第六讲 有理数的应用-小升初数学衔接教材(人教版)

第六讲 有理数的应用
知识
1.掌握有理数的乘除乘方运算；
2.掌握有理数的混合运算.
方法
1.能够正确计算有理数的乘除运算；
2.能够正确计算有理数的混合运算.
已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求2
2
3b
a cdx x +-
+的值． 【答案】见试题解答内容
【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a+b ，cd ，x 的值，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2， ∴a+b=0，cd=1，x=±2， 当x=2时，原式=23+1×22-0 =8+1×4-0 =8+4-0 =12；
当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0 =-8+1×4-0 =-8+4-0 =-4，
由上可得，原式的值为12或-4． 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m |=2，求代数式
3223
m cd b
a +-+的值． 01课堂目标
02例题精析
利用有理数的性质求值
题型一
例1
例2
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m|=2， ∴a+b=0，cd=1，m=±2， 当m=2时， ∴原式=0-2+2×23 =14； 当m=-2时，
∴原式=0-2+2×（-2）3 =--18，
综上所述：代数式的值为14或-18．
若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 是绝对值等于它本身的数．求bc m b
a +++2
22值． 【答案】见试题解答内容
【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可得到结果.
【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m 为非负数，则原式=1.
已知a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，|m |是最小的正整数，求cd
b a m -++2020
)
(20192的值．
【答案】1或-3．
【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．
【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1， 当m=1时，原式=2×1+0-1=1； 当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3； 综上，原式的值为1或-3．
变式1 变式2 定义新运算
题型二
对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊗”如下：a b ab b a 2-=
⊗，则=-⊗-)4
3
()3(____ ． 定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n =mn +mn -n ，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：
（1）（-2）☆4；
（2）（-1）☆[（-5）☆2]． 【【【【☆1☆4☆☆2☆-27☆
【分析】（1）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值； （2）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-2）☆4
=（-2）4+（-2）×4-4 =16+（-8）+（-4） =4；
（2）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-1）☆[（-5）☆2]
=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2] =（-1）☆（25-10-2） =（-1）☆13
=（-1）13+（-1）×13-13 =（-1）+（-13）+（-13） =-27．
已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“☆”，规定：a ☆b =2b -3a ，例如：1☆2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2☆3）☆5=__________． 【答案】10．
【分析】根据a ※b=2b-3a ，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a ※b=2b-3a ， ∴（2※3）※5 =（2×3-3×2）※5 =（6-6）※5
例1
例2
变式1
=0※5 =2×5-3×0 =10-0 =10，
故答案为：10．
规定一种新运算a *b =a -b 2
，则4*[5*（-2）]=__________．
【答案】3．
【分析】根据a*b=a-b 2，可以求得所求式子的值 【解答】解：∵a*b=a-b 2， ∴4*[5*（-2）] =4*[5-（-2）2] =4*（5-4） =4*1 =4-12 =4-1 =3，
故答案为：3．
某天早上，一辆交通巡逻车从A 地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B 地，如果规定向东
行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km ）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A 地最远． （2）B 地在A 地哪个方向，与A 地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
变式2 有理数中的实际应用
题型三
例1
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．
【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，
第二次距A地：15-8=7千米，
第三次距A地：7+6=13千米，
第四次距A地：13+12=25千米，
第五次距A地：25-4=21千米，
第六次距A地：21+5=26千米，
第七次距A地：26-10=16千米，
26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，
答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；
（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），
答：B地在A地东方，与A地相距16千米；
（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），
60×0.2=12（升），
12×7=84（元）．
答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．
故答案为：6．
在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上变式1
到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充
的油量；
（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．
【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，
∴B地在A地的东边28千米；
（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，
应耗油74×0.6=44.4（升），
故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
15千米；15-8=7千米；
7+9=16千米；
16-6=10千米；
10+14=24千米；
24-5=19千米；
19+13=32千米；
32-4=28千米．
∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，例2
他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．调整次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次
价格变化-0.30+0.27+0.27-0.12+0.18-0.05-0.10（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油
费用是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论； （2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．
【解答】解：（1）第一次价格：6.74-0.30=6.44（元）， 第二次价格：6.44+0.27=6.71（元）， 第三次价格：6.71+0.27=6.98（元）， 第四次价格：6.98-0.12=6.86（元）， 第五次价格：6.86+0.18=7.04（元）， 第六次价格：7.04-0.05=6.99（元）， 第七次价格：6.99-0.10=6.89（元），
∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，
∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；
（2）600÷100×8=48（升）， 6.99×48=335.52（元），
答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．
2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．
（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？
（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人 的工资总额是多少元？
【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；
（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．
变式2
【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
（2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个；
（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【解答】解：（1）+300-（-200）=500（个）， （2）+150-200+300-100-50+250+150=500（个），
（3）6000×7+（150-200+300-100-50+250+150）=42500（个）， 42500×0.2=8500（元），
答：（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；
（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．
第六讲 有理数的应用作业
1.若a 与b 互为相反数，b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身，试求m bc m b
a 32
22-+++的值． 【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案
【解答】解：∵a 与b 互为相反数b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身， ∴a+b=0，bc=1，m=1或0； 当m=1时，则原式=0+1-3=-2； 当m=0时，则原式=0+1-0=1．
2.已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是2，求代数式222m m
cd
b a --+的值． 【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
作业一 利用有理数的性质求值
【解答】解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=±2， 分两种情况：
（1）当m=2时，原式=29-；（2）当m=-2时，原式=2
7-
1.对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊗”，规定a ⊗b =|a +b |-|a -b |．计算（-3）⊗2的值． 【答案】见试题解答内容
【分析】根据a ⊗b=|a+b|-|a-b|，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a ⊗b=|a+b|-|a-b|， ∴（-3）⊗2
=|（-3）+2|-|（-3）-2| =1-5 =-4.
2.定义一种新运算“⊗”，即m ⊗n =（m +2）×3-n ，例如2⊗3=（2+2）×3-3=9．根据规定解答下列问题： （1）求6⊗（-3）的值；
（2）通过计算说明6⊗（-3）与（-3）⊗6的值相等吗？ 【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分别计算出两式的值，即可做出判断． 【解答】解：（1）6⊗（-3）=（6+2）×3-（-3） =24+3 =27；
（2）（-3）⊗6=（-3+2）×3-6 =-3-6 =-9，
所以6⊗（-3）与（-3）⊗6的值不相等．
作业二 定义新运算
作业三有理数中的实际应用
1.有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：
袋号12345678910重量（kg）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1
（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？
（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？
【答案】（1）超过5.4kg；
（2）2263.5元．
【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的
数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；
（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．
【解答】解：（1）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（kg）．
故这10袋小麦总计超过5.4kg；
（2）（90×10+5.4）×2.5=2263.5（元）．
故10袋小麦一共可以卖2263.5元．
2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B
地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
【解答】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14-9=5千米；
14-9+8=13千米；
14-9+8-7=6千米；
14-9+8-7+13=19千米；
14-9+8-7+13-6=13千米；
14-9+8-7+13-6+12=25千米；
14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37-28=9（升）。