2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2(答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)

一、选择题

1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2

2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2

-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,

解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.

4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2

+q 4

=7,解得q 2

=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2

+a 3q 2

+a 5q 2

=(a 1+a 3+a 5)q 2

=21×2=42. 5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.

6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为1

6a 3

,剩余部分的体积为a 3

-1

6a 3

=5

6a 3

.它们的体积之比为1

5.故选D.

评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=

3-72

=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则

P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2

=25.令x=0,得

y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18, 第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4;

第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.

评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,

∴当OC⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =1

3×1

2R 2

×R=1

6R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62

=144π.

评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.

10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP⊥AB,则x=π

2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π

2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x∈[0,π

4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.

11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a

2-y 2

b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象

限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a )2

a 2

-

(√3a )2

b 2

=1,解得

b 2

=a 2

,∴e=√1+b 2a 2

=√2. 12.A 令g(x)=f (x )x

,则g'(x)=

xf '(x )-f (x )

x 2

,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上

是减函数.

∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=

f (1)1

=0,

∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又∵g(-x)=

f (-x )-x

=

-f (x )-x

=

f (x )x

=g(x),∴g(x)是偶函数,

∴当x∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).

评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=

f (x )x

.

二、填空题 13.答案 1

2

解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a+2b 平行等价于λ1=1

2,

即λ=1

2. 14.答案 3

2

解析 作出可行域,如图:

由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=3

2. 15.答案 3

解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4

,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4

=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴1

2×(a+1)×16=32,∴a=3. 评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1

n

解析 ∵a n+1=S n+1-S n ,∴S n+1-S n =S n+1S n ,又由a 1=-1,知S n ≠0,∴1S n

-1

S

n+1

=1,∴{1

S n

}是等差数列,且

公差为-1,而1S 1

=1a 1

=-1,∴1S n

=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n =-1

n .

三、解答题

17.解析 (Ⅰ)S △ABD =1

2AB·ADsin∠BAD, S △ADC =1

2AC·ADsin∠CAD.

因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠B sin∠C =AC AB =1

2.

(Ⅱ)因为S △ABD ∶S △ADC =BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知