全同粒子状态空间维数
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋一 电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。
实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。
描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B e s 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。
3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。
强调两点：●相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程 狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。
●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。
实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。
特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。
电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s = ，波函数写为(,/2)(,) 0z s ψψ⎛⎫= ⎪⎝⎭r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。
专题讲座9-全同粒子
专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
自旋和全同粒子2
32
16
2005-06
基础物理学(下)
17
2005-06
基础物理学(下)
18
ˆ Pij .( 对 任 何 i j )
反对称波函数
1பைடு நூலகம்
二粒子互换后波函数变号， 即
(q1 , q2 , qi q j qN , t ) (q1 , q2 , q j qi qN , t )
ˆ ˆ 可以证明： [ P ij , H ] 0
i j
Sij q1 , q2 ) （
1 2
[ i ( q1 ) j ( q2 ) j ( q1 ) i ( q2 )]
（2）Fermi 子体系
i j
Aij q1 , q2 ) （
1 2
[i (q1 ) j (q2 ) j (q1 )i (q2 )]
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对 称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称） 态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
（三）Fermi 子和 Bose 子
实验表明：对于每一种微观粒子，它们的多粒子体系波函数的交换对 称性是完全确定的，而且该对称性与该粒子的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 两个粒子总是对称的，这种粒子遵从Bose-Einstein统计， 故称为 Bose 子。
0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 2 1 0 -1 -2
ms
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½
2(2l+1)
2 2
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
热力学统计物理总复习知识点
热力学统计物理总复习知识点The manuscript was revised on the evening of 2021热力学部分第一章 热力学的基本规律1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统其中所要研究的系统可分为三类孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统；闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统；开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。
2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。
3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。
4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。
6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。
7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。
8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。
9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。
绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -=V p W d d -=10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d +=11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ∆+∆=∆，与热力学第一定律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。
12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。
13．定压热容比：p p T H C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；定容热容比：VV T U C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=-γγT p 。
三种统计的微观状态数同一个分布对于玻耳兹曼系统
三种统计的微观状态数
同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费 米系统给出的微观状态数显然是不同的，下面分别 加以讨论.
1. 玻耳兹曼系统
粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则 al 个 粒子占据能级 l 上的 l 个量子态时，是彼此独立、 互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为：
1
AB
2
AB
3
AB
4
A
B
5
B
A
6
A
B
7
B
A
8
Aபைடு நூலகம்
B
9
B
A
对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。
量子态1 量子态2 量子态3
1
AA
2
AA
3
AA
4
A
A
5
A
A
6
A
A
对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。
量子态1 量子态2 量子态3
1
A
A
2
A
A
3
A
A
玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的的微观状态数
粒子类别 玻耳兹曼系统
用 μ 空间中N个点描述
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
3）玻色子与费米子
a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复
量子力学--第九章 全同粒子体系
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
A
1 2
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
可以证明，上面四个波函数是正交归一的见习题。
（二）自旋单态与三重态
上面我们从全同粒子波函数的对称性角度来考虑，构造了
七. 两个电子的自旋函数
两个电子系统是很重要的，氦原子，氢原子都是两个
电子的系统。另外它是多粒子系的最简单情况，
因此理论上也很重要。
（一）两电子的自旋波函数（不计自旋―自旋相互作用）
1、自旋波函数
电 子 的 两 个 单 粒 子 自 旋态：
这四个自旋波函数
1 Sz 1 Sz
2
四个对称化的自旋波函数，
下面我们从两个角动量的耦合角度来考察这个问题。
1、两电子体系总自旋角动量算符
定 义：
Sˆ Sˆ1 Sˆ 2
或者
Sˆ x Sˆ1x Sˆ 2x Sˆ y Sˆ1 y Sˆ 2 y Sˆ z Sˆ1z Sˆ 2z
再 引 入 Sˆ 2 Sˆ x 2 Sˆ y 2 Sˆ z 2
为泡利不相容原理
(2) 玻色子系的对称波函数
S C Pi (q1 ) j (q2 )k (qN )
P
(7.7 7)
（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函数中的某一种排列， 表
P
示对所有可能的排列求和.
i) Hˆ S ES E i j k
量子力学思考题和讨论题
量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学位形空间全同多粒子系综解释
N i 1
1 2mi
Ri（2 x1, xN）i2（x1, xN） U（x1, xN）
E（x1, xN）
（1）
式中U 和 E 是经典粒子的势能和总能量，函数 Ri 可以通过经典粒子的牛顿力学运动方程确定。如果 Ri ，上式就与量子
3
力学运动方程完全一样。差别在于 Ri 常数的量子力学运动方程是斯特姆—刘维型方程，有分立本征解。但由于 Ri 常数， 经典粒子的几率波运动方程不是斯特姆—刘维型方程，没有分立解。此外，由于宏观粒子没有全同性，其波函数也没有全 同交换对称性。
2.1 经典力学的运动方程……………………………….……………………………………...…....(7) 2.2 量子力学的基本假设和运动方程……………………………….………………………......… (8)
1
2.3 量子力学的正统解释……………………………….………………………………………..…(10) 2.4 量子力学的系综解释……………………………….………………………………………….(11)
十三 量子力学与经典力学的对应关系………………………….……………………..……..….(75)
13.1 海森堡运动方程与经典力学正则方程的关系……………………….……….…………..….(75) 13.2 位形空间系综解释与流体力学解释的关系……………………….…………...….………....(76) 13.3 费曼路径积分与位形空间的关系…………………………….………………………..….….(77) 13.4 量子场论与位形空间的关系………………………….………………………...…...……….(79)
提供一个无逻辑矛盾的合理解释。
中山大学热力学统计思考题答案汇总
中⼭⼤学热⼒学统计思考题答案汇总热⼒学思考题答案汇总第⼀章热⼒学的基本规律什么是热⼒学平衡态(弛豫时间、热动平衡)热⼒学平衡态：孤⽴系经过⾜够长的时间后，各种宏观性质在长时间内不发⽣变化弛豫时间：系统由初始状态达到热⼒学平衡态的时间，决定于趋向平衡的过程的性质。
热动平衡：虽然平衡态下的宏观性质不随时间变化，但系统的微观粒⼦仍在不断运动涨落：平衡态下的宏观物理量在平均值附近的变化⾮孤⽴系的平衡态：将系统与外界看作复合的孤⽴系什么是热⼒学第零、⼀、⼆定律(及其表达式)热⼒学第零定律：如果两个系统A和B各⾃与第三个系统达到热平衡，那么A和B之间也处于热平衡热⼒学第⼀定律：系统在终态B 和初态 A 的内能之差U B- U A等于过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和热⼒学第⼀定律就是能量守恒定律：⾃然界的⼀切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从⼀种形式转化为另⼀种形式，从⼀个物体传递到另⼀个物体，在传递与转化的过程中能量的数量不变热⼒学第⼀定律的另外⼀种表述：第⼀类永动机是不可能造成的Q +W S= U B- U A热⼒学第⼀定律的数学表达式热⼒学第⼆定律的两种表述克⽒表述：不可能把热量从低温物体传到⾼温物体⽽不引起其它变化开⽒表述：不可能从单⼀热源吸热使之完全变成有⽤的功⽽不引起其它变化热⼒学第⼆定律开⽒表述的另外⼀种说法：第⼆类永动机是不可能造成的什么是物质的物态⽅程(理想⽓体、范⽒⽅程)物态⽅程的⼀般形式和相关物理量物态⽅程的⼀般形式由热平衡定律，平衡态下的热⼒学系统存在状态函数(温度)，物态⽅程就是温度与状态参量之间的函数关系f(p,V,T )=0相关物理量体胀系数α：压强不变，温度升⾼1K的体积相对变化压强系数β：体积不变，温度升⾼1K的压强相对变化等温压缩系数k T：温度不变,增加压强的体积相对变化体胀系数α、压强系数β和等温压缩系数的关系加热固体或液体时很难实现体积不变，即压强系数β很难直接测量，通常是通过α和间接测量β物态⽅程和三个系数的关系由物态⽅程，可以求得α、β和由α和，可以得到物态⽅程的信息理想⽓体(⽓体的压强趋于零)玻意⽿定律：对于固定质量的⽓体，当温度不变时，压强p 和体积V 的乘积是⼀个常数pV=C阿⽒定律：相同的温度和压强下，相等体积的各种⽓体的质量与各⾃的分⼦量成正⽐，即物质的量相等物态⽅程：PV=nRT R=8.3145J.MOL-1.K-1焦⽿定律→上式中的T是理想⽓体温标=热⼒学温标理想⽓体：严格遵从玻意⽿定律、阿⽒定律和焦⽿定律的⽓体微观⾓度的理想⽓体：⽓体分⼦之间的相互作⽤可忽略不计(范式⽅程) 范⽒⽅程：基于理想⽓体物态⽅程，考虑分⼦间的相互作⽤(nb是斥⼒项，an 2/V 2是引⼒项)什么是功的⼀般表⽰式什么是摩尔热容量、等容/等压热容量、内能什么是理想⽓体的卡诺循环(及其效率)热⼒学把严格遵守玻意尔定律，焦⽿定律，阿⽒定律规律的⽓体称为理想⽓体组成的循环。
全同粒子的特性
h2
2
2j
U (qj ,t)
ji
1 2
W
(q
j
,
qi
)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t) Hˆ (q1,..., qj ,..., qi,..., qN ,t)
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 体系的物理状态保持不变。
全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激发 态，能量分别为
E1
Z 2es2 2a0
E2
Z 2es2 2a0 22
体系的能量为E E1 。E2
若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿 用 qi (代rvi ,表Siz )第i个粒子的坐标和自旋。
全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1, q2 ,..., qN ,t)
Hˆ (q1, q2 ,...,qN
当 时 ，1有
1
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
则波函数是交换对称的，用 表S 示；
当 时 ，1 有
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
,t)
N i 1
2
2
2 i
7.6全同粒子的特性
全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系 中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理 状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称 为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 哈密顿算符的交换对称性 考虑N个全同粒子组成的体系，q i 表示第i个粒子的空 间坐标 r i 与自旋变量 S i ，u ( q i , t ) 表示 第i个粒子在外场中 的能量，w ( q i , q j ) 表示第i、j粒子的相互作用能量，则体系的 哈密顿算符 H 写为
（7.6-3）
• 1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）P i j 对波函数的作用 (, q q ,q ,q ,q , t ) 设N个全同粒子体系用波函数 1 2 i j N 描述，则有
P ( q ,, q ,q ,q , t ) ( q ,, q ,q ,q , t ) i j （7.6-4） 1 2q i j N 1 2q j i N
ˆ H (, q q , q ,) t 1 2 j q i q N ˆ H (, q q , q ,) t 1 2 i q j q N
称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈 密顿算符的这种交换对称性又可记为
ij
（7.6-2）
P
P ij , H
0
（7.6-6）
由此得 2 1 ，所以交换算符的本征值为
1
（2）波函数的交换对称性 • 当λ＝+1时，则 P ij ，表示交换两个粒子后波函数 不变，这时的波函数称为对称波函数，记为 S 。 • 当λ＝-1时，则 Pij ，表示交换两个粒子后波函数 变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为 A 。 可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交 换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒 子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能 描述全同粒子体系的。 另外，由于 P ij , H 0 ，可见P i j 是守恒量，同粒子： 静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子。例如，电子、质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根 据各自的运动轨迹来区分。而在量子力学中，微观全同粒子 的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区 分；另外，对全同粒子体系进行测量时，关心的是在空间某 点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有 不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。
全同性原理
内找到另一个粒子的几率为(几率密度仍为P)
2 4r P (r )dr r dr | (r ) | d
2 A k
2
A k
dr
2r dr 2 d sin (kr cos ) sin d 3 (2 ) 0 0
4r dr 1 2 sin (kr cos )d(krcos ) 3 (2 ) kr 0
任何可观测量，特别是Hamiltonian量，对于 任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称 性。
例1
He原子中两个电子组成的体系 （我们只研究电子的运动规律）
电子的Hamiltonian表达式可以写为
两电子动能 两电子与核库仑能 两电子相互作用能
2 2 2 2 2 ˆ ˆ p p 2e 2e e 1 2 ˆ H 2m 2m r1 r2 | r1 r2 |
这样由前面的知识可知
1 1 A ik r k (r ) (1 P e 12 ) 3/ 2 (2 ) 2
2i e 3/ 2 (2 )
ik r
e 2i
ik r
2i sin( k r ) 3/ 2 (2 ) 因此对于一个粒子，在半径(r , r dr )的球壳
来描述。其中 q (i 1,2, N ) 表示第i个
i
粒子的全部坐标（空间和自旋）。 若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
பைடு நூலகம்
Pij (q1 , q2 ,, qi , q j ,, qN ) (q1 , q2 ,, q j , qi ,, qN )
根据全同性原理，有
本征值为 k，k .
讨论它们在空间距离的几率分布
核子空间的基和维数
核子空间的基和维数1.引言1.1 概述核子空间是指由原子核中的粒子构成的空间。
它是研究原子核结构和性质的重要领域之一。
在核物理学中，我们通常将核子空间视为一个向量空间，其中的基和维数是重要的概念。
核子空间的基是指一组向量，它们可以线性组合得到空间中的任意向量。
这些基向量可以描述核子的不同状态和性质。
根据量子力学的原理，核子空间的基可以用来描述不同的能级和角动量状态。
核子空间的维数是指基向量的数量。
它代表了能够描述核子空间中的最大独立信息的数量。
核子空间的维数与核子的粒子数和能级数密切相关。
通过研究核子空间的维数，我们可以更好地理解核子的组成和相互作用。
本文旨在探讨核子空间的基和维数的意义以及它们在核物理研究中的应用。
我们将介绍核子空间的基的概念和性质，并讨论如何确定核子空间的维数。
此外，我们将探讨核子空间的基和维数对于理解核子结构、核反应和核能的重要性。
通过对核子空间的基和维数的深入研究，我们可以更好地理解核子的内部结构和行为。
这有助于解释核反应和核能的现象，并推动核物理学的发展。
同时，研究核子空间的基和维数也为其他领域的研究提供了重要的理论基础和数学工具。
在接下来的章节中，我们将详细介绍核子空间的基和维数的概念和性质，并探讨它们在核物理学中的应用。
通过对核子空间的基和维数进行全面的研究，我们可以更好地理解原子核的奥秘，为核物理学的发展做出贡献。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文总共包含三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将对核子空间的基和维数的概念进行概述，并阐明本文的目的。
在正文部分，我们将分别探讨核子空间的基和维数的概念、特性和计算方法。
最后，在结论部分，我们将对核子空间的基和维数进行总结，并讨论其在实际应用中的意义。
具体来说，引言部分将首先概述核子空间的基和维数的概念，为读者建立起相对清晰的认识。
随后，我们将介绍本文的结构和内容安排，为读者提供一个整体的框架。
玻耳兹曼统计
两者都基于等几率假设，即假定处于统计平衡的孤立系统所有微观状态出现的几率相等。
玻耳兹曼分布与正则分布的函数形式相似，由它们导出的热力学公式的形式也相似。
当讨论由近独立粒子所组成的孤立系统时，两种统计法所得结果相同，两者是等价的。前面已提及最可儿分 布井不穷尽全部可能的微观状态，但对于由很大数量的粒子组成的系统来说，由于热力学几率分布曲线在极大值 附近非常陡，以致共他分布所对应的微观态数与最可几分布对应的微观态数相比非常少，可以忽略它们对宏观量 的贡献。
激活介质是指在一定的外界条件下，它的某两个能级实现了粒子数反转并对特定频率的光基有放大作用的介 质.制造激光器一定要有激活介质。因为不是任何物质的任意两个能级间都能实现粒子数反转的,因此必须寻找建 立某两个能级间粒子数反转的条件。根据热平衡态下粒子数分布满足玻耳兹曼分布律而建立起的速率方程，可用 来判断满足粒子数反转的条件。在原子体系中每个能级的粒子数变化可分成与外界辐射场有关的部分(受激项)和 与外界作用无关的部分(弛豫项)。用体表示光对介质的激励概率，用P表示弛豫概率，它等于自发辐射概率与无 辐射概率之和。
玻尔兹曼的贡献主要在热力学和统计物理方面。1869年，他将麦克斯韦速度分布律推广到保守力场作用下的 情况，得到了玻尔兹曼分布律。1872年，玻尔兹曼建立了玻尔兹曼方程（又称输运方程），用来描述气体从非平 衡态到平衡态过渡的过程。1877年他又提出了著名的玻尔兹曼熵公式。
原理表述
全同粒子的经典统计法。又称麦克斯韦－玻耳兹曼统计或经典统计。考虑由同一种分子组成的气体。把每个 分子看成近独立的子系统,它可能有Ki个能量为εi的状态。设有Ni个分子处于这组状态中。经典统计中对于状态 的占有方式没有限制，而且每个分子都是可以识别的。把Ni个分子放到Ki个状态中的方式共有种，于是气体的熵 满足：
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全同粒子状态空间维数
全同粒子是指具有相同质量、电荷和自旋的粒子。
在统计物理学中，我们研究的是这些粒子的集体行为，其中一个重要的概念就是全同粒子的状态空间。
全同粒子的状态空间是指描述所有全同粒子可能的量子态的集合。
对于仅由全同粒子构成的系统，其状态空间可以非常庞大。
为了计算状态空间的维度，我们需要考虑每个粒子的自由度和它们之间的相互作用。
首先，考虑一维空间中的全同粒子系统。
假设系统中有N个
全同粒子，每个粒子可以处于L个离散的量子态中的一个。
因为粒子是全同的，所以每个粒子都有相同的L个可能的状态。
那么整个系统的状态可以通过描述每个粒子的状态来确定。
因此，系统的状态空间维度为L^N。
更具体地说，我们可以考虑一个由两个粒子构成的系统。
假设每个粒子有两个可能的状态，即每个粒子可以处于状态A或
B中。
那么这个系统的状态空间维度为2^2=4。
系统的四个可
能态可以用以下符号表示：|AA⟩，|AB⟩，|BA⟩和|BB⟩。
可
以看出，对于两个粒子的系统，它具有一个二维状态空间。
对于更多的粒子，状态空间的维度会呈指数增长。
假设现在有
3个粒子，每个粒子有2个可能的状态。
那么这个系统的状态
空间维度为2^3=8。
系统的八个可能态可以用以下符号表示：
|AAA⟩，|AAB⟩，|ABA⟩，|ABB⟩，|BAA⟩，|BAB⟩，
|BBA⟩和|BBB⟩。
可以看出，对于三个粒子的系统，它具有
一个三维状态空间。
一般来说，对于具有N个粒子的全同粒子系统，如果每个粒
子有M个可能的状态，那么系统的状态空间维度为M^N。
当
N和M都变得非常大时，系统的状态空间维度将会非常庞大。
此外，还要考虑全同粒子的取向和自旋等其他自由度。
这些额外的自由度将进一步扩大系统的状态空间。
例如，在三维空间中考虑两个自旋为1/2的全同粒子，每个粒子有两个可能的状态。
那么这个系统的状态空间维度为(2^2)*(2^2)=16。
综上所述，全同粒子的状态空间维度取决于粒子个数和每个粒子可能的状态数。
随着粒子个数和状态数的增加，状态空间的维度将指数增长。
由于状态空间维度的庞大，我们需要使用合适的数学工具和技术来研究全同粒子系统的性质和行为。