埃及分数拆分法
埃及分数
埃及分数文章的出处埃及分数分数，连小学生都知道，例如1/2，3/5。
可是你是否知道，还有一种单分子分数，即分子为1，分母为任意数。
这种分数叫埃及分数，或者叫单分子分数。
埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。
人们在考察古埃及历史时注意到象阿基米德这样的数学巨匠，居然也研究过埃及分数。
本世纪一些最伟大的数学家也研究埃及分数，例如，沃而夫数学奖得主，保罗-欧德斯，他提出了著名的猜想4/n= 1/x+1/y+1/z. 难倒了世界上第一流的数学家。
当9个面包要平均分给10个人的时候，古埃及人不知道每个人可以取得9/10，而是说每人1/3，1/4，1/5，1/12，1/30。
真叫人难以想象，你连9/10都搞不清楚，怎么知道9/10=1/3+1/4+1/5+1/12+1/30。
所以几千年来，数学史家一直坚持认为，古埃及人不会使用分数。
1858年，苏格兰考古学家莱登买到了一份古埃及草纸文件，经过鉴定这是繁生于尼罗河泛滥形成的池塘和沼泽地里的草制成的纸，成文年代约在公元前1700年。
那么，古埃及的人们，是怎么算的呢？首先，把 2 个物品分成 4 个1/2，先给每个人 1 个1/2，剩下的 1 个1/2 再分成 3 等分，均分结果，每人分到1/2 加1/2 的1/3，也就是1/2 + 1/6 = 2/3。
这份至今保存在大英博物馆的“莱登”草纸，用很大的篇幅记载着将真分数分解成单分子分数，这种运算方式，遭到现代数学家们纷纷责难，认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，其分数运算之繁杂也是原因之一。
埃及金字塔是举世闻名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和超凡的智力，难道最简单的现代分数也不懂？金子塔所蕴含的难道是一篇粗劣的作品？现代数学已经发展到十分抽象和复杂的程度，而埃及分数却是这样粗糙，在人们的记忆里早该烟消云散了，然而，它产生的问题直到今天仍然引起人们的重视。
四川大学已故老校长柯召写道：“埃及分数所产生的问题有的已成为至今尚未解决的难题和猜想，他们难住了许多当代数学家”。
“贪心”之智，化繁为简——埃及分数问题一组
智汇好题目古埃及人喜欢把分数转化成分子为1的分数来进行计算，后人常把分子是1的分数称为“埃及分数”。
埃及分数问题，即把一个真分数表示为最少的埃及分数之和的形式，如把59表示为12＋118。
求解这类问题，常用所谓“贪心算法”。
贪心算法，看到它的名字，你也许会好奇：什么样的算法会被称为贪心算法？贪心算法，又称贪婪算法，即总在每一步骤做最优决策，希望通过一系列的局部最优决策，获得问题的全局最优解。
贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是局部最优选择。
运用这种算法求解最优化问题时，每一个阶段总是做一个使局部最优的贪心选择，不断将问题转化为规模更小的子问题。
下面就让我们通过一组问题，体会贪心算法在埃及分数问题里的应用吧！【题目】第1题 古埃及人如何分饼“把3块饼平均分给4个人，每人分得34块”是苏教版小学数学五年级下册《分数的意义和性质》单元的学习内容，常见的分法有两种：一种是每次分1块饼，每人分得3个14块；另一种是3块一起分，每人分得3块的14。
其实，4000多年前的古埃及人也会遇到分饼的问题，你能根据图1，说说古埃及人是怎么将3块饼平均分给4个人的吗？1212121214141414图1第2题 贪心法古埃及人在均分物品时，总会先保证每人分到1份且每次只取其中的1份，在此前提下用最少的次数分完物品，每次争取分到的最多，有人把这种分法称为贪心法。
例如，在分解分数34时，因为12是比34小的最大埃及分数，所以只需要分两次，就能得出34=12＋14。
按照这种分法（贪心法），你能画出把3块饼平均分给5个人的过程吗？第3题 找规律你能用“贪心法”将下面这些埃及分数拆分成两个埃及分数的和吗？“贪心”之智，化繁为简——埃及分数问题一组姜 华76智慧教学 2023年8月77The Horizon of Education12=1+ 1；13=1+ 1；14=1+ 1 。
观察这些算式，你发现了什么？第4题 简便计算我们还可以将某些特别的埃及分数表示成两个埃及分数的差，例如，12=112´= 1-12，16= 123´=12-13，112=134´=13-14……运用这个规律，我们可以进行这样的简便计算：1111261220+++=111112233445+++´´´´=（1-12）+（12-13）+（13-14）+（14-15）你能运用这样的规律计算“11612++111203042++”吗？【解析】第1题是理解埃及分数的基础，从图1中可以看出，4个人平均分3块饼时，先拿出其中的2块饼,将每块饼平均分成2份，一共平均分成了4份,于是每人可以先分得12块饼；再将剩下的1块饼平均分成4份,每人又可以分得14块饼。
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埃及分数数学文化知识
在保存至今的古埃及纸草中，记载和讨论了分子为1的分数。
后来，人们
把分子为1的分数叫做埃及分数。
怎样把一个埃及分数分成两个不相等的埃
及分数的和，这便要用到你已经算过的1/n–1/(n+1)=1/n(n+1)了。
移项，得：1/n=1/(n+1)+1/n(n+1)。
例如n=3，得n+1=4，n(n+1)=12。
这样，便有
1/3=1/4+1/12。
要是进一步把1/4分成两个，有1/3=1/5+1/20+1/12
要是再进一步把1/12分成两个，有1/3=1/5+1/20+1/13+1/156。
总之，用这种方法，可以把1/3写成任意多个不相同的埃及分数的和。
好。
现在请你利用埃及分数的这个特性，计算
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+……+1/(99×100).
这和埃及分数的特性有关系?有。
你看，1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，这就得到上式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……-1/99+1/99-1/100=99/100。
案例将一个分数拆为几个单位分数之和[整理版]
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教学案例——将一个分数化为几个单位分数之和一、背景分子为1的真分数叫单位分数，也叫埃及分数。
记录埃及分数成果的《莱因德草纸书》是公元前1650年左右的埃及数学著作。
据书中记载，书中关于单位分数的许多结论在公元前2700年左右的古埃及人就已知道。
古埃及人为什么要把分数拆为一些不同的单位分数之和呢？他们又是采用什么方法把一个分数拆为不同的分数之和的呢？这都是谜，但我们从中可以触摸到古埃及人的智慧，感受到它谜一般的魅力！二、教学内容分析与学生主体分析“将一个分数拆为几个单位分数之和”这个内容在新教材中是一个探究活动内容，也是新课程标准确定的专题研究内容。
但是课本上的这块内容相当宽泛，有将单位分数拆分的，有将非单位分数拆分的，也有将1拆分的，并且没有给出一般的拆分方法。
但是课只有四十分钟，所以我觉得要抓住一两个重点，并且这些内容可以使课堂活起来，学生动起来，从而符合这次学校展示周的主题。
我选择了两个内容：将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和；将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用。
内容不多，因此在深度上我对同学们提出了更高的要求，第一点：经历一个从特殊到一般的研究过程；第二点：能够自己找出将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律并运用。
之所以选择这两个内容也有从学生角度考虑的，在探索将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律时要用到两个前期知识，一个是因数，一个是分数的基本性质，而这两个知识，他们预备班的学生这学期刚学，所以这个规律如果老师加以适当的引导同学们还是能够自己探索出来的。
另外一点，在平时教学的过程中，我发现预备的学生普遍对于抽象的东西比较难理解，比如说式子中出现个字母等1拆分，等，所以在本课中我有意要渗透这样一种思想，比如叫他们把n并理解这个式子所表达的含义，这是本节课需要去突破的一个难点。
三、教学目标知识与技能：1、会将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和2、会将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用过程与方法：1、从将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和到将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，体会由简单到复杂的研究过程1这样的一般分数，体会由特殊到2、从特殊分数到n一般的研究过程情感态度与价值观：体会到问题对于数学探究的重要性，学会自己提出问题四、重难点将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用五、教学过程1、引入老汉分马问题：一个老汉在弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。
分数拆分(公开课)(最新整理).ppt
扩大： 拆分：
2 23 6 5 5 3 15 15 1 5 1 1
15 15 15 15 3
分原子则6为：什分么子要必拆须成能1拆和成5呢分？ 母的因数之和
将下列分数拆成几个不同的 单位分数之和：
2, 3, 7 , 5 7 8 16 27
埃及人把1拆成：
1 1 11 236
你知道是怎么拆的吗？
你还有别的拆法吗？
①阅读教材P72～73的内, 1 ; 6 7 8 9 10 2, 3, 5, 4, 3 34897
分子为1的真分数叫单位分数，也叫 “埃及分数”。
距今大约三千多年以前的埃及，人 们只使用分子是 1 的分数，和我们现 在所使用的大不相同。
埃及人研究的主要是怎样把整数用单 位分数表示出来，例如：
1 1 11 236
请你把
1 2
拆成两个相同的单位分数之和：
1 11 2 44
请把下列各数拆成两个相同的 单位分数之和：
1 , 1 , 1 (n为正整数） 5 12 n
你能把
1 2
拆成两个不同的
单位分数之和吗？
①拆出的两个分母必须一个 大于4，一个小于4；
②小于4的一个分母，必须 在2～4之间；
把下列分数拆成两个不同的 单位分数之和：
1, 1, 1, 1 3456
如何把 2 拆成几个不同的单 位5分数之和呢？
2 1 1 1 (1 1 ) 5 5 5 5 6 30
埃及分数分解的一种方法
即可 . 这因为由
m1 m2 1 m = = + 14 14 m 14 m 14 m
我们可以采用逐步约数和分解 , 即先将 1 1 分解成两个 ( ) 之和 , 分解的方法还是上 14 面提到的分子分母乘以 14 的 “约数和” 的办 法 ,例如 , 1 1× 3 1 2 1 1 = = + = + . 14 14 × 3 14 × 3 14 × 3 42 21 1 接着 ,把刚才从 分得的两个分式再各 14
收稿日期 :2007 - 11 - 16
= =
n1 t 1
14 m
t 1 n1
+ +
n2 t 2
14 m
t 2 n2
14 m
14 m
,
便可以将
1 1 1 分解成 ( ) + ( ) 的形式 . 那么 , 14
这样的条件是否存在呢 ? 下面将就这个问题 进行进一步的探究 . 1 1 1 对于一般情形 , 即将 分解成 ( ) + ( ) M 的形式 .
n1 t 1 n2 t 2 = + M M ( n1 t 1 + n2 t 2 ) M ( n1 t 1 + n2 t 2 )
1
②
=
t1 n1 t2 n2 ・ + ・ , M n1 t 1 + n2 t 2 M n1 t 1 + n2 t 2
③
其中 , n1 、 n2 是待定的正整数 . 下面推证以下两点 :
t1 t1 + s
i =1
∏m
k
h i i
.则
+
分数拆分经典解法
课 题： 分数的拆分知识概述：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。
单位分数又叫埃及分数。
在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。
教学目标：1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。
2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。
3、让学生感受归纳的一般方法。
教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。
2、分数的拆分的方法。
教学难点：分数的拆分的灵活应用。
教具与学具：本周通知事项：教学过程：一、引入：127化成小数等于多少？ 分析：4131127+==0.3 。
+0.25=0.583 。
这里的31和41数学里称为：单位分数（分数单位）。
今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。
定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。
二、新课教授：例1：在等式yx 1161+= 中，求出所有整数解。
分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。
通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。
怎样才能约分？我们想到了约数。
这时列出6的所有约数：1，2，3，6。
通过扩分的方法：911812)(1×62)(1×161+=++= 1011513)(2×63)(2×161+=++=812413)(1×63)(1×161+=++= 812416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 911816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。
总结:yx n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数）2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组）3.将n1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分）5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。
对古埃及 2n 型分数表拆分规律的研究
对古埃及n2型分数表拆分规律的研究杨春宏（河北师范大学数学与信息科学学院 050016）1 引言关于古埃及人的n2分数表一直是一个有趣和具有吸引力的问题.曾有许多学者提出种种学说来解释它的来源[1].在古埃及,单分数出现的直接起因必为分配所致[2],凡涉及除法以及分配的结果最终都以单分数表示出来,这是因为a1可以为具有简单的分配操作意义。
形如nnn n s1...11221+++=的分数表的出现，具有3方面的意义：（1） 古埃及人习惯上把运算结果表示成若干单分数的和。
如232187158124161297++++=.由于过程冗长、繁琐，且非所有的人都知道，所以，它的意义首先在于对分配结果的记载。
（2） 在多人参与分配的情形，先计算n2，然后加倍得n4，或者按照n2，n 4，n8，…的方式完成分配,无疑是一个体现智慧的方案.照这样推测,意味着埃及人已经可以将一个正整数表示成2的幂多项式形式，即k k k k t t t t m 011222...++++=-，其中0=k i 或1，t i ,...,2,1,0=.进一步就有nn n n mk k k t t tt 011...22+++=--.这样，在分配结果的单分数表示中n2的拆分数就成为根本的基础[3]。
这完全符合埃及人用加倍方法做乘法或做除法的思路，是对那种方法法发展。
（3） 分数表只列出了分母在5~101（单数）的n2的表示结果，然而在规模不大的分配中，它已经足够使用了。
所以，作为具有多种用途、方便实用的基础分数表，它是埃及人的一项创造性成就。
鉴于目前对拆分方法的种种不同解释[1,4]，本文拟就n2分数表的拆分方法进一步展开研究，试图对其拆分结果给出算法上的分类揭示。
2 3种相关的拆分方法n2型分数的拆分方法并不是唯一的，拆分结果可以分成2个、3个或更多的单分数之和，而纸草书中仅列出一种，分解的不唯一性恰恰反映出当时制作分数表的复杂性，我们首先对3种相关的拆分方法进行研究。
分数拆分1
同学们，你们知道吗?两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。
有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。
本专题中列举了许多例题,主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。
一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。
把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分.怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：叫做扩分.注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。
③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。
即：④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。
二、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。
解：18的约数有1、2、3、6、9、18.可以任意取其中三个约数，得到不同的解.……答案不只一种.三、把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系.观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。
以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差.当n、n+d,都是自然当d=1时,公式（2)则转化为公式（1）。
利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。
例5把下面各分数写成两个分数差的形式。
观察下面等式，左右两边有什么关系。
通过上面算式，可以得出这样的结论:由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式.四、拆分方法在分数加法运算中的应用例6 计算：解：由公式（2）解：由公式（3）例9 计算解：根据公式（4)尝试练习：1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1-3题）。
古埃及分数的拆分方法
古埃及分数的拆分方法
古埃及是古代人类文明的重要代表之一,其数学成就也令人惊叹。
在古埃及,人们发展出了一套复杂的数学体系,其中包括了分数的拆
分方法。
古埃及的分数与我们现在使用的分式表示方法不同。
他们将分数表示为两个整数的相对比例,而不是用小数或百分数表示。
例如,古埃及人可以将分数1/2和3/4都表示为1:2和3:4的比例。
这种表示方法在现代科学中被称为“比例分数法”,是一种将分数化为整数比例
的方法。
除了比例分数法,古埃及还有一种叫做“逆比例分数法”的方法。
这种方法可以将一个分数拆分为两个整数的相反比例。
例如,分数1/2可以表示为3/4的逆比例分数,即1/2 = 4/3。
逆比例分数法在现代
科学中也被广泛使用。
古埃及的数学成就不仅对当时的文明和社会经济发展起到了重
要的推动作用,而且对后来的科学研究和数学发展产生了深远的影响。
我们应该珍惜和传承这种古代数学文明的精神和智慧。
埃及分数
埃及分数一个古老的传说：老人弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大21，老二41，老三61。
但问题来了，21是5匹半马，总不能把马杀了吧，正在无奈之际。
邻居把自己家的马牵来，老大21，牵走了6匹；老二41，牵走了3匹；老三61，牵走了2匹。
一共11匹，分完后，邻居把自己的马牵了回去。
这个古老的传说实际上提出了这样一个数学问题：如何把真分数（分子比分母小的分数）表示成3个单位分数之和，即1211＝21＋41＋61。
所谓单位分数又称埃及分数（Egyptian fraction ），是指分子为1的分数。
今天我们主要研究，怎样把一个真分数表示成几个不同单位分数的和。
首先，从把一个单位分数n1表示成两个不同单位分数的和开始。
方法一：用公式：n 1＝11+n ＋)1(1+n n 如，把51和61分别表示成两个不同单位分数的和： 51＝151+＋)15(51+=61＋301； 61＝161+＋)16(61+=71＋421； 掌握这个方法了吗？自己动手来试试吧！把81和91分别表示成两个不同单位分数的和： 81= 91= 答案：81=181+＋)18(81+=91＋721； 91=191+＋)19(91+=101＋901。
如果你能熟练运用n 1＝11+n ＋)1(1+n n 这个公式，那么这个公式的变式可以解决一种很重要的计算哦!n 1＝11+n ＋)1(1+n n ⇒)1(1+n n ＝n 1－11+n 你知道这个公式运用在什么地方吗？ 啥？没头绪。
那就再来一个题21＋61＋121＋201＋301见到这个题有什么想法吗？ 对！这就是分数的裂项。
原式＝211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋651⨯ ＝11－21＋21－31＋31－41＋41－51＋51－61 ＝1－61 ＝65 问：如果要求将一个单位分数表示成三个单位分数或者四个单位分数的和用公式法你会吗？动脑思考下哦~方法二：取n 的两个因数a 、b ，给n 1的分子、分母都乘上a ＋b ，n 1＝）＋（）＋（b b 1a n a ⨯⨯。
探究活动(二)将一个分数拆为几个不同的单位分数之和
狮身人面像的面部参照哈夫拉，身体为狮子，高22米，长57米， 雕象的一个耳朵就有2米高。整个雕象除狮爪外，全部由一块天然岩石 雕成。由于石质疏松，且经历了4000多年的岁月，整个雕象风化严重。 另外面部严重破损，有人说是马姆鲁克把它当作靶子练习射击所致， 也有人说是18世纪拿破仑入侵埃及时炮击留下的痕迹。
约分
例题3、填空：在括号内填入不同的正整数，
使等式
4 15
1
1
成立。
解：15的因数有1，3，5，15
4
4
4
15 4 (1 3)
15 (1 3)
15 4 (115)
15 (115)
15 4 (5 3)
15 (5 3)
4 12 60 60
1 = 2+3 = 2 + 3 = 1 + 1 6 6 5 6 5 6 5 15 10
1 = 1+2 = 1 + 2 = 1 + 1
6 6 3 6 3 6 3 18 9
1 6
6
6
6
1
1
练习2、填空：在括号内填入不同的正整数，使
等式
1 14
1
1
成立。（尽可能多写）
解：14的因数有1，2，7，14 1
分解
14 1 (2 7)
14 (2 7)
27 14 9 14 9
11 63 18
埃及分数数学文化知识
埃及分数数学文化知识
埃及分数数学文化知识
在保存至今的古埃及纸草中，记载和讨论了分子为1的分数。
后来，人们把分子为1的分数叫做埃及分数。
怎样把一个埃及分数分成两个不相等的埃及分数的和，这便要用到你已经算过的1/n–1/(n+1)=1/n(n+1)了。
移项，得：1/n=1/(n+1)+1/n(n+1)。
例如n=3，得n+1=4，n(n+1)=12。
这样，便有1/3=1/4+1/12。
要是进一步把1/4分成两个，有1/3=1/5+1/20+1/12
要是再进一步把1/12分成两个，有1/3=1/5+1/20+1/13+1/156。
总之，用这种方法，可以把1/3写成任意多个不相同的埃及分数的.和。
好。
现在请你利用埃及分数的这个特性，计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+……+1/(99×100).
这和埃及分数的特性有关系?有。
你看，1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，这就得到上式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……-1/99+1/99-1/100=99/100。
古埃及的单位分数
配合学习单，小组讨论。
中世纪欧洲对单位分数的处理
在埃及方法中，分子皆固定为2，若此分数分子不为 2，是否也能用相同的方式处理呢 ?
这个问题一直到1202 年，才由中世纪 数学家费波那西(Fibonacci, 1170 ～ 1250) 给出肯定的答案。
而一直到1880 年，才由英国数学家 西尔维斯特(Sylvester, 1814 ～ 1897) 完成费波那西没有给出的证明。
两个例子
例1:
2 13
＝
1 8
＋
2× 8－13 8× 13
＝
1 8
＋
3 8× 13
＝
1 8
＋
1＋2 8× 13
＝
1 8
＋
1 52
＋
1 104
例1:
2 13
＝
1 8
＋
2× 8－13 8× 13
＝
1 8
＋
3 8× 13
＝
1 8
＋
1＋2 8× 13
＝
1 8
＋
1 52
＋
1 104
例2:
2 89
＝
1 60
单元 6 古埃及的单位分数
引言
如何将一个真分数分解成若干个相异的“单 位分数”(即分子为1的分数) 之和是一个 古埃及的数学问题。
介绍关于此问题的几个算法式解法 : “埃及方法”(Egyptian Method)、 “菲波那契法”(Fibonacci’s
Algorithm)、 “史都华法”(Stewart’s Method)
＋
n
1 (n＋1)
把一個真分數分解為單位分數的和。
问题与讨论
试分别利用上述二法，将
案例 将一个分数拆为几个单位分数之和
教学案例——将一个分数化为几个单位分数之和一、背景分子为1的真分数叫单位分数，也叫埃及分数。
记录埃及分数成果的《莱因德草纸书》是公元前1650年左右的埃及数学著作。
据书中记载，书中关于单位分数的许多结论在公元前2700年左右的古埃及人就已知道。
古埃及人为什么要把分数拆为一些不同的单位分数之和呢？他们又是采用什么方法把一个分数拆为不同的分数之和的呢？这都是谜，但我们从中可以触摸到古埃及人的智慧，感受到它谜一般的魅力！二、教学内容分析与学生主体分析“将一个分数拆为几个单位分数之和”这个内容在新教材中是一个探究活动内容，也是新课程标准确定的专题研究内容。
但是课本上的这块内容相当宽泛，有将单位分数拆分的，有将非单位分数拆分的，也有将1拆分的，并且没有给出一般的拆分方法。
但是课只有四十分钟，所以我觉得要抓住一两个重点，并且这些内容可以使课堂活起来，学生动起来，从而符合这次学校展示周的主题。
我选择了两个内容：将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和；将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用。
内容不多，因此在深度上我对同学们提出了更高的要求，第一点：经历一个从特殊到一般的研究过程；第二点：能够自己找出将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律并运用。
之所以选择这两个内容也有从学生角度考虑的，在探索将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律时要用到两个前期知识，一个是因数，一个是分数的基本性质，而这两个知识，他们预备班的学生这学期刚学，所以这个规律如果老师加以适当的引导同学们还是能够自己探索出来的。
另外一点，在平时教学的过程中，我发现预备的学生普遍对于抽象的东西比较难理解，比如说式子中出现个字母等1拆分，等，所以在本课中我有意要渗透这样一种思想，比如叫他们把n并理解这个式子所表达的含义，这是本节课需要去突破的一个难点。
三、教学目标知识与技能：1、会将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和2、会将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用过程与方法：1、从将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和到将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，体会由简单到复杂的研究过程1这样的一般分数，体会由特殊到2、从特殊分数到n一般的研究过程情感态度与价值观：体会到问题对于数学探究的重要性，学会自己提出问题四、重难点将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用五、教学过程1、引入老汉分马问题：一个老汉在弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。
古埃及分数的拆分方法
古埃及分数的拆分方法
古埃及人使用分数来计算数量和度量。
他们的分数系统是基于单位分数的，即分子为1，分母为任何正整数。
古埃及人使用的拆分方法是将一个分数分解成多个单位分数的和。
例如，将1/2拆分成1/3+1/6的和。
他们认为这种拆分方法可以帮助他们更好地理解分数，并且在计算过程中更加方便。
在古埃及的商业和贸易中，这种拆分方法非常有用。
例如，如果一个商人想要购买3/4个小麦袋，他可以将3/4拆成1/2+1/4，然后用1/2的价格购买两个小麦袋和1/4的价格购买一个小麦袋。
这种方法可以帮助商人更好地管理他们的财务，以及更好地理解他们的交易。
除了商业和贸易之外，古埃及人还使用分数来计算时间、度量和土地面积。
他们的分数系统可以追溯到约公元前3000年，并且一直使用到公元前1650年。
总的来说，古埃及人的分数系统以及拆分方法是他们在数学领域的一项伟大贡献。
这些方法对于现代数学的发展也产生了很大的影响。
古埃及的单位分数问题
p +q r
是一整數, 則
r pq
=
1 pz
+
1 。 qz
= a
r (p+q ) pq (p+q )
p+q 1 1 = pqz = pz + qz , 其中 z =
p+q 。 r
b 6 15 28 66 276 42 130 52 51 76 124 111 246 141 318 236 335 568 380 679 58 86 244 219 237 332 356 202
1 q1 +1 [6]
, 但他沒有給出證明。 直到
1880 年, 才由英國數學家西爾維斯特 (Sylvester, 1814-1897) 所補證, 因此斐波那契法有時
是不大於
a b
的最大單位分數, 而
a−r b(q1 +1) [8]
a−r b(q1 +1)
是 剩 餘 分 數 。)
若 a − r = 1, 則分解完成。 不然, 要進行步驟二。 步驟二: 仿照步驟一求不大於 剩餘分數成為單位分數為止。 的最大單位分數及其對應的剩餘分數。 重複此步驟, 直至
餘此類推, 不斷分拆直至右邊全部化成相異單位分數之和為止。 例 6: 把 3/7 分解成單位分數之和。 解: 3 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = +( + )+( + ) 7 7 7 7 7 8 56 8 56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +( + )+( + )= + + + + + + = + + 7 8 56 9 72 57 3192 7 8 9 56 57 72 3192 若跟斐波那契法相比 (見例 4), 直接應用史都華法所涉及的運算步驟和展開項都明顯較多。 不過, 如果把過程中的步驟稍加改良, 此法有時可能會給出較佳的單位分數展開式。 譬如以例 6
古埃及的单位分数问题
餘此類推, 不斷分拆直至右邊全部化成相異單位分數之和為止。 例 6: 把 3/7 分解成單位分數之和。 解: 3 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = +( + )+( + ) 7 7 7 7 7 8 56 8 56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +( + )+( + )= + + + + + + = + + 7 8 56 9 72 57 3192 7 8 9 56 57 72 3192 若跟斐波那契法相比 (見例 4), 直接應用史都華法所涉及的運算步驟和展開項都明顯較多。 不過, 如果把過程中的步驟稍加改良, 此法有時可能會給出較佳的單位分數展開式。 譬如以例 6
[2]
把真分數化成相異單位分數之和:
1 , n
[1]單位分數的表示式不是唯一的, 因為若給定一任意單位分數 [2]參考 Eves(1990) 頁 61-62。
我們都可以把它分解成
1 n+1
+
1 。 n(n+1)
52
古埃及的單位分數問題
53
定理 1: 設 p, q , r 為正整數, 且 r < pq 。 若 z = 證明: n 3 5 7 11 23 35 91 13 17 19 31 37 41 47 53 59 67 71 95 97 29 43 61 73 79 83 89 101
表1: 蘭德紙草書上的單位分數展開式 埃及分解法
設 n 為奇正整數。 形如 2/n 的真分數可採用以下步驟分解成若干個相異單位分數之和:
54 數學傳播 26 卷 4 期 民 91 年 12 月
将C语言真分数分解为埃及分数的方法介绍
将C语言真分数分解为埃及分数的方法介绍下面我们给大家介绍一下将C语言真分数分解为埃及分数的方法吧!分子为1 的分数称为埃及分数，现输入一个真分数，请将该分数分解为埃及分数。
如：8/11=1/2+1/5+1/55+1/110。
*问题分析与算法设计 若真分数的分子a能整除分母b，则真分数经过化简就可以得到埃及分数，若真分数的分子不能整除分母，则可以从原来的分数中分解出一个分母为b/a+1的埃及分数。
用这种方法将剩余部分反复分解，最后可得到结果。
*程序说明与注释 /*注：对源程序作稍许修改，主要是添加了一个外循环，可以直接计算多个真分数的埃及分数，按Ctrl-C退出。
具体的算法我没有认真看，有问题请提出，谢谢*/ #include int main(void) long int a,b,c; while(true) { printf(“Please enter a optional fraction(a/b):”); scanf(“%ld/%ld”,&a,&b); /*输入分子a和分母b*/ printf(“It can be decomposed to:”); while(true) { if(b%a) /*若分子不能整除分母*/ c=b/a+1; /*则分解出一个分母为b/a+1的埃及分数*/ else{ c=b/a; a=1;} /*否则，输出化简后的真分数(埃及分数)*/ if(a==1) { printf(“1/%ld\n”,c); break; /*a为1标志结束*/ } else printf(“1/%ld + “,c); a=a*c-b; /*求出余数的分子*/ b=b*c; /*求出余数的分母*/ if(a==3) /*若余数为3，输出最后两个埃及分数*/ { printf(“1/%ld + 1/%ld\n”,b/2,b); break;} } } return 0; } *运行结果 Please enter a optional fraction (a/b): 1/6 It can be decomposed to: 1/6 Please enter a optional fraction (a/b): 20/33 It can be decomposed to: 1/2+1/10+1/165 Please enter a optional fraction (a/b): 10/89 It can be decomposed to: 1/9+1/801 Please enter a optional fraction (a/b): 19/99 It can be decomposed to: 1/6+1/40+1/3960 Please enter a optional fraction (a/b): 8/87 It can be decomposed to: 1/11+1/957 (按ctrl-c退出) 以上就是我们给大家介绍的将C语言真分数分解为埃及分数的方法了。
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埃及分数拆分法
埃及分数拆分法是一种古老的算法，可以将一个分数拆分成若干个较小的分数之和。
这种算法起源于古埃及时期，被用来计算土地面积和物品的分配。
具体步骤如下：
1.将分子除以分母，得到商和余数。
2.将分母除以余数，得到商和新的余数。
3.重复上述步骤，直到余数为1。
4.将所有商的倒数相加，得到分数的拆分。
例如，将5/7拆分成若干个分数之和：
5/7=0+1/2+1/7+1/98
其中，商的倒数分别为2、7和98，将它们相加即可得到原分数的拆分。
由于埃及分数拆分法只涉及整数的除法和加法，因此非常适合手算或机械计算，可以避免繁琐的分数运算。
此外，该算法还具有一定的数学意义，与分数连分数、连分数的收敛等概念密切相关。
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