第六讲 有理数的应用-小升初数学衔接教材(人教版)

第六讲 有理数的应用

知识

1.掌握有理数的乘除乘方运算；

2.掌握有理数的混合运算.

方法

1.能够正确计算有理数的乘除运算；

2.能够正确计算有理数的混合运算.

已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求2

2

3b

a cdx x +-

+的值． 【答案】见试题解答内容

【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a+b ，cd ，x 的值，然后即可求得所求式子的值．

【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2， ∴a+b=0，cd=1，x=±2， 当x=2时，原式=23+1×22-0 =8+1×4-0 =8+4-0 =12；

当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0 =-8+1×4-0 =-8+4-0 =-4，

由上可得，原式的值为12或-4． 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m |=2，求代数式

3223

m cd b

a +-+的值． 01课堂目标

02例题精析

利用有理数的性质求值

题型一

例1

例2

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m|=2， ∴a+b=0，cd=1，m=±2， 当m=2时， ∴原式=0-2+2×23 =14； 当m=-2时，

∴原式=0-2+2×（-2）3 =--18，

综上所述：代数式的值为14或-18．

若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 是绝对值等于它本身的数．求bc m b

a +++2

22值． 【答案】见试题解答内容

【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可得到结果.

【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m 为非负数，则原式=1.

已知a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，|m |是最小的正整数，求cd

b a m -++2020

)

(20192的值．

【答案】1或-3．

【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．

【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1， 当m=1时，原式=2×1+0-1=1； 当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3； 综上，原式的值为1或-3．

变式1 变式2 定义新运算

题型二

对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊗”如下：a b ab b a 2-=

⊗，则=-⊗-)4

3

()3(____ ． 定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n =mn +mn -n ，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：

（1）（-2）☆4；

（2）（-1）☆[（-5）☆2]． 【【【【☆1☆4☆☆2☆-27☆

【分析】（1）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值； （2）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-2）☆4

=（-2）4+（-2）×4-4 =16+（-8）+（-4） =4；

（2）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-1）☆[（-5）☆2]

=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2] =（-1）☆（25-10-2） =（-1）☆13

=（-1）13+（-1）×13-13 =（-1）+（-13）+（-13） =-27．

已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“☆”，规定：a ☆b =2b -3a ，例如：1☆2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2☆3）☆5=__________． 【答案】10．

【分析】根据a ※b=2b-3a ，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a ※b=2b-3a ， ∴（2※3）※5 =（2×3-3×2）※5 =（6-6）※5

例1

例2

变式1

=0※5 =2×5-3×0 =10-0 =10，

故答案为：10．

规定一种新运算a *b =a -b 2

，则4*[5*（-2）]=__________．

【答案】3．

【分析】根据a*b=a-b 2，可以求得所求式子的值 【解答】解：∵a*b=a-b 2， ∴4*[5*（-2）] =4*[5-（-2）2] =4*（5-4） =4*1 =4-12 =4-1 =3，

故答案为：3．

某天早上，一辆交通巡逻车从A 地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B 地，如果规定向东

行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km ）

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +15

﹣8

+6

+12

﹣4

+5

﹣10

（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A 地最远． （2）B 地在A 地哪个方向，与A 地相距多少千米？

（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？

变式2 有理数中的实际应用

题型三

例1

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；

（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．

【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，

第二次距A地：15-8=7千米，

第三次距A地：7+6=13千米，

第四次距A地：13+12=25千米，

第五次距A地：25-4=21千米，

第六次距A地：21+5=26千米，

第七次距A地：26-10=16千米，

26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，

答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；

（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），

答：B地在A地东方，与A地相距16千米；

（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），

60×0.2=12（升），

12×7=84（元）．

答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．

故答案为：6．

在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上变式1

到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．

（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？

（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？

（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；