高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 4.2空间图形的公理》

《空间图形的公理》教学设计

一、教材分析（主要从两个方面）

1、教材的地位与作用

本节课是本章的重点，它不仅是《空间图形基本关系》的顺延，同时也对培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力有重要的作用，另外它又为进一步研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。

2．从学生的认知角度来看

用文字语言描述的公理对学生来说不难理解，但三种语言的相互转化对部分学生来说就有一定的难度，公理的应用对学生来说比较困难，对逻辑思维能力有较高的要求。

二、目标分析（主要包括4个方面）

1、学情目标

本节课的授课对象是我校普通班的学生，因此本节课借助一些生活实例和长方体模型，让学生直观感知、实验和说理，得到四个公理，进而进行三种语言的相互转化，最终达到对公理的应用

2、教学目标

根据教材分析和学情目标，考虑到学生已有的认知心理特征，我制定了如下的教学目标：（1）知识与技能：①通过一些生活实例和长方体模型，使学生了解空间图形的公理。

②让学生在探究的过程理解四个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言

的相互转化

（2）过程与方法：让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力

（3）情感态度与价值观：使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力

3、教学重、难点

结合前面的分析不难得到本节课的重难点为：

重点：①空间图形公理的生成与理解

②空间图形公理的应用

重点突破:让学生通过一些生活实例和长方体模型理解四个公理，进而应用。

难点：空间图形公理的应用

难点突破:通过多次感受接触，在充分发挥学生主体作用下，给予适当的提示和指导

三、教学方法

让学生感受空间几何体存在于现实生活周围，转变学生的数学学习方式，变被动学习为主动参与式学习，因此在教学过程中我采用了以引导探究为主的数学方法。

教学手段：利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学

四、课堂结构：为了得到本节课的教学效果，我从复习回顾、巩固旧知

创设情境，提出问题，师生互动，探究问题，例题讲解，形成技能，总结归纳，加深理解五个层次环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的

五、教学过程

1、复习回顾、巩固旧知

（1）回顾平面的两个特征：①无限延展②平直的（没有厚度）

（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面

（3）请叙述出空间点、线、面的位置关系

（4）公理概念：就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的

设计意图：复习平面的概念及其表示方法（符号语言、图形语言），和空间点、线、面位置关系及表示，为讲解四个公理作铺垫，承上启下。

2、创设情景、导入课题

探究问题一：①在门轴上找一点、两点、三点、、、、、、能否把门固定住？

②观察教室的门，用两个合页和一把锁就可以固定了，为什么？

③根据自己的观察并归纳总结。

设计意图：用身边常见的现象和具体的模型给学生直观印象，让学生在课堂上思索、探究，提高学生的数学思维能力，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理1。

公理1 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

符号语言：,, ,, ,,

A B C

A B C A B C

αα

β

⎫

⎪

∈⇒

⎬

⎪

∈⎭

不共线

与β重合图形语言：

或者：∵,,

A B C不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,

A B Cα

∈

新知提炼：公理1应用：①确定平面；②证明两个平面重合

思考交流：结合初中“两点确定一条直线”，我们还能得出其他结论吗？

1. 一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面（推论1）

2. 两条相交直线，可以确定一个平面 （推论2）

再结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行和推论1，我们还能得到什么结论？ 两条平行直线，可以确定一个平面 （推论3）

注：讲解公理1的三个推论时重在理解，淡化证明

为了加深对公理1和推论的理解，我设计了一个小练习

1、用四种方式解释在长方体1111D C B A -ABCD 中,平面ABC 1 的由来。

探究问题二：写字时如果把纸看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：

(1) 你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？

(2) 你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？

(3) 生活中还有没有类似结论的例子

设计意图：通过长方体模型和生活实例，让学生直观感受直线在平面内的条件，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理2

公理2如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号语言：A AB B αα∈⎫⇒⎬∈⎭

⊆α． 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB ⊆α

图形语言：

新知提炼：公理2说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

探究问题三：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ？

为什么？

设计意图：揭示了平面的平直性、可延展性，有助于培养学生的空间想象能力完成从局部到整体的认识过程，从具体问题转化到面与面公共点的问题，探索出公理3

公理3如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

符号语言：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭

或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l α

β=∈ 图形语言：

新知提炼：①公理

3应用：判定点在直线上

注：今后所说的两个平面或两条直线,如无特殊说明,均指不同的平面直线

探究问题四：在初中我们学习了“在一个平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。”

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行

符号语言：||||a b a b c ⎫⇒⎬⎭

∥c 图形语言：

新知提炼：①公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

②作用：判断空间两条直线平行的依据。

3、例题讲解，形成技能

例1下列说法正确的是

A 三点确定一个面

B 四边形一定是平面图形

C 梯形一定是平面图形

D 两个平面有不在同一条直线上的三个交点