理论力学哈工大版刚体的平面运动
《哈工大理论力学》PPT课件_OK
逆时针为正 顺时针为负
7
理论力学
7
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度 定义
limΔ
Δt 0 Δt
若已知转动方程
f (t)
d
代数量
dt
f (t) 单位 rad/s
8
理论力学
8
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +
角加 速度
lim d
d2
t 0 t dt dt2
f单位(:rt)ad/s2 (代数量)
Z1
2 2
O2
R1
R2
v1 v2
at1 at2
适合链条传动
25
理论力学
25
i12
主动轮转速 从动轮转速
n1 n2
1 R2 Z2 2 R1 Z 1
显然当: i12 1 时, 2 i12 1 时, 2
1 ，为加速转动； 1 ，为减速转动。
大轮（主动轮）带动小轮（从动轮）
加速
小轮（主动轮）带动大轮（从动轮）
30
30
主轴转两圈
2 2π rad=4π rad
主轴转动两圈后停止
0
2
2 0
2
0
102π
2 4π
100π2 8π
rad
s2
39.27rad s2
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
11
理论力学
11
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、角速度 与v 的关系
刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴
19
理论力学
19
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有 aCt aA 1m/s2
理论力学(哈工大版)第九章：刚体的平面运动
第五章 刚体的平面运动5-1 刚体的平面运动方程一．平面运动的定义二．平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动．三、平面运动分解为平动和转动1.平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．平面运动方程)(1t f x A = )(2t f y A = )(3t f =ϕ2．平面运动分解为平动和转动刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．3.刚体平面运动的角速度和角加速度平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的ε ,ω都是相同的）5-2 平面图形内各点的速度一．基点法（合成法）BA A B v v v +=平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和二．速度投影法（自：就是基点法的变式） 速度投影定理：[][]AB A AB B v v =平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）1. 问题的提出2．速度瞬心的概念即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．３．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度A v 和图形角速度ω，可以确定速度瞬心的位置．（P 点）②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点P 为速度瞬心．③已知某瞬间平面图形上A ,B 两点速度B A v v ,的方向，且B A v v 不平行过A , B 两点分别作速度B A v v ,的垂线,交点P 即为该瞬间的速度瞬心.④ 已知某瞬时图形上A ,B 两点速度B A v v ,大小,且AB v AB v B A ⊥⊥ ,⑤已知某瞬时图形上A ,B 两点的速度方向相同，且不与AB 连线垂直．瞬时平动注意：瞬时平动与平动不同瞬时平动构件上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
理论力学(哈工大)考试选填判断简答重点内容
1、二力杆：只在两个力作用下平衡的构件。
2、静力学公理：1）平行（力的平行四边形法则）：作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用于该点，合力的大小和方向，由这两个力构成的平行四边形的对角线确定。
刚体或者变形体都适用。
2）平衡（二力平衡公理）：作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
只适用于刚体。
3）加减（加减平衡力系公理）：在作用于刚体上的任意力系中，加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
只适用于刚体。
（1）可传（力的可传性原理）：作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体上的任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
（2）三交汇（三力平衡交汇定理）：作用于刚体上三个相互平衡的力，其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在平面上，且第三个力的作用线也通过该汇交点。
4）相互（作用与反作用定律）：作用力和反作用力总是同时存在，大小相等、方向相反，沿同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
对刚体或变形体都适用。
5）刚化（刚化原理）：变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。
3、自由体和非自由体：运动不受限制的物体称为自由体；运动受到限制的物体称为非自由体。
4、两力相等和两个力等效不是一回事，力相等（大小、方向、作用点），力等效（根据力的可传递性原理，作用点可不一样，教材第7页；一个合力可以与力系等效，但合力不等于力系）。
平衡力系：物体处于平衡状态时，作用于物体上的力系。
等效力系：如果作用于物体上的力系可以用另一个力系代替，二不改变物体的原有状态。
5、约束反力，存在于相互接触之处，与约束所能限制的位移方向相反。
光滑铰链约束特点：构件只能绕销钉的轴线转动，而不能相对移动。
6、各种约束的约束特点：柔性约束：方向沿着绳索中心线而背离物体。
光滑面约束：约束反力作用在接触点，沿接触面的公法线指向被约束物体。
理论力学精品课程第十章刚体的平面运动
△
O1
O
O2
A
B
C
D
0
aC
aB
（5）取B点为基点，研究A点
(6) 取 A 为动点，OD 动系
ar
O1
O
O2
A
B
C
D
0
aC
aB
ar
x
在 Ax 轴投影得:
OD
综—3
vA
A
B
D
C
已知：vA=0.2m/s, aA = 0, AB=0.4m
求：当 AC=CB, =30 时杆 CD 的速度、加速度 .
相对于平移系的速度vMA－ 相对速度 ，自A点起线性分布。
A
vA
vA
N
vCA
因此 C 点的绝对速度 v C ＝0。 C 点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。
令
C
vA vA C 唯一性－某一瞬时只有一个速度瞬心； 瞬时转动特性－平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动.
解: (1) AB 杆瞬心为 P 点
vA A vCe AB
01
取 CD杆上C 为动点，AB杆为动系
B
02
vB
vCr
03
vCa
C
04
D
P
vA
A
B
D
C
(2) 取 A为基点，研究B点
AB
aB
vA
A
B
D
C
AB
(3) 取 A为基点，研究杆上C点
(4) 取 CD杆上C 为动点，AB杆为动系
E
O2C
C
O2 vB vC △
O1
哈工大版理论力学复习题
理论力学复习题一、是非题1. 若一平面力系向A，B两点简化的结果相同，则其主矢为零主矩必定不为零。
2. 首尾相接构成一封闭力多边形的平面力系是平衡力系。
3. 力系的主矢和主矩都与简化中心的位置有关。
4. 当力系简化为合力偶时，主矩与简化中心的位置无关5.平面一般力系平衡的充要条件是力系的合力为零。
二、选择题1.将平面力系向平面内任意两点简化，所得的主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则该力系简化的最后结果为------。
①一个力②一个力偶③平衡2.关于平面力系的主矢和主矩，以下表述中正确的是①主矢的大小、方向与简化中心无关②主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关③当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化结果为一合力④当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任一点简化的结果均不可能为一合力3.下列表述中正确的是①任何平面力系都具有三个独立的平衡方程式②任何平面力系只能列出三个平衡方程式③在平面力系的平衡方程式的基本形式中，两个投影轴必须相互垂直④平面力系如果平衡，该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零4. 图示的四个平面平衡结构中,属于静定结构的是三、填空1. 图示桁架。
已知力1p 、 和长度a 。
则杆1内力=_________； 杆2内力=_________； 杆3内力=_________。
2. 矩为M =10k N .m 的力偶作用在图示结构上。
若 a =1m ，不计各杆自重，则支座D 的约束力=_________，图示方向。
3. 一平面汇交力系的汇交点为A ，B为力系平面内的另一点，且满足方程。
若此力系不平衡，则力系简化为_________。
4.若一平面平行力系中的力与Y 轴不垂直，且满足方程0y F =∑。
若此力系不平衡，则力系简化为_________。
答案：一、1、×2、×3、×4、√5、×二、1、② 2、① 3、④ 4、③三、1、0、P 1、0 2、=10KN(--)（提示：先从CB 及绳处断开，以右部分为研究对象，以B 为矩心，列力矩方程，则D 处竖直方向力为零，再以整体为研究对象以A 为矩心，列力矩方程可求出D 处）3.过A 、B 两点的一个力4、一个力偶第三章 练习题一、是非题1.力对点之矩是定位矢量，力对轴之矩是代数量。
《理论力学》第八章 刚体平面运动
平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
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以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
哈工大理论力学课件第七章 - 222
M gO M gz J z
当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定 轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面交点简化时，得位 于此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量 与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用 线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与 角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。
不论刚体作何种运动,其惯性力系的主矢大小均等于刚体的 质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 刚体平动时，惯性力系对质心的主矩为零； 刚体定轴转动时，惯性力系对转轴上一点O的主矩由其三 个分量确定； 刚体平面运动时，惯性力系对质心C的主矩大小等于对通 过质心C且垂直于质量对称面的转动惯量与角加速度的乘积， 其转向与角加速度的转向相反。 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
rC
矩向点O简化： gO MO (Fig ) ri (mi aC ) ( M
m r ) a
i i
C
mrC aC
向质心C简化：
M gC 0
质心到简化中心O的矢径。
FgR
刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等 于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。
——动反力
§7-3
绕定轴转动刚体的轴承动反力
一、刚体的轴承动反力
刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢FR , 主矩MO， 惯性力系向O点简化: 主矢FgR , 主矩MgO。
轴承A处全反力： 轴承B处全反力： FAx，FAy FBx，FBy， FBz
根据动静法，列平衡方程: FAx FBx FRx Fgx 0 Fx 0 FAy FBy FRy Fgy 0 Fy 0
理论力学1哈工大版
10
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是
车轮的平面运动
刚体的平面运动可以分 解为随基点的平移（牵 连运动）和绕基点的转 动（相对运动）。
车轮随基点A的平移
车轮绕基点A'的转动
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11
再例如: 平面图形S在t 时间内从位置I运动到位置II
Ⅰ
B
Ⅱ
B
B
j1 j2
A
A
A
①以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转j1角到A'B'； ②以B为基点: 随基点B平移到B' A'' 后, 绕基点转j2角到B' A'。
AB
vB
j
AB
vBA l
vA
l sinj
转向如图所示。
vA
A
若以B为基点，分析A点的速度 vA vB vAB
vAB
得到相同的结果。注意公式的
写法和速度矢量图不能画在基点。
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17
解：由速度投影定理得 [vB ]AB [vA ]AB
vA B vA cot j
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2
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3
内 内燃机的运动过程 燃 机 的 运 动 过 程
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4
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因 此，AB 杆的运动既不是平移也不是定 轴转动，而是平面运动。
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三种运动都
例如 车轮的运动
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-刚体的平面运动(圣才出品)
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又 atBA⊥AB
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所以当 w＝0 时，平面图形上两点的加速度在此两点的连线上投影相等。
8-8 如图 8-7 所示各平面图形均作平面运动，问图示各种运动状态是否可能？
图 a 中，aA 与 aB 平行，且 aA＝－aB。
图 b 中，aA 与 aB 都与 A，B 连线垂直，且 aA，aB 反向。
图 c 中，aA 沿 AB 连线，aB 与 AB 连线垂直。
图 d 中，aA，aB 都沿 A，B 连线，且 aB>aA。
图 e 中，aA，aB 都沿 A，B 连线，且 aA>a8B。
图 f 中，aA 沿 A，B 连线方向。
图 g 中，aA，aB 都与 AC 连线垂直，且 aB>aA。
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则 atc＝ao·cosβ－at∞＝0 车轮角加速度 由此可以求出速度瞬心，C 的加速度大小和方向。
图 8-5
图 8-6
8-7 试证：当 w＝0 时，平面图形上两点的速度在此两点连线上的投影相等。 答：令两点为 A、B，如图 8-6 所示，由加速度的合成公式 aB＝aA+atBA+anBA 当 w＝0 时 anBA＝AB·w2＝0 则 aB＝aA+atBA
图 h 中，AB 上 AC，aA 沿 AB 线，aB 在 AB 线上的投影与 aA 相等。
图 i 中，aA 与 aB 平行且相等，即 aA＝aB。
图 j 中，aA，aB 都与 AB 垂直，且 vA，VB 在 AB 连线上的投影相等。
图 k 中，vA 与 vB 平行且相等，aB 与 AB 垂直，aA 与 vA 共线。
理论力学(1)哈工大版第八章
vB vA2 vB2A 2vA 2(r1 r2 )O
以A为基点，分析点C的速度。
vC vA vCA
vCA CAII (r1 r2 )O vA
vCA与vA方向一致且相等，点C的速度
vC vC vA 2(r1 r2 )O
四个可以运动的构件。其中 Ⅰ作定轴转动，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
①
均作平面运动。
C
设Ⅰ顺时钟转动，则运动如 O
A
B
图示。注意Ⅲ速度投影定理
可知B的速度方位铅直。
C1为Ⅱ的瞬心vD
E
D
Ⅱ
Ⅰ
vE vB Ⅳ
C
O
Ⅲ
A
C2为 B
C为Ⅳ的瞬心
vA Ⅲ的瞬心
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31
C
A
①
O
B
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C1为瞬心
vC
C
C2为瞬心
x
是平行移动和转动的合成运动。
三种运动都
例如 车轮的运动
是刚体运动
车轮对于定系的平面运动
（绝对运动）
动系Ax y 相对定系的平行移动 （牵连运动）
车轮相对动系Ax y 的定轴转动 （相对运动）
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9
刚体平面运动合成：车轮对定系的平面运动可由 相对于动系的转动和动系对定系的平移组合而成。
二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任
意两点速度间的关系。由于恒有 vBA AB ，因此将上式在
AB上投影，有
vB
哈尔滨工业大学理论力学第八章
3、速度瞬心的确定方法
(1)无滑动的滚动 瞬心：接触点
每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。 (2)已知：vA,vB 的方向，且vA不平行于 vB 。 瞬心：速度垂线交点
(3)已知：vA，vB 的方向，且vA平行于 vB 。
(a) 同向
(b) 反向
C
瞬心：速度矢量末端连线与AB交点
(a)
解: 1、A 点速度由系杆转动求得
vA O OA O (r1 r2 )
2、轮Ⅱ作平面运动 基点：A
基点A的速度已求出，但轮Ⅱ作平面 运动的角速度未知，待求。
3、vD vA vDA 0
(接触处滚而不滑)
vDA vA O (r1 r2 )
Ⅱ
vDA DA
解：1 、 BD作平面运动 基点：B
2、 vD vB vDB
大小 ？ l ?
方向
vD vDB vB l
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
vB l
5rad
s
已知：AB BD DE l 300mm, BD // AE, AB 5rad s。 求：DE，vC
2、平面图形内各点的速度分布
基点：选取速度为零的点C 为基点
vA vC vAC CA vB vBC CB vD vDC CD
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心 转动的速度。
与图形绕定轴转动时的速度分布情况类似。图(b)
每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。 若已知某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，则在该瞬时， 任一点的速度都可以完全确定。
理论力学刚体的平面运动
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理，可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理，将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意
线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时，平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 ， A1A2 作平动，其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动， 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
[vB ]AB [v A ]AB
（9-3）
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)章节题库-刚体的平面运动(圣才出品)
第8章刚体的平面运动一、选择题1．图8-1所示平面图形上A、B两点的加速度与其连线垂直且ɑA≠ɑB，则此瞬时平面图形的角速度ω、角加速度α应该是（）。
A．ω≠0，α＝0B．ω＝0，α≠0C．ω＝0，α＝0D．ω≠0，α≠0图8-1【答案】B2．图8-2所示各平面图形的速度分布为：（a）v A＝－v B，v A不垂直AB，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的不垂直AB，，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的图8-2【答案】B；B3．在图8-3所示机构中，则ω1（）ω2。
A．＝B．＞C．＜图8-3【答案】C4．在图8-4所示机构的几种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心为：（a）（）；（b）（）；（c）（）；（d）（）。
A．无穷远处B．B点C．A、B两点速度垂线的交点D．A点E．C点图8-4【答案】D；B；A；C5．已知图8-5所示平面图形上B点的速度v B，若以A为基点，并欲使是B点相对于A点的速度，则A点的速度v A（）。
A．与AB垂直B．沿AB方向，且由A指向BC．沿AB方向，且由B指向AD．与AB成φ角图8-5【答案】B二、填空题1．边长为L的等边三角形板在其自身平面内运动，已知B点的速度大小为，方向沿CB，A点的速度沿AC方向。
如图8-6所示，则此时三角板的角速度大小为______；C点的速度大小为______。
图8-6【答案】2．已知作平面运动的平面图形上A点的速度v A，方向如图8-7所示。
则B点所有可能速度中最小速度的大小为______，方向______。
【答案】；沿AB方向图8-73．已知作平面运动的平面图形（未画出）上某瞬时A点的速度大小为v A，方向如图8-8所示，B点的速度方位沿mn，AB＝l，则该瞬时刚体的角速度ω为______,转向为______。
【答案】；顺时针图8-8三、判断题1．作平面运动的平面图形上（瞬时平移除外），每一瞬时都存在一个速度瞬心。
（）【答案】对2．研究平面运动图形上各点的速度和加速度时，基点只能是该图形上或其延展面上的点，而不能是其他图形（刚体）上的点。
理论力学哈工大第八版答案
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理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
哈尔滨工业大学理论力学第七版 第8章 刚体的平面运动
B
C
BC vB vA AC v A cot vA vA AC l sin
O
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r , AB 求：当 600 时，点B的速度 解： AB作平面运动， 作出速度瞬心C
3r
C
vA AC vB BC
连线上的投影相等。
vA
同一平面图形上任意两点的速度在这两点
已知：vA，AB= l ， 求：B端的速度以及AB的角速度
解： AB作平面运动
vB AB vA AB vB cos( )
v A cos 2
由速度投影定理
2
vB
y
B
O A x
vB vA cot
y''
A
O
x'' y'
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x'
（1）平面运动可取任意基点而分解为平移和转动； （2）平移的速度和加速度与基点的选择有关； （3）平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基 点的选择无关。
§8-2 求平面图形内各点速度 的基点法
动点：M 动系： O'x'y'z' (平移坐标系)
vMO'
vM
解： AB作平面运动
vB vA vBA
vB
y
vBA
B
vB vA cot vA vA vBA sin vBA vA O AB l sin
A x
vA
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第五章刚体的平面运动
5-1刚体的平面运动方程
一. 平面运动的定义
二. 平面运动的简化
刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动.
三. 平面运动分解为平动和转动
1.平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置.
平面运动方程£=/；(/) = f2(f) <p =
2.平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动.
刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动.
3.刚体平面运动的角速度和角加速度
平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的e，炉都是相同的)
5-2平面图形内各点的速度
一. 基点法(合成法)
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和
二. 速度投影法（自：就是基点法的变式）
速度投影定理：囤L厂ML
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等
三. 瞬时速度中心法（速度瞬心法）
1.问题的提出
2.速度瞬心的概念
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的
瞬时速度中心，简称速度瞬心.
3.儿种确定速度瞬心位置的方法
①已知图形上一点的速度乙和图形角速度炉,可以确定速度瞬心的位置•（尸点）
②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动，则图形与固定面的接触点尸为速度瞬心.
③已知某瞬间平面图形上4方两点速度打，召的方向，且不平行⑰HA ,歹两点分别作速度叮，召的垂线，交点尸即为该瞬间的速度瞬心.
④己知某瞬时图形上力，尸两点速度巧J R大小,且乙丄A3,為丄
⑤已知某瞬时图形上4方两点的速度方向相同，且不与肋连线垂直.K
时平动
注意：瞬时平动与平动不同
瞬时平动构件上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。
4.速度瞬心法
5.注意的问题
1、速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。
在任一瞬时是唯一存在的。
2、速度瞬心处的速度为零，加速度不一定为零。
不同于定轴转动
3、刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。
不同于刚体作平动。
5-3平面图形内各点的加速度
一. 基点法（合成法）
碍其中：方向'AB,指向与e一致；仏"=佔心，方向沿肋，指向/点。
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的欠量和。
二. 加速度瞬心（自：可以不掌握）
注：1、一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点.
2、一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式.即一般情况下，图形上任意两点4方的加速度
由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度.
5-4 机构运动分析
分析机构运动时，先应分析各构件作什么运动，计算各联结点速度和加速度，再计算待求未知量。
一、分析某点运动：1、建立点的运动方程求点的速度和加速度；
2、确定刚体的运动与其上一点的运动关系，用点的合成运动
或刚体平面运动理论分析相关的两个点在某瞬时的速度和
加速度。
二、分析同一平面运动刚体上两个点之间的速度和加速度：可用刚体平面运动理论
1、当两个刚体接触而乂有相对滑动时，应用点的合成运动理论分析此二刚体上相重合点的速度和加速度；
2、复杂机构中，可以同时有点的合成运动和刚体平面运动问题，可分别分析，综合运用点的合成运动和刚体平面运动理论求解。
刚体平面运动习题课
一.概念与内容
1.刚体平面运动的定义
刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变.
2.刚体平面运动的简化
可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动.
3.刚体平面运动的分解
分解为：a.随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）
b.绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）
4.基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点。
5.瞬心（速度瞬心）
a.任一瞬时，平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点
b.瞬心位置随时间改变.
c.每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动.这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同.
=0,瞬心位于无穷远处，各点速度相同，刚体作瞬时平动，瞬时平动与平动不同.
6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例.
7.求平面图形上任一点速度的方法
基点法：v B = v A + %、, A为基点
速度投影法:kL=[v A L
速度瞬心法：V B =BP CO3B丄BP占血一致.P为瞬心
其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例.
8.求平面图形上一点加速度的方法
基点法：a B = ci A+a HA'' ,力为基点，是最常用的方法.此外，当w =0,
瞬时平动时也可采用方法[^L=k t L，它是基点法在炉=o时的特例。
9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件
平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系.
合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递.
二.解题步骤和要点
1、根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式.注意每一次的研究对象只是一个刚体.
2、对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度（图形角速度）问题的方法，用基点法求加速度（图形角加速度）
3、作速度分析和加速度分析,求出待求量.
（基点法：恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度欠量图；速度投影
法：不能求出图形炉；速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键.）。