《平面直角坐标系中的基本公式》(7125220)解析
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(3)对于公式②③，使用时可以根据 x1，x2 的大小或者 y1，y2 的大小，把公式中的绝对值去掉，使公式形式变得简单，而 x1， x2 的大小由 A、B 谁在左边，谁在右边决定，y1，y2 的大小由 A、B 两点谁在上边，谁在下边决定．
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3．坐标法及应用
(1)坐标法就是通过建立坐标系(直线坐标系或者是直角坐标 系)，将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决 问题的方法． (2)用解析法解决几何问题的基本步骤是：
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b c 的坐标为2， 2.
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由两点的距离公式，得 |BC|＝ |AM |＝ 0－b2＋c－02＝
b c 1 2 2 －0 ＋ －0 ＝ 2 2 2
b2＋c2， b2＋c2，
1 ∴AM＝2BC.
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①选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的
计算与论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及 的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：a.将图形 一边所在的直线或定直线作为 x轴(或y轴)；b.对称图形，则取对 称轴为x轴或y轴，若有直角，则取直角边所在直线为坐标轴；
c．可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．
3 2 2 ＝ x ＋x＋1. 2
y＝|PB |－|PA |. 由三角形三边的关系：任二边之差小于第三边．知 ||PB |－ |PA ||<|AB |，且|AB |＝1，∴|y|<1，即 y∈(－1,1)，故函数的值域为(－ 1,1)
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规律方法
涉及到无理式 ax2＋bx＋c(a>0) 可联想到两点间
2 x2 1＋y 1
.
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想一想：通过自学，你知道两点间距离公式的作用吗？
提示
公式的作用：一是正用，求两点间的距离；二是逆
用，已知距离求坐标．如已知点 M(a,5) ， N(0 ，－ 10) 的距离是 17，求a的值．
解 由距离公式 d(M，N)＝ 0－a2＋－10－52 ＝17，即 a2 ＋225＝289，所以 a2＝64，∴a＝± 8.
的距离公式，用构造法结合平面几何知识求解证明．构造法的基 本思路是
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【变式 2】 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－8x＋41的最小值．
解 联想到两点距离公式，由 x2＋9＝ x－02＋0＋32， x2－8x＋41＝ x－42＋0－52， 知它们分别是 P(x,0)到 A(0，－3)、B(4,5)的距离． ∴y＝ |PA |＋ |PB |≥ |AB |＝ 42＋5＋32＝4 5，当且仅当 A、P、 B 三点共线时取“＝”， ∴ymin＝4 5.
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(2)解
由(1)知△ABC 是等边三角形，
所以它的三条中线长相等． －a＋a ∵AB 边的中点坐标是 x＝ 2 ＝0，y＝0， ∴AB 的中点为坐标原点 O， 又点 C 的坐标为(0， 3a)， ∴OC 是△ABC 的一条中线，它的长为|OC|＝ 3|a |， 故这个三角形的三条中线长均为 3|a |.
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②标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量
关系．
③通过以上两步，把几何问题等价转化为数式的运算，进 而得出结论．
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题型一 两点间距离公式及中点坐标公式的应用 【例 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－a,0)， B(a,0)， C(0， 3a)． (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求这个三角形的中线长．
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∵|AB |2＋ |AC|2＝ |BC|2， ∴△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形． (2)由于角 A 为直角，故 1 1 S△ABC＝2|AB |· |AC|＝ 2×2 5× 5＝5.
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题型二 构造距离公式求函数的最值(或值域) 【例 2】 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
[规范解答] 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标系如图． 则
A 0， a a 3 a，B－2，0，C2，0 2
(2 分) (4 分)
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设 P(x，y)，则 |PA |2＋|PB |2＋|PC|2 ＝x
2．1.2
【课标要求】
平面直角坐标系中的基本公式
1．通过数轴上两点的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系 中两点的距离公式和中点公式． 2．通过对两点的距离公式的推导过程的探索，体会算法． 3 ．进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标 法”解决有关问题．
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【核心扫描】 1．用勾股定理和数轴上向量数量的计算公式推导平面上两点 间的距离公式和中点坐标公式(中点公式)．(重点) 2．应用坐标方法，研讨几何问题．(难点)
2 (1)如果 B 为原点，即 x2＝0，y2＝0 时，|AB|＝ |OA|＝ x2 1＋y 1；
① (2)如果 A、 B 两点在 x 轴上或在与 x 轴平行的直线上， y1＝y2， 这时|AB |＝ |x1－x2|；② (3)如果 A、 B 两点在 y 轴上或在与 y 轴平行的直线上， x1＝x2， 这时|AB |＝ |y1－y2|；③ (4)一般地，|AB|＝ x1－x22＋y1－y22.④
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自学导引 1．两点间距离公式 两 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 间的 距 离 公式 表 示为 d(A ， B) ＝
x2－x12＋y2－y12
；
当 AB 垂直于 y 轴时，d(A，B)＝ |x2－x1| ； 当 AB 垂直于 x 轴时，d(A，B)＝ |y2－y1| ； 当 B 为原点时，d(A，B)＝
[思路探索] (1)计算三角形三边长，即可判断△ABC 的形状． (2)要求中线的长，只要求得中点的坐标即可由两点间距离公 式求出其长度．
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(1)证明 由两点的距离公式得 |AB |＝ a＋a2＋0－02＝2|a|， |BC|＝ 0－a2＋ 3a－02＝2|a|， |CA |＝ 0＋a2＋ 3a－02＝2|a|. ∴|AB |＝|BC|＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形．
[思路探索] 此函数的定义域为 R，如果从代数的角度考虑， 则将比较麻烦；须将被开方式配方，可化为两点的距离公式的形 式，转化为几何问题，则容易解决．
解 ∵y＝ 设
12 x＋ ＋ 2
3 2 － 2
12 x－ ＋ 2
3 2 . 2
翻译成几何关系．
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3．中点坐标公式 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点 M(x，y)是线段 AB 的中点，
x ＋x 2 y1＋y2 1 则中点坐标公式为 . ， 2 2
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名师点睛 1．平面上两点的距离公式 在平面直角坐标系中，已知两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
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题型三 用坐标法研究平面几何问题 【例 3】 已知正三角形 ABC 的边长为 a， 在平面上求一 点 P， 使|PA |2＋|PB |2＋|PC|2 最小，并求此最小值．
审题指导 本题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解 决，考虑坐标法来解决，建立恰当的坐标系是解决本题的关键．
1 P(x,0)，A 2，
1 3 3 ， B － ， 2 ， 2 2
则|PA |＝
12 x－ ＋ 2
3 2 2 ＝ x －x＋1， 2
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|PB |＝
12 x＋ ＋ 2
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【变式 3】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M， 1 建立适当的直角坐标系．证明：AM＝2BC.
证明 如图所示，以 Rt△ABC 的直角边 AB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，设 B、C 两点的坐标分别 为(b,0)、(0，c)， ∵点 M 是 BC 的中点，故点 M
2
＋ y－
a2 2 a2 2 3 2 ＋ x＋2 ＋y ＋x－2 ＋y a 2
2 5 a 3 2 2 2 2 2 2 ＝3x ＋3y － 3ay＋ 4 ＝3x ＋3y－ a ＋ a ≥ a ， (8 分) 6
[正解] |AB|＝ ab2－ac22＋2abc－c2 ＝ ab2＋ac22＝|a |(b2＋c2)，
2 2 ab ＋c ，a≥0， 或|AB |＝ 2 2 － a a ＋ c ，a<0.
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追本溯源 数量不是长度，它有正负，同时代表符号 AB 与 → |)也有区别，特别注意|AB |是非负数. |AB |(或|AB
3 当且仅当 x＝0，y＝ a 时，等号成立， 6
P 0，
(10 分)
∴所求最小值为 a ，此时 P 点坐标为 的中心．
2
3a 是正△ABC 6 (12 分)
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【题后反思】 (1)也可以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立 直角坐标系，计算也不复杂． (2)配方法求最值是重要方法，应掌握好． (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”．
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【变式 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，－1)， B(－1,3)，C(3,0)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 求出每两点之间的距离，再进行判断，或利用三角形面
积计算公式． (1)由已知，d(A，B)＝ －1－12＋3＋12 ＝ 20＝2 5； d(A，C)＝ 3－12＋0＋12＝ 5， d(B，C)＝ 3＋13＋0－32＝ 25＝5.
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规律方法
(1) 因为本题中的非零实数 a 可能是正数，也可
能是负数，所以在应用两点的距离公式求得的结果中必须加上
绝对值． (2)此三角形顶点的坐标都是特殊点，点A、B在x轴上，点C 在y轴上，遇到这类题目要特别注意审题，画出草图，切忌盲目 计算．本题若取BC边的中点，计算BC边上中线的长，不仅增加 了计算量，而且易于出错．此题意图在于训练审题和计算技 巧．
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2．坐标法
(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时，经常在平面上
建立坐标系，以坐标系为桥梁，将几何问题转化为代数问题， 通过代数运算研究几何图形的性质，这种方法称为坐标法．注 意在建立坐标系时，可以建立直线坐标系、直角坐标系等． (2)坐标法解决问题的基本步骤如下： 第一步，根据题中条件，建立恰当的坐标系，用坐标表示 有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果
误区警示
因忽略 d(A，B)＝|AB|是非负数而出错
【示例】 已知点 A(ab2,2abc)，B(ac2,0)，求|AB|.
[错解] |AB|＝ ab2－ac22＋2abc－02 ＝ ab2＋ac22＝a(b2＋c2)．
思维突破 忽略了|AB|≥0 是非负数，而 a 的值正负由条件不 能确定．
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2．应用两点的距离公式时需注意的问题 (1)实际上公式①②③都是公式④的特殊情况．在④中令 x2＝ y2＝0，即得到①；令 y1＝y2，即得到②；令 x1＝x2，即得到③.其 中②③两种情况把二维坐标平面上的两点的距离转化为了一维的 数轴或其他直线上两点的距离问题． (2)两点的距离与 A、B 的顺序无关，即|AB |＝|BA|，这点从距 离公式中也可以得到证明．
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3．坐标法及应用
(1)坐标法就是通过建立坐标系(直线坐标系或者是直角坐标 系)，将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决 问题的方法． (2)用解析法解决几何问题的基本步骤是：
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b c 的坐标为2， 2.
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由两点的距离公式，得 |BC|＝ |AM |＝ 0－b2＋c－02＝
b c 1 2 2 －0 ＋ －0 ＝ 2 2 2
b2＋c2， b2＋c2，
1 ∴AM＝2BC.
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①选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的
计算与论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及 的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：a.将图形 一边所在的直线或定直线作为 x轴(或y轴)；b.对称图形，则取对 称轴为x轴或y轴，若有直角，则取直角边所在直线为坐标轴；
c．可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．
3 2 2 ＝ x ＋x＋1. 2
y＝|PB |－|PA |. 由三角形三边的关系：任二边之差小于第三边．知 ||PB |－ |PA ||<|AB |，且|AB |＝1，∴|y|<1，即 y∈(－1,1)，故函数的值域为(－ 1,1)
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规律方法
涉及到无理式 ax2＋bx＋c(a>0) 可联想到两点间
2 x2 1＋y 1
.
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想一想：通过自学，你知道两点间距离公式的作用吗？
提示
公式的作用：一是正用，求两点间的距离；二是逆
用，已知距离求坐标．如已知点 M(a,5) ， N(0 ，－ 10) 的距离是 17，求a的值．
解 由距离公式 d(M，N)＝ 0－a2＋－10－52 ＝17，即 a2 ＋225＝289，所以 a2＝64，∴a＝± 8.
的距离公式，用构造法结合平面几何知识求解证明．构造法的基 本思路是
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【变式 2】 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－8x＋41的最小值．
解 联想到两点距离公式，由 x2＋9＝ x－02＋0＋32， x2－8x＋41＝ x－42＋0－52， 知它们分别是 P(x,0)到 A(0，－3)、B(4,5)的距离． ∴y＝ |PA |＋ |PB |≥ |AB |＝ 42＋5＋32＝4 5，当且仅当 A、P、 B 三点共线时取“＝”， ∴ymin＝4 5.
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(2)解
由(1)知△ABC 是等边三角形，
所以它的三条中线长相等． －a＋a ∵AB 边的中点坐标是 x＝ 2 ＝0，y＝0， ∴AB 的中点为坐标原点 O， 又点 C 的坐标为(0， 3a)， ∴OC 是△ABC 的一条中线，它的长为|OC|＝ 3|a |， 故这个三角形的三条中线长均为 3|a |.
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②标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量
关系．
③通过以上两步，把几何问题等价转化为数式的运算，进 而得出结论．
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题型一 两点间距离公式及中点坐标公式的应用 【例 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－a,0)， B(a,0)， C(0， 3a)． (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求这个三角形的中线长．
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∵|AB |2＋ |AC|2＝ |BC|2， ∴△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形． (2)由于角 A 为直角，故 1 1 S△ABC＝2|AB |· |AC|＝ 2×2 5× 5＝5.
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题型二 构造距离公式求函数的最值(或值域) 【例 2】 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
[规范解答] 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标系如图． 则
A 0， a a 3 a，B－2，0，C2，0 2
(2 分) (4 分)
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设 P(x，y)，则 |PA |2＋|PB |2＋|PC|2 ＝x
2．1.2
【课标要求】
平面直角坐标系中的基本公式
1．通过数轴上两点的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系 中两点的距离公式和中点公式． 2．通过对两点的距离公式的推导过程的探索，体会算法． 3 ．进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标 法”解决有关问题．
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【核心扫描】 1．用勾股定理和数轴上向量数量的计算公式推导平面上两点 间的距离公式和中点坐标公式(中点公式)．(重点) 2．应用坐标方法，研讨几何问题．(难点)
2 (1)如果 B 为原点，即 x2＝0，y2＝0 时，|AB|＝ |OA|＝ x2 1＋y 1；
① (2)如果 A、 B 两点在 x 轴上或在与 x 轴平行的直线上， y1＝y2， 这时|AB |＝ |x1－x2|；② (3)如果 A、 B 两点在 y 轴上或在与 y 轴平行的直线上， x1＝x2， 这时|AB |＝ |y1－y2|；③ (4)一般地，|AB|＝ x1－x22＋y1－y22.④
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自学导引 1．两点间距离公式 两 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 间的 距 离 公式 表 示为 d(A ， B) ＝
x2－x12＋y2－y12
；
当 AB 垂直于 y 轴时，d(A，B)＝ |x2－x1| ； 当 AB 垂直于 x 轴时，d(A，B)＝ |y2－y1| ； 当 B 为原点时，d(A，B)＝
[思路探索] (1)计算三角形三边长，即可判断△ABC 的形状． (2)要求中线的长，只要求得中点的坐标即可由两点间距离公 式求出其长度．
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(1)证明 由两点的距离公式得 |AB |＝ a＋a2＋0－02＝2|a|， |BC|＝ 0－a2＋ 3a－02＝2|a|， |CA |＝ 0＋a2＋ 3a－02＝2|a|. ∴|AB |＝|BC|＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形．
[思路探索] 此函数的定义域为 R，如果从代数的角度考虑， 则将比较麻烦；须将被开方式配方，可化为两点的距离公式的形 式，转化为几何问题，则容易解决．
解 ∵y＝ 设
12 x＋ ＋ 2
3 2 － 2
12 x－ ＋ 2
3 2 . 2
翻译成几何关系．
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3．中点坐标公式 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点 M(x，y)是线段 AB 的中点，
x ＋x 2 y1＋y2 1 则中点坐标公式为 . ， 2 2
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名师点睛 1．平面上两点的距离公式 在平面直角坐标系中，已知两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
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题型三 用坐标法研究平面几何问题 【例 3】 已知正三角形 ABC 的边长为 a， 在平面上求一 点 P， 使|PA |2＋|PB |2＋|PC|2 最小，并求此最小值．
审题指导 本题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解 决，考虑坐标法来解决，建立恰当的坐标系是解决本题的关键．
1 P(x,0)，A 2，
1 3 3 ， B － ， 2 ， 2 2
则|PA |＝
12 x－ ＋ 2
3 2 2 ＝ x －x＋1， 2
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|PB |＝
12 x＋ ＋ 2
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【变式 3】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M， 1 建立适当的直角坐标系．证明：AM＝2BC.
证明 如图所示，以 Rt△ABC 的直角边 AB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，设 B、C 两点的坐标分别 为(b,0)、(0，c)， ∵点 M 是 BC 的中点，故点 M
2
＋ y－
a2 2 a2 2 3 2 ＋ x＋2 ＋y ＋x－2 ＋y a 2
2 5 a 3 2 2 2 2 2 2 ＝3x ＋3y － 3ay＋ 4 ＝3x ＋3y－ a ＋ a ≥ a ， (8 分) 6
[正解] |AB|＝ ab2－ac22＋2abc－c2 ＝ ab2＋ac22＝|a |(b2＋c2)，
2 2 ab ＋c ，a≥0， 或|AB |＝ 2 2 － a a ＋ c ，a<0.
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追本溯源 数量不是长度，它有正负，同时代表符号 AB 与 → |)也有区别，特别注意|AB |是非负数. |AB |(或|AB
3 当且仅当 x＝0，y＝ a 时，等号成立， 6
P 0，
(10 分)
∴所求最小值为 a ，此时 P 点坐标为 的中心．
2
3a 是正△ABC 6 (12 分)
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【变式 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，－1)， B(－1,3)，C(3,0)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 求出每两点之间的距离，再进行判断，或利用三角形面
积计算公式． (1)由已知，d(A，B)＝ －1－12＋3＋12 ＝ 20＝2 5； d(A，C)＝ 3－12＋0＋12＝ 5， d(B，C)＝ 3＋13＋0－32＝ 25＝5.
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(1) 因为本题中的非零实数 a 可能是正数，也可
能是负数，所以在应用两点的距离公式求得的结果中必须加上
绝对值． (2)此三角形顶点的坐标都是特殊点，点A、B在x轴上，点C 在y轴上，遇到这类题目要特别注意审题，画出草图，切忌盲目 计算．本题若取BC边的中点，计算BC边上中线的长，不仅增加 了计算量，而且易于出错．此题意图在于训练审题和计算技 巧．
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2．坐标法
(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时，经常在平面上
建立坐标系，以坐标系为桥梁，将几何问题转化为代数问题， 通过代数运算研究几何图形的性质，这种方法称为坐标法．注 意在建立坐标系时，可以建立直线坐标系、直角坐标系等． (2)坐标法解决问题的基本步骤如下： 第一步，根据题中条件，建立恰当的坐标系，用坐标表示 有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果
误区警示
因忽略 d(A，B)＝|AB|是非负数而出错
【示例】 已知点 A(ab2,2abc)，B(ac2,0)，求|AB|.
[错解] |AB|＝ ab2－ac22＋2abc－02 ＝ ab2＋ac22＝a(b2＋c2)．
思维突破 忽略了|AB|≥0 是非负数，而 a 的值正负由条件不 能确定．
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2．应用两点的距离公式时需注意的问题 (1)实际上公式①②③都是公式④的特殊情况．在④中令 x2＝ y2＝0，即得到①；令 y1＝y2，即得到②；令 x1＝x2，即得到③.其 中②③两种情况把二维坐标平面上的两点的距离转化为了一维的 数轴或其他直线上两点的距离问题． (2)两点的距离与 A、B 的顺序无关，即|AB |＝|BA|，这点从距 离公式中也可以得到证明．