立体几何大题一-建系(没有1题2题)

立体几何大题题型一：基础题型

3(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

(1)证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.

又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.

在Rt △EBG中，可得BE＝2，故DF＝

2 2.

在Rt △FDG中，可得FG＝

6 2.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝

2

2，可得EF＝

32

2，从而EG2＋FG2＝EF2，

所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .

(2)解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →

|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)， F ⎝

⎛⎭

⎫

－1，0，

22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →

＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.

故cos 〈AE →，CF →

〉＝AE →·CF →

|AE →||CF →

|

＝－33.

所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为

33

. 4. 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ＝2，CD ＝3，平面P AD ⊥底面ABCD ，若M 为AD 的中点，E 是棱PC 上的点．

(1)求证：平面EBM ⊥平面P AD ；

(2)若∠MEC ＝90°，求二面角P ­BM ­E 的余弦值． 解：(1)证明：∵M 是AD 的中点， 且AD ＝2，∴MD ＝1， 又∵AD ∥BC ，BC ＝1， ∴四边形MBCD 为平行四边形． ∵∠ADC ＝90°，DC ∥MB ，

∴∠AMB ＝90°，即BM ⊥AD .

∵平面P AD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面P AD . ∴平面EBM ⊥平面P AD .

(2)∵△P AD 是正三角形，M 为AD 中点， ∴PM ⊥AD .

又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PM ⊥平面ABCD .

如图，以M 为原点，以MA ，MB ，MP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系M ­xyz ，

则A (1，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，3)， C (－1，3，0)，PC →

＝(－1，3，－3)， ∵E 在PC 上，设CE →＝λCP →

(0<λ<1)， ∴ME →－MC →＝λ(MP →－MC →

)． ∴ME →

＝(λ－1，3－3λ，3λ)． ∵ME →·PC →

＝0，∴λ＝47.

∴ME →

＝⎝⎛⎭

⎫－37，337，437.

设平面MBE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则ME →·n ＝0，MB →

·n ＝0，

即⎩⎨⎧－3x ＋3y ＋4z ＝0，3y ＝0.

令x ＝4，∴n ＝(4，0，3)．

又平面PMB 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)， ∴cos 〈n ，n 1〉＝

416＋3

＝419

19.

设平面PMB 与平面EMB 所成的角为θ，则cos θ＝419

19

.

5．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，OA ⊥底面

,2,ABCD OA M =为OA 中点．

（1）求证：直线BD ⊥平面OAC ；

（2）求直线MD 与平面OAC 所成角的大小； （3）求点A 到平面OBD 的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）030；（3）2

3

． 【解析】

试题分析：（1）由OA ⊥底面ABCDO A BD ⇒⊥，又 BD AC ⊥⇒BD ⊥平面 OAC ；（2）做辅助线EM 可得DME ∠是直线MD 与平面 OAC 所成的角，计算求得所成的角为030；

（3）作AH OE ⊥于点H ⇒BD ⊥平面 OAC ⇒BO AH ⊥⇒线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离⇒2

2

22332

OA AE AH OE =

==． 试题解析：（1）由OA ⊥底面,ABCD OA BD ⊥．

底面ABCD 是边长为1的正方形， ∴BD AC ⊥，又AC

OA A =，∴BD ⊥平面 OAC ．

（2）设AC 与BD

交于点E ，连结EM ，则

DME ∠是直线MD 与平面 OAC 所成的角

2

MD DE ==

， ∴直线MD 与平面OAC 所成的角为030．

（3）作AH OE ⊥于点H ．

BD ⊥平面 OAC ， ∴BO AH ⊥，

线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离．

∴2

2

22332

OA AE AH OE ===，