因式分解方法归纳

因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。说明：

(1)因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。

(2)因式分解可以限定范用，有有理数范围内，实数范囤内，复数范围内。

(3)所有三次或三次以上的一元多项式在实数范用内都可以因式分解：所有二次或二次以

上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。

方法一、提取公因式法

若多项式的％项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。

方法二、运用公式法

常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。

方法三、分组分解法

若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。

方法四、十字相乘法

形如ax1 +bx + c的二次多项式，如果有= pq = c ,且inq + np = b ,则有

说明：判别式△=庆一4血・2 0且△是一个完全平方数。也就是方程ax2+bx + c有根。

图示为:

方法五、拆项、添项法

把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。

(1)拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提

取公因式：

(2)拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。

例题：分解因式»+兀+ 30

解：把30分成扌+3,再与其余项组合，有，

X'+X +3O=(X'+3')+(X+3)=(X+3)(F-3X+9)4-(X+3)=(X+3)(X2一3尤+10)。

类似的“疋+x + e ”的模型仃J?+;V +2, J?+X+9。

方法六.配方法

将一个多项式通过配方,添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。 说明：(1)为方便计算，可以先提取最髙次项系数，使最高次项系数为匕

对形如x 2 +bx + c 的二次三项式，有x 2 +bx + c = x 1 +bx+ —

⑵ (3) 对于齐次多项式x 2+hxy^cy 2,将其中之一当作常数处理。

(4) 对于形如x ^+bx n +c y x 2n +bx n y n '+cy 2fn 的髙次多项式，把F 看作是x (相当于是 换元)，按照上

而的方法处理即可。

2

(5) 对于形如x 3+ax 2+ — x + c 的三次多项式，先构造完全立方公式，在用立方和或立

3

2 2

x 3/,+av 2,,+ —Z+c,x 3/r +二0〉“ +c//r 的多项式，同上乜 例题：因式分解X 4+4

解：运用配方法：x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4-4x 2 = (x 2 + 2)2 -(2x)2

=(工 +2x+2)(/ -2x+2)o

分析：解题思路为：先通过添项构造完全平方公式，再用平方差公式分解成两个因式相乘。 方法七、换元法

对于多项式的复杂部分通过换元，以简化汁算。

如+ e ”形式的多项式，先通过两两分组展开，再换元。两两分组的原则，按照大 小顺序，最大和最小的一组，中间两项一组。 例题：(x+l)(x + 2)(x+3)(x+6) + ;^

解：原式= [(x+l)(x+6)][(x+2)(x+3)] + x 2 =(x 2 +7X +6)(F +5X + 6)+ F 令兀2 +5x+6 = t 贝ij

原式= /(/ + 2x) + x ，=x 2

+2tx + t~ =(x + r)" = (x 2 +6x + 6)

方法八、主元法

选泄一个字母为主元，然后把各项按这个字母降幕排列，再进行因式分解。 例题：分解因式：a 2

(b-c)+b 2

(c-a)+c 2

(a-h)

解：选泄d 为主元，则原式= (b-c 疋-(圧-心 +氏-加

(2) + c_ —

辽

方差公式，

r

a

3

+

( _

27丿

I 3丿

3 *>

X ： +OV +—X + C =

同理，对于髙次形如

= (b_c)[/ —(b+c)a+bc =(a-h)(b-c)(a—c)

方法九、待定系数法

首先判断出分解后因式的形式，然后设岀相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例题：分解因式x2+A>*-6y2+x + 13y-6

解：观察得知前三项可以因式分解为(x+3y)(x-2y)

设F +xy^-6y2 +x+13y-6 = (x+3y + a)(x-2y+/?)

展开后，对应各项的系数,得a = _2,b = 3.

方法十、因式定理法

余数左理：多项式/(X)被cix+b除，所得的余数为尺=/( —+ }

因式泄理：如果/(。)= 0,那么多项式/(x)必左含有因式x-d：反之，如果/(x)含有因式x — a,那么/(x) = 0o(此泄理为余数左理的推论，即为/(打被因式x —a整除)

(1)求根法：/(x)的最高次项的系数为1,找出常数项的各个因子分别代入x,找出所有满足/(x) = 0的因子，也就是说这些因子都是方程/(x) = 0的根。如果所有根为斗,心,…，暫，且根的数量“等于/(兀)的最髙次数，即表明方程没有重根，则因式分解结果为：

/(x) = (x-^)(x-x>)...(x-x n),

(2)待定系数法：/(工)的最高次项的系数不为1或者通过常数项因子的方法只能找到英中一部分根，若已知d为方程/(") = 0的一个根，则把兀-d作为其中一个因式，用待泄系数法求其余的因式。

例题：分解因式x3-A-2-4x + 4

解：常数项4 的因数为：±1,±2,±4, id/(x) = x3-x2-4x+4

则，/(1) = 0;/(-1) = 6;/(2) = 0;/(-2) = 0;/(4) = 36;/(^) = ^60

所以，原式的因式分解结果=(x-l)(x+2)(x-2)