能被某某数整除的特征
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征
【数学】能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征★★能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断1675282能不能被17整除。
167528-2×5=16751816751-8×5=167111671-1×5=1666166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来，就继续……6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。
整除规则（原理，性质）
整除规则（原理，性质）各种被整除的数的特征（放在这里以备以后查阅方便）（1）被2整除的数的特征：一个整数的末位是偶数（0、2、4、6、8）的数能被2整除。
（2）被3整除的数的特征：一个整数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除。
（3）被4整除的数的特征：一个整数的末尾两位数能被4整除则这个数能被4整除。
可以这样快速判断：最后两位数，要是十位是单数，个位就是2或6，要是十位是双数，个位就是0、4、8。
（4）被5整除的数的特征：一个整数的末位是0或者5的数能被5整除。
（5）被6整除的数的特征：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（6）被7整除的数的特征：“割减法”。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是7的倍数（包括0），则这个数能被7整除。
过程为：截尾、倍大、相减、验差。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）被8整除的数的特征：一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（8）被9整除的数的特征：一个整数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除。
（9）被10整除的数的特征：一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（10）被11整除的数的特征：“奇偶位差法”。
一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0），则这个数能被11整除。
（隔位和相减）例如，判断491678能不能被11整除的过程如下：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12。
23-12=11。
因此491678能被11整除。
（11）被12整除的数的特征：一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（12）被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是13的倍数（包括0），则这个数能被13整除。
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数例2：判断3546725能否被13整除能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
数的整除特征特点
数的整除特征特点 It was last revised on January 2, 2021
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被 2、 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）
13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
五年级整除的特征
整除的特征一、性质1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A+B或差A-B也能被C整除。
例如：8整除64，8整除24，那么8整除64+24或64-242、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。
例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。
二、数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。
能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。
能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。
能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。
一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除三、例题与练习例1、判断下面的数是否能整除。
例2、判断下面的数是否能整除。
例题3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？练习1、在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？例题4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？练习3、由1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？练习4、从0、3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？练习5、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?**例6、已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？**例7、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写99次成为：abab ab ab 5个99555。
能被某数整除的数的特征
能被某数整除的数的特征1.能被2（4、8）或5（25、125）整除的数的特征:未位上的数字所表示的数能被2或5整除，这个数的末位数能被2或5整除。
（未位数是0、2、4、6、8的数能被2整除；未位数是0、5的数能被5整除）未两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数能被4或25整除；未两位数能被25整除是00、25、50、75。
未三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数能被8或125整除；2.能被3或9整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被3或9整除，这个数能被3或9整除。
3.能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数能被7、11、13整除。
例如：701239末三位：239 末三位之前的数为701701-239=462 462÷7=66 701239能被7整除462÷11=42 701239能被11整除462÷13=35……7 701239不能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：694378906末三位：906 末三位之前的数为694378694378-906=693472太大了，不能直接看出被7、11、13整除，继续运用此方法检查：末三位：472 末三位之前的数为693693-472=221 221÷7=31……4 694378906不能被13整除221÷11=20……1 694378906不能被11整除221÷13=33 694378906能被13整除个位数字以前的数字按顺序组成的数字与个位数字的2倍之差（大减小）能被7整除，则这个数能被7整除。
能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征
【数学】能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征★★能被2整除的数的特征是个位上是偶数,能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除.这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍,如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如:判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍,如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程.例如：判断1675282能不能被17整除。
167528—2×5=16751816751—8×5=167111671—1×5=1666166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来,就继续……6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除.能被19整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
常见数的整除特征
常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。
任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。
2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。
3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。
例如，30、80、120等。
4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。
5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。
例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。
6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。
7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。
例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。
8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。
例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。
9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。
根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。
特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。
11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。
例如，1、4、9、16等。
一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。
总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。
通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
奥数——数的整除特征
数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。
2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。
5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。
★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。
例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。
例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。
例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。
3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。
请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
数的整除的特征归类
数的整除的特征归类--蒋睿宇学习资料在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式：第一类：看被整除的这个数的末一位。
（也就是这个数的个位）。
这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。
其特征是：（1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。
例如：12、24、36、28、50（2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。
例如：20、45第二类：看被整除的这个数的末两位。
（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。
其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。
例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。
（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。
例如：789160÷8=98645（160÷8=20）456375÷125=3651（375÷125=3）第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。
例如：789803（803-789=14,14÷7=2）584628（628-584=44,44÷11=4）26299（299-26=273,273÷13=21）第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。
这是判断能否被3和9整除的数的特征。
例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）。
数的整除特征
数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。
问：这样的三位数有几个？【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？2、在内填上合适的数使七位数能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在15整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？8、四年级有72名学生，共交5内的数字模糊不清）。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征
1.能够被另一个数整除：如果一个数能够被另一个数整除，那么它就
是被整除的数的一个特征。
例如，4能够被2整除，因此4是被整除的数。
2.余数为0：当两个数进行整除运算时，如果余数为0，那么被除数
就是被整除的数。
例如，10除以5的余数为0，因此10是被整除的数。
3.可以被同一个数整除多次：如果一个数能够被同一个数整除多次，
那么它也是被整除的数的一个特征。
例如，12可以被2整除多次，因此
12是被整除的数。
4.能够被一组数整除：除了能够被单个数整除外，还有一些数能够被
一组数整除。
例如，15能够被3和5整除，因此15是被整除的数。
5.能够整除自己：除了能够被其他数整除外，数还可以被自己整除。
例如，5可以被自己整除，因此5是被整除的数。
6.能够被任意数整除：有一些数能够被任意数整除，这些数被称为无
穷整数。
例如，0、正负无穷大以及自然数的倍数都属于无穷整数。
7.有规律的整除性质：有一些数具有特殊的整除性质。
例如，能够被
2整除的数都是偶数，能够被3整除的数如果各个位上的数字之和能被3
整除，那么这个数也能被3整除。
总的来说，能够被整除的数具有上述特征之一或多个。
这些特征使我
们能够对数的整除性质进行计算和推理。
在数学和实际应用中，能够被整
除的数的特征是十分重要的。
特殊数的整除特征
特殊数的整除特征几个重要的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2整除，这个数就能被2整除。
（2）能被3整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
（3）能被4整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4整除，这个数就能被4整除。
（4）能被5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被5整除，这个数就能被5整除。
（5）能被7整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。
（6）能被8整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。
（7）能被9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被11整除，这个数就能被11整除；或者一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
（9）能被13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被13整除，这个数就能被13整除。
（10）能被25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被25整除，这个数就能被25整除。
（11）能被125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被125整除，这个数就能被125整除。
例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。
练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
这个六位数最小是多少？2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。
A代表的数字是几？3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。
例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。
它们的前四位都是9876，而末位数字不同。
求这两个五位数的和。
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能被特殊数整除的特征
—己巳贡生1、能被2 整除的数的特征。
如果一个数能被2 整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3 整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是 3 的倍数。
例如：225能被3 整除，因为2+2+5=9,9 是3 的倍数，所以225 能被3 整除。
3、能被4 整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4 整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512 能不能被4 整除呢？因为15692512 的末尾两位12，能被4整除，所以15692512 能被4整除。
4、能被5 整除的数的特征。
若一个数的末尾是0 或5，则这个数能被5 整除。
5、能被7 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是
7 的倍数，则原数能被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133 是否是7 的倍数的过程如下：13 —3X 2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9X 2= 595 , 59 —5X 2= 49,所以6139是7的倍数，以此类推。
方法二：如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差, 是7 的倍数, 那么这个数就能被7 整除。
例如：280678 末三位数是678,末三位以前数字所组成的数是
280,679-280=399,399 能被7 整除,因此280679 也能被7 整除。
方法三：首位缩小法,减少7 的倍数。
例如, 判断452669 能不能被7 整除, 452669-420000=32669 ,只要32669 能被7 整除即可。
可对32669 继续, 32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49 当然被7 整除所以452669 能被7 整除。
6、能被8 整除的数的特征。
若一个整数的未尾三位数能被8 整除,则这个数能被8整除。
7、能被9 整除的数的特征。
若一个数的数位上的数字的和能被9 整除,则这个整数能被9 整除。
例如：111111111 能不能被9整除呢？因为1+1+1+1+1+1+1+1+1=9,9 是9的倍数,所以111111111 能被9整除。
8、能被11 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和（从右往左数）的差能被11 整除,
则这个数能被11 整除。
例如,判断491678 能不能被11 整除。
奇位数字之和8+6+9=23；偶位数字之和7+1+4=12；23-12=11,11 能被11 整除，所以491678 能被11 整除。
这种方法叫作“奇偶位差法”。
方法二：11 的倍数检验法也可用上述检查7 的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2 而是1！例如：判断491678 能不能被11 整除，49167-8=49159,4915-9=4906 ，490-
6=484,48-4=44 。
44能被11整除，所以得491678能被11整除。
方法三：还可以根据7 的方法二判断。
例如：283679 的末三位数是679，末三位以前数所组成的数是283,679-283=396,396 能被11 整除，因此283679 就一定能被11 整除。
9、能被13 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4 倍，如果和是13 的倍数，则原数能被13 整除。
如果和太大或心算不易看出是否13 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断1284322 能不能被13 整除。
128432+2 X 4=128440,12844+0 X 4=12844 ,
1284+4 X 4=1300,1300 - 13=100。
所以1284322 能被13 整除。
方法二：前面7的方法二，也适用判定13。
例如：判定1284322能不能被13整除，128432 的末尾三位数是322,末尾以前的数字所组成的数是1284,322-1284=-962。
962十13=74。
所以1284322 能被13整除。
10、能被17 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5 倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否1 7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断1675282能不能被17整除，167528-2X5=167518,16751-8 X5=16711,1671-1 X5=1666,166-6 X5=136, 136- 17=8，所以1675282 能被17 整除。
方法二：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
例如，判断1675282能不能被17整除，1675282的末三位是282，前面的数是1675，282-1675 X 3=-4743,4743 - 17=279，所以1675282 能被17 整除。
11、能被19 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
例如，判断234555能不能被19整除，234555末尾三位数是555 ，前面三位是234，555-234 X 7=-1083,1083 - 19=57,所以234555 能被19 整除。
方法二：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数,则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程,直到能清楚判断为止。
12、能被23 整除的数的特征。
若一个整数的末四位与前面5 倍的隔出数的差能被23（或29）整除,则这个数能被23 整除。
13、能被25 整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被25 整除，则这个数能被
14、能被125 整除的数的特征。
如果一个数的末尾三位能被
25 整除。
125 整除，则这个数能被
125 整除。