4.1.1+n次方根与分数指数幂教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
n次方根与分数指数幂教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课堂教学设计学科： 数学 姓名：4.1.1 n 次方根与分数指数幂课型：新授课教学背景分析1. 教材来源本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第1节《指数》第１课时。
2. 地位与作用从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂()0,;1,0>≠>n n m a a a nm为整数，且且 、实数指数幂R)∈1；；≠且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．三）学情分析1.认知基础：学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如21S 的以分数为指数的幂。
2.认知障碍：从整数指数幂过渡上升转化到分数指数幂的数学抽象需初步培养，还不足以支撑学生非常清晰的理解。
教学目标1. 知识目标：①掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； ②了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； ③理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2.能力目标：①由整数指数幂上升到分数指数幂；②学会借助已有经验，有意识的进行类比处理。
3.素养目标：通过根式与分数指数幂之间的相互转化培养数学抽象核心素养；利用逻辑推理理解分式指数幂的含义； 正确运用根式的运算性质进行根式的运算，提升数学运算核心素养。
教学重点和难点重点：会根据不同的需要选择恰当方法表示函数，了解分段函数概念，并能简单应用；难点：函数的解析式的求法，分段函数的定义及应用。
教学资源和教学方法启发式教学方法,并借助多媒体辅助教学.自主探究、合作交流教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一问题导学预习教材104-109，并思考以下问题：1.n次方根是怎样定义的？2.根式的定义是什么？它有哪些性质？3.有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？有理数指数幂有哪些运算性质？教师提出问题，让学生带着问题去思考阅读培养学生逻辑推理等核心素养环节二情境1：以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．情境2：简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考以下问题：追问：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的问题串的设置，逐步引导学生从已有经验出发，慢慢迁移到我们所要学习的新知上。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根学案
4.1.1 n次方根与分数指数幂学习目标：1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2．能利用根式的性质对根式进行运算．学习过程：【知识导学】1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号n a表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，这个数的n次方根可以合写成n a± (a>0)．③负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零．(3)根式:式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．3．分数指数幂一般的，我们规定： (1) ＝n m a (a >0，m ，n ∈N *，n >1)；(2) ＝1a mn＝nma 1(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．4．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )．【名师点拨】1.na n与(na )n的区别(1)na n 是实数a n的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．其算法是对a 先乘方，再开方(都是n 次)，结果不一定等于a ，当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)(na )n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶决定．其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式 na m化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) 23＝3－52有意义，但(－5) 34 ＝4－53就没有意义．【初试身手】mna n m a -1．（2020·浙江高一课时练习）化简(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）A B C ．D ．【答案】A【解析】先计算小括号里面的，然后化简负分数指数幂.原式=123-=. 故选A.2．（2020·全国高一专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）a =，②a R ∈，则()211a a -+=43x y ==A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】①当n a =，①错误；②当a R ∈时，210a a -+≠，则()211a a -+=，②正确；③43x y y ====，④错误 故选B3.用根式的形式表示下列各式(a >0)：①a15 ＝________；②a34＝________；③a －35 ＝________；④a －23＝________. 答案 ①5a ②4a 3③15a 3 ④13a24．（2020·全国高一课时练习）()2a b -＋()55a b -的值是________.【答案】0或2(a －b )【解析】()2a b -＋()55a b -＝|a －b |＋(a －b )＝()0,2,a ba b a b ≤⎧⎨->⎩.故答案为：0或2(a －b ).5.若n 为偶数时， nx －1n＝x －1，则x 的取值范围为________．答案 x ≥1【典例学习】 类型一根式的概念、求值、化简 例1. 求下列各式的值．(1) 3（－2）3； (2) 4（－3）2；(3) 8（3－π）8； (4) x 2－2xy ＋y 2＋7（y －x ）7. 答案：(1) －2 (2)3 (3) π－3. (4) ⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2（y －x ），x ＜y .解析: (1) 3（－2）3＝－2. (2) 4（－3）2＝432＝ 3. (3) 8（3－π）8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝ （x －y ）2＋y －x ＝|x －y |＋y －x . 当x ≥y 时，原式＝x －y ＋y －x ＝0；当x ＜y 时，原式＝y －x ＋y －x ＝2(y －x )．所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2（y －x ），x ＜y .［方法技巧］1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号．2.正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性．［变式训练］1．（2020=________.【答案】0. 【解析】()()()44440ππππ=-+-=-+-=.2．（2020·浙江高一课时练习）当810x <<=________.【答案】2 【解析】∵810x <<，∴80x ->，100x -<，|8||10|(8)(10)2x x x x =-+-=-+-=. 故答案为：23．若（2a －1）2＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析：（2a －1）2＝|2a －1|，3（1－2a ）3＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.类型二根式与分数指数幂的互化例2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)(a －b ) －34 (a ＞b )；(2) 5（ab ）2； (3) 3（x －1）5；(4)13a 2；(5)(a －b )37.答案：(1)14（a －b ）3（2）(ab )25.（3）(x －1)53.（4）a －23 （5）7（a －b ）3解析：(1)(a －b ) －34＝14（a －b ）3.(2) 5（ab ）2＝(ab )25.(3) 3（x －1）5＝(x －1)53.(4) 13a2＝a －23(5)(a －b )37＝7（a －b ）3. ［方法技巧］根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：am n＝na m 和a－m n＝1a m n＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂. ［变式训练］（2020·全国）设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是________.【答案】76a【解析】∵0a >1172223612123a aa a b--===.故答案为：76a .类型三利用指数幂的性质化简求值计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a 2÷46a ·b ·3b 3.答案：（1）1615（2）100.（3）－a 3c (4) 32a 12b 43.解析：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c.(4)原式＝2a 23÷4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16b 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 32＝12a 23－16·b －16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 32 ＝32a 12b 43. ［方法技巧］(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． ［变式训练］（2020·云南省泸西县第一中学高一月考）计算：（1）11020.753270.064()[(2)]168π----+-+；（2【答案】（1）38π-.（2）1 【解析】（1）原式()13344641(2)21000π--⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭133343210π--⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦51328π=+-+38π=-（2）原式1332211392373a a a a --⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭13621236a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭aa =1= 类型四 条件求值问题已知x 12＋x －12＝3，求2x －1＋x ＋3的值．【解】 因为x 12＋x －12＝3， 所以(x 12＋x －12)2＝9，所以(x 12)2＋2x 12·x －12＋(x －12)2＝9， 所以x ＋2＋x －1＝9， 所以x ＋x －1＝7， 所以原式＝27＋3＝15.［方法技巧］条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． ［变式训练］ 34．（2020·全国）已知1122a a -+= （1）1a a -+；（2）22a a -+.【答案】（1）3；（2）7. 【解析】 （1）1122a a-+=125a a -++=，13a a -∴+=；（2）由（1）13a a -+=，平方得2229a a -++=，227a a -∴+=.课堂小结1．注意na n同(na )n的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．3．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．4．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”． 巩固练习1．已知x 5＝6，则x 等于（ ）A B C D 【答案】B 【解析】因为56x =，故可得x =故选：B.2．（2020·浙江高一课时练习）函数()12442y mx x m -=+++的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．1,2)B ．1,)+∞C ．(2,2)-D ．(11--【答案】B【解析】函数()12442y mx x m -=+++=因此，要使函数()12442y mx x m -=+++的定义域为全体实数，需满足2420mx x m +++>对一切实数都成立即2044(2)0m m m >⎧⎨-+<⎩解得1m >-. 故选：B3．（2019·山东省济南回民中学高一期中）计算：73244a a a ÷=_____ 【答案】12a【解析】737312244442a a a a a +-⋅÷== 故答案为：12a4.（2020·全国）若227a a -+=，则22a a --=________.【答案】±【解析】因为227a a -+=，所以()()222244222449445a a a a a a ----=+-=+-=-=，所以22a a --=±故答案为：±.5．（2020·全国高一课时练习）解下列方程．（1）32381x -=；（2（3）256550x x -⨯+=.【答案】（1）{}2（2）43⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）{}0,1 【解析】【分析】（1）指数式化为对数式，根据对数的性质进行计算可得答案；（2）根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果；（3）化为关于5x 的一元二次方程，解得51x = 或55x =,进一步可得结果.【详解】（1）因为32381x -= ，所以43332log 81log 34x -=== ，所以2x =， 所以方程32381x -=的解集为{}2 .（2=，所以23255x = ，所以223x =，所以43x = ，=43⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （3）因为256550x x -⨯+= ，所以()256550xx -⨯+= ， 所以()()51550x x --= ， 所以51x =或55x = ，所以0x =或1x =，所以方程256550x x -⨯+= 的解集为{}0,1.。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计-人教A版高中数学必修第一册
【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。
数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
n次方根与分数指数幂 教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
晋城一中（数学）课时教案学年度第一学期主要教学过程设计二次备课教学过程一．n次方根的概念1.n次方根的定义一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根.（其中1>n，且*∈Nn）2. n次方根的性质(1)aa nn=）（(1>n，且*∈Nn).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数nanaan n.(3)负数没有偶次方根.(4)0的任何次方根都是0，记作00=n3. 根式的概念式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.例1 求下列各式的值：（1）33)8(-（2）2)10(-（3）44)3(π-（4）2)(ba-解：（1）8)8(33-=-（2）10)10(2=-（3）33)3(44-=-=-πππ（4）⎩⎨⎧<-≥-=-=-baabbabababa,,)(2二、分数指数幂的定义1.规定正数的正分数指数幂的意义是：n mnmaa=(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：n mnmnmaaa11==-(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。
发展学生数学推理能力；通过根式的求值，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。
教学过程主要教学过程设计二次备课3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①s rsr aaa+=(0>a，r，Qs∈)；②rssr aa=)((0>a，r，Qs∈)；③rrr baab=)((0>a，r，Qs∈).(2)拓展：s rsraaa-=(0>a，r，Qs∈).例2 求值：（1）328；（2）43)8116(-.解：（1）42)2(8232332===；（2）827)23()32(])32[()8116(3343443====---例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中0>a).（1）322aa⋅；（2）3aa⋅例4 计算下式各式(式中字母均是正数).2115113366221(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（）；318842()m n-（）；323243(.a a a÷（）-)211115326236=[2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-（1）原式=4=4ab a3188842=()()m n-（）原式2233==.mm nn-2313223=()a a a-÷（）原式21313222=a a---166==a a a a--通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。
2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：4.1.1 n次方根与分数指数幂 Word版含答案
第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。
2.掌握分数指数幂与根式的互化。
二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。
教师提问，学生回答：x是a的平方根。
提问引入，吸引学生的学习兴趣。
2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
例如：2就是8的立方根。
n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。
那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。
加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。
的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。
正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。
根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
你还记得哪些整数指数幂的运算性质。
把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。
学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。
人教A版(2019)4.1.1n次方根与分数指数幂课件(37张))
题型二 利用根式的性质化简或求值
例 2 化简：(1) 3＋2 2＋ 3－2 2；
(2) 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3；
3
(3)
2＋
5＋3 2－
5.
• [分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
• (3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝ 22＋2 2＋1＋ 22－2 2＋1
1
(2)原式＝ a2 a－2 ÷ a－3 a 3 ÷ a－2 a－2
＝3 a2÷
7
a3
3
÷
a－2
2
71
1
＝a3 ÷(a3 )2 ÷(a－2)3
2
7
2
＝a3 ÷a6 ÷a－3
27
2
12
1
＝a3 －6 ÷a－3 ＝a－2 ＋3 ＝a6 .
• [归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
• (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)已知
x7＝6，则
7
x＝___6___；
(3)若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是____[2_，__＋__∞__)____.
[分析] 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方数的要求 及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16 的平方根为±4.－27 的 5 次方根为 5 －27.
基础自测
3
1.
－8等于(
B
)
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] 3 －8＝3 －23＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．(3 a)3＝a
n次方根与分数指数幂+课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
am an amn
am n amn
am an am-n
a bm ambm
a b
n
an bn
指数
an
幂
新课
问题1 平方根、立方根是如何定义的？
(1) 4的平方根是___2_ (2) 4的算术平方根是__2__ (3) 8的立方根是__2__ (4) -8的立方根是___-_2
如果x2=a，那么x叫做a的平方根，x a 如果x3=a，那么x叫做a的立方根，x 3 a
4 3 4 3 3
(4) (a b)2
(a b)2
ab
a b,a b a,a
b b
问题5 观察以下式子，并总结规律：（a>0）
12
10
4 a12 4 a3 4 a3 a 4 5 a10 5 a2 5 a2 a 5
结论：当根式的被开方数的指数能被根指数 整除时，根式可以表示为分数指数幂形式.
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到了有理数，那么，能不 能继续推广到实数范围呢？
(1)一般地，无理数指数幂aa(a>0，a是无理数)是一个确定的实数; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即：
(1)a r a s a r s (a>0，r,s∈R); (2)(a r )s a rs (a>0，r,s∈R); (3)(ab)r a r br (a>0,b>0，r∈R);
an
n
1 am
(a 0,m,n N*,且n 1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
有理数指数幂的运算性质
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n
±n a
a的取值范围 R
[0，＋∞)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
一、 利用根式的性质化简或求值 【例1】 化简：
(1) 4 3 4 ；
(2) （a－b）2(a>b)；
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 1 a3 .
解 (1) 4 3 4 ＝|3－π|＝π－3.
(2) a b2 ＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
例 3 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
反思 感悟
正确区分n an与(n a)n (1)( n a)n 已暗含了n a有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围． (2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性．
n次方根与分数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
（1）2 ∙ 2 ；
解：（1）2
∙
（2） 3 .3来自2=2
2
3
∙ =
8
3
；
（2）
3
=
作者编号：32101
1
3
· =
4
3
2
3
= .
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）.
1 5
1 1
23 12
6 6
2 3
1 2a b 6a b 3a b
a(a 0)
=|a|= a(a 0) ;
a mp n a m（a≥0）.
m
n
（4）a n a m (a 0, m, n N *且n 1).
m
1
n
（5）a
(a 0, m, n N *且n 1).
n
am
作者编号：32101
课堂总结
(1)n次方根与分数指数幂的概念与性质
4.1.1 n次方根与
分数指数幂
作者编号：32101
学习目标
1.知道n次方根与分数指数幂的概念.
2.理解n次方根与分数指数幂的性质.
3.会分数指数幂与根式的互化.
作者编号：32101
新课导入
初中，我们已经学习了整数指数幂，在学习幂函数时，我们把正方形场地
1
2
的边长c关于面积S的函数 = 记作 = .
作者编号：32101
1
a a a
r
s
r s
(a ) a
r s
(a 0, r , s Q)
人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章-4.1.1n次方根与分数指数幂教案
《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计教材内容：n 次方根与分数指数幂这一节的内容是在初中学习过平方、立方以及平方根等的基础上，对以上内容的进一步深入学习。
本节内容将整数的指数推广到分数的指数，体现了数学中由一般到特殊的数学思想。
同时，本节作为本章的起始课，对于后续内容的学习有着奠定基础的作用。
教学目标：1.理解n 次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重点与难点：1、教学重点：根式、分数指数幂概念的理解;掌握并运用分数指数幂的运算性质.2、教学难点：有理数指数幂运算性质的应用.教学过程（一）新课导入让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?教师引导学生回答并归纳：若x 2=a ，则x 叫作a 的平方根.同理，若x 3=a ，则x 叫作a 的立方根.（二）探索新知探究一: n 次方根的概念我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n 次方根的概念：一般的，如果x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ﹥1，且n *N .教师提问，n 的取值会影响n 次方根的值吗?学生讨论，自行归纳出结果：当n 为偶数时，正数a 的n 次方根中，正的n 负的n 次方根用当n 为奇数时，a 的n.n 叫做根指数，a 叫做被开方数.探究二：正数的分数指数幂的意义大家观察以下式子，能否总结出一些规律?1025a a =（a ﹥0）,842a a =（a ﹥0）,1234a a =（a ﹥0）. 学生讨论.教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?23a （a ﹥0）, 12b （b ﹥0）,54a （c ﹥0）由此得出结论:mn a （a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1=mn mn a a -=（a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）. 注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.探究三：正数的分数指数幂的运算类比平方根，立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个? 当n 为奇数时呢?学生类比初中学过的知识讨论总结:a为正数时，{n a n n a n 为奇数时，的为偶数时，的a 为负数时， ;.n n a n a n a n 为奇数时，的次方根有一个，为为偶数时，的次方根不存在 0的n 次方根为000n =.例：16的四次方根为±2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况根据n 次方根的意义可得n n a a =，一定成立. n n a na 的n n n a a =一定成立吗?如果不一定成n n a ?333(3)273-=-=-， 44(8)88-=-=.教师引导学生讨论并总结: n n n a a =；n {,0;,<0.n n a a a a a a ≥-==探究四：有理指数幂的运算由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即： 1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r s r s rs r r r a a a a r s Q a a a r s Q ab a b a b r Q +=∈=∈=∈（）（）（）（三）课堂练习1.求下列各式的值： 338（-） 210（-） 44π（3-）2.求值（1）2 3 8(2)34 16 () 81-3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.（1）2a（2（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.掌握n次方根的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.四、板书设计1. n次方根与根式的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.。
【课件】n次方根和分数指数幂课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(3)×.当n 为偶数，a<0 时，
【答案】(1)×(2)×(3)×
要点2分数指数幂 阅读教材，完成下列问题. 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*, 且 n>1).
2.规定正数的负分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*,且n>1).
3.0的正分数指数幂等于 0_,0的负分数指数幂没有意义.
根式与分数指数幂的互化
化简求值
[再练一题] 3.计算：
【导学号：97030075】
【解析】 原式
【答案】
指数式的条件求值问题
;
探究1 扎
【提示】
9
分别展开是什么?
2,
探究2
不
有什么关系?
【提示】
已知
(1)a+a-¹;(2)a²+a-².
,求下列各式的值：
【精彩点拨】 寻找要求值的式子与条件 代入求值.
把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式：
(1) √3⁵=
; (3
【答案】 (1)
(2) (3)2 (4) √3³ (5
要点3有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂
阅读教材，完成下列问题.
1.有理数指数幂的运算性质
(1)a'a³=d+(a>0 , r,s∈Q) (2)(a)⁸=d*(a>0, r,s∈Q)
(3)(ab)= db(a>0,b>0
, r∈Q.
2.无理数指数幂
无理数指数幂a(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运
算性质对于无理数指数幂同样适用.
化简： 【解析】
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂教案
4.1.1 n次方根与分数指数幂教材分析：教科书章引言一方面指出了章头图所蕴含的数学模型，另一方面还列举了这些数学模型的其他背景实例，从而指出本章将类比幂函数的研究方法，学习指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较，以及运用它们解决一些实际问题．教科书章头图是良渚遗址．通过章引言，指出生物体死亡后，体内碳14的含量随着时间的变化按一定的规律衰减，引出本章将要学习的指数函数．在实际应用中，往往是先通过技术手段测出死亡生物体内碳14的含量，然后根据指数函数建立生物体内碳14的含量与死亡时间的关系，并利用对数和对数函数推算生物死亡的大致时间，从而实现考古的目的．由于死亡生物体内碳14的含量随时间连续变化，说明引进分数指数幂和无理数指数幂的必要性，并为指数函数的定义域是实数集提供了现实背景．研究函数必先掌握运算，而数及其运算是推动数学发展的源泉和动力之一，是数学的基石．指数幂运算和对数运算是两类基本运算，对数运算与指数幂运算紧密相连，需要转化成指数幂运算，因此，熟练掌握指数幂运算是本章的基础．指数幂运算的本质是数的自乘，把整数指数幂运算推广到有理数指数幂运算的本质就是使用新的运算符号表示根式运算和分式运算（负数指数幂运算），简而言之就是从一个符号的规定再到另一个符号的规定.只要能够准确进行两种运算符号的转化即可.而有理数指数幂这种数学运算符号表示的简洁性、运算的便捷性都优于分式和根式，这一符号的产生具有其必然性.比如：a与b的算术平均数为，几何平均数为，可理解为运算级的上升.事实上从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉才明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.指数幂运算的发展史充分说明基于数学语言的简洁性、准确性和合理性，有理数指数幂运算符号的产生与完善是有其历史必然性的.教科书在研究幂函数时把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作引出分数指数幂的表示法.数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容，于是从根式的意义入手，将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，又为了希望整数指数幂的运算能与其相容，于是只规定了被开方数为正数的分数指数运算.事实上分数指数幂是根式的一种新的表示方法，其表示的简洁性、运算的便捷性都优于根式．而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.因此本节课的教学重点是：根式与有理数指数幂的意义及运算性质.学情分析：虽然学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质，并在学习幂函数的过程中接触过二次根式的分数指数幂的符号表示，但是由于n次方根及有理指数幂比较抽象，学生理解起来还是有困难．因此本节课教学难点是：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质.教科书是通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根，归纳类比出n次方根的一般定义与性质. n次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广．教学时，可以用平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化区分负数指数幂与分数指数幂的不同，巩固、加深对有理数指数幂的理解.教学目标：1.经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质．2.了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化.3.理解有理数指数幂意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养. 教学重点：理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，有理数指数幂的运算性质.教学过程：1．独立阅读，明确任务问题1请同学们先阅读教材第四章的章头图和章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）这些函数可以解决哪些现实问题？师生活动：学生独立阅读教材内容，回答上述问题．预设的答案：（1）指数函数与对数函数，及其相关知识．（2）比如人口增长模型是指数函数；不可治愈的强传染病在大量人群中传播的初期都是一个简单的指数增长；声音的强度单位分贝是用对数做单位的（因为人耳对声音的变化很不敏感，其变化成倍数时才会有感）；衡量酸碱度的PH值也是取离子浓度的对数做单位的……举例时应突出指数函数爆炸性增长的特点，对数函数增速变缓的特征.设计意图：明确本章研究内容、目的、实际应用背景，为本章的研究指明方向．2．创设情境，引发思考问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义，并谈谈整数指数幂运算与乘法、除法运算的关系.指数的范围还能进一步扩充吗？师生活动：学生回答，提出自己的猜想，教师予以归纳.预设的答案：正整数指数幂来源于自乘运算，负整数指数幂运算来源于数的自乘运算的倒数，这种幂运算在表示形式上更加简洁.在学习幂函数时曾经把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作，因此猜想，指数的范围还能进一步扩充．设计意图：通过复习整数指数幂的运算，体会指数运算源于数的自乘，同时为了表示的简洁才引入了指数幂运算，阐述指数幂运算产生的必要性，以便引出分数指数幂运算.3．类比归纳，形成定义问题3 请类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根，5次方根，10次方根，11次方根，……你认为n次方根应该是什么？预设的师生活动：先由学生举例解释，然后进行观察、归纳、抽象.预设答案：学生举例：①(±2）4=16，我们把叫做16的4次方根；②(-2)5=-32，我们把叫做-32的5次方根；③37=2187，我们把3叫做2187的7次方根；……教师讲解：设计意图：引导学生由特殊到一般进行观察、归纳、抽象.形成n次方根的定义．4.深入分析，精致定义问题4 对于任意一个实数，它的n次方根分别是怎样的？预设答案：设计意图：规范根式的表示方法，通过对被开方数的分类讨论，理解根式的意义．小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就容易避免出现错误．设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根概念，形成严谨的逻辑划分思想，提升逻辑推理的核心素养.将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式引出分数指数幂运算的定义.预设的师生活动：学生独立完成证明，然后交流展示．设计意图：通过简单应用，落实一个数到底有没有n次方根，一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.通过反例说明两步缺一不可．如果被开方数是一个正数，那么是一定成立的，并且其结果就是.为引出分数指数幂做铺垫.5．初步应用，深化理解例1 求下列各式的值：追问：求解的依据是什么？6.类比研究，获得有理数指数幂问题6负整数指数幂是用于表示分式的，如，其本质是通过扩充指数的范围表示分式．那么根式可以利用指数幂的形式表示吗？如果能，你要如何扩充指数的范围呢？尝试给出一个合理规定表示根式，并谈谈你这样规定的合理性.预设的师生活动：学生分组交流，可谈出多种方法，教师可提示以不改变指数幂的运算性质为标准.设计意图：从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.这一历史发展过程充分说明分数指数幂的产生有其历史必然性，学生可以通过类比归纳，感受数学家制定规则时内在的逻辑性、概念之间的相容性，体会数学的简洁美，提升类比推理的能力.追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道这就是说，被开方数的指数能被根指数整除的根式，可以表示为分数指数幂的形式．那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如,是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？预设的师生活动：学生类比猜想得到答案.预设答案：教师讲解：我们规定正数的分数指数幂的意义是．被开方数为负时不做研究.设计意图：为问题6的解决铺设阶梯.追问2：阅读教科书，理解分数指数幂的意义，谈谈负分数指数幂的意义．零与负数有分数指数幂吗？能不能说说这些规定的合理性？预设的师生活动：学生阅读教科书,回答问题．预设答案：负分数指数幂是在正分数指数幂的基础上取倒数．规定0的正分数指数幂都是0；0不能做分母，零的负分数指数幂没有意义. 而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.规定：（1）0的正分数指数幂等于0；（2）0的负分数指数幂没有意义.设计意图：规范表示方法，通过探讨数学符号形成的科学性与合理性，与根式比较体会分数指数表示在运算中的简洁性，同时理解分数指数幂意义的本质就是根式.追问3：有理指数幂的运算性质有哪些？预设的答案：7.初步应用，深化理解例2求值：例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：追问：求解的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，并展示，教师予以纠错并规范．预设的答案：例2例3追问：通过求解这些题目，你获得了怎样的经验？预设的答案：要明确求解的依据，根据规则有序运算．在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．设计意图：求解的依据有理指数幂的运算性质，因此要转化为指数运算而不是转化为根式．体现分数指数幂在运算中的优越性．8．梳理小结问题7：谈谈理数指数幂运算性质的特点.预设的答案：掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化的是以降低一个运算级来实现的．9.布置作业（1）教科书107页练习1、2、3；五、目标检测设计计算下列各式设计意图：检测根式与分数指数幂的互化及有理数指数幂的运算性质.。
4.1指数+教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学设计 课程基本信息学科数学 年级 高一 学期 秋季 课题4.1指数 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册（A 版）出版社：人民教育出版社教学目标1.掌握n 次方根及根式的概念，能正确运用根式的性质进行根式的运算；2.理解分数指数幂的概念，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；掌握有理数指数幂的运算法则；3.了解无理数指数幂的意义，经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，体会逼近思想。
教学内容教学重点：1. n 次方根和分数指数幂的概念及关系；2.实数指数幂的运算及其性质。
教学难点：1.根式与分数指数幂的互化；2.对无理数指数幂的理解：是一个确定的实数。
教学过程一、课前回顾1、正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，记作n a ，其中a 称为底数，n 称为指数。
规定：)0(10≠=a a ；)0(1≠=-a aa n n 2、整数指数幂的运算性质：),()(),()(),(Z n m b a ab Z n m a a Z n m a a a m m m mn n m n m n m ∈=∈=∈=⋅+【设计意图】从已有的学习经验出发，引导学生回顾旧知，为学习分数指数幂及其运算性质做好准备。
提出问题：形如21S 的以分数为指数的幂的意义是什么？它们具有怎样的运算性质？二、探究新知探究1：n 次方根如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，如2±就是4的平方根。
如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，如2就是8的立方根。
师：类比平方根和立方根的定义，同学们能不能给出n 次方根的定义呢？一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中且1>n 且*N n ∈.比如，7712821282=⇒=55322322-=-⇒-=-）（ 发现：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数。
结论：当n 是奇数时，若a x n =，则n a x =师：n 是偶数呢？比如，44162162±=±⇒=±）（结论：当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个且互为相反数，一般地，正的n 次方根用n a 表示，负的则用n a -表示，两者合起来写成n a ±。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 (教学课件)-高一数学必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.1
n次方根与分数指数幂
人教A版2019必修第一册
学习目标
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值．(重点)
3.会对分式和分数指数幂进行转化．(重点)
4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(难点)
C A T A L O G
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，
乘方的结果叫做幂.
幂
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
底数
学习新知
初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面
1
2
积的函数 = 记作 = .像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面
从已知的平方根、立方根的意义展开研究.
5
例如，( 5)2 = 5, ( −3)5 = −3.
应用新知
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0, 记作 n 0 0.
式子 n a叫做根式, 这里n叫做根指数, a叫做被开方数.
让我们认识一下这个式子:
根指数
根式
n
a
被开方数
根据n次方根的意义, 可得( n a )n a , 例如( 5)2 5, ( 5 3)5 3
c 5 c (c 0),
我们希望整数指数幂的运算性质, 如(a k )n a kn , 对分数指数幂仍然适用.
学习新知
由此, 我们规定, 正数的正分数指数幂的意义是
m
n
a n a m (a 0, m, n N , n 1)
数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容．
4.1.1 n次方根与分数指数幂 (教学课件)——高一上学期 数学人教A版(2019)必修第一册
3
x?
x?
……
如果xn=a ，那么x叫做a的n次方根
x?
a
4
9
0
-4
-9
a的平
方根
±2
±3
0
a的立
a
方根
27 3
8
2
0
0
-8 -2
-27 -3
a的四
a 次方根
81 ±3
16 ±2
0
0
-16
-81
a的五
a 次方根
32
2
1
1
0
0
-1 -1
-32 -2
定义：
一般地，如果 xn=a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，
人教A版2019必修第一册
第4章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
教学目标
1.理解n次方根、根式的概念.（数学抽象）
2.运用根式运算性质化简求值.（数学运算）
3. 根式和分数指数幂互化.（数学运算）
4.运用有理数指数幂的运算性质进行计算.（数学运算）
情景导入
情景导入
良渚遗址
正整数指数幂的运算性质：
m n
mn
*
a
a
a
(
m
,
n
N
（1）
；)
（2）
(a ) a
m n
mn
（3）（ab) a b
m
m m
(m, n N )
；
*
(m . N )
*
如果x2=a，那么x叫做a的二次方根/平方根
如果x3=a，那么x叫做a的三次方根/立方根
1.1 n次方根与分数指数幂一等奖创新教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1.1 n次方根与分数指数幂一等奖创新教学设计-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册【课题】n次方根教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第1课时。
从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。
体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。
教学目标与核心素养知识与技能理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理指数幂的运算性质。
过程与方法让学生通过实例初步接触分数指数幂；将已知的平方根和立方根的概念推广到一般的n次方根，体会从一般到特殊的转化；从根式的意义出发将整数指数幂推广到分数指数幂从而推广到有理指数幂，学会根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算性质。
情感态度与价值观让学生在观察、探究、发现中学习，渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，形成对立统一、相互联系、相互转化的思想。
培养学生勇于探索的精神，体会从特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。
学科素养数学抽象：根式的概念；逻辑推理：根式与分数指数幂的互化；数学运算：根式的化简；直观想象：指数幂的运算法则；数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围。
教学重难点重点：根式的概念，分数指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质。
教学方法。
讲述法、练习法教学手段讲课教学过程教学过程设计问题引入：问题1：初中已经学过了整数指数幂，形如，例如：22，164.而在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作。
像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面我们从已知的平方根和立方根的意义入手。
（二）新知探究：【通过几道小题复习平方根和立方根的知识】1、复习辨析（1）实数a的立方根只有一个。
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4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计
（一）课时教学内容：
n次方根的概念和分数指数幂的概念
（二）课时教学目标：
1.通过具体的实例，与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂和根式的概念及相互关系.
2.掌握分数指数和根式之间的相互转化.
3.培养学生观察分析，抽象的能力；通过运算训练，养成学生一丝不苟的学习习惯.
（三）教学重点与难点
1.教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算
2.教学难点：分数指数幂的概念
（四）教学过程设计
【问题1】复习回顾，回答下列问题
1.什么是平方根？什么是立方根？
2.一个数的平方根有几个？立方根呢？
师生活动：
1.学生思考回顾之前所学的知识，回顾平方根和立方根的概念；
2.教师归纳总结以上知识，带领学生回顾.为了简洁明了地引出n次方根的概念，我们需要举几个例子来说明.
设计意图：
回顾平方根和立方根的概念，从而引出n次方根的概念.
追问：那你觉得n次方根的概念应该是什么呢？该如何表示？
师生活动：
1.学生根据已知的平方根和立方根的概念，猜测n次方根的概念；
2.教师总结n次方根的概念，并指明正数与负数的区别，以及n的范围.
设计意图：
了解n次方根的概念和表示.
【问题2】阅读课本104页，思考下列问题
1.a的n次方根中n的奇偶与a的正负之间有什么关系？例如，当a是正数，n 是奇数时，a的n次方根是正数还是负数？
2.负数有偶次方根吗？为什么？
师生活动：
1.学生根据课本内容，思考问题，自己寻找原因，可以小组讨论；
2.教师找学生回答问题，并结合学生所答总结知识.给出根式，根指数和被开方数的概念.
探究：n n a表示a n的n次方根，n n a=a一定成立吗？如果不一定成立，那么n n
a等于什么？
师生活动：
教师引导学生，结合刚刚思考的问题回答探究问题.当a为负数，n为偶数时，a n为偶数，而此时不仅仅等于a.
设计意图：
得到a 的n 次方根在不同条件的时的公式.
【问题3】判断以下问题是否正确？为什么？ 1.2的平方根是2； 2.416等于±2； 3.2不是2的平方根，2±是2的平方根； 4.24-）（的平方根是±2．
师生活动：
1.教师引导学生分析1和2:
1:错误，颠倒了，应该“是2的平方根”；
2:错误，是指16的正的4次方根，所以；
2.学生根据前两道题的思路，自行解决3和4题，教师给出答案.
【问题4】计算课本105页例1
师生活动：
学生小组讨论进行计算，教师找一组学生回答问题，并根据回答内容总结分析给出答案.
设计意图：
巩固以上所学知识.
【问题5】思考问题
根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道）（0)(a 5102552510>===a a a a , )0()(4
123443412>===a a a a a , 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.思考，如果根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否也表示成分数指数幂的形式？
师生活动：
1.学生小组讨论，说出自己的想法和理解；
2.教师点评小组讨论结果，给出最终结果，引导学生深入理解和思考问题，从而给出分数指数幂的概念和表示方法.并把整数指数幂的运算性质拓展到有理数. 设计意图：
引出分数指数幂的概念，将整指数幂的运算性质拓展到有理数.
【问题6】计算课本106页例2和例3
师生活动：
学生自己进行计算，并小组讨论正确答案；教师找学生回答问题，让学生说出思考计算过程，并针对不会的问题进行讲解.
设计意图：
让学生加深理解分数指数幂的运算性质.
【课后作业】
课本109页第1、2题
设计意图：
第1、2题练习所学的n 次方根和分数指数幂的概念和表示方法.
（五）目标检测设计
目标检测题：
1.用根式的形式表示下列各式（a>0）：
（1）32a ； （2）32-a
检测目标：根式与n 次方根之间的转化.
2.用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）)0(32>x x ; (2))0(56>p p p
检测目标：分数指数幂与n 次方根之间的转化关系.
3.计算下列各式：
（1）63125.1332⨯⨯; （2）512131-a a a
检测目标：分数指数幂的运算性质.。