《平面直角坐标系中的基本公式》(7125220)解析
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式PPT课件
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
y
B2
B
A A2 A1 O
C B1 x
过 A，B 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1，垂足分别为 A1，B1 ；
过 A，B 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；
其中直线 BB1 和 AA2 相交于 点C．
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平面上两点间的距离公式
y
A(x2 ，y2) O
B(x2，y2)
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
|A|B (x2x1)2(y2y1)2．
x
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求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
y B2
A A2 A1 O
（1）以上四个垂足 A1，B1，A2，B2
B
的坐标分别是多少？
（2）|AC| 与 |A1B1| 关系如何？
如何求 |A1B1| ？
C （3）|BC| 等于多少？
B1 x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？ （5）你能表示出 |AB| 吗？
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必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题； 选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
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例3 已知坐标平面内的任意一点 P(a，b)，
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-, AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2. ∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
平面直角坐标系中的基本公式
求两点间距离的步骤：
（1）给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量， x x2 x1 , y=y2 y1; 即 （3）计算 d x 2 y 2 （4）给出两点的距离d.
例1、已知A(2,-4),B(-2,3),求d(A,B).
o A B (a,0) y
2
2
2
2
(b-a,c) (b,c)
D C
x
AC 2 BD 2 4a 2 2b 2 2c 2 4ab 2(2a 2 b 2 c 2 2ab),
例3证明了一个重要定理：平行四边形 两条对角线的平方和等于它的四边的平 方和。 从中我们看到，几何问题可以转化为代 数问题，通过一步步地计算来解决。 这种解决问题的方法叫做坐标法。 体会坐标法在解决几何问题中的作用 和威力。
A o B
x1
B
x2
x
x
o
x2
x 2 , OA= x1
,有：
AB= x 2 - x1 用d(A,B)表示A,B两点的距离，根据这个公式 可以得到，数轴上两点A,B的距离公式是 d（A,B）=ӀABӀ=Ӏ x -2 x Ӏ1
例题：
判断下列命题的真假： (假) 1.单位向量都相等；
(真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等； (假) 3.若 a b
3.与轴同向坐标为正，与轴反向坐标为负。
(四) 相等的向量
数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．
AB CD,
Ａ －２ Ｂ －１ ０ Ｃ １ Ｄ ２
注：相等的向量，它们的坐标相等； 反之，如果数轴上两个向量的坐标相等， 则这两个向量相等。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式在平面直角坐标系中，我们可以使用基本公式来描述二维空间中点的位置、距离、长度、角度等各种属性。
下面是一些常用的基本公式：1.点的坐标：平面直角坐标系中的点可以表示为一个有序对(x,y)，其中x表示横坐标（沿x轴的水平距离），y表示纵坐标（沿y轴的垂直距离）。
2.线段长度：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)3.点到坐标轴的距离：设平面直角坐标系中有一个点P(x,y)，则点P 到x轴的距离为，y，到y轴的距离为，x。
4.斜率：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)5.中点：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为：中点M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.坐标轴正向与象限：在平面直角坐标系中，x轴正向向右，y轴正向向上。
同时，将坐标轴所形成的四个象限按照逆时针方向分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
7.角的度量：在平面直角坐标系中，角的度量可以使用弧度或者角度来表示。
常用的角度制中，一个完整的圆的度数为360°。
而弧度制中，一个完整的圆的弧度数为2π弧度。
8.同位角与同旁角：在平面直角坐标系中，如果两条射线的起点、终点分别与两条相互垂直的射线的起点、终点重合，则这两条射线分别被称为同位角。
如果两条射线的起点分别位于两条相互垂直的射线的起点的同侧或者终点位于两条相互垂直的射线的终点的同侧，则这两条射线分别被称为同旁角。
9. 三角函数：在平面直角坐标系中，根据点的位置与坐标轴的关系，可以定义一些重要的三角函数，如正弦函数sin(θ)、余弦函数cos(θ)、正切函数tan(θ)等，其中θ 表示角的度数或弧度数。
人教高中数学B版必修2 平面直角坐标系中的基本公式 精讲精析
第二章直线与方程2·1 平面直角坐标系中的基本公式2·1·1.数轴上的基本公式数轴的定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系.向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量向量的表示：（1）几何法：用有向线段表示有向线段：规定了起点、方向、长度的线段.（2）代数法：用字母表示向量的坐标或数量表示为AB=a向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，可以自由移动.（2）有向线段：起点、大小和方向三个要素，向量的有关概念1.向量的长度（模）：向量的长度表示：表示向量的大小，也叫做的长（或模）.记作 .两个特殊向量：零向量：长度为零的向量（没有确定方向）.表示：0|0|0=，单位向量：长度为1个单位长度的向量.向量的关系与坐标：相等向量：长度相等且方向相同的向量.表示：AB=CD或ba=等长同向依轴上点的坐标定义.OB= x2,OA= x1，有：对数轴上任意三点A,B,C,都具有关系：2·1·2.平面直角坐标系中的基本公式两点的距离公式：在数轴上，设点A的坐标为，点B的坐标为，则AB=－.1x2x2x1x,,AB||a a||a数轴上两点A，B的距离为d（A，B）==计算A，B两点之间的距离公式d（A，B）==初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值. 现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离.如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，QP2＝N1N2＝｜y2－y1｜.由勾股定理，可得P1P2＝P1Q2＋QP2＝｜x2－x1｜2＋｜y2－y1｜2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2由此得到平面内P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式中点公式：已知A(x1,y1)、B（x2,y2）,设点M(x,y)是线段AB的中点.过点A、B、M分别向x轴、y轴座垂线AA1、AA2，BB1、BB2，MM1、MM2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1),B1(x2，0)、B2(0,y2),M1(x,0)、M2(0,y).因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，则 A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以 x-x1=x2-x,y-y1=y2-y.即222121yyyxxx+=+=，这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.1. 求平面上两点A（1，-2），B（3，5）之间的距离.【解析】()()53251322=++-=AB2.有一线段AB，它的中点坐标是（4，2），端点A坐标是（-2，3），求另一端点的坐标.AB12xx-),(11yx),(22yxAB212212)()(yyxx-+-【解析】设另一端点B坐标为()y x,，由中点坐标公式可知232,224yx+=+-=解之得1,10= =yx所以端点坐标为()1,10.。
平面直角坐标系中的基本公式(课堂PPT)
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
(P)
P
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
数轴上的一点M的坐标为3 记作：
若点P与实数x对应，则称点P的坐 标为x 记作
3. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 5
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系：
AC=AB+BC
7
知识点2 数轴上的向量的运算 -2 -1 0 1 2 3 x
在数轴上，如果点A作一次位移到点
B，接着由点B再作一次位移到点C，则
位移AC叫做位移AB与位移BC的和。
记作： AC=AB+BC
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。 y 则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表
示有关的量。
解析法 | AB |2 a2 | CD|2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
| AD|2b2c2 |BC|2b2c2 第二步:进行有
思考：
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请问 在一个电影院里如何确定你的位置？飞行员 要想和地面指挥指挥中心联系，该如何报告 他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系 1
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
原创1：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)3;
(2)C(0,-4)，D(0,-1);
(4)M(2,-1)，N(5,-1).
(3)2 ;
(4) .
ሺ , ሻ
2.在x轴上到A(－4，3)和B(2，6)两点的距离相等的点P的坐标为________．
3.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A
+ .
+ +
∵M是BC的中点，∴点M的坐标为ሺ
,
ሻ，即Mሺ , ሻ.
由两点间的距离公式得
AM＝
ሺ
−
ሻ +ሺ
− ሻ ＝
+
，所以AM＝ BC.
达标检测
两点间距离公式的应用
1.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0)，B(-2,0);
(3)P(6,0)，Q(0,-2);
跟踪训练
两点间距离公式的应用
练习1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，
求BC边上的中线AM的长．
解：如图，设点M(x，y)，∵点M是线段BC的中点，
−+
−+
∴x＝
＝1，y＝
＝3，即M的坐标为(1，3)．
由两点间的距离公式得
AM＝ [ − − ] +ሺ − ሻ ＝2 .
A(0,0)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
B(a,0) x
跟踪训练
练习2
平面直角坐标系中的基本公式
第2．1．2节 平面直角坐标系中的基本公式 一、教材思路解读1.本节学习的重点平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式的掌握和利用。
平面直角坐标系中两点距离公式的推导是充分利用平面几何知识向轴上转化，注意知识的综合利用；在学习过程中，要逐步体会并熟悉解析法的基本思想是数形结合，逐步理解并掌握用“坐标法”解决平面几何问题的步骤，学会构造直角三角形解决相关问题。
二、情景引入16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的要求。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔潜心研究，对当时的几何和代数的研究方法进行了分析和比较，因此他主张采取代数和几何中二者最好的东西，互相取长补短，他所做的工作就是把代数应用到几何上去。
笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(,y)x 的对应关系，,x y 的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质，这就是解析几何的基本思想。
三、知识与技能解读（一） 平面内两点的距离公式在直角坐标系内，设两点11122(,),(,)P x y P x y ，则12,P P 两点间的距离为12||PP =。
特别地，当12PP 平行于x 轴时，1221||||PP x x =-； 当12PP 平行于y 轴时，1221||||PP y y =-；[理解辨析]1.平面内两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将即不平行也不垂直于坐标轴的线段分解成垂直于坐标轴的线段，通过端点坐标利用直角三角形的勾股定理推出的； 2．推倒过程体现了“化斜为直”、“化一般为特殊”的数学思想；3．两点间的距离公式是解析几何最重要最基本的公式，以后许多知识以它为基础。
（二） 解析法（坐标法）1.在坐标系的基础上，利用代数方法来解决平面几何问题的方法称为解析法。
直角坐标系是沟通“数”与“形”的桥梁，是建立解析几何理论的基础，解析法解题则是直角坐标系这种巨大作用的初步体现。
平面直角坐标系八大公式
平面直角坐标系八大公式
在平面直角坐标系中，常用的八大公式如下：
1. 距离公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离为：d = √((x2 - x1)² + (y2
- y1)²)。
2. 中点公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)的中点坐标为：M((x1 + x2)/2, (y1 +
y2)/2)。
3. 斜率公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的斜率为：m = (y2 - y1)/(x2 - x1)，其中x2不等于x1。
4. 判别式公式：对于一次函数的方程y = ax + b，其判别式为：Δ = b² - 4ac，其中a、
b、c为方程的系数。
5. 点到直线的距离公式：对于一条直线的方程Ax + By + C = 0，点P(x0, y0)到该直线
的距离为：d = |Ax0 + By0 + C|/√(A² + B²)。
6. 直线的倾斜角公式：对于一条直线的斜率为m，则该直线与x轴的夹角θ满足：
tan(θ) = m。
7. 两条直线的夹角公式：设两条直线的斜率分别为m1和m2，则两条直线的夹角θ满足：tan(θ) = |(m2 - m1)/(1 + m1m2)|。
8. 直线的方程公式：已知一条直线通过点P(x1, y1)且斜率为m，则该直线的方程为：y
- y1 = m(x - x1)。
以上是平面直角坐标系中常用的八大公式，它们在求解点、直线、距离等问题时非常有用。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系是二维空间中用于描述点位置的系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，一个是横轴通常称为x轴，另一个是纵轴通常称为y 轴。
坐标轴的交点称为原点，用O表示。
每个点可以通过两个坐标值（x，y）来定义，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在平面直角坐标系中，存在一些基本公式，我们将在本文中一一介绍。
1.距离公式：两点间的距离可以使用勾股定理进行计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们之间的距离可以使用以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)2.中点公式：两点的中点可通过其坐标的平均值计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们的中点C的坐标可以计算如下：C=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)3.斜率公式：斜率是一条直线在坐标轴上的改变速率。
两点间的斜率可以用下面的公式进行计算：斜率=(y2-y1)/(x2-x1)4.中垂线公式：两条线段在中垂线上的交点被称为它们的垂点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的中垂线是与AB垂直并通过AB的中点的直线。
中垂线方程可以使用以下公式计算：中垂线的斜率=-1/斜率中垂线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)5.垂直平分线公式：两条线段在垂直平分线上的交点称为它们的垂直平分线的中点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的垂直平分线将AB划分为两个相等的部分，并且与AB垂直。
垂直平分线的方程可以使用以下公式计算：垂直平分线的斜率=-1/斜率垂直平分线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.直线方程：一个直线的方程可以表示为 y = mx + c 的形式，其中 m 是斜率，c 是 y 轴截距。
7.平行线之间的关系：两条平行线具有相同的斜率。
如果有两条线段AB和CD平行，则它们具有相同的斜率。
8.垂直线之间的关系：两条垂直线的斜率乘积为-1、如果有两条线段AB和CD垂直，则它们的斜率乘积等于-1这些是平面直角坐标系中的一些基本公式。
人教版高中数学必修二第7讲：平面直角坐标系的基本公式(教师版)
人教版高中数学 平面直角坐标系的基本公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________平面上两点间的距离公式和中点坐标公式； 两点间距离公式的推导； 会运用这两个公式解题．一、数轴上的基本公式1．一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P 与x 对应，称P 的坐标为x ，记作P (x )．2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量． 从点A 到点B 的向量，记作 ，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点，线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．．．．．.． 3．在数轴上，点A 作一次位移到点B ，再由点B 作一次位移到点C ，则位移AC →称作位移AB →与位移BC →的和．，记作AC →＝AB →＋BC →. 在数轴上，任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC.4设AB →是数轴上的任一个向量，O 为原点，点A (x 1)、B (x 2)，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，A 、B 两点的距离d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1| . 二、平面直角坐标系的基本公式1．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离d (P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝2．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P (x 2，y 2)的中点P (x ，y )，则x= ,y=如果P 为P 1P 2的中点，则称P 1与P 2关于P 对称．点A (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为(2a －x 0, 2b －y 0).类型一 数轴例1：(1)若点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间，求x 的取值范围； (2)试确定点A (a )、B (b )的位置关系．解析：数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标．答案：(1)由题意可知，点M (－2)位于点N (3)的左侧，且点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间， ∴－2<x <3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a 、b 的大小关系：当a >b 时，点A (a )位于点B (b )的右侧；当a <b 时，点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时，点A (a )与点B (b )重合． 练习1：下列各组点中，点M 位于点N 左侧的是( )A ．M (－2)、N (－3)B ．M (2)、N (－3)C ．M (0)、N (6)D ．M (0)、N (－6)答案：点M (0)在点N (6)的左侧，故选C.练习2：下列各组点中M 位于N 右侧的是（ ）A ．M (-4)、N (－3)B ．M (0)、N (6)C ．M (3)、N (6)D ．M (-4)、N (－6) 答案：D例2：已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求向量OA →、AB →的坐标．解析：由向量定义求解即可．答案：∵点A 与原点O 的距离为3，∴点A 的坐标为3或－3. 当点A 的坐标为3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为2或4.此时OA →的坐标为3，AB →的坐标为－1或1. 当点A 的坐标为－3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为－4或－2.此时OA →的坐标为－3，AB →的坐标为－1或1. 练习1：已知数轴上的三点A (－1)、B (5)、C (x )．(1)当|AB |＋d (B ，C )＝8时，求x ； (2)当AB ＋CB ＝0时，求x ；(3)当AB →＝BC →时，求x .答案：(1)由题意可知，|AB |＝|5－(－1)|＝6，d (B ，C )＝|x －5|.当|AB |＋d (B ，C )＝8时，有6＋|x －5|＝8，解得x ＝3或x ＝7.(2)由AB ＋CB ＝0可知，5－(－1)＋5－x ＝0，解得x ＝11.(3)由AB →＝BC →可知AB ＝BC ，故5－(－1)＝x －5， 所以x －5＝6，解得x ＝11.练习2：数轴上任意三点A 、B 、C 的坐标分别为a 、b 、c ，那么有下列关系：①AB ＋AC ＝BC ；②AB →＝AC →＋CB →；③|AB |＝|AC |＋|CB |；④BC ＝b －c ；⑤A 、C 两点的中点坐标为c －a2.其中正确的有________．(填序号)答案：② AB 、AC 、BC 的关系为AB ＋BC ＝AC ，故①错误；根据向量的和可知AB →＝AC →＋CB →，故②正确；因为A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系共有六种情况，所以|AB |、|AC |、|CB |的关系有三种情况，而|AB |＝|AC |＋|CB |是其中一种情况，故③错误；向量BC →的坐标是终点C 的坐标c 减去起点B 的坐标b ，即BC ＝c －b ，故④错误；A 、C 两点的中点坐标为a ＋c2，故⑤错误．类型二 中点坐标公式例3：平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为A (2,3)、B (4,0)、D (5,3)，求顶点C 的坐标． 解析：运用中点坐标公式先求出▱ABCD 两对角线交点M 的坐标，再求顶点C 的坐标．答案：设AC 与BD 交点为M (a ，b )，则M 为BD 的中点，由中点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92b ＝32.又设C (x 0，y 0)，则M 为AC 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧92＝2＋x232＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7y 0＝0.∴C 点坐标为(7,0)．练习1：已知点A 关于点B (2,1)的对称点为C (－4,3)，C 关于D 的对称点为E (－6，－3)，求A 、D的坐标及AD 中点坐标．答案：设A (x 1，y 1)，∵A 、C 中点是B ，∴x 1－42＝2，y 1＋32＝1，∴x 1＝8，y 1＝－1，即A (8，－1)． 设D (x 2，y 2)，∵D 是C 、E 中点，∴x 2＝－4－62＝－5，y 2＝3－32＝0.即D (－5,0)．∴A 、D 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－52，－1＋02，即⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.练习2：设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点为P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210答案：设A (a,0)、B (0，b )．由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋02－1＝0＋b2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2.即A (4,0)、B (0，－2)， ∴|AB |＝－2＋－2－2＝25，故选C.类型三 两点间距离公式例4：已知A (3，－4)与B (a,3)两点间距离为72，求a 的值．解析：用两点间距离公式即可. 答案：∵d (A ，B )＝72，∴(a －3)2＋(3＋4)2＝(72)2， ∴a ＝10或a ＝－4.练习1：求下列两点间的距离：(1)A (2,5)、B (3，－4)；(2)A (2－1，3＋2)、B (2＋1，3－2)； 答案：(1)Δx ＝3－2＝1，Δy ＝－4－5＝－9.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝12＋－2＝82.(2)Δx ＝2＋1－(2－1)＝2， Δy ＝(3－2)－(3＋2)＝－22，∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝22＋－222＝2 3.练习2：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．答案：(4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2，－1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)．1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 答案：A3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4．点P (2，－1)关于点M (3,4)的对称点Q 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(4,9)C ．(5,3)D ．(9,4) 答案：B5．以A (5,5)、B (1,4)、C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：B6.数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.答案： －2或－57.已知点A (2x )、B (x )，点A 在点B 的右侧，则x 的取值范围为________．答案： (0，＋∞)8. 已知三角形的三个顶点A (2,1)、B (－2,3)、C (0，－1)，则BC 边上中线的长为__________．答案：39. 已知A (6,1)、B (0，－7)、C (－2，－3)．(1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．答案：(1)|AB |2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC |2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC |2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为(6＋02，1－72)，即(3，－3).10．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．答案： (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3. (2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3， |AB |＝|(－5)－(－2)|＝3._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C2．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定 答案：D3．已知两点A (a ，b )、B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确 答案：D4．已知线段AB 的中点在坐标原点，且A (x,2)、B (3，y )，则x ＋y 等于( )A ．5B ．－1C ．1D ．－5 答案：D5．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________．答案：(2,10)或(－10,10)能力提升6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：B7. 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( )A ．0B ．－23C.23D.19 答案：C8. 已知数轴上两点A (a )、B (b )，则在数轴上满足条件|P A |＝|PB |的点P 坐标为( )A.b －a 2B.a －b 2C.a ＋b 2 D ．b －a答案：C9. 设A (3,4)，在x 轴上有一点P (x,0)，使得|P A |＝5，则x 等于( )A ．0B ．6C ．0或6D ．0或－6 答案：C10. 已知菱形的三个顶点分别为(a ，b )、(－b ，a )、(0,0)，则它的第四个顶点是( )A ．(2a ，b )B ．(a －b ，a ＋b )C ．(a ＋b ，b －a )D ．(a －b ，b －a ) 答案：B11. 设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0； ②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ－PN＋MN－MQ＝0；④QM＝MN＋NP＋PQ.其中正确的序号是________．答案：①②③12. 等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．答案：2613. 根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x－1|≤2；(2)|x＋2|>1.答案：(1)∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，∴点P(x)表示坐标为－1和3的两点A、B间的线段AB(包括两个端点)，画图如下：(2)∵|x＋2|>1，∴x<－3或x>－1，∴点P(x)表示以坐标为－3和－1的两点C、D为端点的两条射线CE、DF，画图如下：14. △ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．答案：以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)、O(0,0)、C(a,0)，其中a>0，A(m，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。
课件4：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
1．已知 A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段 AB 的中点坐标为( )
A．(32，2)
B．(－32，－3)
C．(－32，3)
D．(32，－3)
【解析】 由中点坐标公式可以求得．
【答案】 B
2．已知 A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则 a 的值为( )
A．4
B．－4 或 2
C．－2
例 1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－a,0)，B(a,0)， C(0， 3a)．求证：△ABC 是等边三角形．
【思路探究】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出 三边长，再用三角形知识解决．
【自主解答】 由两点的距离公式得 |AB|＝ (a＋a)2＋(0－0)2＝2|a|， |BC|＝ (0－a)2＋( 3a－0)2＝2|a|， |CA|＝ (－a－0)2＋(0－ 3a)2＝2|a|. ∴|AB|＝|BC|＝|CA|， 故△ABC 是等边三角形．
(b,0)，(0，c)．
因为点 M 是 BC 的中点， 故点 M 的坐标为(0＋2 b，0＋2 c)，即(b2，2c)． 由两点间距离公式得|BC|＝ (0－b)2＋(c－0)2＝ b2＋c2， |AM|＝ (b2－0)2＋(2c－0)2＝12 b2＋c2.
所以|AM|＝12|BC|.
当堂双基达标
【解】 设点 M 的坐标为(x,0)， 由题意知|x|＝ (x－5)2＋(0＋3)2， 即 x2＝(x－5)2＋9，解得 x＝3.4，
故所求点 M 的坐标为：
D．－2 或 4
【解析】 (a－1)2＋(6－2)2＝5，解得 a＝－2 或 4.
【答案】 D
3．点 A(2,3)，B(5,4)之间的距离为________．
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
课件2：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
典型例题 题型二 两点间距离公式
例 2 已知 A(3，－4)与 B(a,3)两点间距离为 7 2，求 a 的值． 解：∵d(A，B)＝7 2， ∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7 2)2， ∴a＝10 或 a＝－4.
变式 2 求下列两点间的距离： (1)A(2,5)、B(3，－4)； (2)A( 2－1， 3＋ 2)、B( 2＋1， 3－ 2)； (3)A(a＋1，b)、B(a－2，b)； (4)A(a,2b)、B(a,3b－1)．
自学导引
平面直角坐标系中的基本公式 1．平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的 距离d(P1，P2)＝|P1P2|＝__x_2_－__x_1_2＋___y_2_－__y1__2 .
2．平面上任意两点 P1(x1，y1x)1、＋Px(2x2，y2)的中
x＝
2
点 P(x，y)，则
易错疑难辨析
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、 (－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________． 【错解】 (－2，－1) 【辨析】 由于在解题时只考虑了以(1,1)和(－1，－3)为 一条对角线的两端点时的情况，故导致错误．
【正解】 (4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2， －1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)； ②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个 顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一 条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)． 【答案】 (0，－5)
思想方法技巧 1.转化思想 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－10x＋29的最小值．
解：y＝ (x－0)2＋(0－3)2＋ (x－5)2＋(0＋2)2可以看成是 x 轴上的动点 P(x,0)到两定点 A(0,3)、B(5，－2)的距离之和， 如图所示．
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
课件5：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
因为AB2＝AD2＋BD·DC， 所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
[悟一法] 坐标法可以将几何问题代数化，把复杂的逻辑思维转 化为简单的运算，使问题的解决简单化．坐标法的核 心是建立合适的坐标系，建系时要遵循前面所讲的建 系技巧，但注意不要把任意点作为特殊点处理．
[悟一法] 应用两点的距离公式时一定要注意公式的特点：根号 内是两横坐标的差与两纵坐标的差的平方和．
[通一类] 1．若A(－5,6)与B(a，－2)两点的距离为10，则a ＝ __________. 解析：∵|AB|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝ (－5－a)2＋(6＋2)2＝10， ∴a＝1 或－11. 答案：1或－11
考点一 两点的距离公式 [研一题]
[例1] 求下列两点的距离 (1)A(－1，－2)，B(－3，－4)；(2)C(－2,1)，D(5,2)； (3)E(1,2)，F(－2,2)．
[自主解答] (1)∵x1＝－1，x2＝－3，y1＝－2，y2＝－4， ∴Δx＝x2－x1＝－3－(－1)＝－2， Δy＝y2－y1＝－4－(－2)＝－2； d(A，B)＝ Δx2＋Δy2＝ (－2)2＋(－2)2＝2 2. (2)d(C，D)＝ [5－(－2)]2＋(2－1)2＝ 50＝5 2. (3)d(E，F)＝ [1－(－2)]2＋(2－2)2＝3.
|AO|2＝a2＋b2，|OC|2＝c2. ∵|AB|2＋|AC|2＝(a＋c)2＋b2＋(a－c)2＋b2 ＝2(a2＋b2＋c2) |AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2 ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)， 即AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2).
教学设计5：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教学目标1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识梳理知识点一 两点的距离公式已知平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，d (A ，B )＝？答案 d (A ，B )＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，d (A ，B )＝？答案 d (A ，B )＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，d (A ，B )＝？请简单说明理由．答案 如图，在Rt △ABC 中，|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的距离为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.梳理 两点间的距离公式A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点之间的距离公式d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2； 当AB 垂直于y 轴时，d (A ，B )＝|x 2－x 1|；当AB 垂直于x 轴时，d (A ，B )＝|y 2－y 1|；当B 为原点时，d (A ，B )＝x 21＋y 21.知识点二 中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 教学案例类型一 两点间的距离公式例1 (1)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (－3,2)，C (0,5)，则△ABC 的周长为( )A ．4 2B ．8 2C ．12 2D ．16 2(2)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.答案 (1)C (2)1或－11解析 (1)∵A (4,1)，B (－3,2)，C (0,5)，∴|AB |＝(－3－4)2＋(2－1)2＝50＝52，|BC |＝[0－(－3)]2＋(5－2)2＝18＝32，|AC |＝(0－4)2＋(5－1)2＝32＝4 2.∴△ABC 的周长为|AB |＋|BC |＋|AC |＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(－5－a )2＋(6＋2)2＝10，∴a ＝1或－11.反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y 的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．解 设P (x,0)，由题意得d (P ，A )＝(x ＋3)2＋(0－4)2 ＝x 2＋6x ＋25，d (P ，B )＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )， 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，0， d (P ，A )＝ ⎝⎛⎭⎫－3＋952＋42＝21095. 类型二 中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C ，D 的坐标．解 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得⎩⎨⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得⎩⎨⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1， 故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．反思与感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．解 (1)由题意知，⎩⎨⎧x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3. (2)设所求点的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9， 故所求对称点的坐标为(6，－9)．类型三 坐标法的应用例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思与感悟 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.因为|OM |＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋⎝⎛⎭⎫b 2－b 2＝12a 2＋b 2， |MA |＝ ⎝⎛⎭⎫a －a 22＋b 24＝12a 2＋b 2， 所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．课堂小结1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．达标检测1．已知A (－3,5)，B (2,15)，则d (A ，B )等于( )A ．5 2B ．513C ．517D ．5 5答案 D解析 d (A ，B )＝(2＋3)2＋(15－5)2 ＝52＋102＝5 5.2．已知两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( )A ．原点一定是线段AB 的中点B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确答案 D解析 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0， 得a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即d (O ，A )＝d (O ，B )．所以点A 、B 到原点O 的距离相等，故选项A 、B 、C 错误，故选D.3．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定 答案 B4．已知A (a,6)，B (－2，b )，点P (2,3)平分线段AB ，则a ＋b ＝________.答案 6解析 由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62， ∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A (－2,1)，B (－1,3)，C (3，4)，求第四个顶点D 的坐标．解 分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x 12，52＝3＋y 12， ∴x 1＝2，y 1＝2，即D 1(2,2)．(2)以BC 为对角线构成▱ACD 2B ，同理得D 2(4,6)．(3)以AB 为对角线构成▱ACBD 3，同理得D 3(－6,0)．由以上可知，第四个顶点D 的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．。
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3 当且仅当 x＝0，y＝ a 时，等号成立， 6
P 0，
(10 分)
∴所求最小值为 a ，此时 P 点坐标为 的中心．
2
3a 是正△ABC 6 (12 分)
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【题后反思】 (1)也可以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立 直角坐标系，计算也不复杂． (2)配方法求最值是重要方法，应掌握好． (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”．
1 P(x,0)，A 2，
1 3 3 ， B － ， 2 ， 2 2
则|PA |＝
12 x－ ＋ 2
3 2 2 ＝ x －x＋1， 2
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|PB |＝
12 x＋ ＋ 2
①选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的
计算与论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及 的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：a.将图形 一边所在的直线或定直线作为 x轴(或y轴)；b.对称图形，则取对 称轴为x轴或y轴，若有直角，则取直角边所在直线为坐标轴；
c．可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．
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【变式 3】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M， 1 建立适当的直角坐标系．证明：AM＝2BC.
证明 如图所示，以 Rt△ABC 的直角边 AB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，设 B、C 两点的坐标分别 为(b,0)、(0，c)， ∵点 M 是 BC 的中点，故点 M
的距离公式，用构造法结合平面几何知识求解证明．构造法的基 本思路是
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【变式 2】 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－8x＋41的最小值．
解 联想到两点距离公式，由 x2＋9＝ x－02＋0＋32， x2－8x＋41＝ x－42＋0－52， 知它们分别是 P(x,0)到 A(0，－3)、B(4,5)的距离． ∴y＝ |PA |＋ |PB |≥ |AB |＝ 42＋5＋32＝4 5，当且仅当 A、P、 B 三点共线时取“＝”， ∴ymin＝4 5.
2 x2 1＋y 1
.
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想一想：通过自学，你知道两点间距离公式的作用吗？
提示
公式的作用：一是正用，求两点间的距离；二是逆
用，已知距离求坐标．如已知点 M(a,5) ， N(0 ，－ 10) 的距离是 17，求a的值．
解 由距离公式 d(M，N)＝ 0－a2＋－10－52 ＝17，即 a2 ＋225＝289，所以 a2＝64，∴a＝± 8.
误区警示
因忽略 d(A，B)＝|AB|是非负数而出错
【示例】 已知点 A(ab2,2abc)，B(ac2,0)，求|AB|.
[错解] |AB|＝ ab2－ac22＋2abc－02 ＝ ab2＋ac22＝a(b2＋c2)．
思维突破 忽略了|AB|≥0 是非负数，而 a 的值正负由条件不 能确定．
[规范解答] 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标系如图． 则
A 0， a a 3 a，B－2，0，C2，0 2
(2 分) (4 分)
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设 P(x，y)，则 |PA |2＋|PB |2＋|PC|2 ＝x
b c 的坐标为2， 2.
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由两点的距离公式，得 |BC|＝ |AM |＝ 0－b2＋c－02＝
b c 1 2 2 －0 ＋ －0 ＝ 2 2 2
b2＋c2， b2＋c2，
1 ∴AM＝2BC.
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自学导引 1．两点间距离公式 两 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 间的 距 离 公式 表 示为 d(A ， B) ＝
x2－x12＋y2－y12
；
当 AB 垂直于 y 轴时，d(A，B)＝ |x2－x1| ； 当 AB 垂直于 x 轴时，d(A，B)＝ |y2－y1| ； 当 B 为原点时，d(A，B)＝
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【变式 1】 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，－1)， B(－1,3)，C(3,0)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 求出每两点之间的距离，再进行判断，或利用三角形面
积计算公式． (1)由已知，d(A，B)＝ －1－12＋3＋12 ＝ 20＝2 5； d(A，C)＝ 3－12＋0＋12＝ 5， d(B，C)＝ 3＋13＋0－32＝ 25＝5.
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题型三 用坐标法研究平面几何问题 【例 3】 已知正三角形 ABC 的边长为 a， 在平面上求一 点 P， 使|PA |2＋|PB |2＋|PC|2 最小，并求此最小值．
审题指导 本题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解 决，考虑坐标法来解决，建立恰当的坐标系是解决本题的关键．
[思路探索] 此函数的定义域为 R，如果从代数的角度考虑， 则将比较麻烦；须将被开方式配方，可化为两点的距离公式的形 式，转化为几何问题，则容易解决．
解 ∵y＝ 设
12 x＋ ＋ 2
3 2 － 2
12 x－ ＋ 2
3 2 . 2
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2．应用两点的距离公式时需注意的问题 (1)实际上公式①②③都是公式④的特殊情况．在④中令 x2＝ y2＝0，即得到①；令 y1＝y2，即得到②；令 x1＝x2，即得到③.其 中②③两种情况把二维坐标平面上的两点的距离转化为了一维的 数轴或其他直线上两点的距离问题． (2)两点的距离与 A、B 的顺序无关，即|AB |＝|BA|，这点从距 离公式中也可以得到证明．
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∵|AB |2＋ |AC|2＝ |BC|2， ∴△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形． (2)由于角 A 为直角，故 1 1 S△ABC＝2|AB |· |AC|＝ 2×2 5× 5＝5.
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题型二 构造距离公式求函数的最值(或值域) 【例 2】 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
翻译成几何关系．
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3．中点坐标公式 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点 M(x，y)是线段 AB 的中点，
x ＋x 2 y1＋y2 1 则中点坐标公式为 . ， 2 2
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名师点睛 1．平面上两点的距离公式 在平面直角坐标系中，已知两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
2．1.2
【课标要求】
平面直角坐标系中的基本公式
1．通过数轴上两点的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系 中两点的距离公式和中点公式． 2．通过对两点的距离公式的推导过程的探索，体会算法． 3 ．进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标 法”解决有关问题．
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【核心扫描】 1．用勾股定理和数轴上向量数量的计算公式推导平面上两点 间的距离公式和中点坐标公式(中点公式)．(重点) 2．应用坐标方法，研讨几何问题．(难点)
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(2)解
由(1)知△ABC 是等边三角形，
所以它的三条中线长相等． －a＋a ∵AB 边的中点坐标是 x＝ 2 ＝0，y＝0， ∴AB 的中点为坐标原点 O， 又点 C 的坐标为(0， 3a)， ∴OC 是△ABC 的一条中线，它的长为|OC|＝ 3|a |， 故这个三角形的三条中线长均为 3|a |.
2 (1)如果 B 为原点，即 x2＝0，y2＝0 时，|AB|＝ |OA|＝ x2 1＋y 1；
① (2)如果 A、 B 两点在 x 轴上或在与 x 轴平行的直线上， y1＝y2， 这时|AB |＝ |x1－x2|；② (3)如果 A、 B 两点在 y 轴上或在与 y 轴平行的直线上， x1＝x2， 这时|AB |＝ |y1－y2|；③ (4)一般地，|AB|＝ x1－x22＋y1－y22.④
2
＋ y－
a2 2 a2 2 3 2 ＋ x＋2 ＋y ＋x－2 ＋y a 2
2 5 a 3 2 2 2 2 2 2 ＝3x ＋3y － 3ay＋ 4 ＝3x ＋3y－ a ＋ a ≥ a ， (8 分) 6
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[正解] |AB|＝ ab2－ac22＋2abc－c2 ＝ ab2＋ac22＝|a |(b2＋c2)，
2 2 ab ＋c ，a≥0， 或|Aa<0.
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追本溯源 数量不是长度，它有正负，同时代表符号 AB 与 → |)也有区别，特别注意|AB |是非负数. |AB |(或|AB
[思路探索] (1)计算三角形三边长，即可判断△ABC 的形状． (2)要求中线的长，只要求得中点的坐标即可由两点间距离公 式求出其长度．
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(1)证明 由两点的距离公式得 |AB |＝ a＋a2＋0－02＝2|a|， |BC|＝ 0－a2＋ 3a－02＝2|a|， |CA |＝ 0＋a2＋ 3a－02＝2|a|. ∴|AB |＝|BC|＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形．
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规律方法
(1) 因为本题中的非零实数 a 可能是正数，也可
能是负数，所以在应用两点的距离公式求得的结果中必须加上
绝对值． (2)此三角形顶点的坐标都是特殊点，点A、B在x轴上，点C 在y轴上，遇到这类题目要特别注意审题，画出草图，切忌盲目 计算．本题若取BC边的中点，计算BC边上中线的长，不仅增加 了计算量，而且易于出错．此题意图在于训练审题和计算技 巧．