第九章 机械波

∂y 2π y = Acos(ωt x + ϕ0 ) = Aksin(ωt x + ϕ0 ) λ ∂x λ 质元的弹性形变势能为
2π
1 ∂y 2 E p = f( Δl - Δx) ≈ f Δx( ) 2 ∂x 1 x 2 2 2 = μΔxA ω sin [ w( t − ) + ϕ 0 ] f u= 2 u μ = Ek
第九章
机械波
波动方程 能流与能流密度
§9.1 波的产生 §9.2 波的能量 §9.3 波的干涉
思考：波是如何形成和传播的？ 波源振动起来时，带动相邻的质点振动，这 个质点又带动更远的质点振动，这样波源的振 动就传播出去了
波动是振源（波源）振动状态的传播。
§9.1
一. 振动与波
1. 振动状态的传播
成正比，此结论对弹性波均成立。
三、能流、波的强度
能流:单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量称为 波通过该截面的能流，或叫能通量。
dW w ⋅ udtS P= = = wuS dt dt
单位：瓦
u S x
udt
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
P = wuS = wuS
能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的 单位面积的平均能流。 9 能流密度是矢量，其方向 −2 I = wu 单位：瓦 ⋅ 米 与波速方向相同。
对平面简谐波
1 I = ρ A 2ω 2 u 2
I = wu
9波的相对强度
I = A2
K
K
例3. 分析：波是能量传播的一种形式。 波动的能量与振动能量是有区别的。孤立振动系统的振 子动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播 能量; 1 1 2 2 22 k A ω sin 2 ( ω t + ϕ 0 ) Ek = mv = mA 2 2
假设: 媒质无吸收，质元振幅均为A 波速ｕ o 任一点P
x
·
x
已知: 参考点O 的振动表达式为 y0(t)=Acos(ωt+ϕ0) 求任一点P点的振动方程 ——波函数 x ~ 由波程差来求 Δϕ = 2π
λ x y( x , t ) = A cos( ω t + ϕ 0 − 2π ) λ
~ 由时间差来求
波速ｕ o 任一点P
x
·
x
已知: 参考点O 的振动表达式为 y0(t)=Acos(ωt+ϕ0 ) 求任一点P点的振动方程 x P点的振动比O点晚 Δ t = 时间发生 u P在t时刻的振动 = O点在 t -Δt 时刻的振动
P点的振动表达式
x ⎡ ⎤ y(x,t) = yO ( t − Δ t ) = Acos ⎢ ω(t - )+ ϕ 0 ⎥ u ⎣ ⎦
u a
传播方向
b
Δ x Δx Δt = 2π Δϕ = 2π λ T
u
x
ϕa > ϕb
传播方向
传播方向相反呢？沿x轴负向 ϕ b > ϕ a
Δx Δt Δϕ = 2 π = 2π λ T
二. 平面简谐波的波函数
若简谐波的波面为平面，则称为平面简谐波。
讨论: 沿+x方向传播的平面简谐波(u , ω )
波长所需要的时间。
波长λ ：振动在一个周期内传播的距离。也是沿波线上
相位差为2π的相邻两质元之间的距离。
频率v(=1/T)：单位时间内波源的振动次数。也是波源
在单位时间内沿传播方向发出的完整波的个数。
频率与媒质无关。
波速u：波在媒质中传播的速度，波在一个周期内传播的距 离为一个波长，故 λ u = = λv 波速与媒质有关. T
E = Ek + E p= Δm ω A sin (ωt -
2
2
2
2π
在波动的传播过程中，任意时刻媒质元的动能和势能
大小相等且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
λ
x + ϕ0 )
各媒质元的能量在最大值和零之间随时间作周期性
变化，说明媒质元都在不断地接收和传递能量。
波动能量以波速u沿波的前进方向传播。
§9.2
波的能量 能流与能流密度
波的传输过程也是能量输运过程 一. 媒质元的能量 波的能量 = 振动 动能 + 形变 势能 1、以弹性绳的简谐横波为例说明 设绳的线密度为μ，则绳上线元Δx的质量为 Δm = μ Δx. 2π ∂ y 2 π y = Acos(ωt x + ϕ0 ) υ = = -Aωsin(ωt x + ϕ0 ) λ ∂t λ 任意时刻此质元的振动动能 1 2 1 Ek = μ Δxυ = μ Δxω2 A2 sin 2 (ωt - 2π x + ϕ 0 ) 2 2 λ
t x ⎡ ⎤ y(x,t) = Acos ⎢ 2π ( - )+ ϕ 0 ⎥ T λ ⎣ ⎦ (b)
或
三. 振动曲线与波动曲线
y( x ,t ) = A cos( ω t − x + ϕ0 ) 波函数 λ 1. 振动曲线
2π
固 定 x, (x= x0) 得到某个质点(x= x0) 的振动曲线
y( x0 ,t ) = Acos( ω t − 2π
3. 波动中的基本概念和物理量: 波线：沿波传播方向所做的带箭头的线
波（阵）面:某时刻媒质中同相位点所形成的面。
波前：离波源最远，沿波线方向最前面的波阵面。 平面波：波面为相互平行的平面。 球面波：波面为同心球面。 波面 波线
平面波
球面波
周期T ：波源完成一次全振动所需的时间，波前进一个
振动
EP
Ek
y
1 kA 2 sin 2 ( ω t + ϕ 0 ) 2 kA 2 = [ 1 − cos( 2 ω t + 2 ϕ 0 )] 4 1 E p = kA 2 cos 2 ( ω t + ϕ 0 ) 2 t = kA 2 [ 1 + cos( 2 ω t + 2 ϕ ) ] 0 4 Ek =
β u= ρ
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
弹性模量
在弹性限度内，应力(F/S )和应变(Δl/l)成正比:
F Δl =E S l F/S 杨氏模量 E = Δl / l
F l0 l0 + Δ l
F
波程差对应的相位差 Δϕ
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。或：两个点，离 波源较近的点相位超前。
二、能量密度与平均能量密度
波的能量密度: 介质单位体积内的波动能量 1 2π 2 2 2 x+ϕ 0 ) 质元中波的能量 E k = E p = ρΔVω A sin (ωt 2 λ 1 2π 2 2 2 wk = w p = ρω A sin (ωt x+ϕ 0 ) 2 λ 2π 2 2 2 w = w k + w p = ρω A sin (ω t x+ϕ 0 )
波动：
Y
o
wk
wp t
1 E p = E k = ρΔVω2 A2 sin 2 (ωt - kx + ϕ 0 ) 2 1 = ρΔVω2 A2 [1 - cos(2ωt - 2kx + 2ϕ 0 )] 4
y
对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过 程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。 平均讲来，该体元的能量密度保持不变。
λ
x0 + ϕ 0 )
2. 波动曲线（波形图）
固定 t, (t= t0 ) 得到媒质中各质点在t0时刻的位移分布——波形图
y( x ,t0 ) = Acos( ω t0 − 2π
λ
x + ϕ0 )
u
上游的质元依次带动下游的质元振动
3. 波的时间、空间双重周期性
T 时间周期性 λ 空间周期性
4. 波形图的平移
典型波速
机械波的传播速度完全取决于媒质的弹性和惯性，即取决于介 质的弹性模量和质量密度。

对于柔软的绳索和弦线中横波波速为:
u=
T
μ
Y
T为绳索或弦线中张力 μ 为质量线密度 Y为媒质的杨氏弹性模量

细长的棒状媒质中纵波波速为
u=
ρ
ρ 为质量密度
β为媒质的容变弹性模量 ρ 为质量密度
在液体和气体中中纵波的波速为：
1 w = ρω 2 A 2 2
即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的 过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能 量沿波速方向传播。
例4.分析平面波和球面波的振幅
试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进 方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比 证明： 对平面波： 在一个周期T内通过S1和S2面(S1=S2)的能量应该相等
x1=0.2m处超前
例2、一波源作简谐振动，振幅为0.02m, 周期为1/100s。现 以波源的振动经平衡位置向正方向运动时作为计时起点。若 此振动以u=400m/s的速度沿x轴正向传播。求 （1）以波源为坐标原点，写出波动方程 （2）距波源为20m处质点的振动方程和初相位。 （3）若以距波源2m处为坐标原点，写出波动方程。 解：（1） 波源的振动方程 3π y0 = Acos( ω t + ϕ 0 ) = 0.02 cos( 200π t + ) 3π 2 2 3 π x y = 0.02 cos( 200π t − kx + ) 2 π 3π 2π 2π 2π π y = 0.02 cos( 200π t − x + ) k= = = = 2 2 λ u / v uT 2 17 π ) （2） x = 20 y = 0.02 cos( 200π t − 2 π y0 = 0.02 cos( 200π t + ) （3） x = 2处的振动方程 2 π π π 波动方程 y = 0.02 cos( 200π t-kx + ) = 0.02 cos( 200π t- x + ) 2 2 2
A=0.05m，ω=100 π，λ=0.4m， T=2 π/ ω=0.02s，u= λ/T=20ms-1
（2）将x=2m代入波动方程，得 y=0.05cos(100 πt-10 π) 此即x=2m处质点的振动方程，初相为-10 π （3）两点间振动的相位差只与两点间距有关
x2 - x1 0.35 - 0.2 Δφ = 2π = 2π = 0.75π λ 0.4
而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相 联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周 期性的变化，动能最大时，势能也最大，动能为零时， 势能也为零； 1 E p = Ek = ρΔVω2 A2 sin 2 (ωt - kx + ϕ 0 ) 2
1 2 1 2 E p = kx = kA cos 2 ( ω t + ϕ 0 ) 2 2 1 2 E = E P +Ek = kA 2
λ T 1 T 1 2π 2 2 2 x+ϕ 0 )dt w = ∫0 wdt = ρ A ω ∫0 sin ( ω t − λ T T
1 = ρω 2 A 2 = 2π 2 ρA 2 ν 2 2
能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半 平均能量密度与介质的密度、振幅的平方以及频率的平方
波源以余弦或正弦函数规律作简谐振动时，媒质中 各质点也都依次作简谐振动，由此形成简谐波。 NOTE：
1) 质元并未“随波逐流”， 波的传播不是媒质质元的传播 2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动 3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现 --波是振动状态的传播 4) 若两质元的振动状态，则它们为同相点（振动相位相同）
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y(x+Δx, t+Δt) = y(x,t)
t 时刻 x 处的振动在 t+Δt时刻传到了x+Δx处
其中Δ x=uΔt
行波传播着振动状态，同时我们可以由某一时刻的波形， 向波的传播方向平移推知下一时刻的波形。
例1、某横波的波动方程为y=0.05cosπ(5x-100t),求 （1）波的振幅、频率、周期、波速及波长； （2）x=2m处的质点的振动方程和初相位； （3）x1=0.2m及x2=0.35m处两质点振动的相位差。 解（1）将y=0.05cosπ(5x-100t)=0.05cos(100 πt-5 πx) 2π 与方程比较，得 y(x,t) = Acos(ω t x) λ
波的产生
波动方程
~ 机械波
（波源 + 弹性介质） 例如：水波、声波
~ 电磁波
（波源 + 不需要介质 ）例如：电波、光波、伦琴射线 横波： 纵波： 质元的振动方向与波的传播方向垂直的波。
（e.g., 绳子上的波；波峰，波谷）
质元的振动方向与波的传播方向平行的波。
（e.g., 声波；波疏，波密）
2. 简谐波
I 1 S 1T = I 2 S 2T
S1 = S 2 = S
I1 = I2
S1
u
G
S2
1 I = ρ A 2ω 2 u 2
⇒ A1 = A2
所以,平面波振幅相等
对球面波： I 1 S1T = I 2 S 2T ⇒ A1 2 πr1 2 = A2 2 πr2 2