因式分解方法归纳
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。
2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。
如另有要求，在要求的范围内分解。
3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。
提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。
注意事项：（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉；（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。
例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab解：原式=3ab (2a-3c+1 )例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
因式分解方法归纳
因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。
说明：（1） 因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。
（2） 因式分解可以限定范围，有有理数范围内，实数范围内，复数范围内。
（3） 所有三次或三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解；所有二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。
方法一、提取公因式法若多项式的各项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。
方法二、运用公式法常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。
方法三、分组分解法若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。
方法四、十字相乘法形如2ax bx c ++的二次多项式，如果有,mn a pq c ==，且mq np b +=，则有 ()()2ax bx c mx p nx q ++=++。
说明：判别式240b ac =-≥且是一个完全平方数。
也就是方程2ax bx c ++有根。
图示为：方法五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。
（1） 拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提取公因式；（2） 拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。
例题：分解因式330x x ++解：把30分成333+，再与其余项组合，有， ()()()()()()()33322303333933310x x x x x x x x x x x ++=+++=+-+++=+-+。
类似的“3x x c ++”的模型有32x x ++，39x x ++ 。
方法六、配方法将一个多项式通过配方，添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。
说明：（1）为方便计算，可以先提取最高次项系数，使最高次项系数为1；（2）对形如2x bx c ++的二次三项式，有222222b b x bx c x bx c ⎛⎫⎛⎫++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）对于齐次多项式22x bxy cy ++，将,x y 其中之一当作常数处理。
【知识】因式分解知识点归纳
【关键字】知识因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就能够用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就能够得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就能够了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
专题复习：因式分解
专题因式分解☞解读考点☞2年中考 【2015年题组】1．（2015北海）下列因式分解正确的是（ ）A ．24(4)(4)x x x -=+-B ．221(2)1x x x x ++=++C ．363(6)mx my m x y -=-D ．242(2)x x +=+ 【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．2．（2015贺州）把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ） A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=22(44)x x xy y --+=2(2)x x y --，故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x - C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -【答案】D ． 【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．（2015毕节）下列因式分解正确的是（ ）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ．224(4)(4)x y x y x y -=+- 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+=22(3)a b a -，错误；B ．2211()42x x x -+=-，正确；C ．224x x -+不能分解，错误；D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-，错误； 故选B ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 5．（2015临沂）多项式2mxm -与多项式221x x -+的公因式是（）A ．1x -B ．1x +C ．21x - D ．()21x -【答案】A ．考点：公因式．6．（2015枣庄）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）A ．140B ．70C ．35D ．24 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据题意得：a+b=14÷2=7，ab=10，∴22a b ab +=ab （a+b ）=10×7=70；故选B ． 考点：因式分解的应用．7．（2015烟台）下列等式不一定成立的是（ ）A 0)a a b b b =≠B ．3521a a a -•= C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．326(2)4a a -=【答案】A ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂．8．（2015杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．22()()x y x y x y ---+=- B ．11xx xx --= C ．2243(2)1x x x -+=-+ D ．21()1x x x x ÷+=+【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．22()()x y x y x y ---+=-，正确；B ．211x x x x --=，错误； C ．2243(2)1x x x -+=--，错误； D ．21()1x x x x ÷+=+，错误；故选A ．考点：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．9．（2015南京）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ．【答案】2(2)a b -．【解析】试题分析：()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -．故答案为：2(2)a b -．考点：因式分解-运用公式法．10．（2015巴中）分解因式：2242a a -+= ．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11．（2015绵阳）在实数范围内因式分解：23x y y -= ．【答案】)3)(3(-+x x y ． 【解析】试题分析：原式=2(3)y x -=)3)(3(-+x x y ，故答案为：)3)(3(-+x x y ．考点：实数范围内分解因式． 12．（2015内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b +=，则2015a b-|= ．【答案】1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．13．（2015北京市）分解因式：325105x x x -+= ．【答案】25(1)x x -．【解析】试题分析：原式=25(21)x x x -+=25(1)x x -．故答案为：25(1)x x -．考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．（2015甘南州）已知210a a --=，则322015a a a --+= ．【答案】2015． 【解析】试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=2015，故答案为：2015．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．15．（2015株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---= ．【答案】(2)(4)(4)x x x -+-． 【解析】试题分析：原式=2(2)(16)x x --=(2)(4)(4)x x x -+-．故答案为：(2)(4)(4)x x x -+-．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 16．（2015东营）分解因式：2412()9()x y x y +-+-= ．【答案】2(332)x y -+．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015菏泽）若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n= ．【答案】4． 【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n ++=-+，∴22(3)3x x m x n x n ++=+--，故31n -=，解得：n=4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．18．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”． （1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？ 并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义．【2014年题组】1．（2014年常德中考）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B. （x2﹣4）x=x3﹣4xC. ax+bx=（a+b）xD. m2﹣2mn+n2=（m+n）2【答案】C．【解析】试题分析：A 、x2+2x+1=x （x+2）+1，不是因式分解，故错误；B 、（x2﹣4）x=x3﹣4x ，不是因式分解，故错误；C 、ax+bx=（a+b ）x ，是因式分解，故正确；D 、m2﹣2mn+n2=（m ﹣n ）2，故错误．故选C ． 考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法． 2.（2014年海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A ．()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的意义．3.（2014年无锡中考）分解因式：x3﹣4x= ． 【答案】()()x x 2x 2+-． 【解析】 试题分析：()()()32x 4x x x 4x x 2x 2-=-=+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．4.（2014年株洲中考）分解因式：x2+3x （x ﹣3）﹣9= 【答案】（x ﹣3）（4x+3）． 【解析】试题分析： x2+3x （x ﹣3）﹣9=x2﹣9+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3）+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3+3x ） =（x ﹣3）（4x+3）． 考点：因式分解．5.（2014年徐州中考）若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于 ． 【答案】﹣2． 【解析】试题分析：∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a2b ﹣ab2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2．考点：1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．6.（2014年眉山中考）分解因式：225xy x -=__________________．【答案】x （y+5）（y ﹣5）． 【解析】试题分析：原式=x （y2﹣25）=x （y+5）（y ﹣5）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 7.（2014年绍兴中考）分解因式：2aa - = ．【答案】()a a 1-．【解析】 试题分析：()2a a a a 1-=-．考点：提公因式法因式分解． 8.（2014年台州中考）因式分解3a 4a -的结果是 ．【答案】()()a a 2a 2+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 9.（2014年泸州中考）分解因式：23a 6a 3++= .【答案】()23a 1+．【解析】 试题分析：()()2223a 6a 33a 2a 13a 1++=++=+．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．10.（2014年北海中考）因式分解：x2y ﹣2xy2= ． 【答案】()xy x 2y -．【解析】 试题分析：()22x y 2xy xy x 2y -=-．考点：提公因式法因式分解． ☞考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念 基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算． 注意问题归纳：符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式． 2.因式分解与整式乘法是互逆运算．【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+ C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+- D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的有关概念． 归纳 2：提取公因式法分解因式 基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂． 提取公因式法：ma ＋mb －mc=m （a+b-c ） 注意问题归纳： 提公因式要注意系数； 要注意查找相同字母，要提净．【例2】若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于 ． 【答案】﹣2．考点：因式分解-提公因式法．【例3】因式分解：2a 3ab += ．【答案】()a a 3+．【解析】()2a 3ab a a 3+=+．考点：因式分解-提公因式法．归纳 3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．【例4】3x2y－27y= ；【答案】3y（x+3）（x-3）．【解析】原式=3y（x2-9）=3y（x+3）（x-3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【例5】将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．【答案】n（m-1）2．【解析】m2n-2mn+n，=n（m2-2m+1），=n（m-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．归纳 4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．【例6】分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解-分组分解法．【例】7分解因式：x3－5x2＋6x=【答案】x（x-3）（x-2）．【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．考点：因式分解-十字相乘法．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A．100 B．0 C．-100 D．50 【答案】C．【解析】试题分析：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．考点：因式分解的意义．2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）A．（2x+4）（x-4） B．（x+2）（x-2）C．2 （x+2）（x-2） D．2（x+4）（x-4）【答案】C．【解析】试题分析：2x2-8=2（x2-4）2（x+2）（x-2）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015届河北省中考模拟二）现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017【答案】D．考点：1．因式分解-运用公式法；2．科学记数法—表示较大的数． 4．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）分解因式：2x2﹣12x+32= ． 【答案】2（x ﹣8）（x+2）． 【解析】试题分析：原式提取2，再利用十字相乘法分解，原式=2（x2﹣6x+16）=2（x ﹣8）（x+2）．故答案为：2（x ﹣8）（x+2）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．（2015届北京市平谷区中考二模）把a ﹣4ab2分解因式的结果是 ．【答案】a （1+2b ）（1﹣2b ）． 【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式法，进而分解因式得出即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 6．（2015届北京市门头沟区中考二模）分解因式：29ax a -= ．【答案】(3)(3)a x x -+． 【解析】试题分析：29ax a - =2(9)a x -=(3)(3)a x x -+．故答案为：(3)(3)a x x -+．考点：提公因式法与公式法的综合运用．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若a2-3a+1=0，则3a3-8a2+a+231a = ．【答案】2．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值．8．（2015届安徽省安庆市中考二模）因式分解：﹣3x2+3x ﹣= ．【答案】﹣3（x ﹣21）2． 【解析】试题分析：原式=﹣3（x2﹣x+41）=﹣3（x ﹣21）2．故答案为：﹣3（x ﹣21）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ． 【答案】ab （a-b ）2． 【解析】试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab （a2-2ab+b2）=ab （a-b ）2．故答案为：ab （a-b ）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）分解因式：3ax2-3ay2= ．【答案】3a（x+y）（x-y）．【解析】试题分析：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．故答案为：3a （x+y）（x-y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（2015届山东省聊城市中考模拟）因式分解：4a3-12a2+9a= ．【答案】a（2a-3）2．【解析】试题分析：4a3-12a2+9a=a（4a2-12a+9）=a（2a-3）2．故答案为：a （2a-3）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）把3x3-6x2y+3xy2分解因式的结果是．【答案】3x（x-y）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用．13．（2015届广东省广州市中考模拟）分解因式：x2+xy= ．【答案】x（x+y）．【解析】试题分析：x2+xy=x（x+y）．故答案为：x（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）因式分解：2a3-8a= ．【答案】2a（a+2）（a-2）．【解析】试题分析：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）．故答案为：2a（a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）若a-b=3，ab=2，则a2b-ab2= ．【答案】6．【解析】试题分析：∵a-b=3，ab=2，∴a2b-ab2=ab（a-b）=2×3=6．故答案为：6．考点：因式分解-提公因式法．16．（2015届河北省中考模拟二）若M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，则M+N-2O的值为．【答案】4．【解析】试题分析：∵M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，∴M+N-2O=（2015-1985）2-2（2015-1985）×（2014-1986）+（2014-1986）2=[（2015-1985）-（2014-1986）]2=4．故答案为：4．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）分解因式：a3﹣9a= ．【答案】a（a+3）（a﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）分解因式：xy2﹣2xy+x=__________．【答案】x（y-1）2．【解析】试题分析：先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．即xy2-2xy+x=x（y2-2y+1）=x（y-1）2．故答案为：x（y-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．。
整式的乘法及因式分解单元总结及归纳
整式的乘法及因式分解单元总结及归纳1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母是代数式。
2.整式的分类：⎩⎨⎧和叫做多项式多项式：几个单项式的式的积的代数式叫做单项单项式：只是数与字母整式 1）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
2）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。
4）合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数都不变。
3.幂的运算法则：),0(n m n m a >≠为正整数，且、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠=≠=≠===≠>=÷=⋅--+指数）负指数幂，倒底数，反负指数幂：零指数幂：乘方）（等于分子、分母分别为正整数，（商的乘方：分别乘方）等于积里的每一个因式为正整数）（积的乘方：底数不变，指数相乘）为正整数）、幂的乘方：底数不变，指数相减），为正整数且、（同底数的幂相除：底数不变，指数相加）为正整数）、同底数的幂相乘：)(0(1)0(1)0)(()((()()(0((0a a a a a a n a b a b n b a ab n m a a a n m n m a a a n m a a a n n n n n n n n mn n m n m n m n m n m4.整式的运算：1）整式的加减运算：合并同类项。
2）整式乘法法则：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++±=±-=-++++=++++=++ab x b a x b x a x b ab a b a b a b a b a bn bm an am n m b a mc mb ma c b a m )())((12)())(())(()3()(21222222的一次二项式相乘：两个一次项系数为；完全平方公式：方法二：平方差公式：即：积相加。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
初一数学_因式分解的常用方法
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式分解因式：ay ax y x ++-222222c b ab a -+-分解因式：y y x x 3922--- yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
因式分解知识点归纳总结一
因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
因式分解的14种方式
因式分解的14 种方式因式分解没有普遍的方式，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则：1 分解要完全2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技能：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技能掌握：①等式左侧必需是多项式；②分解因式的结果必需是以乘积的形式表示；③每一个因式必需是整式，且每一个因式的次数都必需低于原来多项式的次数；④分解因式必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在肯定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
大体方式：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
若是一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方式叫做提公因式法。
具体方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
若是多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法大体步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并肯定另一个因式：①第一步找公因式可依照肯定公因式的方式先肯定系数在肯定字母；②第二步提公因式并肯定另一个因式，注意要肯定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式别离除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳因式分解是代数运算中的重要内容，它可以将一个复杂的多项式化为几个简单因式的乘积形式，有助于解决各种数学问题。
下面为大家归纳总结因式分解的常用方法。
一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
例如，对于多项式$6x ＋ 9$，各项的公因式是 3，分解因式可得：＄6x ＋ 9 ＝ 3(2x ＋ 3)＄再比如，＄4x^2y 6xy^2$，公因式是$2xy$，分解因式为：＄4x^2y 6xy^2 ＝ 2xy(2x 3y)＄提公因式法是因式分解的基础，很多多项式都需要先通过提公因式来简化式子。
二、公式法常用的公式有平方差公式：＄a^2 b^2 ＝（a ＋ b)（a b)＄；完全平方公式：＄a^2 ± 2ab ＋ b^2 ＝（a ± b)＾2$例如，＄9 x^2$可以利用平方差公式分解为：＄（3 ＋ x)（3 x)＄而对于$x^2 ＋ 6x ＋ 9$，则可以使用完全平方公式分解为：＄（x＋ 3)＾2$三、十字相乘法对于二次三项式$ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$），如果能找到两个数$p$和$q$，使得$p ＋ q ＝ b$，＄pq ＝ ac$，那么就可以将式子分解为$（x ＋ p)（x ＋ q)＄例如，对于$x^2 ＋ 5x ＋ 6$，因为$2 ＋ 3 ＝ 5$，＄2×3 ＝ 6$，所以可以分解为：＄（x ＋ 2)（x ＋ 3)＄再看$2x^2 5x 3$，我们要找到两个数$m$和$n$，使得$m ＋ n ＝－5$，＄mn ＝－6$，可以得到$m ＝－6$，＄n ＝ 1$，分解因式为：＄（2x ＋ 1)（x 3)＄四、分组分解法当多项式不能直接运用上述方法分解时，可以将多项式适当分组，再分别对每一组进行分解，最后综合起来得到分解结果。
例如，＄am ＋ an ＋ bm ＋ bn$，可以分组为$（am ＋ an) ＋（bm＋ bn)＄，然后分别提公因式得到：＄a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ＝（m ＋n)（a ＋ b)＄又如，＄x^2 y^2 ＋ 2x ＋ 1$，可以分组为$（x^2 ＋ 2x ＋ 1) y^2$，先利用完全平方公式，再用平方差公式，分解为：＄（x ＋ 1)＾2 y^2＝（x ＋ 1 ＋ y)（x ＋ 1 y)＄五、拆项、添项法在多项式中添加或减去一项，使得式子可以运用上述方法进行分解。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳因式分解是代数学习中的重要内容，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决方程和不等式等问题。
下面就为大家归纳一下因式分解的各种方法。
一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如，对于多项式 6x ＋ 9，6 和 9 都有公因数 3，所以可以提出 3 得到：3(2x ＋ 3)。
提公因式法的关键在于准确找出多项式各项的公因式。
公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都含有的相同字母，字母的指数取次数最低的。
二、运用公式法（1）平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b)例如，分解 9x² 25，可写成（3x)² 5²，然后利用平方差公式得到：（3x ＋ 5)（3x 5)（2）完全平方公式：a² ± 2ab ＋ b²＝（a ± b)²比如，对于 x²＋ 6x ＋ 9，可以将其写成 x²＋ 2×3×x ＋ 3²，符合完全平方公式，分解为（x ＋ 3)²三、分组分解法将多项式分组后，组与组之间能提公因式或运用公式进行分解。
例如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn，可以将其分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn)，然后分别提公因式得到：a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n)，再提公因式（m ＋ n) 得到：（m ＋ n)（a ＋ b)四、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c，如果存在两个数 p、q，使得 a ＝p×q，c ＝ m×n，且 b ＝ p×n ＋ q×m，那么 ax²＋ bx ＋ c ＝（px ＋ m)（qx ＋ n)比如，分解 6x²＋ 5x 6，将 6 分解为 2×3，－6 分解为－2×3，交叉相乘 2×3 ＋ 3×（－2) ＝ 0，所以可以分解为（2x 1)（3x ＋ 6)五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开或加上互为相反数的两项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
数学中的因式分解知识点总结
数学中的因式分解知识点总结因式分解是数学中重要的基础概念之一，它在代数运算、方程求解、函数图像等领域都有广泛的应用。
本篇文章将对数学中的因式分解知识点进行总结和归纳，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是将一个数、一个代数式或一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积因子都是不可再分解的。
因式分解可以简化复杂的式子，方便进行进一步的计算和求解。
在因式分解中，常用的因式分解形式有公因式、差平方公式、完全平方式、三项完全平方式等。
二、公因式的因式分解公因式是多个代数式的公共因子，通过提取公因式，可以将一个多项式进行因式分解。
公因式的因式分解是因式分解的基础，也是其他形式的因式分解的前提。
公因式分解的关键是找到所有项的公共因子，然后将其提取出来作为公因式。
三、差平方公式的因式分解差平方公式（a²-b²）=(a+b)(a-b) 是平方差公式的一个特例。
差平方公式的因式分解运用了平方差公式的性质，通过将一个二次多项式表示为两个一次多项式的乘积形式，从而进行因式分解。
在应用差平方公式进行因式分解时，需要根据具体的题目要求，将其转化为差平方的形式，然后使用差平方公式进行因式分解。
四、完全平方式的因式分解完全平方式是将一个二次多项式表示为两个一次多项式乘积的形式，数学中非常常见的一种因式分解形式。
完全平方式的因式分解要求将二次多项式写成一个二次平方的形式（(a±b)²），然后应用完全平方式进行因式分解。
在应用完全平方式进行因式分解时，需要根据题目给出的多项式，将其转化为完全平方式的形式，然后应用完全平方式进行因式分解，得到最终的结果。
五、三项完全平方式的因式分解三项完全平方式是将一个三次多项式表示为三个一次多项式乘积的形式，同样也是一种常见的因式分解形式。
三项完全平方式的因式分解要求将三次多项式写成三个完全平方式的乘积形式（(a±b)³），然后应用三项完全平方式进行因式分解。
第三讲因式分解PPT课件
① x2-5x+6
1
-2
1
-3
解：原式=（x-2)(x-3)
② a2-a-2
1
1
1
-2
解：原式=(a+1)(a-2)
【例 4】 (2011·台湾)下列四个多项式，是 2x2＋5x－3 的因式的只能为
( A)
A．2x－1
B．2x－3
C．x－1
D．x－3
2x²-5x-3
4x²+10x+6
⑷分组分解法： a3 a2 a 1
（1）、提公因式法： 公因式的确定：
ma + mb + mc = m（a+b+c）系数取所有系数的最大公约数，
字母取相同的字母， 指数取最低指数。
练习：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
）②p（y-x）-2（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
解：原式=p(y-x)+2(y-x) =(y-x)(p+2)
综合运用多种方法分解因式
知能迁移 4 (1)分解因式：a5－a (2)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4 (3)(解2012(·x＋临2沂)(x)＋分4解)＋因x式22－：4a－6ab＋9ab2＝ ________＝．x22＋6x＋8＋x22－4 (4)在＝实2x数22＋范6x围＋内4 分解因式：x4－4
（2）运用公式法：
例题精析
【例 1】 (1)(2013·广东湛江)分解因式：x2－4＝___x_2－__4_＝__(_x_＋__2_)(_x_－__2_)____． (2)(2013·江苏苏州)分解因式：a2＋2a＋1＝___a_2＋__2_a_＋__1_＝__(_a_＋__1_)2_____． (3)(2013·山东滨州)分解因式：5x2－20＝__5_x_2_－__2_0_＝__5_(_x_＋__2_)(_x_－__2_)_． (4)(2013·湖南益阳)分解因式：xy2－4x＝___x_y2_－__4_x_＝__x_(_y＋__2_)_(_y_－__2_) __．
《因式分解-提公因式法》知识点归纳
因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。
提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。
2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。
如果存在公因式，将其提取出来。
例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。
常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。
例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。
例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。
3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。
例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。
例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。
因式分解培优题型归纳总结完美
因式分解题型归纳总结知识梳理一、因式分解得定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．二、因式分解常见形式：三、因式分解基本方法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()2+4+6=2+2+3ma mb mc m a b c把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式：()()a b a b a b 22+-=-完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+；()a b a ab b 222-=-2+ 立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+ ；()a b a a b ab b 33223-=-3+3- 大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++--- n 次方差公式：1221()()nnn n n n a b a b aa b ab b -----=-++++（n 为正整数） n 次方差差公式：1221()()nnn n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇数）③分组分解法一般地，分组分解大致分为三步：i ．将原式的项适当分组；ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 四、十字相乘法五、双十字相乘法双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：对于形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 的多项式的因式分解，基本步骤是： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项Ey ，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项Dx ． 六、换元法如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式． （1）整体换元（2）和积换元 七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解． 八、拆项和添项法1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 九、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法． 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++++=+++++恒成立，那么n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 十、余数定理与因式定理法1、余数定理：多项式f （x ）除以x －c ，所得的余数为f （c ）．2、因式定理：若多项式f （x ）有一个因式x －c ，则f （c ）＝0；反之，若f （c ）＝0，则x－a 必为多项式f （x ）的一个因式．3、整数系数多项式f （x ）＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的两个性质：性质1：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ＝1，且它有因式x －p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数．例如x 2－2x －8的首项系数是1，它有因式x ＋2和x －1，－2和4都是常数项－8的约数． 性质2：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ≠1，且它有因式p x q -（pq为整数），那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数． 例如，6x 3＋x 2－1的首项系数a n ＝6不为1，它有因式12x -，不难看出分母2是a n ＝6的约数，分子1是常数项－1的约数．例如：分解因式：x x 3-3+2．观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．x x x x x x x x x x x x x x 2323222+-2-1+0⋅-3+2--3--2+2-2+2∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2．题型一 因式分解的定义例题1： 下列因式分解正确的是（ ） A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2 B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3解析：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
高中数学知识点归纳因式分解与倍式关系
高中数学知识点归纳因式分解与倍式关系因式分解与倍式关系是高中数学中的重要知识点，能够帮助我们更好地理解和应用代数表达式。
本文将对因式分解与倍式关系进行全面归纳和解析，帮助读者掌握相关知识。
一、因式分解的定义和意义因式分解是将一个代数式表示为若干个乘积的形式，每个乘积因子称为因式。
因式分解在数学中有着广泛的应用，例如求解方程、简化复杂表达式等。
因式分解的核心目标是将一个复杂的代数式简化成更简单的乘积形式，方便进行运算和分析。
二、基础的因式分解方法1. 提取公因子法：当代数式中每一项都含有一个公共因子时，可以将该公因子提取出来，从而进行因式分解。
例如，对于表达式2x^2+4xy，我们可以提取公因子2，得到2(x^2+2xy)。
2. 公式法：在因式分解过程中，我们可以运用已知的特定公式，将代数式转化为已知公式的形式。
常见的公式包括平方差公式、平方和公式、差的平方公式等。
3. 分组法：对于某些代数式，我们可以将其中的项进行分组，然后进行因式分解。
分组法常用于四项之和或差的情况中。
三、常见的因式分解类型1. 二次三项式的因式分解：对于形如ax^2+bx+c的二次三项式，我们可以先判断是否可以进行因式分解，然后运用公式法或分组法进行因式分解。
例如，对于x^2+5x+6，我们可以使用分解的方式得到(x+2)(x+3)。
2. 完全平方公式的因式分解：当代数式可以表示为两个完全平方的差时，我们可以运用完全平方公式进行因式分解。
例如，x^2-4可以分解为(x+2)(x-2)。
3. 差的平方公式的因式分解：当代数式可以表示为两个平方的差时，我们可以运用差的平方公式进行因式分解。
例如，x^2-y^2可以分解为(x+y)(x-y)。
四、倍式关系的概念和应用倍式关系是指两个或多个数之间的倍数关系，即一个数是另一个数的整数倍。
在数学中，倍数关系广泛应用于求解整数倍问题、最小公倍数以及倍数的性质等。
1. 整数倍的定义：若a、b为整数，且存在整数k使得a=k*b，那么我们称a是b的倍数，b是a的因数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。
说明：
(1)因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。
(2)因式分解可以限定范用，有有理数范围内，实数范囤内，复数范围内。
(3)所有三次或三次以上的一元多项式在实数范用内都可以因式分解：所有二次或二次以
上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。
方法一、提取公因式法
若多项式的％项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。
方法二、运用公式法
常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。
方法三、分组分解法
若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。
方法四、十字相乘法
形如ax1 +bx + c的二次多项式，如果有= pq = c ,且inq + np = b ,则有
说明：判别式△=庆一4血・2 0且△是一个完全平方数。
也就是方程ax2+bx + c有根。
图示为:
方法五、拆项、添项法
把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。
(1)拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提
取公因式：
(2)拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。
例题：分解因式»+兀+ 30
解：把30分成扌+3,再与其余项组合，有，
X'+X +3O=(X'+3')+(X+3)=(X+3)(F-3X+9)4-(X+3)=(X+3)(X2一3尤+10)。
类似的“疋+x + e ”的模型仃J?+;V +2, J?+X+9。
方法六.配方法
将一个多项式通过配方,添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。
说明：(1)为方便计算，可以先提取最髙次项系数，使最高次项系数为匕
对形如x 2 +bx + c 的二次三项式，有x 2 +bx + c = x 1 +bx+ —
⑵ (3) 对于齐次多项式x 2+hxy^cy 2,将其中之一当作常数处理。
(4) 对于形如x ^+bx n +c y x 2n +bx n y n '+cy 2fn 的髙次多项式，把F 看作是x (相当于是 换元)，按照上
而的方法处理即可。
2
(5) 对于形如x 3+ax 2+ — x + c 的三次多项式，先构造完全立方公式，在用立方和或立
3
2 2
x 3/,+av 2,,+ —Z+c,x 3/r +二0〉“ +c//r 的多项式，同上乜 例题：因式分解X 4+4
解：运用配方法：x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4-4x 2 = (x 2 + 2)2 -(2x)2
=(工 +2x+2)(/ -2x+2)o
分析：解题思路为：先通过添项构造完全平方公式，再用平方差公式分解成两个因式相乘。
方法七、换元法
对于多项式的复杂部分通过换元，以简化汁算。
如+ e ”形式的多项式，先通过两两分组展开，再换元。
两两分组的原则，按照大 小顺序，最大和最小的一组，中间两项一组。
例题：(x+l)(x + 2)(x+3)(x+6) + ;^
解：原式= [(x+l)(x+6)][(x+2)(x+3)] + x 2 =(x 2 +7X +6)(F +5X + 6)+ F 令兀2 +5x+6 = t 贝ij
原式= /(/ + 2x) + x ，=x 2
+2tx + t~ =(x + r)" = (x 2 +6x + 6)
方法八、主元法
选泄一个字母为主元，然后把各项按这个字母降幕排列，再进行因式分解。
例题：分解因式：a 2
(b-c)+b 2
(c-a)+c 2
(a-h)
解：选泄d 为主元，则原式= (b-c 疋-(圧-心 +氏-加
(2) + c_ —
辽
方差公式，
r
a
3
+
( _
27丿
I 3丿
3 *>
X ： +OV +—X + C =
同理，对于髙次形如
= (b_c)[/ —(b+c)a+bc =(a-h)(b-c)(a—c)
方法九、待定系数法
首先判断出分解后因式的形式，然后设岀相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例题：分解因式x2+A>*-6y2+x + 13y-6
解：观察得知前三项可以因式分解为(x+3y)(x-2y)
设F +xy^-6y2 +x+13y-6 = (x+3y + a)(x-2y+/?)
展开后，对应各项的系数,得a = _2,b = 3.
方法十、因式定理法
余数左理：多项式/(X)被cix+b除，所得的余数为尺=/( —+ }
因式泄理：如果/(。
)= 0,那么多项式/(x)必左含有因式x-d：反之，如果/(x)含有因式x — a,那么/(x) = 0o(此泄理为余数左理的推论，即为/(打被因式x —a整除)
(1)求根法：/(x)的最高次项的系数为1,找出常数项的各个因子分别代入x,找出所有满足/(x) = 0的因子，也就是说这些因子都是方程/(x) = 0的根。
如果所有根为斗,心,…，暫，且根的数量“等于/(兀)的最髙次数，即表明方程没有重根，则因式分解结果为：
/(x) = (x-^)(x-x>)...(x-x n),
(2)待定系数法：/(工)的最高次项的系数不为1或者通过常数项因子的方法只能找到英中一部分根，若已知d为方程/(") = 0的一个根，则把兀-d作为其中一个因式，用待泄系数法求其余的因式。
例题：分解因式x3-A-2-4x + 4
解：常数项4 的因数为：±1,±2,±4, id/(x) = x3-x2-4x+4
则，/(1) = 0;/(-1) = 6;/(2) = 0;/(-2) = 0;/(4) = 36;/(^) = ^60
所以，原式的因式分解结果=(x-l)(x+2)(x-2)
例题：若3X 3+/?IY 2-5A + /I 恰好能被x+3整除，除以x + 1余数为4,求加/的值，并将 多项式因式分解。
m = S
料=_6 知x+3为多项式的
一个因式，用待泄系数
法，有
3x' +8x 2 -5x-6 = (x + 3)(d +bx+c^ = ax s +(3d+b)x‘ +(3b+c)x + 3c
得，a = 3；b = -i ；c = _2。
i^3x 3+8x 2-5A-6 = (x+3)(3x 2-x-2)= (x + 3)(3^ + 2)(x-l)
说明：待立系数得出的多项式，如果能因式分解，一左要将其因式分解。
方法十_、特数值法
如下的特数值法分解因式，只适应于最高次项系数为1的情况。
(1) 将2或10代入未知数，求岀数值，并将该结果数值分解质因数：
(2) 如果质因数的数量等于原式最髙次数，进行下一步，如果质因数的数量超过原式最
高次数，还要把有的质因数适当的合并，最后质因数的数量必须等于原式最髙次数。
(3) 将这些质因数写成2或10的和与差的形式，然后将2或20还原成未知数，初步写 成
各个因式。
(4) 把各个因式的常数项的积与原式常数项对比验算，数值相等，则这些因式的乘积就 是
原式的因式分解，否则就回到第二步。
例题：分解因式x 3+9x 2+23X + 15
解：令x = 2,则原式=105.把105分解质因数，即105 = 3x5x7,则
3 = 2 + 1;5 = 2 + 3;7 = 2 + 5,把2还原成未知数，初步得到如下因式：x+1, x+3, x+5,
验证常数项的积为15,与原式常数项值相等，故，原式因式分解的结果为：
X” +9x 2 +23x+15 = (x+l)(x+3)(x+5)。
题型分析：
一、“A B C D + E”模型的因式分解
A BCD 四连乘，两两组合，一般情况为AD -组，BC —组，适当展开，再寻求与E 之 间的关
系。
例题：因式分解(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2 解:原式= [(x+l)(x+6) (x+2)(x+3)J =[(十 +6)+ 7x][(x 2 + 6)+ 5X ] + F ：
=(十 +6)~ +5A -(X 2 +6)+ 7X ・(F +6) + 35” +x 2
:
=(F +6)' +12x-(x 2 +6)+ 36X 2=(X 2 +6 + 6X )°。
若因式分解的范用扩充到实数范囤内，得(x + 3 —(x + 3 +JT)，0
解：记 f (x) = 3x 3
+IT1X 2
—5x + /?,贝卜
/(-3) = 0
/ 带入解得
+ X 2：
(x + 3-的)(x + 3 + >/J)。