第八章 运筹学 目标规划 案例
运筹学 (目标规划法)
目标函数： min
z P1d1
P2
(d2
d
2
)
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件： x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
求解目标规划的仍用单纯形法，但是与线性规 划的单纯形法不同的是，此时检验数行不再是 一行，而是变化为一个检验数矩阵。
目标规划法
• 例2 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据 见下表。试求获利最大的生产设备(hr)
1 2 10
利 润 ( 元 / 8 10
件)
• 解：这是求获利最大的单目标的规划问题，用x1， x2分别表示Ⅰ，Ⅱ产品的产量，其线性规划模型 表述为： 目标函数： max z 8x1 10x2
(3)应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。
(4)应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
• 例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑： 首先是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利 用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求 最佳决策方案 。
• 解：按决策者所的要求，分别赋予这三个目标优先因子P1， P2，P3，得到本问题的数学模型为：
2x1 x2 11
满足约束条件：
x1
2x2
10
x1
,
x2
0
求得最优决策方案为：x1*=4, x2*=3, z*=62(元)
• 实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括 市场因素在内等一系列条件。例如:
(1)根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势， 因而希望产品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
运筹学基础-目标规划(2)
P1：厂内的储存成本不超过23000元 P5：B药的销量必须完成1000单位 P6：超时工作时间总和要求限制 P2：A销售量必须完成1500单位 P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转,单位运转成本当作它们的权系数
P4：甲厂的超过作业时间全月份不宜超过30h 解：设x1 、x2 分别表示次月份A、B药品的生产量， di-、di+为相应目标约 束的正、负偏差变量． （1）甲、乙两厂设备运转时间约束： 甲的总时间为8×12×25=2400（h）， 乙的总工作时间为16×7×25=2800（h），则： （2）公司内储存成本约束(厂内的储存成本不超过23000) ： （3）销售目标约束(销售量估计分别为1500单位和1000单位)
4. 目标的优先级与权系数 在一个目标规划的模型中，如果两个不同目标重要程度相差 悬殊，为达到某一目标可牺牲其它一些目标，称这些目标是属于 不同层次的优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子P1， P2，…表示，并规定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示“远大于”， 表示Pk与Pk＋1，不是同一各级别的量，即Pk比Pk＋1有更大的优先 权。对属于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上
2.绝对约束与目标约束 绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等式和不等 式约束。 目标约束：对那些不严格限定的约束，连同原线性规划 建模时的目标函数转化为的约束，称为目标约束。
2 x1 3 x 2 d d 12
3．目标规划的目标函数－－达成函数 由此决策者可根据自己的要求构造一个使总偏差量为最 小的目标函数，称为达成函数，记为
甲、乙车间每月工时要充分利用，P3 甲车间加班不超过20h，P4
两车间加班总时间要控制，P6 解 设录音机、电视机的产量分别为x1,x2；甲、乙工时比例为4：1，于是 得到目标规划模型为
运筹学线性规划模型及目标规划模型
问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。
1、问题的提出1.1基本情况某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。
已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：表1T项目B1配件种类资源限制B2B3资金（百元）412200劳动力/工时643360设备台时（小323210时）产品利润（元/754件）1.2提出问题1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。
2、模型的建立2.1确定决策变量因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。
因此可以设尤，x ,x来表示B1，B2, B3的产量。
1 2 32.2确定目标函数该问题归结为求效益最大化的问题。
这里所追求的利润s应是最大（简写为max）max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 32.3确定约束条件考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1_1数值有'4x + x + 2x < 200<6x + 4x + 3x < 360I3x + 2x + 3x < 210侦1 2 32.4建立模型综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。
求变量气(i = 1,2,3)使得目标函数：max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 3取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：4x + x + 2x < 2001 2 36x + 4x + 3 x < 360s.t. < 1 2 3|3x i+ 2x2 + 3x3 < 210I x , x , x > 0v 1 2 33、模型的求解分析上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。
运输及配送路线的规划
第八章运输及配送路线的优化教学目的：使学生理解各种运输方式的特点及运输方式选择的原则，掌握运输方式选择的定量分析法，理解存在中间运转的物资调配方法，掌握旅行商问题和中国邮递员问题的解法以及扫描法和节约法。
基本要求：1、理解各种运输方式的特点；2、掌握运输方式选择的定量分析法；3、理解存在中间运转的物资调配方法；4、掌握旅行商问题和中国邮递员问题的解法。
教学重点：扫描法、节约法教学时数：6学时第一节运输方式的选择运输方式选择的原则当同时存在多种运输方式可供选择的情况下，就需要进行选优抉择。
通常根据各种运输方式的经济特性和服务特征来选择合适的运输方式，即主要依据运输成本、运输速度、可靠性、安全性等指标进行判断和选择。
安全性原则——首要的原则及时性原则准确性原则经济性原则——主要原则货物运输的六大方式：根据运输工具的不同，可分为：水路、公路、铁路、航空、管道和多式联运等运输形式。
在各种运输方式中，如何选择适当的运输方式是物流合理化的重要问题。
可以选择一种运输方式也可以选择使用联运的方式。
运输方式的选择，需要根据运输环境、运输服务的目标要求，采取定性分析及定量分析的方法进行考虑。
运输方式选择的定性分析法定性分析法主要是依据完成运输任务可用的各种运输方式的运营特点及主要功能、货物的特性以及货主的要求等因素对运输方式进行直观选择的方法。
1.单一运输方式的选择单一运输方式的选择，就是选择一种运输方式提供运输服务。
公路、铁路、水路、航空和管道五种基本运输方式各有自身的优点及不足，可以根据五种基本运输方式的优势、特点，结合运输需求进行恰当的选择。
一般要考虑的因素是：•运费的高低•运输时间的长短•频度——运、配送次数•运输能力——运量的大小•货物的安全性——运输途中的破损或污染等•到货时间的准确性各种运输方式的比较2.多式联运的选择多式联运的选择，就是选择两种以上的运输方式联合起来提供运输服务。
在实际运输中，一般只有铁路及公路联运、公路或铁路及水路联运、航空及公路联运得到较为广泛的应用。
兰州大学运筹学——目标规划 课后习题题解
B3
`供应量
A1
4
7
5
12
A2
6
4
8
5
A3
3
6
10
6
A4
5
4
8
11
需求量
12
16
18
经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出，希望达到目标以及优先等级如下： பைடு நூலகம்1------销地 B1、B2 至少得到它需求量的 50%。 P2------必须满足销地 B3 全部需求量。 P3------由于客观原因，要尽量减少 A4 到 B2 的货运量。 P4------若期望运费 132 元，并尽可能减少运输费用。
4 xl ≤680
4x2 ≤600 2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0 d1-＝第一级的最优结果 xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-≥0
S.T.
min d3-＋ d3+
4 xl ≤680
4x2 ≤600 2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0 2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
d1-＝0 d2-＝0
xi≥0 (i=1,2,3) di+ 、di- ≥0 (i=1,2，3)
得最优解：（334，0，0） 最优值：d1-＝0，d2-＝0，d3-＝70
第四级：
min d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+ S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
运筹学及应用案例-目标规划
东华大学工程硕士案例分析报告课程名称运筹学及应用案例分析题目EZ拖船公司生产计划的多目标问题姓名学号指导教师成绩等级2014年 11 月 20 日目录小组成员分工 (1)一．问题描述 (2)二．问题分析 (2)三．模型建立 (3)四．模型求解与程序设计 (6)五．结果分析 (8)小组人员详细分工经济生产批量模型在小批量下的高准备费用和大批量下的高存储费用之间进行了权衡。
经济生产批量使得两个费用和达到最小。
实际上小批量和小库存生产能够带来诸如高效率、减少浪费和高柔性等好处，但这些效果并没有在经济生产批量模型中得到体现。
当今市场条件下，人们的消费倾向日益向多元化方向发展，使得不少企业，特别是国外先进企业采用柔性生产制造系统，即实际无库存生产方式生产批量的优化标准也变成生产批量应尽可能小。
所谓尽可能小就是要使企业按这种批量生产时，随着准备次数的增加，企业生产中心的生产能力反而下降。
这时再降低生产批量就会造成能力下降，表明对于某一特定企业，在生产能力和准备时间给定的情况下，要企业完成所要求的产出水平，存在某一不能再降低的生产批量，即最小生产批量。
一．问题描述EZ拖船公司生产各种型号的普通拖车，包括一整套轮船拖车。
其中卖得最好的拖车为EZ- 190和EZ- 250。
EZ- 190适用于长度小于19英尺的轮船，而EZ- 250适用于长度小于25英尺的轮船。
EZ拖船公司想为接下来两个月的产品生产安排生产计划。
每辆EZ－190需花4小时的生产时间，而每EZ－250需花6小时的生产时间。
以下表中所示的订单是3月和4月的。
2月的期末存货为200辆EZ- 190 和300辆EZ－250。
2月份可用的生产时间为6 300小时。
EZ拖船公司的管理者主要担心能否完成3月和4月的EZ－250的订单。
事实上，公司认为这个目标是生产计划必须满足的。
其次重要的是EZ- 190的订单的完成。
此外，管理者希望生产计划不会引起月份之间工作量的过大变动。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学 第八章(二)
所需时间 工人 工作 小时） （小时） A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
甲 乙 丙 丁
8
引入0—1变量 x ij，并令 解： 引入 变量 当指派第 i 个人去完成第 j 项工作时 ; 1 , x ij = 0 , 当不指派第 i 个人去完成第 j 项工作时 . 使总消耗时间最少，则目标函数为： 使总消耗时间最少，则目标函数为： min z = 15 x11 + 18 x12 + 21x13 + 24 x14 + 19 x21 + 23 x22 + 22 x23 + 18 x24 + 26 x31 + 17 x32 + 16 x33 + 19 x34 + 19 x41 + 21x42 + 23 x43 + 17 x44 . 每人只能干一项工作的约束条件可以写为： 每人只能干一项工作的约束条件可以写为： x11 + x12 + x13 + x14 = 1, （甲只干一项工作） 甲只干一项工作）
项任务的成本（如所需时间， 并设 c ij 第 i 个人去完成 j 项任务的成本（如所需时间，费用 等），则一般指派问题的数学模型为： ），则一般指派问题的数学模型为： 则一般指派问题的数学模型为
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
《运筹学》教案目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型教案章节：一、引言教学目标：1. 理解目标规划数学模型的基本概念。
2. 掌握目标规划数学模型的建立方法。
教学内容：1. 目标规划数学模型的定义。
2. 目标规划数学模型的建立步骤。
教学方法：1. 讲授法：讲解目标规划数学模型的基本概念和建立方法。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。
教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。
2. 投影仪、白板、教学用具。
教学过程：1. 引入新课：通过讲解目标规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。
2. 讲解基本概念：讲解目标规划数学模型的基本概念，包括目标、约束条件、优化方法等。
3. 讲解建立方法：讲解目标规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定约束条件、选择优化方法等。
4. 案例分析：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。
5. 课堂练习：让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结与展望：总结本节课的重点内容，布置课后作业，预告下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。
2. 学生参与案例分析和课堂练习的积极性和主动性。
3. 学生对目标规划数学模型的理解和应用能力。
教案章节：二、线性规划数学模型教学目标：1. 理解线性规划数学模型的基本概念。
2. 掌握线性规划数学模型的建立方法。
教学内容：1. 线性规划数学模型的定义。
2. 线性规划数学模型的建立步骤。
教学方法：1. 讲授法：讲解线性规划数学模型的基本概念和建立方法。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解线性规划数学模型。
教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。
2. 投影仪、白板、教学用具。
教学过程：1. 引入新课：通过讲解线性规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。
2. 讲解基本概念：讲解线性规划数学模型的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
3. 讲解建立方法：讲解线性规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定决策变量、列出约束条件等。
运筹学多目标规划演示文稿
1， 投资第i个项目 0，不投资第i个项目
约束条件： n
i1
ai xi
A
xi 0或1（i 1,, n)
第十页，共57页。
§2 多目标规划模型及其解的概念
目标函数：何为最佳的经济效益？
（1）收益最大：
n
max f1 ( x1 ,, xn ) bi xi i 1
（2）投资最少：
n
min f2 ( x1 ,, xn ) ai xi i 1
运筹学多目标规划演示文稿
第一页，共57页。
运筹学多目标规划
第二页，共57页。
§1 多目标决策简介
一、多目标决策问题实例
• 干部评估－德、才兼备
• 教师晋升－教学、科研、论文等
• 购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等 • 球员选择－技术、体能、经验、心理
• 找对象－容貌、学历、气质、家庭状况
第三页，共57页。
三、多目标决策与单目标决策区别
• 点评价与向量评价
单目标： 方案dj ←评价值f(dj) 多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))
• 全序与半序: 方案di与dj之间
单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况
先引进一些记号，记
F1
(
f11，……，f
1 p
)
Ep
F2
(
f12，……，f
2 p
)
Ep
(1)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要严格的小于向
量F
2对应的分量。即对于i
1，……，p，均有f
1 i
运筹学目标规划
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运筹学目标规划
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运筹学目标规划
练习2、已知一个生产计划的线性规划模型为
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140； 3、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件。 试建立目标规划模型。
运筹学目标规划
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2020/12/19
运筹学目标规划
第1节 目标规划的数学模型
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。
个具有相同的优先因子P2，因此需要确定权系数。本 题可用单件利润比作为权系数即 70 :120，化简为7:12。
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第三目标：
运筹学目标规划
目标规划模型为：
钢材 煤炭 台时 利润
甲 乙 资源
9 4 3600 4 5 2000 3 10 3000 70 120
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运筹学目标规划
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运筹学目标规划
练习1：
1. 已知条件如表所示
工序
Ⅰ（小时/台） Ⅱ（小时/台） 利润（元/台）
型号
A
B
4
6
3
2
300 450
每周最大 加工能力
150 70
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： P1: 每周总利润不得低于10000元； P2: 因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至 少 生产15台； P3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的 生产时间最好用足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。
四个运筹学案例
1、年度配矿计划优化——线性规划j（单位：万吨）2 约束条件：包括三部分1）供给（资源）约束：x1 ≤70 x2≤7 x3≤17 x4≤23 x5≤3 x6≤9.5 x7≤1 x8≤15.4 x9≤ 2.7 x10≤7.6 x11≤13.5 x12≤2.7 x13≤1.2 x14≤7.22）品位约束3）非负约束： x j ≥ 0 j = 1,2,3, … ,143 目标函数：此题目要求“效益最佳”有一定的模糊性，由于配矿后的混合矿石将作为后面 工序的原料而产生利润，故在初始阶段，可将目标函数选作配矿总量的极大化。
三、计算结果及分析1 计算结果利用单纯形法可得出该问题的最优解为：x1 = 31.121 x2 = 7 x3 = 17 x4 = 23 x5 = 3 x6 = 9.5 x7 = 1 x8 = 15.4 x9 = 2.7 x10 = 7.6 x11 = 13.5 x12 = 2.7 x13 = 1.2 x14 = 7.2 最优值：Z* = 141.921（万吨）2 分析与讨论1）计算结果是否可被该公司接受？——回答是否定因为：①在最优解中，除第1个采矿点有富裕外，其余13个采矿点的出矿量全部参与了配矿。
而矿点1在配矿以后尚有富余量 70 －31.12 ＝38.879 （万吨），但矿点1的矿石品位仅为37.16%，属贫矿。
②该公司花费了大量人力、物力、财力后，在矿点1生产的贫矿中却有近39万吨矿石被闲置，而且在大量积压的同时，还会对环境造成破坏，作为该公司的负责人或公司决策者是难以接受这样的生产方案的。
———原因何在？出路何在？2）解决问题的思路经过分析后可知：在矿石品位T Fe 及出矿量都不可变更的情况下，只能把注意力集中在 混合矿石的品位T Fe 要求上。
——不难看出，降低T Fe 的值，可以使更多的低品位矿石参与配矿。
问题：T Fe 的值有可能降低吗？在降低T Fe 的值，使更多的贫矿入选的同时，会产生什么影响？——以上问题就属于运筹学的灵敏度分析（优化后分析）3）经调查，以及与现场操作人员、工程技术人员、管理人员学习、咨询，拟定了三个T Fe 的新值：44％ 、43％ 、42％3 变动参数之后再计算，结果如下表所示：∑==+++++++++++++14114131211109875432145.0502.04073.05692.05271.04022.0408.04834.05141.064996.04200.04700.0400.05125.03716.0j jx x x x x x x x x x x x x x x ∑==141max j jx zFe境的破坏，故不予以考虑。
运筹学线性规划案例
运筹学线性规划案例线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何利用数学模型来解决最优化问题。
在实际应用中，线性规划可以帮助企业做出最佳的决策，使资源得到最大化利用。
本文将通过一个实际案例来介绍线性规划的应用，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
假设某公司生产两种产品A和B，它们分别需要机器加工和人工装配。
公司拥有的机器和人工资源分别为每周80小时和60人天。
产品A每单位需要机器加工2小时，人工装配3人天；产品B每单位需要机器加工3小时，人工装配2人天。
每单位产品A的利润为2000元，产品B的利润为3000元。
现在的问题是，如何安排生产计划，才能使得利润最大化呢？首先，我们可以将该问题建立成数学模型。
假设x1和x2分别表示生产产品A 和B的单位数，则该问题可以表示为：Max Z=2000x1+3000x2。
约束条件为：2x1+3x2≤80。
3x1+2x2≤60。
x1≥0，x2≥0。
接下来，我们可以通过线性规划的方法来求解最优解。
在这里，我们不妨使用单纯形法来进行求解。
首先，我们将约束条件转化成标准形式，得到：2x1+3x2+s1=80。
3x1+2x2+s2=60。
x1≥0，x2≥0。
然后，我们构造初始单纯形表，并进行单纯形法的迭代计算。
最终得到最优解为x1=20，x2=10，此时利润最大为80000元。
通过这个简单的案例，我们可以看到线性规划在实际中的应用。
通过建立数学模型和运用线性规划方法，我们可以很好地解决类似的最优化问题，使得资源得到最大化利用，从而帮助企业做出更加科学合理的决策。
总之，线性规划作为运筹学中的重要方法，具有广泛的应用前景。
通过不断地学习和实践，我们可以更好地掌握线性规划的原理和方法，为实际问题的解决提供更加科学的支持。
希望本文的案例能够帮助读者更好地理解线性规划的应用，从而在实际工作中能够更好地运用这一方法，取得更好的效果。
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第八章目标规划8.1请将下列目标规划问题数学模型的一般形式转换为各优先级的数学模型。
1、min P1（d l-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）＋P3（d3+）＋P4（d4-）约束条件：4 x l ≤6804x2 ≤6002 x l＋3x2－d1+ +d1-＝12x l－x2－d2++d2-＝02 x l＋2x2－d3++d3-＝12x l＋2x2－d4++d4-＝8x l，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-≥0。
解：这是一个四级目标规划问题：第一级：min d l-S.T. 4 x l ≤6804x2 ≤6002 x l＋3x2－d1+ +d1-＝12x l，x2，d1+，d1-≥0第二级：min d2-＋d2+S.T. 4 x l ≤6804x2 ≤6002 x l＋3x2－d1+ +d1-＝12x l－x2－d2++d2-＝0d1-＝第一级的最优结果x l，x2，d1+，d1-，d2+，d2-≥0第三级：min d3-＋d3+S.T. 4 x l ≤6804x2 ≤6002 x l＋3x2－d1+ +d1-＝12x l－x2－d2++d2-＝02 x l＋2x2－d3++d3-＝12d1-＝第一级的最优结果d2+，d2-＝第二级的最优结果x l，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0第四级：min d4-S.T. 4 x l ≤6804x2 ≤6002 x l＋3x2－d1+ +d1-＝12x l－x2－d2++d2-＝02 x l＋2x2－d3++d3-＝12x l＋2x2－d4++d4-＝8d1-＝第一级的最优结果d2+，d2-＝第二级的最优结果d3+，d3-＝第三级的最优结果x l，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-≥02、min P1（d l-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）约束条件：12 x l＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝1255x l＋3x2＋4x3－d2+ +d2-＝405 x l＋7x2＋8x3－d3+ +d3-＝55x l，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0。
解：这是一个三级目标规划问题：第一级：min d l-S.T. 12 x l＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝125x l，x2，x3，d1+，d1-≥0第二级：min d2-＋d2+S.T. 12 x l＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝1255x l＋3x2＋4x3－d2+ +d2-＝40d l-＝第一级的最优结果x l，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-≥0第三级：min d3-S.T. 12 x l＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝1255x l＋3x2＋4x3－d2+ +d2-＝405 x l＋7x2＋8x3－d3+ +d3-＝55d l-＝第一级的最优结果d2+ ，d2-＝第二级的最优结果x l，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥08.2某企业生产A、B、C、三种不同规格的电子产品，三种产品的装配工作在同一生产线上完成，各种产品装配时消耗的工时分别为5、9和12小时，生产线每月正常台时为1500小时；三种产品销售出去后，每台可获得利润分别为450、550和700元；三种产品每月销售量预计分别为300、80和90台。
该厂经营目标如下：P1------利润目标为每月150000元，争取超额完成。
P2------充分利用现有生产能力。
P3------可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。
P4------产量以预计销量为标准。
试建立该问题的目标规划数学模型，并求解最合适的生产方案。
解：本问题的目标规划数学模型：min P1（d1-）＋P2（d2-）＋P3（d3+）＋P4（d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+）S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝1500005x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝15005x l＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600x l－d4+ +d4-＝300x2－d5+ +d5-＝80x3－d6+ +d6-＝90x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2,3,4,5,6)这是一个四级目标规划问题：第一级：min d1-S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000x i≥0 (i=1,2,3)d1+ 、d1- ≥0即：最优解：（0，0，214.29）,最优值：min d1-＝0第二级：min d2-S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝1500005x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500d1-＝0x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2)即：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1-＝0，min d2-＝0第三级：min d3+S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝1500005x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝15005x l＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600d1-＝0d2-＝0x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2，3)即：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1-＝0，min d2-＝0，min d3-＝66.667第四级：min d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝1500005x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝15005x l＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600x l－d4+ +d4-＝300x2－d5+ +d5-＝80x3－d6+ +d6-＝90d1-＝0d2-＝0d3+＝66.667x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2,3,4,5,6)即：最优解：（333.33，0.0001，0）,最优值：min d1-＝0，min d2-＝0，min d3-＝66.667,min d4-＝0, min d4+＝33.33min d5-＝80, min d5+＝0min d4-＝90, min d4+＝0即安排生产的方案：生产产品A33.33件，产品B和产品C不生产最合适。
若再加上产品是整数的特殊要求：第一级：min d1-S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000x i≥0 (i=1,2,3)d1+ 、d1- ≥0得最优解：（0，0，215）最优值：d1-＝0第二级：min d2-S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝1500005x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500d1-＝0x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2)得最优解：（334，0，0）最优值：d1-＝0，d2-＝0第三级：min d3+S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000 5x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝15005x l＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600d1-＝0d2-＝0x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2，3)得最优解：（334，0，0）最优值：d1-＝0，d2-＝0，d3-＝70第四级：min d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+ S.T. 450x l＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000 5x l＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝15005x l＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600x l－d4+ +d4-＝300x2－d5+ +d5-＝80x3－d6+ +d6-＝90d1-＝0d2-＝0d3+＝70x i≥0 (i=1,2,3)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2,3,4,5,6)得最优解：（334，0，0）最优值：d1-＝0，d2-＝0，d3-＝70min d4-＝0, min d4+＝34min d5-＝80, min d5+＝0min d4-＝90, min d4+＝08.3经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出，希望达到目标以及优先等级如下：P1------销地B1、B2至少得到它需求量的50%。
P2------必须满足销地B3全部需求量。
P3------由于客观原因，要尽量减少A4到B2的货运量。
P4------若期望运费132元，并尽可能减少运输费用。
解：本问题的目标规划数学模型：min P1（d1-＋d2-）＋P2（d3-）＋P3（d4+）＋P4（d5+）S.T. x l＋x4＋x7－d1+ +d1-＝6x2＋x5＋x8－d2+ +d2-＝8x3＋x6＋x9－d3+ +d3-＝18x11－d4+ +d4-＝04x l＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12－d5+ +d5-＝132 x i≥0 (i=1,2…..12)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2,3,4,5)这是一个四个优先及的目标规划问题：第一级：min d1-＋d2-S.T. x l＋x4＋x7－d1+ +d1-＝6x2＋x5＋x8－d2+ +d2-＝8x i≥0 (i=1,2…..12)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2)得结果：最优解（6，8，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）最优值d1-＝0，d2-＝0第二级：min d3-S.T. x l＋x4＋x7－d1+ +d1-＝6x2＋x5＋x8－d2+ +d2-＝8x3＋x6＋x9－d3+ +d3-＝18d1-＝0d2-＝0x i≥0 (i=1,2…..12)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2，3)得结果：最优解（6，8，18，0，0，0，0，0，0，0，0，0）最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝0第三级：min d4+S.T. x l＋x4＋x7－d1+ +d1-＝6x2＋x5＋x8－d2+ +d2-＝8x3＋x6＋x9－d3+ +d3-＝18x11－d4+ +d4-＝0d1-＝0d2-＝0d3-＝0x i≥0 (i=1,2…..12)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2，3，4)得结果：最优解（6，8，18，0，0，0，0，0，0，0，0，0）最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝0，d4+＝0第四级：min d5+S.T. x l＋x4＋x7－d1+ +d1-＝6x2＋x5＋x8－d2+ +d2-＝8x3＋x6＋x9－d3+ +d3-＝18x11－d4+ +d4-＝04x l＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12－d5+ +d5-＝132d1-＝d2-＝d3-＝d4+＝x i≥0 (i=1,2…..12)d i+ 、d i- ≥0 (i=1,2,3,4,5)得结果：最优解（0，0，18，0，0，0，0，0，0，0，0，0）最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝0，d4+＝0，d5+＝8即A1到B3运8件最合适。