高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3 (2)

第1课时组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．
知识点一组合的定义
思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；
②从3,5,7,11中任取两个数相乘．
以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？
答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．
梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从
n个不同元素中取
出m个元素的一个组合．
知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式
组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.
组合数公式乘积
形式
C m n＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
m！
阶乘
形式
C m n＝
n！
m！(n－m)！
性质
C m n＝C n－m
n
C m n＋1＝C m n＋C m－1
n
备注规定C0n＝1
1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)
3．C 3
5＝5×4×3＝60.( × ) 4．C 2 016
2 017＝C 1
2 017＝2 017.( √ )
类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题：
(1)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．
反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断
解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 3
5＝10.
(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 2
9＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 2
9＝36(种)．
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C 4
10－C 3
7·A 3
3； 考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算
(1)解 原式＝C 410－A 3
7＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.
(2)求证：C m
n ＝
m ＋1n ＋1
C m ＋1
n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝
m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！
＝C m
n ， 左边＝C m
n ，所以左边＝右边，所以原式成立．
反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n
＝A m
n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)
m ！
计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C m
n ＝
n ！
m ！(n －m )！
计算．
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1
n .
跟踪训练2 (1)计算C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
2 017的值为( ) A ．C 4
2 017 B ．C 5
2 017 C ．C 42 018－1
D ．C 5
2 017－1
(2)计算C 98
100＋C 199
200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
2 017 ＝C 4
4＋C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
2 017－C 4
4 ＝C 4
5＋C 3
5＋…＋C 3
2 017－1＝… ＝C 4
2 017＋C 3
2 017－1＝C 4
2 018－1. (2)C 98
100＋C 199
200＝C 2
100＋C 1
200
＝
100×99
2
＋200＝5 150.
命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m
8；
(2)解不等式C 4
n >C 6
n . 考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝7
10C m 7，
∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！
＝
7×(7－m )！m ！
10×7！，
即m ！(5－m )！5！
－
m ！(6－m )(5－m )！
6×5！
＝
7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！
10×7×6×5！
.
∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60
，
即m 2
－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m
8＋C 5－m
8＝C 2
8＋C 3
8＝C 3
9＝84.
(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨
⎪⎧
n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
n 2
－9n －10<0，
n ≥6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1<n <10，
n ≥6，
又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *
. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *
，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2
x －4. 考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4
x －3＝5A 2
x －4， 即
3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1
＝5(x －4)(x －5)，
所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.
所以x＝11或x＝－2(舍去)．
经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.
类型三简单的组合问题
例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．
考点组合的应用
题点无限制条件的组合问题
答案(1)45 (2)21 (3)90
解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元
素的组合数，即C210＝10×9
2×1
＝45(种)．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．
根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步
乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×5
2×1
×
4×3
2×1
＝90(种)．
反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
考点组合的应用
题点有限制条件的组合问题
解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C38＝8×7×6
3×2×1
＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝
7×6
2×1
＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×5
3×2×1
＝35.
1．给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中组合问题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
考点组合的概念
题点组合的判断
答案 B
解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.
2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆M
C．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}
考点组合数公式
题点利用组合数公式进行计算
答案 D
解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×3
2
＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M
＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．
3．若C n12＝C2n－3
12，则
n等于( )
A．3 B．5 C．3或5 D．15
考点组合数性质
题点含有组合数的方程或不等式的问题
答案 C
解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.
4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )
A ．15种
B ．30种
C ．45种
D ．90种 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 C
解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 1
3·C 2
5＋C 2
3·C 1
5＝45(种)选法．
5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20
解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 2
5＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 2
5＝20.所以有向线段共有20条．
1．排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算
(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n
＝A m
n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)
m ！
计算；
(2)涉及字母的可以用阶乘式C m
n ＝n ！
m ！(n －m )！
计算．
(3)组合数的两个性质： 性质1：C m
n ＝C n －m
n ； 性质2：C m
n ＋1＝C m
n ＋C m －1
n .
一、选择题
1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C
解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3
101
C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107
D ．6
考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算 答案 D
解析 A 3
101C 2100＋C 97100＝A 3
101C 2100＋C 3100＝A 3
101C 3101＝A 3
3＝6.
3．下列等式不正确的是( ) A ．C m
n ＝
n ！
m ！(n －m )！
B ．
C m n ＝C n －m
n C ．C m n ＋1＝C m
n ＋C m －1
n D ．C m
n ＝C m ＋1
n ＋1
考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D
解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C m
n ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1
n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！
，两
者不相等，故D 错误．
4．若A 3
n ＝6C 4
n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B
解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)
4×3×2×1
，
化简得
n －3
4
＝1，所以n ＝7.
5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 3
10种
B ．
C 3
10种
C．C310A310种D．30种
考点组合的应用
题点无限制条件的组合问题
答案 B
解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.
6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )
A．24种B．10种
C．12种D．9种
考点组合的应用
题点有限制条件的组合问题
答案 C
解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.
7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )
A．115 B．90 C．210 D．385
考点组合的应用
题点有限制条件的组合问题
答案 A
解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.
8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )
A．15 B．7 C．6 D．0
考点组合数性质
题点利用组合数的性质进行计算与证明
答案 C
解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．
二、填空题
9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
考点 组合的概念
题点 组合的判断
答案 1∶2
解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.
10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 60
解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42
×1＝60(种)． 11．不等式C 2n －n <5的解集为________．
考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题
答案 {2,3,4}
解析 由C 2n －n <5，得
n (n －1)2－n <5，
即n 2－3n －10<0，
解得－2<n <5.
由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4，
故原不等式的解集为{2,3,4}．
三、解答题
12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．
考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2×n ！5！(n －5)！
＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！
， 整理得n 2－21n ＋98＝0，
解得n ＝7或n ＝14，
要求C 12
n 的值，故n ≥12，
所以n ＝14，
于是C 1214＝C 214＝14×132×1
＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加．
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 5
12＝792(种)不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．
四、探究与拓展
14．以下三个式子：①C m
n ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式
题点 组合数公式的应用
答案 3
解析 ①式显然成立；
②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，
所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；
对于③式C m
n ÷C m ＋1
n ＝C m n C m ＋1n ＝A m
n ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 2
4＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，
4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。