利息理论第四章课后答案解析

1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足
2000元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。

计算第5次偿还款后的贷款余额。

解：550.125.10000 1.1220004917.7r
B S =⨯-=
2. 甲借款X ，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的
利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X 。

解：10100.08
10(1.081)(
)468.05,700.14x
x x x a ---== 3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。

若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：
000004
04
1044
4
104
4
10(1)15001200,16514.37
4150016514.37
r
B L S L a
=+-==+= 或L=12000v
4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i ，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X ，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i ，则该借款人每年需支出额为1.5X ，计算i 。

解：100.0810000(10000)x i S =-
00100.08 6.9i ⇒=10000=(1.5x-20000i)S
5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解：7
2
715105521000(2+)(1)1000[4(1)3]r
B a a a i S i S =++-++过去法：
71510572=1000（2a +a +a ）(1+i)-1000(4S -S )
373583300020001000(2)r
a a V a a =+=+未来法：B
6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若t t+1t+2t+3B B B B ，，，为4个连续期间末的贷款余额，证明：
（1）2
t t+1t+2t+3t+1t+2B -B B -B =B -B （）（）（）
（2）t t+3
t+1t+2B +B
B +B
解：123123t t t t n t n t n t n t B pa +++-------= B =pa B =pa B =pa （1）2123123()()()()t t t t n t n t n t n t B B B B p a a a a +++---------=-- 2
1
311n t n t p V a V a ----=或 22
21=()n t V
a --或p
2
12=t t ++或（B -B ）
（2）1
321231n t n t t t t t B B B B V
V V ----+++-<-⇔<⇔< 7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足()4
1+i =1.5。

计算40次后的贷款余额。

解：0,i 设月利率为
1
12
4
0000⇒（1+i ）=1+i=(1.5)i =0.8483
120=o
i ⋅⇒100000p a p=1331.471
4080p i ⋅B =p a =77103.8
8.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。

在进行完第12次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。

解：12%14%
3%, 3.5%44
i j =
===
()3%12
12122311513%100018760r
B S =+-=
()1224
12187601100013752r j B
j S =+-=
9.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。

解：设k 年时最接近，k 年前贷款余额为1n k a -+
利息i 1n k a -+=1
1n k v -+-，本金：1—（1—1
n k v
-+）
令1—1
n k v
-+=1—（1—1
n k v -+），得1—1
n k v
-+=
1
2
201
1
132
k v
k -+⇒=
⇒≈ 10.张某借款1000元，年利率为i ，计划在第6年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。

在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。

解：6
12
6100010001366.870.564447v v
v =+⇒=
()()9
3
10001100011026.96i i +-+=
11.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。

解：还款本金：1
n k Rv
-+
第3次还款中的本金部分：20-31
3p ==100R=155.96Rv
+⇒
则最后5次还款中的本金部分：()
2345155.96724.59v v v v v ++++=
12某借款人每年末还款额为1，为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为13
1v - 解：第7次还款的额外部分为2081
131v
v -+=，以后按原来进行偿还，即每次
还款按原计划进行，每次还1，到第20次还款时，已经不需要偿还1，设 需偿还X ()13720
2020
,=10a
a v v X v X =+-⇒= 则最后一次不要还了，有13
19v +，原利息为20 那么节省的利息为13
1v -
13.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还款一次，第8次还款中的利息部分135元，第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。

解：()
281135R v -=且()
141108R v -=
141351108
v ∴+=
即7
0.5v = 则()
7172R v -=
14.L 、N 两笔贷款额相等，分30年偿还，年利率为4%，L 贷款每次还款额相等，N 贷款的30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息，L 贷款的偿还款首次超过N 贷款偿还款的时间为t ，计算t 。

解：设贷款额为w ，p 为N 贷款中每次还款的本金部分。

()30130
w p w p =⇒=
L 贷款每次偿还额都相等，为
30i
w a
30i
w a ＞()()12p i w t p +--⎡⎤⎣⎦
由（1）（2）得：t=12.67≈13
15.某项贷款为125000元，期限为30年，每月末分期偿还，每次偿还额比前一次偿还额多0.2%，第一次偿还额为P ，年利率为5%，计算P . 解：()()359
2
360125000=p +p 1+0.2%+
10.2%p υυυ+
()()1
121121,115%1j i j
υ==+=++
则p=493.85
16.某贷款为期五年，每半年末还款额为1。

每年计息2次的年名义利率为i ，计算第8次还款中的本金部分。

解：110813831
12n k P v v v i -+-+====
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
17.甲借款人每年末还款3000元。

若第三次还款中的利息部分为2000元，每年计息4次的年名义利率为10%，计算第6次还款中的本金部分。

解;()
31300012000n v -+-= 2
13
n v -∴= 第6次还款中的本金部分为 25
3
3000300013404.888n n v v
v --==
18.某投资人购买一种确定年金，每季末可得500元，共10年，年利率为8%，计算该投资人的利息收入。

解：设每季度利率为i
()
4
1 1.08i += 1+ 1.01943i ∴=
40i a 40500405006186.14i a ⨯-=
19.甲购买住宅，价值10万元，分期按月付款，为期30年，首次付款发生在购房第一月末，年利率为5%,10年后。

每次付款额增加325.40元。

以便较快还完购房款，计算整个还款期间的利息支出。

解：设每月利率为i.
()12
1 1.051 1.004i i +=∴+=
360100000530.005i pa p =⇒=
()()120
1201000001325.4i t i pS p a +-=+
120t ≈
20.乙贷款利率每年为5%，每年末还款一次，共10年，首期还款为200元，以后每期比前期增加10元，计算第5此还款中的利息部分。

解;()109200101860.86L a Ia v =+=
()()()4
4431200101337.84r B L i S IS =+-+=
545%1337.8466.89r I iB ==⨯=
21.某贷款分10年偿还，首年末偿还额为当年贷款利息P ,第2年末偿还额为2P ,第3年末偿还额为3P ,以此类推,贷款利率为i 证明:10Ia a ∞
=
证明：()10L p Ia iL p =⇒=
()()10101
p ip Ia Ia a i
∞⇒=⇒==
22.某贷款分10期偿还，首期偿还为10，第二期为9，依此类推，第10次还款为1，证明第6次还款中的利息部分：5-5a 。

解L=10Da （）， p
55
B =Da （） p
655
5I =iB =i Da =5-a （） 23.甲借款2000元，年利率10%，每年末还款一次，首次还款额为400元，以后每次还款额为400元，以后每次比上次多4%，最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还，计算
（1）第三年末的贷款余额（还款后）； （2）第三次还款中的本金部分。

解：（1）32
220001+10%-4001+10%+1+4%1+10%+1+4%)⎡⎤⎣⎦（）（）（）（）（=1287.76
（2）[]2
22000(110%-4001+10%+1+4%=1564r
B =+）（）（）
（3）r
32I =i =156410%=156.4B ⨯
2333P =R -I =40014%)156.4276.24⨯
+-=（ 24.甲在一基金中投资，年利率为i 。

首年末，甲从基金中提出当年所得利息的162.5%；第二年末，甲从基金中提出当年所得利息的2⨯162.5%，
，至第六年末，甲从基金中提出
当年所得利息的16⨯162.5%，基金投资全部取完，计算i 。

解：设在基金中投资为L
L （1+i-1.625）（1+i-2⨯1.625）（1+i-3⨯1.625）（1+i-16⨯1.625）=0
则i=
1
16 1.625-1
⨯=0.04
25.某贷款额为
25
a
，采用连续还款公式每年还款为1，共25年，若年贷款利率为5%。

计算第6年至第10年的利息支出额。

解：
25-t 10
10n-t
10
s
t 6
6
6
-1B t=s t=ln d d d d υδδυδυ
⎰
⎰⎰⎰
t
=2.252
26.证明并解释：
t t
n-t t
n
1+i -=s a a
a
（）
解：
n
-t
t
-t
n
t
n-t
1-1-1+i -=
+
=a s a
υυυδ
δ
（）
t t
n-t n
n
1+i -=s a a
a
∴（）
27.某贷款为1，期限为10年，采取连续还款方式，每年的还款额使得这10年的贷款呈线性关系，即连续由1减至0，贷款年利率按δ=0.1计，计算：（1）前5年还款中的本金部分；（2）前5年还款中的利息部分。

解：t t
B =1-
10
（1）5.01051150=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
-=-B B （2）55
5t 00t I =
B t=0.11-t=0.37510d d δ⎛
⎫
⨯
⎪⎝⎭
⎰⎰ 28. 某人借款为1万元，为期25年，年利率5%，采用偿债基金还款方式，偿债基金存款利率为4%，计算第13次付款中净利息与第9年偿债基金增长额之和。

解：0.04
25
10000=DS
13j 12NI =Li-jDS =355.68
k-18
9NP =D(1+j =D 1+4%=328.62）（）
139NI +NP =355.68+328.62=684.3
29.某人借款1万元，为期10年，年利率为5%，采用偿债基金法偿还贷款，偿债基金存款利率为3%,还款在每年末进行。

在第5次还款前，贷款人要求借款人一次性偿还贷款余额，计算借款人在第5年末的总的支出款（包括利息和本金）。

解：由5j
5NB =L-DS
j 10DS =L 得
5NB =
j 5j
10L a =5368.8a
0.0510pa =10000 p=1295.2∴ 5p+NB =6664
30．甲借款1万元，年利率10%，其偿债金年存款利率为8%。

第10年末，偿债基金积累额为5000元，第11年末，甲的还款支出额为1500元，计算： （1）第11次还款中的利息部分； （2）第11次还款中的本金部分； （3）第11次的净利息支出；
（4）第11年的净本金支出额； （5）第11年末的偿债基金积累额。

解：（1）iL=1000 （2）1500-1000=500 （3）1000-400=600 （4）=1500-600=900 （5）5000+900=5900 31.证明：n j n i&j n j
s a =
1is +
证明：()()n j
n j
n j
n i&j n j
n i&j
n j
n j n j n j
a 1i j a 1is 111a =
=
=i j=i =
1i j a a a a s s +-+⇒
+-++-
则
n j n i&j n j
s a =
1is +
32.某项贷款为1万元，年利率为9%。

借款人在年末支付利息，且每年初向偿债基金存款X 元，存款利率为7%，第10年末偿债基金积累额达1万元计算X 。

解：100.07xs =10000x=676.43⇒
33甲借款人分10年偿还贷款，贷款利率为5%，每年还款1000元，贷款额的一半用分期偿还方式，贷款额的另一半按偿债基金方式还款，偿债基金存款利率为4%，计算贷款额。

解：1100.05100.04210i&j 100.04
L=p a 10.01a L p ==L a a ⎧
⎪+⎨⎪⎩
3
100.04
12100.05
100.04
10.01a L p +p =
L
=10a a 2L=7610.48
+⇒+⇒
34.某人借款12000元，为期10年，前5年每年计息2次的年名义利率12%，后5年为每年计息2次的年名义利率10%，借款人每半年末支付款项为1000元一部分作为贷款利息，领一部分作为偿债基金存款，偿债基金年名义存款利率为8%，每年计息两次，计算在第10年末，贷款额与偿债基金积累额之差。

解：偿债基金积累额为：
()()()()()52233n 0.0850.082100.06L s 10.08100.05L s =9787.2120009787.2=2292.8
⎡⎤-++-⎣⎦-
35.某人每年末支付36000元偿还贷款，共31年，贷款额为40万元，若借款人按偿债基金法计算（偿债基金存款利率为3%），计算贷款人的贷款利率。

解：()310.0336000400000i s =400000i=0.07-⇒ 36.甲借款10万元，期限为20年，已知：
（1）按偿债基金法还款，偿债基金存款利率为3%； （2）首期支出款为X ，发生在第1年末；
（3）以后每年末还款支出额比前一年增加50元，直至贷款期末； （4）贷款年利率为5%。

计算X 。

解：()
()55200.03190.03X 5%10s 50IS =10-⨯+
X=8295.4。