大学物理授课教案 第十五章 光的衍射

第十五章 光的衍射

§15-6 光的衍射现象 惠更斯费涅耳原理

前面我们讨论了光的干涉，干涉是波动的特征之一，在此，我们来讨论光另外的特征，即衍射现象（绕射现象）。 一、光的衍射现象 1、衍射定义

当波传播过程中遇到障碍物时，波就不是沿直线传播，它可以到达沿直线传播所不能达到的区域。这种现象称为波的衍射现象（或绕射现象）（原因是波阵面受到了限制而产生的）。 2、光的衍射现象

在日常生活中水波和声波的衍射现象是较容易看到，但光的衍射现象却不易看到，这是因为光波的波长较短，它比衍射物线度小得多之故。如果障碍物尺度与光的波长可以比较时，就会看到衍射现象。

如下图，S 为线光源，k 为可调节宽度的狭缝，E 为屏幕（均垂直纸面），高缝宽比光的波长大得多时，E 上出现一光带（可认为光沿直线传播），若缝宽缩小到可以与光的波长比较时（m 410 数量级以下），在E 上出现光幕虽然亮度降低，但范围却增大，形成明暗相间条纹。其范围超过了光沿直线所能达到的区域，即形成了衍射。

S

S

图 15-1

波的衍射现象在我们学习惠更斯原理时就已经接触到了，由于波动的特性，因而水波穿过小桥同时要向两旁散开，人站在大树背后时照样能听到树前传来的声音，光线在一定的条件下（衍射物的线度与波长可以比较）就会拐弯，等。此外，在我们学习双缝干涉时，也包含了衍射的因素，若不是光线能拐弯，经过双缝的光线怎样能相遇呢？ 衍射是一切波动所具有的共性，衍射是光具有波动性的一种表现。 二、惠更斯——费涅耳原理 1、原理表述

惠更斯指出：波在介质中传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一 时刻这些小波的包迹就是该时刻的波阵面。此原理能定性地说明光波传播方向的改变（即衍射）现象，但是，不能解释光的衍射中明暗相间条纹的产生。原因是这一原理没有讲到波相遇时能产生干涉问题，因此费涅耳对惠更斯远离做了补充，如下： 费涅耳假设：从同一波阵面上各点发出的子波同时传播到空间某一点时，各子波间也可以相互迭加而产生干涉。

经过发展的惠更斯原理成为惠更斯费涅耳原理。根据这一原理，如果已知光波在某一时刻的波阵面，就可以计算下一时刻光波传到的点的振动。 2、原理的定量表达式

如图所示，S 为某时刻光波波阵面，s d 为S 面上的 一个面元，n 是s d 的法向矢量，P 为S 面前的一点，从

s d 发射的子波在P 点引起振动的振幅与面积元ds 成正比， 与s d 到P 点的距离r 成反比（因为子波为球面波），还与

r 同s d 间夹角α有关，至于子波在P 点引起的振动位相仅

取决于r ，ds 在P 处引起的振动可表示为

)2cos()(λ

πωαr t r ds k dy -=

式中ω为光波角频率，λ为波长，)(αk 是α的一个函数。应该指出，α 越大，在P 点

引起的振幅就越小，费涅耳认为2

π

α≥时，0≡dy ，因而强度为零。这也就解释了子波

为什么不能向后传播的问题。

整个波阵面S 在P 产生的合振动为何，由惠更斯——费涅耳原理有：

⎰⎰-==s

r

t r ds k dy y )2cos()(λπωα （15-1）

上式是惠更斯——费涅耳原理的定量表达式。在一般情况下，此式积分是比较复杂的，在某些特殊情况下积分比较简单，并可以有矢量加法代替积分。下节介绍应用费涅耳半波带方法来解释单缝衍射现象，这种方法更为简单。

图 15-2

第十五章 光的衍射 沈阳工业大学 郭连权（教授）

三、两类衍射问题

1、费涅耳衍射

光源S ，屏E 与衍射物距离均为有限 （或一个距离为无限远）的衍射，如图所 示。

2、夫琅和费衍射：

光源S ，屏E 与衍射物均无限远时的衍射。

因为光源和光屏相对衍射物是在无穷远处，因而入射光和衍射光都是平行光，所以夫琅和费衍射也称为平行光衍射，如图所示。

实际上，夫琅和费衍射经常利用两个会聚透镜来实现（如在实验中产生的夫琅和费衍射）。如下图所示，S 处于1L 焦平面上，形成衍射。

在衍射实验中通常使用平行光，所以夫琅和费衍射是较为重要的，而且在数学上也较易处理，下面只讨论夫琅和费衍射。

§15-2 单缝衍射（单缝的夫琅和费衍射）

一、衍射装置

下图为单缝的夫琅和费衍射装置。

S

图

15-3

图

15-4

图 15-5

S

图 15-6

S 为点光源，E 上是一些光斑，其 线垂直单缝。 S 为线光源，E 上是平行于狭缝的明暗相间的条纹。

二、用费涅耳半波带法确定明、暗条纹及位置

如图所示，一束平行光垂直入射到K 上。对于沿入射波方向（0=ϕ）情况先考虑一下。在单缝AB 处，这些子波同位相，经L 后会聚O 处。因为L 不引起光程差，所以在O 处这些子波仍同位相，故干涉加强，即出现亮纹（此条纹称为中央亮纹）。

其它方向（0≠ϕ）情况变复杂些。下面考虑与入射方向成ϕ角的子波线（经L 后为光线②）。ϕ称为衍射角。光线②会聚在P 点，ϕ角不同，P 的位置就不同，在E 上可出现衍射图样。为了研究明暗条纹位置，下面考虑位相差问题。做平面AC 垂直BC ，从图知，由AC 上各点达到P 点的光线光程都相等，这样从AB 发出的光线在P 点的位相差就等于它们在AC 面上的位相差。

由图可见，从K 的AB 两端点来看，B 点发出的子波比A 点发出的子波多走ϕsin =AC 的光程（空气中）。这显然是沿ϕ方向上光波射线的最大光程差。下面用费涅耳半波带法确定P 处是明还是暗。分几种情况讨论。 1、2

2sin λ

ϕ⋅

==a BC

即BC 恰等于两个半波长，如下图所示，将BC 为二等份，过等分点做平行于AC 的平面，将单缝上波阵面分为面积相等的两部分1AA ，B A 1，每一部分叫做一个半波带，每一个波带上各点发出的子波在P 点产生的振动 可认为近似相等。二波带上的对应点

（如1AA 的中点与B A 1的中点）所发出的子波光线达到AC 面上时光程差为2

λ

，即位相差

为π，可知在P 点它们的位相差为π。所以，产生干涉相消。结果由1AA 及B A 1两个半波带上发出的光在P 点完全抵消，所以，出现暗纹（沿光源，以下同）。

中央亮纹