圆知识点总结及归纳

第一讲 圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

定义

标准 方程

一般

方程

平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )

(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)

圆心： (a ， b)，半径： r

x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0

圆心： － D ，－ E

，

2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)

半径： 1 D 2＋ E 2

－ 4F

2

1、圆的标准方程与一般方程的互化

（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，

取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.

（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：

(x ＋ D 2

＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F

2 ) 2 ) ＝ 4

①当 D 2＋E 2

－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E

)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；

2 2 2

②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0

x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解

2 2，即只表示一个点 2 ，－

E

)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．

2

2、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数

都为 1 ，没有 xy 的二次项 .

3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就

确立了．

（二）点与圆的地点关系

点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.

（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.

（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2

(三)直线与圆的地点关系

方法一：

方法二：

（四）圆与圆的地点关系

1外离

2外切

3订交

4内切

5内含

（五）圆的参数方程

（六）温馨提示

1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：

（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．

（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是

线段 AB 的中点，则 x＝x

1

x

2 ，y＝

y

1

y

2 .

22

二、典例概括

考点一：相关圆的标准方程的求法

【例1】圆

22

，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是

【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数

A ． (－ 1,1)

C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(

D． (1，＋∞)

)

B． (0,1)

【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()

A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1

C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1

【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()

A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5

C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5

【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为

【变式 2】已知圆 C 与圆x 12

2

1 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为

y

【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()

A ． (x－ 3)2＋

7

y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1

C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 1

2

【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .

方法总结：

1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．

2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．

考点二、相关圆的一般方程的求法

【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()

A .1

＜ m＜ 1 B ． m＜

1

或 m＞ 1 C ．m＜

1

D． m＞ 1 444

【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()

A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0

【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．

【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线

2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =

【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .

【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否

在同一个圆上？为何？