湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试数学试题
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四、解答题
17．①在函数 的图像向右平移 个单位长度得到 的图像， 的图像关于原点对称，
②向量 ， ；
③函数 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知_______，函数 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.
【详解】
因为 ，
所以 在区间 上是偶函数，故排除B，D，
又 ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.
6．C
【分析】
由已知求得 ，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项.
18．如图所示， ， ， 均为边长为 的正三角形，点 ， 在线段 上，点 在线段 上，且满足 ，连接 、 ，设 ， .
试用 ， 表示 ， ， ；
求 的值.
19．已知数列 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
20．若锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 的图像在点 处的切线与直线 垂直，求 面积的Hale Waihona Puke Baidu大值.
C． D．
3．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
4．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 在区间 上的图象的大致形状是（）
21．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足 ，设 ，现要在景区内铺设一条观光通道，由 和 组成.
（1）用 表示观光通道的长 ，并求观光通道 的最大值；
（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在 中种植鲜花，在 中种植果树，在扇形 内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为 百万元/km2，种植草坪利润为 百万元/km2，则当 为何值时总利润最大？
【详解】
由已知得 ，又 ，所以 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.
7．B
【分析】
设点 ，利用 求得点 的横坐标，利用抛物线的定义可求得 .
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为 .
设点 、 ，则 ， ，
，可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 .
故选：B.
A．直线 面
B． 与面 所成的角为定值
C．设面 面 ，则有 ∥
D．三棱锥 体积为定值.
三、填空题
13．设函数 ，若 ，则实数m的取值范围是______．
14．已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公式为_________.
15．若 ，则 =____________.
16．在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为______．
【详解】
若 的零点为 ，则 与 的交点的横坐标为 ，
令 ，则 与 轴的交点的横坐标为 ，
如图所示，
其中 ，
故选：B.
【点睛】
此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.
3．B
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 、 的大小关系，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】
， ， ，又 ，即 .
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.
4．D
【分析】
利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】
解：实数 ， 满足 ，则 ，
所以 .可得 .
当且仅当 时，等号成立，
故答案为：D.
【点睛】
22．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若函数 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
分别求出集合 ，然后取交集即可.
【详解】
由题意， ，
，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2．B
【分析】
此题可转化为 与 的交点的横坐标为 ，利用二次函数的图像即可得到.
D．存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为
11．已知函数 则下列说法正确的是（）
A． 的值域是
B． 是以 为最小正周期的周期函数
C． 在区间 上单调递增
D． 在 上有 个零点
12．一副三角板由一块有一个内角为 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取 中点 与 中点 ，则下列判断中正确的是（）
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．C
【分析】
根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列 中的 可由首项 和末项 表示.
湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知 都是常数， .若 的零点为 ，则下列不等式正确的是（）
A． B．
A． B．
C． D．
6．已知向量 ， ， ，且 ，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则 （）
A． B． C． D． 或
8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 ， ， ．据此，可得正项等比数列 中， （）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列有关命题的说法正确的是（）
A． ，使得 成立
B．命题 ，都有 ，则 ，使得
C．函数 与函数 是同一个函数
D．若 、 、 均为正实数，且 ， ，则
10．已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（）
A．当 时，曲线 为圆
B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ ”是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆”的充分而不必要条件
17．①在函数 的图像向右平移 个单位长度得到 的图像， 的图像关于原点对称，
②向量 ， ；
③函数 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知_______，函数 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.
【详解】
因为 ，
所以 在区间 上是偶函数，故排除B，D，
又 ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.
6．C
【分析】
由已知求得 ，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项.
18．如图所示， ， ， 均为边长为 的正三角形，点 ， 在线段 上，点 在线段 上，且满足 ，连接 、 ，设 ， .
试用 ， 表示 ， ， ；
求 的值.
19．已知数列 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
20．若锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 的图像在点 处的切线与直线 垂直，求 面积的Hale Waihona Puke Baidu大值.
C． D．
3．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
4．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 在区间 上的图象的大致形状是（）
21．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足 ，设 ，现要在景区内铺设一条观光通道，由 和 组成.
（1）用 表示观光通道的长 ，并求观光通道 的最大值；
（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在 中种植鲜花，在 中种植果树，在扇形 内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为 百万元/km2，种植草坪利润为 百万元/km2，则当 为何值时总利润最大？
【详解】
由已知得 ，又 ，所以 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.
7．B
【分析】
设点 ，利用 求得点 的横坐标，利用抛物线的定义可求得 .
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为 .
设点 、 ，则 ， ，
，可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 .
故选：B.
A．直线 面
B． 与面 所成的角为定值
C．设面 面 ，则有 ∥
D．三棱锥 体积为定值.
三、填空题
13．设函数 ，若 ，则实数m的取值范围是______．
14．已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公式为_________.
15．若 ，则 =____________.
16．在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为______．
【详解】
若 的零点为 ，则 与 的交点的横坐标为 ，
令 ，则 与 轴的交点的横坐标为 ，
如图所示，
其中 ，
故选：B.
【点睛】
此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.
3．B
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 、 的大小关系，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.
【详解】
， ， ，又 ，即 .
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.
4．D
【分析】
利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】
解：实数 ， 满足 ，则 ，
所以 .可得 .
当且仅当 时，等号成立，
故答案为：D.
【点睛】
22．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若函数 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
分别求出集合 ，然后取交集即可.
【详解】
由题意， ，
，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2．B
【分析】
此题可转化为 与 的交点的横坐标为 ，利用二次函数的图像即可得到.
D．存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为
11．已知函数 则下列说法正确的是（）
A． 的值域是
B． 是以 为最小正周期的周期函数
C． 在区间 上单调递增
D． 在 上有 个零点
12．一副三角板由一块有一个内角为 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取 中点 与 中点 ，则下列判断中正确的是（）
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．C
【分析】
根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列 中的 可由首项 和末项 表示.
湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知 都是常数， .若 的零点为 ，则下列不等式正确的是（）
A． B．
A． B．
C． D．
6．已知向量 ， ， ，且 ，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则 （）
A． B． C． D． 或
8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 ， ， ．据此，可得正项等比数列 中， （）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列有关命题的说法正确的是（）
A． ，使得 成立
B．命题 ，都有 ，则 ，使得
C．函数 与函数 是同一个函数
D．若 、 、 均为正实数，且 ， ，则
10．已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（）
A．当 时，曲线 为圆
B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ ”是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆”的充分而不必要条件