高中数学讲义-极坐标与参数方程

合集下载

高中数学-极坐标与参数方程

22坐标系与参数方程一、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系（1）数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系（2）平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系（3）距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2 的中点为P①两点间的距离公式|P 1P 2|＝⎧⎪x ＝x 1＋x 2②中点P 的坐标公式⎨ y ＋y⎪⎩y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换⎧x′＝λx （λ>0）设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎨ ⎩y′＝μy （μ>0）的作用下，点P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2⎩个极坐标系2. 极坐标系的四个要素：①极点②极轴 ③长度单位④角度单位及它的方向3. 图示：4. 极坐标（1）极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点 M 的极角，记为θ.有序数对 (ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)（2）极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是 M(ρ，θ)，则点 M 的极坐标也可写成 M(ρ，θ＋2kπ)，(k ∈ Z )；若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系5. 极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y)，(ρ，θ) ⎧x = ρ cos θ （1）极坐标化直角坐标⎨ y = ρ sin θ⎧⎪ρ2＝x 2＋y 2，（2）直角坐标化极坐标⎨ y⎪⎩tan θ＝x （x ≠0）.三、简单曲线的极坐标方程1. 曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ， θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做曲线C 的极坐标方程2.圆的极坐标方程（1）特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0) ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r，0) ρ＝2rcosθ(π≤π)－2 θ<2圆心在点(r π)，2ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)圆心在点(r，π)ρ＝－2rcosπ≤3π)θ(2 θ< 2圆心在点(r 3π)，2ρ＝－2rsinθ(－π<θ≤0)（2）一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为r，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2－r2＝0 即r2=ρ2 +ρ2 - 2ρρcos(θ-θ)3.直线的极坐标方程（1）特殊情形如下表：0 0 0直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，且与极轴垂直π ρcos_θ＝a ⎛ －π<θ< ⎫⎪⎝ 2 2⎭过点⎛a，π⎫⎪，且与极轴平行⎝2⎭ρsin_θ＝a (0<θ<π)过点(a，0)倾斜角为αρsin(α－θ)＝asin α(0<θ<π)（2）一般情形，设直线l 过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为α，M(ρ，θ)为直线l 上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）1.柱坐标系（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．⎧x＝ρcos θ（2）空间点P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为⎨y＝ρsinθ．⎩z＝z2.球坐标系（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P 是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．⎧x＝rsin φcos θ（2）空间点P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为⎨y＝rsin φsinθ．⎩z＝rcos φ五、曲线的参数方程1.参数方程的概念（1）定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数⎧x＝f（t）t 的函数：⎨①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在⎩y＝g（t）这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程（2）参数的意义：参数是联系变数x，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数2.参数方程与普通方程的区别与联系（1）区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y 之间的关系，它含有⎧x＝f（t）x，y 两个变量；参数方程⎨ (t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y 之间的关⎩y＝g（t）系，它含有三个变量t，x，y，其中x 和y 都是参数t 的函数．（2）联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x，y 的值注：这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．六、圆的参数方程1.圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程，如图圆O 与x 轴正半轴交点M0(r，0)（1）设M(x，y)为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，⎧x＝rcos θ则以θ 为参数的圆O 的参数方程是⎨(θ 为参数)．⎩y＝rsin θ其中参数θ 的几何意义是OM0 绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度（2）设动点M 在圆上从M0 点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0 经过⎧x＝rcos ωt时间t 转过的角θ＝ωt，则以t 为参数的圆O 的参数方程为⎨(t 为参数)⎩y＝rsin ωt⎩ ⎩ ⎩2 2其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间2. 圆心为C(a ，b)，半径为 r 的圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为 r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为 r 的圆通过坐标 ⎧x ＝a ＋rcos θ，平移得到，所以其参数方程为⎨ ⎩y ＝b ＋rsin θ(θ 为参数)3. 参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化（2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程（3）普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如 x ＝f(t)，其⎧x ＝f （t ）次将x ＝f(t)代入普通方程解出 y ＝g(t)，则⎨ ⎩y ＝g （t ）(t 为参数)就是曲线的参数方程（4）在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致七、圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程x 2 y 2⎧x ＝acos φ （1）中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆a 2＋b 2＝1(a>b>0)的参数方程是⎨y ＝bsin φ(φ 是参数)，规定参数φ 的取值范围是[0，2π)y 2 x 2⎧x ＝bcos φ （2）中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆a 2＋b 2＝1(a>b>0)的参数方程是⎨y ＝asin φ(φ 是参数)，规定参数φ 的取值范围是[0，2π)（x －h ）2（y －k ）2（3）中心在(h ，k)的椭圆普通方程为 a 2 ＋ ⎧x ＝h ＋acos φ b 2 ＝1，则其参数方程为 ⎨ ⎩y ＝k ＋bsin φ(φ 是参数)2. 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程x 2 y 2⎧x ＝asec φ （1）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a 2－b 2＝1 的参数方程是⎨y ＝btan φ(φ 为参数)，规定参数φ 的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π， φ≠3π⎩ 0 0 0a y 2 x 2⎧x ＝btan φ （2）中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线a 2－b 2＝1 的参数方程是⎨y ＝asec φ(φ 为参数)3. 抛物线的参数方程⎧x ＝2pt 2（1）抛物线 y 2＝2px 的参数方程为⎨ ⎩y ＝2pt(t 为参数)（2）参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数八、直线的参数方程1. 直线的参数方程⎧x ＝x 0＋tcos α经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线 l 的参数方程为⎨ ⎩y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)2. 直线的参数方程中参数t 的几何意义（1）参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0 的距离（2）当M →M 与 e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M →M 与 e 反向时，t 取负数，当M 与M 0 重合时，t ＝0 3.直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点 ⎧x ＝x 0＋tcos αM 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α 的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎨ ⎩y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义b⎧x ＝x 0＋at 一般地，过点M (x ，y )，斜率k ＝ (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎨ ⎩y ＝y 0＋bt (t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义九、渐开线与摆线（了解）1. 渐开线的概念及参数方程（1）渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．（2）圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径⎧x＝r（cos φ＋φsin φ），为r，绳子外端M 的坐标为(x，y)，则有⎨⎩y＝r（sin φ－φcosφ）(φ 是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程2.摆线的概念及参数方程（1）摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线⎧x＝r（φ－sin φ），（2）半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为⎨⎩y＝r（1－cos φ）(φ 是参数)。

(完整word版)高中数学讲义-极坐标与参数方程

极坐标与参数方程、教学目标本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。

深刻理解参数方程所代表的数学思想一一换元思想。

二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。

在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。

由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。

三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义:x f(t) y f(t)组就叫做这条曲线的参数方程，联系 X 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下:1.过定点（x o , y o ）,倾角为a 的直线:其中参数t 是以定点P （x o , y o ）为起点，对应于t 点M （x , y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.1 .设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB = t;(tBtA ) 4t A tB在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x , y ）都在这条曲线上，那么方程x X o t cos y y o tsin（t 为参数）2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t B 22. 中心在（x o, y o）,半径等于r的圆:直线的参数方程和参数的几何意义（三）极坐标系度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点 M 用p 表示线段 OM的长度，0表示从 Ox 到OM 的角，p 叫做点 M 的极径，0叫做点 M 的极角，有序数对（p ,0）就叫做点M 的极坐标。

极坐标与参数方程

极坐标与参数方程极坐标和参数方程是解析几何中的两种常见的坐标系统。

它们在描述曲线、曲面和图形等数学问题中具有重要的应用。

本文将就极坐标和参数方程的定义、特点以及应用做详细介绍。

一、极坐标1.1 定义极坐标是用一个有序的有序对(r, θ)来表示平面上的点P。

其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与X轴正半轴的夹角。

极坐标可以看做是极径和极角的一种表示方式。

1.2 特点极坐标的主要特点在于其描述了点P与原点之间的极径和极角关系，而不是点的直角坐标。

极坐标有助于描述某些特殊的图形特征，如圆、扇形和螺旋线等。

1.3 转换关系极坐标与直角坐标之间存在一定的转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其转换为极坐标(r,θ)的关系如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、参数方程2.1 定义参数方程又称参数表示法，是用参数的形式描述平面上点的坐标。

对于平面上点P，可以使用一组参数t来表示其坐标(x,y)，即P(x(t),y(t))。

参数方程可以看做是x和y的函数表达。

2.2 特点参数方程的主要特点在于可以通过参数的变化来描述点的轨迹和运动规律。

参数方程常用于描述曲线、线段和曲面等几何形体，同时也在物理学和工程学中广泛应用。

2.3 转换关系直角坐标和参数方程之间也存在转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其对应的参数方程为：x = x(t)y = y(t)三、极坐标与参数方程的应用3.1 几何图形的描述极坐标和参数方程可以更直观地描述某些几何图形。

比如，圆的极坐标方程为(r,θ) = (a, θ)，其中a为半径；直线可用参数方程表示，利用参数t可以描述直线的起点、终点和运动方向。

3.2 物理学中的应用极坐标和参数方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，带电粒子在磁场中的运动可通过参数方程来描述；振动系统中的物体位置随时间的变化也可以通过参数方程来表示。

3.3 工程学中的应用工程学中常常需要处理复杂的曲线和曲面。

参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。

Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。

解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。

2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。

P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。

其中，t代表有向距离的几何意义。

需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。

直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。

只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。

因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。

例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。

高中数学极坐标和参数方程讲义

极坐标和参数方程讲义姓名：学号：一、极坐标与普通方程互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρθ的象限由点(x,y)所在的象限确定.【典型范例】例题1. 点M 的极坐标分别是(2,)2π，(4,)π，2(6,)3π，3(2,)4π 换算成直角坐标是3. 点M 的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)-，(2,2)--，(如果0,02ρθπ≥≤<换算成极坐标是例题2．在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．变式1.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22cosC.ρθ=22sinD.ρθ=-22sin变式2．(广东文)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.变式3. (广州一模)在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．例题3．( 广东文)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，6π)到直线l 的距离为．变式1.(韶关调研理) 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是变式2.（深圳一模理）在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是．二、常见的参数方程的概念：圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数θθθ⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）。

高等数学课件：极坐标参数方程

∵ 0 表示极点，而曲线 2acos 通过极点， ∴ 2acos 即为所求.
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程：解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法： 0 时，则在角的终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯一点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1．圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint

(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

第2讲参数方程与极坐标

第2讲参数方程与极坐标参数方程与极坐标是数学中用来描述曲线的两种不同的方式。

它们在平面几何、计算机图形学和物理学等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍参数方程和极坐标，并比较它们的优缺点。

参数方程是一种使用参数来表示曲线上的每个点的方法。

通常情况下，参数方程用(t,f(t))的形式表示。

其中t是参数，f(t)是x坐标和y坐标的函数。

通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的点的不同位置。

参数方程的优点之一是它能够描述复杂的曲线。

相比于直角坐标系中的方程形式，参数方程可以更方便地描述曲线的形状和特征。

例如，对于一个圆，它的参数方程可以写成x=r*cos(t)，y=r*sin(t)，其中r是半径，t的取值范围是[0, 2π]。

通过改变参数t的取值，可以得到圆上的所有点。

参数方程的另一个优点是它能够描述曲线上的每个点的运动轨迹。

例如，对于一个抛物线，它的参数方程可以写成x=t，y=t^2，其中t的取值范围是实数集。

通过改变参数t的取值，可以得到抛物线上的所有点的位置。

然而，参数方程也有一些局限性。

首先，它只适用于平面曲线，无法描述空间曲线。

其次，尽管参数方程可以用来描述复杂曲线，但对于一些简单的曲线，参数方程可能会比直角坐标系下的方程形式更加复杂。

极坐标是一种使用极径和极角来表示平面上的每个点的方法。

极径是点到原点的距离，极角是点的极坐标与x轴正方向之间的夹角。

通常情况下，极坐标用(r,θ)的形式表示。

极坐标的优点之一是它能够更方便地描述对称性。

对于一个圆，它的极坐标方程可以写成r=a，其中a是常数，θ的取值范围是[0,2π]。

通过改变极角θ的取值，可以得到圆上的所有点。

极坐标的另一个优点是它能够更方便地描述旋转。

对于一个正多边形，它的极坐标方程可以写成r=a，其中a是常数，θ的取值范围是[0,2π/n]，n是多边形的边数。

通过改变极角θ的取值，可以得到多边形绕原点旋转的轨迹。

然而，极坐标也有一些局限性。

(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识点

极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)．注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

极坐标和参数方程

极坐标和参数方程1. 极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用距离和角度来确定点的位置。

与直角坐标系不同，极坐标系统以原点为中心，用一个非负数表示点到原点的距离，用一个角度表示点与正半轴的夹角。

1.1 极坐标的表示方式在极坐标中，一个点可以由两个值来表示：极径（r）和极角（θ）。

其中，极径是指从原点到点的直线距离，而极角是指从正半轴逆时针旋转到该直线所需要的角度。

通常情况下，我们将极径和极角用圆括号括起来，并以逗号分隔。

例如，(r, θ) 表示一个位于距离原点 r 的位置上，并与正半轴夹角为θ 的点。

1.2 极坐标与直角坐标之间的转换关系在直角坐标系中，我们使用 x 和 y 坐标来确定一个点的位置。

而在极坐标系中，我们使用 r 和θ 来确定一个点的位置。

两种坐标系之间存在着一定的转换关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos 和 sin 分别代表余弦和正弦函数。

2. 参数方程参数方程也是一种描述平面上点位置的方法，它使用一个参数来表示点的位置。

与直角坐标系和极坐标系不同，参数方程使用一个或多个参数来确定点的位置。

2.1 参数方程的表示方式在参数方程中，一个点的 x 坐标和 y 坐标分别用一个或多个参数来表示。

常见的参数有 t 和θ。

例如，对于一条曲线 C，我们可以用下面的参数方程来描述：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于 t 的函数。

通过给定不同的 t 值，我们可以得到曲线上不同位置的点。

2.2 参数方程与直角坐标之间的转换关系与极坐标类似，参数方程也可以与直角坐标系进行转换。

假设我们已知一个点在直角坐标系中的坐标 (x, y)，我们可以将其转换为参数方程：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) = xg(t) = y反过来，如果已知一个曲线 C 的参数方程为：x = f(t)y = g(t)我们可以将其转换为直角坐标系中的表示：x = f(t)y = g(t)3. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理中有着广泛的应用。

高三理科全参数方程和极坐标讲义

教育学科教师辅导讲义学员学校：年级：高三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题参数方程和极坐标授课日期及时段2016年4月16日教学目标1、掌握极坐标、参数方程和标准方程的互换原则和方法；2、注重方程和函数及其图像之间的联系，能灵活运用相应知识点求解问题。

重点、难点● 重点：极坐标、参数方程与标准方程的互换；● 难点：极坐标、参数方程与标准方程的互换。

教学内容参数方程和极坐标系一、知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与知识分析例一、（1）直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心（2）在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（）典例分析2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。

3、求椭圆14922=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。

极坐标与参数方程知识讲解

极坐标与参数方程知识讲解参数方程和极坐标系（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（X o ，y o ），倾角为a 的直线：其中参数t 是以定点P （x o ，y o ）为起点，对应于t 点M （x, y ）为终点的有向线段PM 的数量, 又称为点P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 |AB = |t^t A= J （tBYA ）' -4t A t B .2. 中心在（x o , y o ），半径等于r 的圆:知识要点X=X 0tcos ：y = y 0（t 为参数）（2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t Bx =X Q r COST y = y 0 rsin3 •中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：沃 •为参数）（或）1y 二 bs iny = asi nr 丿中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程x]xo：cos[ X-为参数）y = y 0 +bsi na.焦点在x 轴（或y 轴）上的2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③ 长度单位；④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 —对应惟一点P （，），但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，PC'，）（极点除外）的全部坐标为C',r + 2k ：J 或（（2k l ）：）,（k Z ）.极点的极径为0,而极角任意取.若5. 线：顶点在原点，焦点在X 轴正半轴上的抛物x =2pt 2y = 2pt （t 为参数， 4. 双曲线:（A 为参数）（或（二为参数）中心在原点，P> 0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （X o, y°）,倾斜角为a的直线的参数方程是其阳瞌；（t为参数）.J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

极坐标与参数方程讲义(教师版)

极坐标与参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 3.常见圆与直线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆）（πθθρ≤≤=0sin 2r 过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。

高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对 , 确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的
距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常： 0, 0, 2
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极
轴与 x 轴重合，则同一个点可具备极坐标 , 和直角坐标 x, y ，那么两种坐标间的转化公
l : x y a 0 与圆 x 12 y 2 2 5 相交于 A, B ，且 AB 2 3 ，利用圆与直线关系
1 2 a
可求得圆心到直线距离 d
2 即 a 3 2 ，解得 a 5 或 a 1
2
答案： a 5 或 a 1 例 6：以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
，则
OCP
的面积为___________
思路一：将 C 转变为直角坐标系方程：
4sin
3
2 sin
2
3 cos 2 2 sin 2
3 cos
x2 y2 2 3x 2y x
3
2
y 12 4 ，所以 C
3,1 ，再求出 P 的直角坐标
为
2,2 3
，则
SOCP
1 t2
2
可得：
x2
y
2
（3）平方消参：利用 sin2 cos2 1 消去参数
x 3cos
例如：
y
2 sin
x
3 y
2
cos sin
x2 9
y2 4
1
3、常见图形的参数方程：
（1）圆： x
a 2
y
b 2
r
2
的参数方程为：

第十章极坐标和参数方程第二节参数方程

为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.
二、参数方程的作图
在所给曲线的参数方程
x = x t
y
=
y
t
，a t b
中, 先给参数t以某些可能取的值,求出x和y的对应值,这样就
确定了曲线上的点,将这些点连成光滑的曲线,就是参数方程
的图像.
0t
cos
, 纵坐标为0t
sin
1 2
gt
2
,因此我们就以方程组
:
x
0t
cos
y
0 t
sin
1 2
gt 2
，0 t t1
y
v0t sin
T •
v0t
M x, y
•
O
Q
x
v0t cos
图10-17 炮弹运动规律的轨迹
来表示炮弹运动的轨迹方程,其中 g是重力加速度g=9.8m/s2 ,t1
下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.
(1)直角坐标参数方程如图10-22所示,设基圆的圆心为O, 半径为 r, 绳子全部绕在圆圈上时,端点为 A. 取 O 为原点, 过 OA 的直线为 x 轴,建立直角坐标系.
设M x, y是渐开线上任意一点, BM 是切线,连接 OB,取
0来表示炮弹运动的轨迹方程是比较困难的.但是我们知道, 炮弹
运动的轨迹是由炮弹在各个时刻的位置所决定的.下面就来分析
炮弹在任意位置的坐标x和y分别与时刻t之间的关系.如果不考
虑地心引力,则经过时刻t,炮弹运动到T ,于是OT =0t.但事实上,
炮弹受地心引力的影响,不在点T而在点M .由于点M的横坐标为