附录A 极惯性矩与惯性矩
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= 附录 A 极惯性矩与惯性矩
题号
页码
A-1 (1)
A-3 ........................................................................................................................................................2 A-4 ........................................................................................................................................................3 A-6 ........................................................................................................................................................4 A-7 ........................................................................................................................................................4 A-8 .. (5)
(也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解)
A-1 试确定图示截面形心 C 的坐标 y C
。
题 A-1 图
(a)解：坐标及微面积示如图 A − 1 (a)。
由此得
d A =ρ d ϕd ρ
R α
∫ y d A ∫ ∫ ρ cos ϕ ⋅ρ d ϕd ρ 2R sin α y C
= A
A
−α
R α ∫ ∫ =
ρ d ϕd ρ
3α
−α
(b)解：坐标及微面积示如图 A − 1 (b)。
0= A
d A = h ( y )d y = ay n d y
由此得
y C =
∫A =ydA =∫b
y ⋅ ay n
d y n
= (n + 1)b 0 ay d y n + 2
A-3 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
题 A-3 图
(a)解：取微面积如图 A − 3 (a)所示。
d A = 2 z d y
由于
∫ ∫ ∫ 3
2 2 4 z = a cos α
y = b sin α，d y = b cos αd α
故有
I z =
y 2d A = A
π 2 (b sin α)2 ⋅ 2a cos α ⋅ b cos αd α
- π 2
= ab π
πab 3
2
(1 − cos4α)d α = - π 4 2 4
(b)解：取微面积如图 A − 3 (b)所示。
且ϕ 在 α 与 − α 之间变化，而
d A = 2z d y = d cos 2
ϕd ϕ
2
由此可得
sin α =
d − 2δ d
I = ∫
α
d y 2
d A = ∫ (
sin ϕ ) 2 ⋅ d
cos 2ϕd ϕ z A -α 2 2
4 4
d α 1 d
= ∫ sin 2 2ϕd ϕ = α ∫ (1 − cos4ϕ
)d ϕ 8 -α 4 = d (α − sin 4α ) 32 4
64 -α
A-4 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
4
解：由截面的对称性可得
题 A-4 图
I z =
bh 3 12 πd 4 − 64 = a − 12 πR 4
4
A-6 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。
解：由截面关于 z 轴的对称性可得 4
题 A-6 图
4
I = a z
12 − (a −δ ) 12
= 1 [a 4
− (a −δ )4 ] 12 A-7 图示曲边三角形 EFG ，z 轴为平行于 EF 边的形心轴，试计算该截面对 z 轴的
惯性矩。
题 A-7 图
1
解：视曲边三角形面积 A 为正方形面积 A 1 与 4
圆面积
A 2 之差（见图 A − 7 ），即
A = A 1 − A 2 =
4 − π R 2
4
由图可知， A 1 及 A 2 的形心位置（竖向）依次为
y C 1
由
= R ，y 2 C 2
= 4R
3π
可得 A 的形心位置为
A 1 y C 1 = Ay C + A 2 y C 2
y C =
A 1 y C 1 − A 2 y C 2 A
= 2
R 3(4 −π)
进而求曲边三角形截面对 z 轴的惯性矩。先求 A 对 z 0 轴的 I z ， I = I (1) − I ( 2 )
= 1 R 4 − π R 4 = 16 − 3π R 4
最后求 I z ，
z 0 z 0
z 0 3 16 48
I = I
− Ay 2 = 16 − 3π R 4 − ( 4 − π R 2 )( 2
R )2 z z 0 C
48 4 12 − 3π
= 3(16 − 3π)(4 − π) − 16 R 4 ≈ 7.55 ×10− 3 R 4
144(4 − π)
A-8 试计算图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。