PEG .在△PFD 和△PGE 中，∵,,,FDP GEP PFD PGE PF PG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PFD ≌△PGE (AAS)．∴PD ＝PE .10．解：(1)∵∠C ＝90°，∴DC ⊥AC .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∴DC ＝DE ，∠DEB ＝∠C ＝90°.在Rt △DCF 与Rt △DEB 中，∵,,DF DB DC DE =⎧⎨=⎩∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．∴CF＝EB.(2)AE＝AF＋BE.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD.又∵AD＝AD，∠C＝∠DE A＝90°，∴△ACD≌△AE D(AAS)．∴AC＝AE.由(1)知BE＝CF，∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE.∴AE＝AF＋BE.11．解：方案：如图，(1)在射线OA上截取OM为一定的长度a，在OB上截取ON＝a；(2)分别过点M，N作OA，OB的垂线，设交点为P；(3)连接OP，则OP就是∠AOB的平分线．理由：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，所以Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．所以∠MOP＝∠NOP.12．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BDE和△CDF中，∵,,,BED CFDBDE CDF BD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BAD＝∠CAD，即点D在∠BAC的平分线上．。

初中数学八年级上册角的平分线的性质练习题含答案

初中数学八年级上册角的平分线的性质练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在▱ABCD中，∠C=120∘，CD=2，以点B为圆心，以1为半径画弧，交AB于点G，交BC于点H，再分别以G和H为圆心，以1为半径画弧，交于点M，作射线BM交AD于点E，连结AM，则AM的长为()A.1B.√3C.2D.122. 下列尺规作图中，能确定点D是△ABC的边BC的中点的是( )A. B.C. D.3. 如图所示，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴的正半轴上分别截取OA，OB，使OA=OB；再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C . 若点C的坐标为(2m+1,m+5)，则m的值为( )A.m=1B.m=2C.m=3D.m=44. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A.△ABC三条角平分线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC的三条中线的交点5. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样做的依据是（）A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确6. 如图，AD是△ABC的角平分线，且AB:AC=3:2，则△ABD与△ACD的面积之比为( )A.9:4B.3:2C.2:3D.4:97. 如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有()A.①②B.③④C.①③④D.①②③④8. 如图，在△ABC中,AD平分∠BAC，且AB AC，下列结论正确的是()A.AB−AC DB−CDB.AB−AC=DB−CDC.AB−AC DB−CDD.AB−AC与DB−CD的大小关系不确定9. 下列说法中正确的个数是（）①若x2−2kx+9是完全平方式，则k=3；②工程建筑中经常采用三角形的结构，这是利用三角形具有稳定性的性质；③在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点；④当x≠2时(x−2)0=1；⑤若点P在∠AOB内部，D,E分别在∠AOB的两条边上，且PD=PE ,则点P在∠AOB 的平分线上.A.1个B.2个C.3个D.4个10. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A.4B.8C.6D.1011. 如图，是作________的作图痕迹，这个作图的数学依据是________．（从SAS、ASA、AAS、SSS中选一个填写）12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，以任意长为半径PQ的长为半径作弧，作弧，分别交BA，BC于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，以大于12两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________.13. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________∘．14. 在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，CD=6cm，则点D到AB的距离为________cm．15. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BD=5cm，BC=4cm，则点D到直线AB的距离是________cm．16. 把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果________，那么________．17. 在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，交BC与D，过点D作DE⊥AB于E，BC= 8cm，BD=5cm，则DE=________．18. 如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知∠DAC=30∘，∠DAB=75∘，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC=________度.19. 如图，已知△ABF和△ACE都是等边三角形，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF=BE；②∠AMO=∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB=120∘，其中正确的有________（填写序号）．20. 如图，∠AOB=80∘，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=________.21.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？（用尺规作图，只保留作图痕迹）．22. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，在边AC上求作一点P，使得点P到斜边BC的距离等于AP的长．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）23. 如图，请用尺规作图并且保留作图痕迹，在图中作出∠ABC的角平分线BE；线段BC的垂直平分线．（不用写作图步骤）24. 如图，四边形ABCD中，∠D=∠ABD=90∘，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．(1)求证：OC平分∠ACD；(2)求证：OA⊥OC；(3)判断AB、CD、AC之间的数量关系，并说明理由.25. 如图，AP平分∠BAC，BC⊥AB，交AP于点P，PM⊥AC，则BC________PM+ PC（“>，<，=”）.26. 在RT△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，BC=5，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求BE⋅CE的值．27. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB边于点M，过点M作MN//BC交AC边于点N，且MN平分∠AMC，若AN=2.(1)求∠B的度数；(2)求CN的长.28. 如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E,∠ABC=72∘, ∠C:∠ADB=2:3，求∠DAE的度数．29. 已知Rt△ABC的三边长分别为3、4、5，求这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离．30. 如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上．（本题有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得0分，三个点分别用字母C、D、E表示）31. 如图，在△ABC中，射线AD是∠BAC的外角平分线．(1)请利用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的角平分线，与射线AD交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在你所作的图形中，求证：射线CE是∠ACB的外角平分线．32. 如图，在△ABC中，OE，OF分别是AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的角平分线相交于点I，判断OI与BC的位置关系，并证明你的判断．33. 如图，∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110∘，则∠MAB的度数.34. 如图，一艘轮船从A处向正北方向航行，达到B处后，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30∘，∠DBC=60∘，若DB等于36海里，求B到CA的距离.35. 已知如图，△ABC中，∠C=90∘，DE⊥AB于点E，F为AC上一点，且BD=FD，BE=FC，求证：AD是∠BAC的平分线．36. 如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．37. 已知如图，OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E、F．（1）求证：PE=PF．（2）将∠EPF绕点P进行旋转，角的两边与OA、OB分别交于E、F两点，问（1）中的结论是否仍然成立．并说明理由．38. 如图，点D在AC上，∠BAD=∠DBC．（1）△BDC内部是否有到∠BAD两边等距离的点？如果有，有几个？（2）△BDC内部是否有到∠BAD两边等距离的点到∠DBC两边也等距离？如果有，有几个？39. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E；（1）图中相等的线段有哪些？相等的角呢？（2）若AB=10，BC=8，AC=6，求BE，AE的长和△AED的周长．40. 已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在边BC上，则AB________AC；（填>、<或=）（2）如图2，若点O在△ABC的内部，则AB________AC；（填>、<或=），并证明；（3）若点O在△ABC的外部，某同学猜测结论AB=AC，你认为这个结论正确吗？若正确，请证明；若不正确，请画出不正确时的图形（保留作图痕迹）．参考答案与试题解析初中数学八年级上册角的平分线的性质练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】作角的平分线平行四边形的性质含30度角的直角三角形角平分线的性质【解析】【知识点】四边形、三角形性质，尺规作图．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵ ∠C=120∘，CD=2，BE为∠ABC的平分线，∴ ∠ABM=30∘，∵ BG=GM=AG=1，∴ ∠AMB=90∘，AB=1，∴ AM=12故选A．2.【答案】D【考点】作角的平分线作线段的垂直平分线经过一点作已知直线的垂线作图—尺规作图的定义【解析】根据尺规作图中的基本作图来判断即可.【解答】解：A，由图可知，作的是AB的垂直平分线，不能确定D为BC的中点，故错误；B，由图可知，作的是∠CAB的平分线，不能确定D为BC的中点，故错误；C，由图可知，作的是BC的垂线，不能确定D为BC的中点，故错误;D，由图可知，作的是BC的垂直平分线，所以D为BC的中点，故正确.故选D.3.【答案】D【考点】作角的平分线坐标与图形性质【解析】根据尺规作图，可得C在第一象限的平分线上,再由第一象限角平分线上的点的横坐标，纵坐标相等，列出方程，即可解答.【解答】解：由作图可知点C在第一象限的平分线上，则2m+1=m+5，解得m=4.故选D.4.【答案】A【考点】角平分线的性质【解析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选A．5.【答案】A【考点】角平分线的性质【解析】过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE＝CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．6.【答案】B【考点】角平分线的性质【解析】过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比，把DE= DF以及AB:AC的比值代入即可求出面积之比．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB:AC=3:2，∴S△ABD:S△ACD=(12AB⋅DE)：(12AC⋅DF)=AB:AC=3:2．故选B.7.【答案】D【考点】角平分线性质定理的逆定理【解析】⑩根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．【解答】解：①．AP平分么BAC，∠CAP=∠BAP：PGIIAD，∠APG=∠CAP∴ APG=∠BAP∴SA=GP②AP平分∠BAC…P到AC，AB的距离相等，S△PAC:S△PAB=AC:AB③：BE=BC，BP平分∠CBE…BP垂直平分CE（三线合一），④．∠BAC与2CB的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，∴2DCP=∠BCP又：PGIIAD，∠FPC=∠DCPFP=FC故①③③④都正确．故选：D．8.【答案】A【考点】全等三角形的应用角平分线性质定理的逆定理【解析】如图，取AE=AC对角线AD平分∠BAC∠BAD=2DAC在△ACD和△AED中，{AE=AC∠B.AD=∠CAD AD=AD△ACD≅ΔED(SAS)CD=DEBE>DB−DEAB−AC>DB−CD故选A．【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】角平分线性质定理的逆定理完全平方公式角平分线的性质幂的性质【解析】根据完全平方公式特点判别①；根据三角形形状判别②；根据角平分线的性质判断③⑤；根据判断④ .【解答】解：①x 2−2kx +4是完全平方式，∴ −2kx =2×3，故k =3，错误；②正确；③正确；④(x −2)0=1时，x −2≠0，x ≠2，正确；⑤P 不一定在∠AOB 的平分线上，故错误；故选 C .10.【答案】B【考点】作角的平分线【解析】此题暂无解析【解答】解：设AG 与BF 交点为O,∵ AB =AF,AG 平分2AAD,AO =AO ，∴ 可证△ABO ≅△AFO ∵ BO =FO =3,∠AOB =∠AOF =90∘AB =5AO =4，AFIBE ，∴ 可证△AOF ≅△EOB,AO =EOAE =2AO =8________，故选B ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】角平分线,SSS【考点】作角的平分线全等三角形的性质与判定【解析】由作图可知：OE 是角平分线，易知：OC=OD ，OE=OE ，CE=DE ，因此符合SSS 的条件.【解答】解：由图可以看出OE 为∠AOB 的角平分线，连接CE 、DE ，如图，由作图知：在△OCE 和△ODE 中，{OC =OD ，OE =OE ，CE =DE ，∴ △OCE≅△ODE(SSS).∴∠AOE=∠BOE，OE平分∠AOB.故答案为：角平分线；SSS.12.【答案】2【考点】作角的平分线平行四边形的性质平行线的性质【解析】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC，AB=CD=3，AD=BC=5，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=3，∴DE=AD−AE=5−3=2.故答案为：2.13.【答案】55∘．【考点】直角三角形的性质余角和补角线段垂直平分线的性质作角的平分线【解析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70∘，由角平分线的定义得∠2=35∘，由线段垂直平分线可得△AOM是直角三角形，故可得∠1+2=90∘，从而可得∠1=55∘，最后根据对顶角相等求出α【解答】如图，△ABC是直角三角形，∠C=90∘∠B+∠BAC=90∘．∠B=20∘∠BAC=90∘−∠B=90∘−20∘=70∘AM是∠BAC的平分线，．∠2=12∠BAC=12×70∘=35∘：PQ是AB的垂直平分线，．4MO．是直角三角形，∠1+∠2=90∘∠1=90∘−∠2=90∘−35∘=5.5∘∠α与∠1是对顶角，∠α=∠1=55∘故答案为：55∘14.【答案】6【考点】角平分线的性质【解析】由已知条件进行思考，结合角平分线的性质可得，点D到AB的距离=CD．【解答】解：如图所示，由角平分线的性质可得，点D到AB的距离=CD=6cm．故答案为：6．15.【答案】3【考点】角平分线的性质【解析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90∘，BD=5cm，BC=4cm，∴CD=√BD2−BC2=√52−42=3cm，∵∠C=90∘，BD是∠ABC的平分线，∴DE=CD=3cm，即点D到直线AB的距离是3cm．故答案为：3．16.【答案】一个点在角的平分线上,它到这个角两边的距离相等【考点】角平分线的性质【解析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得．【解答】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．17.【答案】3cm【考点】角平分线的性质【解析】先求出CD，根据角平分线性质求出DE=CD，即可得出答案．【解答】解：∵BC=8cm，BD=5cm，∴CD=3cm，∵在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE=CD=3cm，故答案为：3cm．18.【答案】15【考点】角平分线的定义角平分线性质定理的逆定理三角形的外角性质【解析】过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EF⊥BC于H，如图，先计算出∠EAM=75∘，则AE平分∠EAD，根据角平分线的性质得EM=EN，再由CE平分∠ACB得到EM=EH，则EN=EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，则∠1=12∠ADB，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+12∠ACB，∠ADB=∠DAC+∠ACB，所以∠DEC=12∠DAC=15∘．【解答】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图.∵∠DAC=30∘，∠DAB=75∘，∴∠EAM=75∘，∴AE平分∠MAD，∴EM=EN.∵CE平分∠ACB，∴EM=EH，∴EN=EH，∴DE平分∠ADB，∴∠1=12∠ADB.∵∠1=∠DEC+∠2，而∠2=12∠ACB，∴∠1=∠DEC+12∠ACB，而∠ADB=∠DAC+∠ACB，∴∠DEC=12∠DAC=12×30∘=15∘．故答案为：15.19.【答案】①③④【考点】三角形内角和定理角平分线性质定理的逆定理全等三角形的性质与判定等边三角形的性质【解析】如图先证明△ABE≅≅AFC，得到BE=CF，S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得OA平分∠FOE，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60∘，由此可以【解答】解：∵ △ABF 和△ACE 是等边三角形，∴ AB =AF ，AC =AE ，∠FAB =∠EAC =60∘.∴ ∠FAB +∠BAC =∠EAC +∠BAC .即∠FAC =∠BAE .在△ABE 与△AFC 中，{AB =AF ，∠BAE =∠FAC ，AE =AC ，∴ △ABE ≅≅AFC(SAS).∴ ∠AEB =∠ACF ，BE =FC ，故①正确；∵ ∠EAN +∠ANE +∠AEB =180∘，∠CON +∠CNO +∠ACF =180∘，∠ANE =∠CNO ，∴ ∠CON =∠CAE =60∘=∠MOB .∴ ∠BOC =180∘−∠CON =120∘，故④正确；过A 分别作AP ⊥CF 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，如图，∵ △ABE ≅≅AFC ，∴ S △ABE =S △AFC ，∴ 12⋅CF ⋅AP =12⋅BE ⋅AQ .∵ CF =BE ，∴ AP =AQ .∴ OA 平分∠FOE ，故③正确；∵ ∠AMO =∠MOB +∠ABE =60∘+∠ABE ，∠ANO =∠CON +∠ACF =60∘+∠ACF ，显然∠ABE 与∠ACF 不一定相等，∴ ∠AMO 与∠ANO 不一定相等，故②错误.综上所述，正确的有①③④.故答案为：①③④.20.【答案】40∘【考点】角平分线性质定理的逆定理【解析】此题暂无解析解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，∴OC平分∠AOB.又∠AOB=80∘，∴∠DOC=1∠AOB=40∘.2故答案为：40∘.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：如图所示：点O处就是度假村的修建位置．【考点】作角的平分线角平分线的性质【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处．再利用角平分线的作法作出∠ABC和∠CAB的角平分线即可．【解答】解：如图所示：点O处就是度假村的修建位置．22.【答案】解：如图，点P即为所求.【考点】作角的平分线此题暂无解析【解答】解：如图，点P即为所求.23.【答案】解：如图所示即为所求.【考点】作图—基本作图作线段的垂直平分线作角的平分线【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示即为所求.24.【答案】证明：(1)过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90∘，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，{AO=AOOB=OE，∴Rt△ABO≅Rt△AEO(HL)，∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=1×180∘=90∘，2∴OA⊥OC；(3)AB+CD=AC.∵Rt△ABO≅Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．【考点】角平分线性质定理的逆定理角平分线的性质直角三角形全等的判定全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB= OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90∘，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．【解答】证明：(1)过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90∘，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，{AO=AOOB=OE，∴Rt△ABO≅Rt△AEO(HL)，∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=1×180∘=90∘，2∴OA⊥OC；(3)AB+CD=AC.∵Rt△ABO≅Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．25.【答案】=【考点】角平分线的性质【解析】根据角平分线的性质可得PM=PB,再根据线段和差的知识即可解答. 【解答】解：∵ AP平分∠BAC,BC⊥AB,PM⊥AC，∴ PM=PB，∴ BC=PB+PC=PM+PC.故答案为：=.26.【答案】解：过P作AC、AB的垂线，交AC于点F，交AB于点G．∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，∴PE=PF=PG，∴P是三角形ABC的内心，即内切圆的圆心．PE就是内切圆的半径．设直角三角形ABC内切圆的半径PE=r，则r=2×S△ABCL△ABC =2×12×3×43+4+5=1；在四边形PFAG中，PG⊥AB，AF⊥AB，∴PG // FA，∠A=90∘，∴四边形PFAG是正方形，∴AG=PG=AF=1，∴BG=2，CF=3；又∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，∴BG=BE=2，CE=CF=3，∴BE⋅CE=2×3=6．【考点】角平分线的性质【解析】过P作AC、AB、BC的垂线，根据角平分线的性质可得三条线段相等．所以P是三角形ABC的内心，即内切圆的圆心．PE就是内切圆的半径．根据直角三角形内切圆的半径=2S△ABC÷L△ABC可得，PE=1．【解答】解：过P作AC、AB的垂线，交AC于点F，交AB于点G．∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，∴PE=PF=PG，∴P是三角形ABC的内心，即内切圆的圆心．PE就是内切圆的半径．设直角三角形ABC内切圆的半径PE=r，则r=2×S△ABCL△ABC =2×12×3×43+4+5=1；在四边形PFAG中，PG⊥AB，AF⊥AB，∴PG // FA，∠A=90∘，∴四边形PFAG是正方形，∴BG=2，CF=3；又∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，∴BG=BE=2，CE=CF=3，∴BE⋅CE=2×3=6．27.【答案】解：(1)∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，MN//BC，∴ ∠B=∠AMN=∠NMC=∠ACM=∠BCM，∴ ∠ACB=2∠B，∵ ∠BAC=90∘，∴ ∠ACB+∠B=3∠B=90∘，∴ ∠B=30∘.(2)∵ ∠NMC=∠NCM，∴ CN=MN，在Rt△AMN中∠AMN=30∘，AN=2，∴ MN=4，∴ CN=4.【考点】角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，MN//BC，∴ ∠B=∠AMN=∠NMC=∠ACM=∠BCM，∴ ∠ACB=2∠B，∵ ∠BAC=90∘，∴ ∠ACB+∠B=3∠B=90∘，∴ ∠B=30∘.(2)∵ ∠NMC=∠NCM，∴ CN=MN，在Rt△AMN中∠AMN=30∘，AN=2，∴ MN=4，∴ CN=4.28.【答案】解：设∠C=2x，则∠ADB=3x，∵ BD平分∠ABC,∴ ∠CBD=36∘，∴ 3x=2x+36∘, x=36∘，∴ ∠ADB=108∘，又AE⊥BD，∴ ∠E=90∘，则∠DAE=∠ADB−∠E=18∘.【考点】角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设∠C=2x，则∠ADB=3x，∵ BD平分∠ABC,∴ ∠CBD=36∘，又∠ADB=∠C+∠CDB，∴ 3x=2x+36∘, x=36∘，∴ ∠ADB=108∘，又AE⊥BD，∴ ∠E=90∘，则∠DAE=∠ADB−∠E=18∘.29.【答案】解：由角平分线的性质得，两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为ℎ，则S△ABC=12(3+4+5)ℎ=12×3×4，解得ℎ=1．即这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是1．【考点】角平分线的性质【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为ℎ，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：由角平分线的性质得，两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为ℎ，则S△ABC=12(3+4+5)ℎ=12×3×4，解得ℎ=1．即这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是1．30.【答案】解：如图所示，①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F；③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求．本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示．【考点】角平分线的性质【解析】作出∠AOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可．【解答】解：如图所示，①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E；DE为半径画圆，两圆相交于点F；②分别以D、E为圆心，以大于12③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求．本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示．31.【答案】(1)解：如图.(2)证明：如图，过点E分别作EM⊥AB，EN⊥AC，EQ⊥BC，垂足分别为M，N，Q.∵AD是∠BAC的外角的平分线，BE是∠ABC的平分线，∴EM=EN，EM=EQ，∴EN=EQ.∴射线CE是∠ACB的外角的平分线.【考点】作角的平分线角平分线的性质【解析】(2)根据角平分线的做法可画图形.(2)过点E分别作EM⊥AB，EN⊥AC，EQ⊥BC，垂足分别为M，N，Q，根据角平分线的性质定理可得EN=EQ，再根据角平分线的性质定理的逆定理即可得出结论.【解答】(1)解：如图.(2)证明：如图，过点E分别作EM⊥AB，EN⊥AC，EQ⊥BC，垂足分别为M，N，Q.∵AD是∠BAC的外角的平分线，BE是∠ABC的平分线，∴EM=EN，EM=EQ，∴EN=EQ.∴射线CE是∠ACB的外角的平分线.32.【答案】证明：∵OE、OF分别垂直平分AB、AC∴OA=OB=OC∴2∠IBC=2∠ICB∴∠IBC=∠ICB∴BI=IC又∵∠OBI=∠OCI ∴在△OBI与△OCI中{∠OBI=∠OCI BI=IC OB=OC≅ ≅OBI≅≅OCI∴BOI=∠COI又∵OB=OC∴OI垂直平分BC．【考点】角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答33.【答案】解：如图，过点M作MN⊥AD交AD于点N.∵∠B=∠C=90∘，∴AB // CD，∴∠DAB=180∘−∠ADC=70∘.∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC.∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB.又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=12∠DAB=35∘.【考点】角平分线性质定理的逆定理角平分线的性质【解析】过点M作MN⊥AD交AD于点N，根据平行线的性质求出∠DAB的度数，再根据角平分线的判定定理得到∠MAB=12∠DAB，计算即可．∵∠B=∠C=90∘，∴AB // CD，∴∠DAB=180∘−∠ADC=70∘.∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC.∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB.又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=1∠DAB=35∘.234.【答案】B到CA的距离等于36海里【考点】角平分线性质定理的逆定理【解析】试题分析：由三角形外角的性质得∠BCA=30∘，由直角三角形的两个锐角互余得∠BCD=30∘，由此得∠BCA=∠BCDCB平分ΔACD，由角平分线的性质得B到CA的距离等于36海里．试题解析：：C在D的正西方向，△CDB=90∘∵ ∠DBC=∠BCA+∠A∠BCA=∠DBC−∠A=60∘−30∘=30∘在Rt△BCD中，∠BCD+∠CBD=90∘∠BCD=90∘−2CBD=90∘−60∘=30∘∠BCA=∠BCDCB平分zACD，…B到CA的距离等于BD=36每里．【解答】此题暂无解答35.【答案】证明：∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB=∠C=90∘．在Rt△CDF和Rt△EDB中，∴ Rt△CDF≌Rt△EDB，∴ CD=DE．又∵ DC⊥AC，DE⊥AB，∴ AD是∠BAC的平分线．【考点】角平分线性质定理的逆定理【解析】本题考查角平分线性质定理的逆定理.【解答】证明：∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB=∠C=90∘．在Rt△CDF和Rt△EDB中，{FD=BD，CF=EB∴ Rt△CDF≌Rt△EDB，∴ CD=DE．又∵ DC⊥AC，DE⊥AB，∴ AD是∠BAC的平分线．36.【答案】证明：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PM=PN，PN=PE，∴PM=PE，∵PM⊥AC，PE⊥AB，∴点P在∠A的平分线上．【考点】角平分线性质定理的逆定理【解析】作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得出PM=PN，PN=PE，推出PM=PE，根据角平分线性质推出即可．【解答】证明：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PM=PN，PN=PE，∴PM=PE，∵PM⊥AC，PE⊥AB，∴点P在∠A的平分线上．37.【答案】（1）证明：∵OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO，∴PE=PF；（2）成立，理由是：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90∘，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90∘，∴∠MPN=90∘，∵∠EPF=90∘，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，{∠PME=∠PNFPM=PN∠MPE=∠NPF，∴△PEM≅△PFN(ASA)，∴PE=PF．【考点】角平分线的性质【解析】（1）根据角平分线的性质即可得到结论；（2）如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90∘，由OP平分∠AOB，得到PM=PN，证得∠MPE=∠FPN，推出△PEM≅△PFN(ASA)，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO，∴PE=PF；（2）成立，理由是：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90∘，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90∘，∴∠MPN=90∘，∵∠EPF=90∘，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，{∠PME=∠PNFPM=PN∠MPE=∠NPF，∴△PEM≅△PFN(ASA)，∴PE=PF．38.【答案】解：（1）如图，∠BAD的平分线上在△BDC内部的点到∠BAD两边等距离，共有无数个；（2）如图，∠BAD的平分线AE与∠DBC的平分线的交点是△BDC内部到∠BAD两边等距离，到∠DBC两边也等距离的点，共有1个．【考点】角平分线的性质【解析】（1）作∠BAD的平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答；（2）再作出∠DBC的平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：（1）如图，∠BAD的平分线上在△BDC内部的点到∠BAD两边等距离，共有无数个；（2）如图，∠BAD的平分线AE与∠DBC的平分线的交点是△BDC内部到∠BAD两边等距离，到∠DBC两边也等距离的点，共有1个．【答案】解：（1）BE =BC ，ED =DC ，∠ABD =∠CBD ，∠BDE =∠BDC ，∠C =∠DEB =∠AED ，∠ADE =∠ABC ；（2）∵ 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，∴ BE =BC ，ED =DC ，∵ AB =10，BC =8，AC =6，∴ BE =BC =8，AE =AB −BE =10−8=2，△AED 的周长=AE +DE +AD =AE +AC =2+6=8．【考点】角平分线的性质【解析】（1）根据角平分线的性质得出相等的线段和角即可；（2）根据角平分线的性质和线段的和差进行解答即可．【解答】解：（1）BE =BC ，ED =DC ，∠ABD =∠CBD ，∠BDE =∠BDC ，∠C =∠DEB =∠AED ，∠ADE =∠ABC ；（2）∵ 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，∴ BE =BC ，ED =DC ，∵ AB =10，BC =8，AC =6，∴ BE =BC =8，AE =AB −BE =10−8=2，△AED 的周长=AE +DE +AD =AE +AC =2+6=8．40.【答案】解：（1）证明：如图1，过点O 作OE 、OF 分别与AB 、AC 垂直于点E 、F ， ∵ 点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴ OE =OF ，在Rt △BOE 与Rt △COF 中{OE =OF OB =OC， ∴ Rt △BOE ≅Rt △COF ，∴ ∠B =∠C ，∴ AB =AC ；（2）证明：如图2，过点O 作OE 、OF 分别与AB 、AC 垂直于点E 、F ，∵ 点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴Rt△BOE≅Rt△COF，∴∠OBE=∠OCF，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）不一定成立，如图3，证明：过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，连接OB、OC，∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，∴OE=OF，又∵OB=OC，∴△BOE≅△COF(HL)，∴∠ABO=∠ACO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABO−∠OBC=∠ACO−∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，如图4，此题不成立．【考点】角平分线的性质【解析】（1）通过证明△BOE≅△COF得到∠B=∠C，进而得出结论；（2）通过证明△BOE≅△COF得到∠OBE=∠OCF，由于OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠ABC=∠ACB，于是得的结论；（3）过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，连接OB、OC，首先证明△BOE≅△COF，得到∠ABO=∠ACO，由OB=OC根据等边对等角得∠OBC=∠OCB，进而得到∠ABC=∠ACB，从而得出结论：AB=AC．【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，∴ Rt △BOE ≅Rt △COF ，∴ ∠B =∠C ，∴ AB =AC ；（2）证明：如图2，过点O 作OE 、OF 分别与AB 、AC 垂直于点E 、F ， ∵ 点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴ OE =OF ，在Rt △BOE 与Rt △COF 中{OE =OF OB =OC， ∴ Rt △BOE ≅Rt △COF ，∴ ∠OBE =∠OCF ，∵ OB =OC ，∴ ∠OBC =∠OCB ，∴ ∠ABC =∠ACB ，∴ AB =AC ；（3）不一定成立，如图3，证明：过点O 作OE 、OF 分别与AB 、AC 垂直于点E 、F ，连接OB 、OC ， ∵ 点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴ OE =OF ，又∵ OB =OC ，∴ △BOE ≅△COF(HL)，∴ ∠ABO =∠ACO ，∵ OB =OC ，∴ ∠OBC =∠OCB ，∴ ∠ABO −∠OBC =∠ACO −∠OCB ，∴ ∠ABC =∠ACB ，∴ AB =AC ，。

角平分线专项练习30题(有答案)ok

角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线对应角的角平分线长度相等当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。

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八上数学【角平分线】历年真题精选30道（含解析），抓紧掌握练习一．选择题（共10小题）1．（2015·茂名）如图，OC是∠AOB 的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3选A【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．2．（2015·天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC 三顶点的距离一定相等【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．故选D．【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．3．（2015·茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】角平分线的性质．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD 即可．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，∴点D到AB 的距离是4．故选A．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．4．（2015·泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A．2m B．a﹣m C．a D．a+m【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，然后根据AE=AB﹣BE计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵∠B=45°，DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=DE=m，∵AE=AB﹣BE=a﹣m，∴AC=a﹣m．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．5．（2015·河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC·DE=×5×3=7.5．故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．（2015·芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2【考点】角平分线的性质．21世纪教育网【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△A BP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．7．（2015·江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（）A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵CD=3，BD=5，∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；过点D作DE⊥AB于点E，∵AD 平分∠CAB，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∵BD=5，DE=3，∴BE===4．∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，∴△BED∽△BCA，∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；在Rt△ACD中，∵AC=6，CD=3，∴AD===3，故B错误．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．8．（2015春·成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选D．【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．9．（2015秋·平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDC D．ED+AC ＞AD【考点】角平分线的性质．【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出很多结论，对各选项逐个验证，证明．【解答】解：CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可证△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即DE平分∠ADB；在△ACD中，CD+AC＞AD所以ED+AC＞AD．故选B．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．10．（2015春·吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点 D．Q点【考点】角平分线的性质．【专题】网格型．【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB 的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2015·连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．【考点】角平分线的性质．【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB 上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．12．（2015·聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．【考点】角平分线的性质．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴BC=AB=3，∴CD=BC·tan30°=3×=，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平线上点到角两边距离相等，∴点D到AB的距离=CD=，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．13．（2015·萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得到AD=3，由勾股定理求得BD．【解答】解：∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，∴AD=3，∵AB=4，∴BD==5．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，由已知能够注意到D到BC的距离即为DE长是解决的关键．14．（2015·绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为．【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小．结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP 的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=8，∴DP=8．故答案为：8．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．15．（2015春·苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD （AAS）∴AC=AE=3，DE=CD∴EB=AB﹣AE=6﹣3故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．16．（2015春·晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=（度）．【考点】角平分线的性质．【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC，∵∠DBC=50°，∴∠ABC=100°，故答案为：100．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．17．（2015秋·蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE 的周长为8，则AB的长为8 ．18．（2015秋·镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60c m2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC=，DE= ．【考点】角平分线的性质【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABD：S△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面积公式列式计算即可求出DE．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，∵AB=12cm，BC=18cm，∴S△ABD：S△DBC=AB：BC=12：18=2：3，∵S△ABC=60cm2，∴S△DBC=60×=36cm2，∵DE⊥BC，∴BC·DE=36，即×18·DE=36解得DE=4cm．故答案为：36cm2；4cm．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记各性质是解题的关键．19．（2014秋·定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③∠APE=∠APF，上述结论中正确的是（只填序号）．20．（2013秋·石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是．【考点】角平分线的性质．【分析】先根据角平分线的性质求得PE=PF，再利用全等即可判定．【解答】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF∴Rt△APE≌RT△APF（HL）∴AE=AF，∠APE=∠APF 故填①②③．【点评】本题主要考查平分线的性质及三角形全等的判定及性质；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解决的关键．三．解答题（共10小题）21．（2015·路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．已知：求证：证明：【考点】角平分线的性质．【分析】连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．2-1-c-n-j-y【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵OB，OC 分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB=×OD ×（BC+AC+AB）=×3×21=31.5．故填31.5．【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．22．（2015春·泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE 的长．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌△RtPOF，∴∠EOP=∠FOP，∴点P在∠AOB的平分线上．【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键23．（2015·黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC 的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．【解答】解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力24．（2015春·澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD （HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键． 25．（2015秋·泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定．【专题】证明题．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE 中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．26．（2014秋·芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△DFC中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL），∴EB=FC．【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．27．（2014秋·陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt△COE和Rt△DOE中，，∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），∴CO=DO；（2）∵EO平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE，在△COF和△DOF中，，∴△COF≌△DOF（SAS），∴FC=FD．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．28．（2014秋·南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：（1）S△ACD；（2）AC的长．【考点】角平分线的性质【分析】（1）根据S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面积公式可求解；（2）过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∵S△ACD=3，∴×AC×2=3，解得AC=3．【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．29．（2014秋·苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．（1）比较PD与PE的长短，得；（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得；（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？【考点】角平分线的性质．【分析】（1）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（2）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（3）可以通过证明三角形全等来得到正确的结论；【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；（2）用直尺量得QF=QG；（3）证明：∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，∴∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP，∴△DOO≌△EPO，∴PD=PE，∴角平分线上的点到角的两边的距离相等．【点评】本题考查了角平分线的性质，通过学生的动手、动脑使得学生更加牢固的掌握了新知识．30．（2014秋·赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．。