专题五解析几何专项训练

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高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值．【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-，取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+AB所在直线2p x =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

专题五解析几何文科数学

专题五文科数学解析几何1．（2011·朝阳期末）已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( B )（A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x2．（2011·朝阳期末）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F P F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( A )（A ）1-（B ）12（C ）（D ）23．（2011·朝阳期末）经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 280x y -+= ．4．（2011·朝阳期末）（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||M N M P P N ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275N A N B -⋅- ≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )M P x y =- ，(3, 0)M N =- ，(1, )P N x y =--. …………………2分由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143xy+=.所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+yx. ………………………6分（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-，设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34kx x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(kk k kkkk ++-=+++--+=， …………12分所以22189(1)127345k k-+--+≤≤. 解得213k ≤≤.所以1k -≤或1k ≤≤. …………………………………………13分5．(2011·丰台期末)过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 43240x y -+= ． 6．(2011·丰台期末) （本小题满分14分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若PQ =，求直线l 的方程；（Ⅱ）若12M P M Q =，求直线l 与圆的交点坐标．解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+．因为PQ =，圆的半径为1，P ，Q 两点在圆221x y +=上，所以圆心O到直线l12 =．又因为12 =，所以15k=±，所以直线l的方程为20x-+=或20x++=．………………………7分（Ⅱ）设11(,)P x y，22(,)Q x y，所以22(2,)M Q x y=+，11(2,)M P x y=+．因为2M Q M P=，所以212122(2)2x xy y+=+⎧⎨=⎩即21212(1)2x xy y=+⎧⎨=⎩（*）；因为P，Q两点在圆上，所以2211222211x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x yx y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，所以11788xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，22144xy⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以P点坐标为7(88-或7(88--，，Q点坐标为1(44，或1(44-，．………………………14分7. (2011·东莞期末)已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为12y x=，则该双曲线的离心率为( A)A．25B．3C．5D．28．(2011·东莞期末)（本小题满分14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b =∴所求的椭圆的标准方程为：22143xy+=．（2）设),(00y x M )20±≠x （，则2200143x y +=． ①且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=，由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ，即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ．∵20≠x ， ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ，∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--. 9. (2011·佛山一检)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为( A )A ．2B ．C 2D10. (2011·佛山一检)若点P 在直线03:1=++y x l上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为( D )AB ．2C ．D ．411. (2011·佛山一检)已知直线22x y +=分别与x 轴、y 轴相交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段A B 上，则a b 的最大值为____12______.12．（2011·广东四校一月联考）过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ∆的外接圆方程是（ D ）A ．22(4)(2)1x y -+-=B ．22(2)4x y +-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(2)(1)5x y -+-=13．（2011·广东四校一月联考）设θ是三角形的一个内角，且1sin cos 5θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示的曲线是( D ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆14．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,M P PN PM PF=⊥．（1）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；（2）若(4,0)A ，是否存在垂直x 轴的直线l 被以A N 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）（解法一）MP PN =，故P 为M N 的中点． -------1分设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -------2分又(1,0)F ，(,),(1,)22y y PM x PF ∴=--=--------4分又PM PF ⊥ ，204yPM PF x ∴⋅=-+= -------6分所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => -------7分（解法二）MP PN =，故P为M N 的中点． -------1分设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -------2分又由,M P PN PM PF =⊥ ，故FN FM = ，可得22FNFM=-------4分由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => -------6分所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => -------7分（2）设A N 的中点为B ，垂直于x 轴的直线方程为x a =，以A N 为直径的圆交l 于,C D 两点，C D 的中点为H ．12CB AN ==412422x B H a x a +=-=-+ -------9分22222211[(4)](24)44CH CB BHx y x a ∴=-=-+--+221[(412)416](3)44a x a a a x a a=--+=--+ -------12分所以，令3a =，则对任意满足条件的x ，都有29123C H=-+=（与x 无关），-------13分即C D = -------14分15．(2011·广州期末)已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( C )A．y = B．y = C．3y x =- D．3y x=16.(2011·广州期末)（本小题满分14分）图4已知椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段M N 为直径作圆C ,圆心为C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y轴相交于不同的两点,A B ，求A B C ∆的面积的最大值.(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x yE a a+=>的离心率12e =,x=a∴12a=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143xy+=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．∴弦长||A B ===． ……8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)1=)2212712t +-≤7=. …… 12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 14分解法2：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4tx t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4tx t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||AB = 8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)221272t +-≤7=. ……12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 14分17．（2011·哈九中高三期末）抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21( D ．)4,1(【答案】C【分析】根据题意，直线54-=x y 必然与抛物线24y x =相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线54-=x y 平行的抛物线的切线的切点。

高考数学专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则三．【题型】（一）点关于直线的对称（二）光线的对称问题（三）圆关于直线的对称（四）利用对称求最值（五）圆锥曲线的对称（六）椭圆的中点弦问题（七）双曲线的中点弦（八）抛物线的对称问题（九）椭圆中的对称方法（十）对称的综合应用四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--，圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ，则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=，所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0，解得x=-7（舍）或x=-2，由x=-2得6（负值已舍）故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１，即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=，故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =；（2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+，所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++，因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-，因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ，则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=，由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =，根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-，从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

(课标版)高考数学原创预测题专题五解析几何理

专题五：解析几何（新课标理）一、选择题1.若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是（）．．28y x =．28y x =-．28x y =．24y x =2.已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是（）．．32a a =-=或．3a =-．2a =-．3a =3．已知抛物线212x y =的焦点是双曲线221mx ny -=（0mn ≠）的其中一个焦点，且双曲m =（）．8-．128-．8．128 4.对于集合{}22()|1A x y x y =+=，，()|100x y B x y a b a b ⎧⎫=+=>>⎨⎬⎩⎭，，，，如果A B =∅，则ab 的值为（）．．正．负．0．不能确定5．连接椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为220x y -+=，则该椭圆的离心率为（）..12.. 236．定义：平面直角坐标系内横坐标为整数的点称为 “横整点”，过函数y =上任意两个“横整点”作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为（）．10．11．12．137.在直二面角AB αβ--中，PAB ∆在平面α内，四边形ABCD 在平面β内，且α⊥AD ，α⊥BC ，4=AD ，8=BC ，6=AB ．若tan 2tan 1ADP BCP ∠=∠+，则动点P 在平面α内的轨迹是（）．椭圆的一部分．线段．双曲线的一部分．以上都不是8．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 中，F 为右焦点，为左顶点，点(0,)0B b AB BF ⋅=且，则此双曲线的离心率为（）．2 ．3 ．213+ ．215+9．已知抛物线24,y x =焦点为F ，ABC ∆三个顶点均在抛物线上，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（）．8 ．6 ．3 ．010．如图，已知直线a ∥平面α，在平面α内有一动点P ，点A 是定直线a 上定点，且AP 与a 所成角为θ（θ为锐角），点A 到平面α距离为d ，则动点P 的轨迹方程为（）．2222tan x y d θ+= ．2222tan x y d θ-=．22()tan d y d x θ=-．22()tan d y d x θ=--二、填空题11. 已知圆22430x y x +-+=的切线l 经过坐标原点，且切点在第四象限，则切线l 的方程为 .12．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，在第一象限中过抛物线上任意一点P 的切线为l ，过P 点作平行于x 轴的直线m ，过焦点F 作平行于l 的直线交m 于M ，若4=PM ，则点P的坐标为 .13．已知点1F 、2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆的最大角为锐角，则该双曲线离心率的取值范围是________．14．观察下图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，点(4,2,1)H 到平面ABC 的距离是.三、解答题15.已知直线l ：4=x 与x 轴相交于点M ，P 是平面上的动点，满足0PM PO =（O 是坐标原点）．⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵过直线 l 上一点)(M D D ≠作曲线C 的切线，切点为E ，与x 轴相交点为F ，若12DE DF =，求切线DE 的方程．16.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F1PF2＝3π，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．17.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长半轴长为2，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l 交椭圆于,A B 两点，若0OA OB =，求直线l 的方程．18.已知点(5,0)A ,抛物线24y x =的顶点在原点O ,倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交但不过,O A 两点,且交抛物线于,M N 两点,求AMN ∆的面积最大时直线l 的方程,并求AMN ∆的最大面积.19．设椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222FFQF =，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线l ：30x -=相切．过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围．20. 已知点(1,)M y 在抛物线2:2C y px =(0)p >上，抛物线的焦点为F ，且2MF =，直线:l 12y x b=-+与抛物线交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值.答案解析1．【解析】选，根据焦点坐标在x 轴上，可设抛物线标准方程为22y px =(0)p >，有22p =，4p =，所以抛物线的标准方程为28y x =.2．【解析】选，根据两直线平行得：321a a =+，解方程得32a a =-=或，当2a =时，两直线重合，不符合条件，故2a =舍去，所以3a =-.3.【解析】选C,根据先根据双曲线的一个焦点与抛物线22y x =的焦点重合求得焦点坐标，a ，然后对号入座求得m 的值．抛物线22y x =的焦点是1(,0)2F ，则12c =，c a e ==218m a ==.4.【解析】选，集合A 表示的图形是圆221x y +=；集合B 表示的图形是直线0(00)bx ay ab a b +-=>>，．由A B =∅可知，直线和圆没有公共点，所以，圆心到直线1>ab0ab <．5.【解析】选，直线220x y -+=与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得2,1c b a e ==⇒==.6.【解析】选，共有“横整点”()(()(()3,00,33,0---，其中满足条件的有()3,0与(()(0,3--连线共有5条；()3,0-与(1,--连线共有2条；(与(()(0,3-连线共有3条；(1, 与()0,3连线共有1条；综上共计11条.7.【解析】选C ，根据题意可知，又,tan ,tan BC PBBCP AD PA ADP =∠=∠AD=4,BC=8,.,6.4,1824轨迹为双曲线的一部分即∴==-=⨯-∴AB PB PA PBPA8．【解析】选D ，根据题意 0AB BF ⋅=，即2,,AB BF b ac ⊥∴=即,22ac a c =-故012=--e e ，又1>e ，所以.215+=e9.【解析】选B ，设A,B,C 三点的横坐标分别为321,,x x x ，根据已知0FA FB FC ++=，所以点F 为ABC ∆的重心，.3321=++∴x x x 根据抛物线的定义可知1233 6.2p FA FB FC x x x ++=+++=10．【解析】选B ，解决本题的关键是正确理解题意并正确的表示出tan θ，对于tan θ的表示将影响着整个题目的解决，至于如何想到表示tan θ，可以考虑选项里面的暗示，解题时需要先设动点坐标，然后表示tan θ找到关系.设(,)P x y ，则tan θ=，化简得2222tan x y d θ-=．11.【解析】设切线方程为y kx =，圆心坐标为()2,0，半径 1.r =所以直线l 与x 轴的夹角为30︒，所以tan150k =︒=即:.l y x =【答案】.3y x =-12．【解析】设,1|,1,2),,(021000x y k x y x y y x P x x ='=='==所以l 方程为),(1200210x x x x y -=-与x 轴交点A 的坐标为),0,(0x -,1||||0+==x PM AF 所以)32,3(P【答案】)32,3(13．【解析】过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于2(,)b A c a -，2(,)b Bc a --， 2ABF ∆是锐角三角形，等价于2145,AF F ∠<︒即21tan 1AF F ∠<.又因为双曲线中222b c a =-，所以222c a ac -<.不等式两边同时除以2a ，得：2()2101c c a a c a ⎧-⋅-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以(1, 1c a ∈.【答案】(1, 114.【解析】类比直线方程的截距式，直线的截距式是1x ya b +=，所以平面的截距式应该是1x y za b c ++=，然后是“类比点到直线的距离公式”应该转化为一般式，类比d =写出点到平面的距离公式，然后代入数据计算.平面ABC 的方程为1423x y z ++=--，即364120x y z +-+=，d ==15. 【解析】⑴依题意，)0 , 4(M ，设)40)( , (≠≠x x y x P 且，由0PM PO =，得PO PM ⊥得1-=⋅POPM k k ，即14-=⋅-xyx y ，整理得，动点P 的轨迹C 的方程为)40(2)2(222≠≠=+-x x y x 且．⑵DE 、DM 都是圆2222)2(=+-y x 的切线，所以DM DE =，因为DF 21=，所以DM DE DF 22==，所以6π=∠DFM ，设)0 , 2(C ，在CEF ∆中，2π=∠CEF ，6π=∠CFE ，2=CE ，所以4=CF ，)0 , 2(-F ，切线DE 的倾斜角6πα=或65π，所以切线DE 的斜率33=k 或33-，切线DE 的方程为)2(33+±=x y ．16. 【解析】设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos π3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S △PF1F2＝2 3. ∴12|PF1|·|PF2|·sin π3＝2 3. ∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a2＝23.∴双曲线的方程为：3x22－y22＝1.17. 【解析】（Ⅰ）由题意： 2a =．所求椭圆方程为22214x y b +=．又点在椭圆上，可得1b =．所求椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知224,1a b ==，所以c =．因为0OA OB ⋅=．若直线AB 的斜率不存在，则直线AB的方程为x =直线AB交椭圆于11)22-两点， 1304OA OB ⋅=-≠，不合题意．若直线AB 的斜率存在，设斜率为k ，则直线AB的方程为(y k x =．由22(440,y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩可得2222(14)1240k x x k +-+-=．由于直线AB 过椭圆右焦点，可知0∆>．设1122(,),(,)A x y B x y，则21212212414k x x x x k -+==+，222121212122([)3]14ky y k x x k x x x xk-==++=+．所以2221212222124114()141414k k kOA OB x x y yk k k---⋅=+=+=+++．由0OA OB⋅=，即2211414kk-=+，可得24,1111k k==±．所以直线l的方程为(11y x=±．18. 【解析】设直线l的方程为:(50)y x b b=+-<<联立24y xy x b⎧=⎨=+⎩消去x得:2440y y b-+=设1122(,),(,)M x y N x y,则21212416044by yy y b⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩设直线l与OA的交点为P,则(,0)P b-1211||||(52(522AMNS PA y y b b∆=-=+=+2(5AMNS b∆=+≤=当且仅当522b b+=-,即1b=-时取“=”,此时直线l:1y x=-.故AMN∆的最大面积为19．【解析】（Ⅰ）因为1222F F QF=，所以1F为2F Q的中点.设Q的坐标为(3, 0)c-，因为2AQ AF⊥，所以2233b c c c=⨯=，2244a c c c=⨯=，且过2,,A Q F三点的圆的圆心为1(, 0)F c-，半径为2c. 因为该圆与直线l相切，所以|3|22cc--=.解得1c=，所以2a=，b=故所求椭圆方程为22143x y +=.（Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(34)1640k x kx +++=. 设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k +=-+.所以1122(, )(, )PG PH x m y x m y +=-+-=1212(2, )x x m y y +-+.=1212(2, () 4 )x x m k x x +-++21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =.所以21122112()[()2] ()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=.故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k -+-+++=.因为0k >，所以210x x -≠.所以21212()2 ()40x x m k x x k +-+++= 即212(1)()420k x x k m +++-=. 所以2216(1)()42034kk k m k +-+-=+解得2234km k =-+，即234m k k =-+.因为0k >，所以0m <.故存在满足题意的点P 且m的取值范围是[ 0).（Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y +=得22(34)1640k x kx +++=. 由0∆>，得214k >. 设11(, )G x y ，22(, )H x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 又MG MH λ=，所以1122(, 2)=(, 2)x y λx y --. 所以12=x λx .所以122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx . 所以2212122()==1+x +x x x x λλ. 所以2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)4k λλ+=+. 因为214k >，所以26441634k <<+，即2(1)416λλ+<<. 所以14216λλ<++<.解得1λ≠且77λ-<<+又01λ<<，所以71λ-<.②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，此时G，(0, H，2)MG =，(0, 2)MH =， 23MG MH-=，所以7λ=-所以71λ-<，即所求λ的取值范围是[7-.20. 【解析】：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-，由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p MF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. （Ⅱ）联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB 所以||28AB r =，解得85b =-. 所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=.（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l的距离d ，所以1||42AOB S AB d ∆==-=令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()3g b b b b b '=+=+由上表可得()g b 的最大值为()327g -= . 所以当43b =-时，AOB ∆的面积取得最大值.。

高考数学备考艺体生辅导专题05《解析几何的第一问》(原卷版)

【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题五解析几何的第一问圆的概念与方程【背一背基础知识】1. 标准方程：圆心坐标(,)a b ，半径r ，方程222()()x a y b r -+-=，一般方程：22x y Dx Ey ++++0F =(其中2240D E F +->)；2．直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法； 3. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 【讲一讲基本技能】 1. 必备技能：① 会用配方法把圆的一般方程化为标准方程；② 直线和圆的位置可用方程组的解来判断，但主要是应用圆心到直线的距离d 和圆半径r 比较，d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交；③圆与圆的位置关系一般也是用圆心距12O O 与两圆的半径之和(或差)比较，12OO R r >+⇔相离，12OO R r =+⇔外切，12R r OO R r -<<+⇔相交，12OO R r =-⇔内切，12OO R r <-⇔内含． ④直线和圆的位置关系是这部分的重点考查内容．⑤对直线被圆截得弦长问题，求出圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，则直线被圆截得弦长为222r d -2.典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；【分析】求圆的切线方程，一般设出直线方程为y kx b =+（斜率存在），再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求出其中的参数值. 【解析】例2 已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -．（1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程；（2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程．【答案】（1）4528440x y ++=或4x =；（2）27190x y --=．【分析】（1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB 的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线AB 的斜率，求得直线方程；（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、M 到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以PM 为直径的圆，与已知圆的方程，两式相减即可求得CD 所在的直线方程．【解析】【练一练趁热打铁】1. 已知圆C 过点A （1,3）,B （2,2），并且直线m: 320x y -=平分圆C 的面积．（Ⅰ）求圆C 的方程；2. 已知圆O 2：22460x y y +--=,求圆心在x-y-4=0,且过圆O 1与圆O 2交点的圆的方程。

平面解析几何三角形与圆相关晚练专题练习(五)含答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《平面解析几何三角形、圆相关》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人
得分一、填空题
1．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD =
5, 则线段CF 的长为______.（汇编年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））
2．如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．（几何证明选讲选做题）
评卷人
得分二、解答题
P
O A B
C D 图3。

2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练[浙江]

第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 2．(2019·浙江高考冲刺卷)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝15(O 为原点)，则△ABO 和△AFO 的面积之和的最小值为( )A.18B.52C.54D.652 解析：选D.设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0，根据根与系数的关系有y 1·y 2＝－m4，因为OA →·OB →＝15，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝15，从而16(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－15＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，如图所示．又F (116，0)，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×4×(y 1－y 2)＋12×116y 1＝6532y 1＋2y 1≥265y 132×2y 1＝652，当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝86565时，取“＝”号，所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是652，故选D.3．(2019·绍兴市柯桥区高考数学二模)已知l 是经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使∠APB ＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )A.233B. 3 C ．2 D ．3 解析：选A.设双曲线的焦点F (c ，0)，直线l ：x ＝c ，可设点P (c ，n )，A (－a ，0)，B (a ，0)，由两直线的夹角公式可得tan ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k PA－k PB1＋k PA ·k PB＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n c ＋a －n c －a 1＋n 2c 2－a 2＝2a |n |n 2＋（c 2－a 2）＝2a|n |＋c 2－a 2|n |＝tan 60°＝3，由|n |＋c 2－a 2|n |≥2|n |·c 2－a 2|n |＝2c 2－a 2，可得3≤a c 2－a2，化简可得3c 2≤4a 2，即c ≤233a ，即有e ＝c a ≤233.当且仅当n ＝±c 2－a 2，即P (c ，±c 2－a 2)，离心率取得最大值233.故选A.4．(2019·福州质量检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．5解析：选C.由题意知，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1，0)，准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2（x －1），x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.5．(2019·鄞州中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF 1⊥PF 2，e 1，e 2分别是两曲线C 1，C 2的离心率，则9e 21＋e 22的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C.设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴长为2a 2，取椭圆与双曲线在一象限内的交点为P ，由椭圆和双曲线的定义分别有|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1①，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2②，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2③，①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22④，将④代入③得a 21＋a 22＝2c 2，则9e 21＋e 22＝9c 2a 21＋c 2a 22＝5＋9a 222a 21＋a 212a 22≥8，故9e 21＋e 22的最小值为8.6．(2019·金华十校二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.抛物线x 2＝2py 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以可得b ＝p2，因为2a ＝42⇒a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，可求得渐近线方程为y ＝±p 42x ，不妨设y ＝kx －1与y ＝p42x 平行，则有k ＝p 42.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1x 2＝2py⇒x 2－p 222x ＋2p ＝0，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．解析：连接AF 1，BF 1，则由椭圆的中心对称性可得C △ABF 2＝AF 2＋BF 2＋AB ＝AF 1＋AF 2＋AB ＝6＋AB ≥6＋4＝10，S △ABF 2＝S △AF 1F 2≤12·25·2＝2 5.答案：10 2 58．(2019·东阳二中改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255. 答案：2559．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c ＝|PF 2|＝2a －10，2m ＝10－2c ，所以a ＝c ＋5，m ＝5－c ，所以e 1e 2＝c c ＋5×c 5－c ＝c 225－c 2＝125c2－1，又由三角形的性质知2c ＋2c >10，由已知2c <10，c <5，所以52<c <5，1<25c 2<4，0<25c 2－1<3，所以e 1e 2＝125c2－1>13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 10．(2019·杭州市高考数学二模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝120°，过弦AB 中点M 作准线l 的垂线，垂足为M 1，则|MM 1||AB |的最大值为________．解析：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MM 1|＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . 由余弦定理得，|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ，配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，又因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )．所以|MM 1||AB |≤12（a ＋b ）32（a ＋b ）＝33，即|MM 1||AB |的最大值为33. 答案：3311．(2019·衢州市教学质量检测)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，左焦点F (－1，0)，若过点B (－2b ，0)的直线与椭圆交于M ，N 两点．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求证：∠MFB ＋∠NFB ＝π； (3)求△FMN 面积S 的最大值．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，焦距为2，即2a ＝22，2c ＝2，所以2b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：∠MFB ＋∠NFB ＝π，即证：k MF ＋k NF ＝0，设直线方程MN 为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得： (1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，其中Δ＞0，所以k 2＜12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2， k MF ＋k NF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝k （x 1＋2）x 1＋1＋k （x 2＋2）x 2＋1＝k [2＋x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）]＝0.故∠MFB ＋∠NFB ＝π.(3)S ＝12·FB |y 1－y 2|＝12|k ||x 1－x 2|＝128（1－2k 2）k2（1＋2k 2）2.令t ＝1＋2k 2，则S ＝2－t 2＋3t －22t2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋18，当k 2＝16(满足k 2＜12)时，S 的最大值为24.12．(2019·浙江金华十校第二期调研)已知抛物线C ：y ＝x 2，点P (0，2)，A ，B 是抛物线上两个动点，点P 到直线AB 的距离为1.(1)若直线AB 的倾斜角为π3，求直线AB 的方程；(2)求|AB |的最小值．解：(1)设直线AB 的方程：y ＝3x ＋m ，则|m －2|1＋()32＝1，所以m ＝0或m ＝4，所以直线AB 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋4. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m －2|1＋k2＝1，所以k 2＋1＝(m －2)2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝x 2，得x 2－kx －m ＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－m ，所以|AB |2＝()1＋k 2[()x 1＋x 22－4x 1x 2]＝()1＋k 2()k 2＋4m ＝()m －22()m 2＋3，记f (m )＝()m －22(m 2＋3)，所以f ′(m )＝2(m －2)(2m 2－2m ＋3)，又k 2＋1＝()m －22≥1，所以m ≤1或m ≥3，当m ∈(]－∞，1时，f ′(m )＜0，f (m )单调递减，当m ∈[)3，＋∞时，f ′(m )＞0，f (m )单调递增，f (m )min ＝f (1)＝4，所以|AB |min ＝2.13.(2019·宁波市高考模拟)已知椭圆方程为x 24＋y 2＝1，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2.(1)求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；(2)如图，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，|PC |＝（x －1）2＋y 2＝34x 2－2x ＋2＝34（x －43）2＋23，由－2≤x ≤2，当x ＝43时，|PC |min ＝63.(2)当直线AB 斜率不存在且与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1x224＋y 22＝1，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－14×x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 04y 0，k MC ＝y 0x 0－1，k MC ×k AB ＝－1，则k MC ×k AB ＝－x 04y 0×y 0x 0－1＝－1，解得：x 0＝43，由M 在椭圆内部，则x 204＋y 20＜1，解得：y 20＜59，由：r 2＝(x 0－1)2＋y 20＝19＋y 20，所以19＜r 2＜23，解得：13＜r ＜63.所以半径r 的取值范围为(13，63) .14．(2019·严州中学月考改编)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，P (m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P 点且斜率为45的直线l 交C 于A ，B 两点．当m ＝0时，PA →·PB →＝－412.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：|PA |2＋|PB |2为定值．解：(1)因为离心率为35，所以b a ＝45.当m ＝0时，l 的方程为y ＝45x ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2＝a 22.设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)， PA →·PB →＝－x 20－y 20＝－4125x 20＝－4125·a 22. 又因为PA →·PB →＝－412，所以a 2＝25，b 2＝16，椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：将l 的方程为x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y216＝1，并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|PA |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21，同理|PB |2＝4116y 22.则|PA |2＋|PB |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 52－16（m 2－25）25＝41.所以|PA |2＋|PB |2为定值．15.(2019·温州十五校联合体联考)如图，已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)，直线l 与抛物线C 1相交于A 、B 两点，且当倾斜角为60°的直线l 经过抛物线C 1的焦点F 时，有|AB |＝13.(1)求抛物线C 1的方程； (2)已知圆C 2：(x －1)2＋y 2＝116，是否存在倾斜角不为90°的直线l ，使得线段AB 被圆C 2截成三等分？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当倾斜角为60°的直线l 经过抛物线C 1的焦点F 时，直线l 的方程为y ＝3(x－p2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2）y 2＝2px ，即3x 2－5px ＋34p 2＝0，所以|AB |＝5p 3＋p ＝13，即p ＝18，所以抛物线C 1的方程是y 2＝14x .(2)假设存在直线l ，使得线段AB 被圆C 2截成三等分，令直线l 交圆C 2于C ，D ，设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，线段AB 与线段CD 的中点重合且有|AB |＝3|CD |，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x x ＝my ＋b ，即4y 2－my －b ＝0，所以y 1＋y 2＝m 4，y 1y 2＝－b 4，x 1＋x 2＝m 24＋2b ，所以线段AB 中点的坐标M 为(m 28＋b ，m 8)，即线段CD 的中点为(m 28＋b ，m8)，又圆C 2的圆心为C 2(1，0)，所以k MC 2＝m8m 28＋b －1＝－m ，所以m 2＋8b －7＝0，即b ＝78－m28，又因为|AB |＝1＋m 2·m 216＋b ＝141＋m 2·14－m 2，因为圆心C 2(1，0)到直线l 的距离d ＝|1－b |1＋m 2，圆C 2的半径为14，所以3|CD |＝6116－（1－b ）21＋m 2＝343－m 2(m 2＜3)，所以m 4－22m 2＋13＝0，即m 2＝11±63，所以m ＝±11－63，b ＝33－24，以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

高考数学专题检测卷五解析几何

专题检测卷(五) 解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·济南质检)若双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线的方程为3x ＋2y ＝0，则m ＝( ) A.49B.94C.23D.32解析由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±1mx (m >0).3x ＋2y ＝0可化为 y ＝－32x ，所以1m ＝32，解得m ＝49.故选A.答案 A2.(2020·北京西城区二模)若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋a ＝0与x 轴、y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞)D.[5，＋∞)解析将圆的一般方程化作标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－a ，则该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝5－a .因为该圆与x 轴、y 轴均有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤5－a ，1≤5－a ，5－a >0，解得a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].故选A. 答案 A3.(2020·河南六市模拟)已知P 为圆C ：(x －5)2＋y 2＝36上任意一点，A (－5，0).若线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)解析如图，由题意知|QA |＝|QP |，||QA |－|QC ||＝||QP |－|QC ||＝|PC |＝6<|AC |＝10，所以动点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线，其方程为x 29－y 216＝1.故选B.答案 B4.(2020·辽宁五校模拟)仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.32解析由题意可知椭圆的长轴与两球心连线的夹角为30°，所以椭圆的长轴2a ＝2sin 30°＝4，a ＝2，椭圆的短轴长等于球的直径，所以b ＝1，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D. 答案 D5.(2020·江南十校素质测试)已知点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上，点Q 在直线l ：x －2y ＋1＝0上，且点Q 的横坐标x ∈[－1，a ).若|PQ |既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤35，115 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，＋∞ 解析如图，直线l ：x －2y ＋1＝0与x 轴交于点Q 1(－1，0).连接Q 1C 并延长，交圆C 于点P 1.过点C 作CQ 2⊥直线l 于点Q 2，交圆C 于点P 2，则|P 2Q 2|为|PQ |的最小值.易知直线CQ 2：y ＝－2x ＋2.设Q 2(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋2，x －2y ＋1＝0，解得x 2＝35，∴a >35.设点Q 3(x 3，y 3).为点Q 1关于点Q 2的对称点，则x 3＝115.当a >115时，|PQ |无法取到最大值，当35<a ≤115时，|PQ |的最大值为|P 1Q 1|，∴35<a ≤115.故选A. 答案 A6.(2020·青岛检测)已知直线y ＝k (x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k (x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |－2|MN |，则( ) A.λ<－16 B.λ＝－16 C.－12<λ<0D.λ＝－12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.因为直线y ＝k (x －1)经过抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2.同理可得|MN |＝8＋2k 2.所以λ＝4＋4k 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋2k 2＝4－16＝－12.故选D. 答案 D7.(2020·南昌调研)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，52D.(5，2＋1)解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C 上有且仅有两点到直线bx －ay ＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bx －ay ＝0的距离d 的范围为2<d <4，即2<5a a 2＋b2<4.又a 2＋b 2＝c 2，所以2<5a c <4，即54<e <52.故选C. 答案 C8.(2020·潍坊模拟)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，23)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 交于点Q ，与过焦点F且垂直于x 轴的直线交于点A ，B ，|AB |＝|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M .若|PF |＝3|PQ |，则|PQ ||FM |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析如图，连接P A ，PB .因为|AB |＝|PQ |，所以△P AB 是正三角形.又x 0>p2，所以x 0－p 2＝32|PQ |.又因为|PF |＝x 0＋p 2＝3|PQ |，所以x 0＝3p 2.所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，23，所以(23)2＝2p ·3p 2.因为p >0，所以p ＝2.所以F (1，0)，P (3，23)，所以|PQ |＝33|PF |＝33·（23－0）2＋（3－1）2＝433，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线PF 的方程为y ＝3(x －1).由⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|FM |＝13＋1＝43，所以|PQ ||FM |＝ 3.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0<r<2 2B.若△P AB为直角三角形，则r＝4C.△P AB外接圆的方程为x2＋y2＝4D.直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0解析因为过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的切线有两条，则点P 在圆C外，则r<|PC|＝42，故A错误；若△P AB为直角三角形，则四边形P ACB 为正方形，则2r＝|PC|＝42，解得r＝4，故B正确；由P A⊥CA，PB⊥CB，可得点P，A，C，B共圆，所以△P AB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2＋y2＝8，故C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2与x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，所以D正确.故选BD.答案BD10.(2020·潍坊模拟)已知双曲线x24－y22＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是()A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程解析由题意，得双曲线的标准方程为x24sin2θ－y22sin2θ＝1，则a＝2|sin θ|，b＝2|sin θ|，则c＝a2＋b2＝6|sin θ|，则双曲线的焦距为2c＝26|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|，0)，离心率为e＝ca＝62，渐近线方程为y＝±22x.所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD. 答案BD11.设P 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝2 2 B.－2<|PF 1|－|PF 2|<2 C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2 D.0≤PF 1→·PF 2→≤1解析椭圆C 的长轴长为22，根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝22，故A 正确；||PF 1|－|PF 2||≤|F 1F 2|＝22－1＝2，所以－2≤|PF 1|－|PF 2|≤2，B 错误；|PF 1|·|PF 2|＝14[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2]，而0≤(|PF 1|－|PF 2|)2≤4，所以1≤|PF 1|·|PF 2|≤2，C 正确；PF 1→·PF 2→＝(OF 1→－OP →)·(OF 2→－OP →)＝OF 1→·OF 2→－OP →·(OF 1→＋OF 2→)＋|OP →|2＝|OP →|2－1，根据椭圆性质有1≤|OP |≤2，所以0≤PF 1→·PF 2→＝|OP →|2－1≤1，D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，∠EPF 的外角平分线交x 轴于点Q ，过点Q 作QN ⊥PE 交EP 的延长线于点N ，作QM ⊥PF 交线段PF 于点M ，则( )A.|PE |＝|PF |B.|PF |＝|QF |C.|PN |＝|MF |D.|PN |＝|KF |解析由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，A 正确；∵PN ∥QF ，PQ 是∠FPN 的平分线，∴∠FQP ＝∠NPQ ＝∠FPQ ，∴|PF |＝|QF |，B 正确；若|PN |＝|MF |，则由PQ 是∠FPN 的平分线，QN ⊥PE ，QM ⊥PF ，得|QM |＝|QN |，从而有|PM |＝|PN |，于是有|PM |＝|FM |，则有|QP |＝|QF |，∴△PFQ 为等边三角形，∠FPQ ＝60°，也即有∠FPE ＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，如图，由选项A、B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，∴EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，∴△EKF≌△QNP，∴|KF|＝|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·武汉质检)已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为________.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为点(4，1)在双曲线上，所以λ＝42－4＝12，所以双曲线的标准方程为x212－y23＝1.答案x212－y23＝114.已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________.解析由题意可得|AB|＝（－1＋5）2＋（－3－0）2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为y－0－3－0＝x＋5－1＋5，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r＋2，解得r＝1，若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1，5). 答案(1，5)15.如图，点A，B分别是椭圆x225＋y2b2＝1(0<b<5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为15x ＋y －415＝0，且P A →·PF →＝0，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________.解析依题意得直线AP 的方程为x －15y ＋5＝0，直线PF 与x 轴的交点为(4，0)，即F (4，0)，∴b 2＝25－16＝9，即椭圆方程为x 225＋y 29＝1.设M (m ，0)(－5≤m ≤5)，则M 到直线AP 的距离为|m ＋5|4，又|MB |＝|5－m |，所以|m ＋5|4＝|5－m |，∵－5≤m ≤5，∴m ＋54＝5－m ，解得m ＝3，∴M (3，0).设椭圆上的点(x ，y )(x ∈[－5，5])到M (3，0)的距离为d ，则d 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝1625x 2－6x ＋18＝1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x －75162＋6316，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝7516时，d 2最小，此时d min ＝374. 答案37416.(2020·烟台诊断)已知F 为抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，点A (1，p )，M 为抛物线上任意一点，且|MA |＋|MF |的最小值为3，则该抛物线的方程为________.若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析由题意，得抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线的方程为y ＝－p 2.因为|MF |等于点M 到准线的距离，所以当p >12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为点A 到准线y ＝－p 2的距离，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以3p2＝3，解得p ＝2，满足p >12p ；当p ≤12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为|AF |，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以（1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －p 22＝3，解得p ＝42，不满足p ≤12p .综上所述，p ＝2.因此抛物线的方程为x 2＝4y .由p ＝2得，点A (1，2)，焦点F (0，1)，则线段AF 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，且|AF |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.设线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x 2＝4y .解得⎩⎨⎧x 1＝－2＋23，y 1＝4－23或⎩⎨⎧x 2＝－2－23，y 2＝4＋23，则|PQ |＝（4＋23－4＋23）2＋（－2－23＋2－23）2＝4 6.所以四边形APFQ 的面积S ＝12|AF |·|PQ |＝12×2×46＝4 3. 答案 x 2＝4y 4 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·北京适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0，1)，B (0，－1)，焦距为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上. (1)解由题意知c ＝3，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1<m <1，则x 20＝4(1－m 2).①∵点D 在直线AN 上一点，A (0，1)， ∴AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， ∴OD →＝OA →＋AD →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， ∴D (λx 0，λ(m －1)＋1). ∵B (0，－1)，M (－x 0，m )，∴k BD ·k BM ＝λ（m －1）＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14. 整理，得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入上式得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0. ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0， ∴点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值. 解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0). 将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得 (m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，所以点M 的纵坐标y M ＝－mtm 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m，因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2.由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160，当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.19.(本小题满分12分)(2019·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点.(1)解由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)(2020·沈阳一监)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (2，2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2F A →(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值. (1)解设B (x 0，y 0)，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴OF →＝FB →－2F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2－4，y 0－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2－4＝p 2，y 0－4＝0，∴⎩⎨⎧x 0＝4，y 0＝4. ∵点B 在抛物线C 上，∴42＝2p ×4，∴p ＝2，∴y 2＝4x .(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，直线l 的斜率存在且不为零.设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得，y 2－4my －4＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16＝4m 2＋1.因此S 1＝12|y 1－y 2|×1＝2m 2＋1.同理可得，S 2＝21m 2＋1.∴1S 21＋1S 22＝14（m 2＋1）＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝14（m 2＋1）＋m 24（m 2＋1）＝14. ∴1S 21＋1S 22为定值，定值为14. 21.(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).22.(本小题满分12分)(2020·东北三校一联)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线l ：x＝－12相切，与定圆F ：(x －1)2＋y 2＝14外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M ，N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，直线l 交x 轴于点A ，记△AMM 1，△AMN ，△ANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 22＝4S 1S 3，求证：直线MN 过定点.(1)解设P (x ，y )，⊙P 的半径为R ，则R ＝x ＋12，|PF |＝R ＋12，∴点P 到直线x ＝－1的距离与到定点F (1，0)的距离相等，故点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2，设直线MN ：x ＝ty ＋n (t ≠0，n >0).将直线MN 的方程代入y 2＝4x 消去x 并整理，得y 2－4ty －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4n <0.∵S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12·|y 1|，S 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|y 2|， ∴4S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 1y 2| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 1＋n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋n ＋12|y 1y 2| ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2y 1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12t （y 1＋y 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·|－4n | ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4nt 2＋4t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n . ∵S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·|y 1－y 2| ＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， ∴S 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·(16t 2＋16n )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n ).∵S 22＝4S 1S 3，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n )，即2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，解得n ＝12. ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.。

专题五解析几何

时斜率不存在.
在涉
及求直线方程的题型时，一般可以用待定系数法，但
一定要弄清楚直线方程的各自适用范围. 同时注意灵
活适用（如例 2，待定系数设直线方程计算量就会很
大些）.
热点二圆及直线与圆的位置关系
理解直线与圆的位置关系、两圆的位置关系，会
用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 掌握圆的标
4
A. 相切
B. 相离
C. 相交
D. 不能确定
解析圆心到直线的距离为
| | d = sin αcos β+ cos αsin β+ 1 = sin(α+ β) + 1 ，
∵向量
a
与
b 的夹角为
2π 3
，
35
高三二轮复习专题·数学（理）
∴
-
1 2
=
cos 23π =
a
|a
b
|||b
| |
=
3
s
in
知识. 例 1 平面上有相异的两点 A(cos θ, sin2θ) 和
B（0, 1），求经过 A , B 两点的直线的斜率及倾斜角
的取值范围.
解析 ∵ A , B 是相异两点，
∴cos θ≠0, sin2θ≠1 .
设直线 AB 的倾斜角为 α，斜率为 k ，
则 k = tan α=
解析设直线 l 与直线 l1 ，l2 的交点分别为 A, B , 点 A( x0, 2 - 3x0) ，
因为点 D(2, - 3) 是线段 AB 的中点，
所以点 B 的坐标为 (4 - x0, 3x0 - 8) . 又因为点 B 在直线 l2 上，所以，(4 - x0) + 5(3x0 - 8) + 10 = 0 ，

15第一部分板块二专题五解析几何第1讲直线与圆(小题)

第1讲直线与圆(小题)热点一直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B2≠0)．例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0 C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝0跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B ．±35 C ．－35 D.35(2)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2热点二圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．3．解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．方法二画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________．跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________________．热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．3．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．例3 (1)(2019·莆田质检)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝4相交于M ，N 两点．若|MN |≥22，则m 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－4,4]C ．[0,2]D ．(－22，－2]∪[2,22)(2)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________．跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10 B ．4 3 C ．8 D ．215(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3真题体验1．(2018·全国Ⅲ，文，8)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]2．(2016·全国Ⅱ，文，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．23．(2018·全国Ⅰ，文，15)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 押题预测1．圆(x －2)2＋y 2＝1与直线3x ＋4y ＋2＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上三种情况都有可能2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 3．甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________．A 组专题通关1．(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30° D ．150°2．(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或－x ＋y ＝13．(2019·厦门模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切，则圆O 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋y 2＝44．(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．107．(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|P A →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4D ．226＋28．(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 9．(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝20 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝20D ．x 2＋(y ＋2)2＝510．(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1211．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 12．(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标的取值范围是( ) A ．|x |≥1 B ．|x |>1 C ．|x |≥2D ．|x |≥2213．(2019·福建四校联考)已知直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．14．(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线3x ＋4y ＋4＝0均与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．15．(2019·晋中模拟)已知圆C 经过点A (1,3)，B (4,2)，与直线2x ＋y －10＝0相切，则圆C 的标准方程为________．16．(2019·宝鸡质检)圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.B 组能力提高17．(2019·齐齐哈尔模拟)已知半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ ＝π3，则t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－233，0∪(0，3] B ．[－3，0)∪⎝⎛⎦⎤0，233C.⎣⎡⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎣⎡⎭⎫－233，0∪⎝⎛⎦⎤0，233 18．(2019·淮南模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对于下列结论：①符合[OP ]＝2的点P 的轨迹围成的图形面积为8；②设点P 是直线l 1：3x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]min ＝1；③设点P 是直线l 2：y ＝kx ＋1(k ∈R )上任意一点，则使得“[OP ]最小的点P 有无数个”的充要条件是k ＝1；④设点P 是圆x 2＋y 2＝2上任意一点，则[OP ]max ＝2. 其中正确的结论序号为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④。

18第一部分板块二专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)

解假设存在常数 λ 使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立，则 λ＝|A1B|＋|C1D|. 由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设l1的方程为y＝kx＋1，则由yx＝2＝k4xy＋，1，消去 y 得 x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
解以MN为直径的圆一定过点F，理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，代入抛物线C：y2＝4x，化简整理得y2－4my－4＝0，则yy11＋y2＝y2＝－44m，，
例 1 (2019·济南模拟)已知抛物线 C1：y2＝2px(p>0)与椭圆 C2：x42＋y32＝1 有一个相同的
焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M. (1)求抛物线C1的方程；
解由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
例3 (2019·济南模拟)设M是抛物线E：x2＝2py(p>0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为y＝x－1. (1)求E的方程；
解方法一由xy2＝＝x2－py1，，消 y 得 x2－2px＋2p＝0.
由题意得Δ＝4p2－8p＝0，
因为p>0，所以p＝2.
故抛物线E：x2＝4y.
方法二设 Mx0，2xp20 ，
由(1)知P(4,4)，所以直线 PA 的方程为 y－4＝xy11－－44(x－4)＝myy1－1－43(x－4)，令 x＝－1 得 y＝4mm－y15－y31＋8，即 M－1，4mm－y15－y31＋8，

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。

（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。

（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。

（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。

解析几何专题练习(带答案)

解析几何专题练习一、选择题 1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2 2．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 4．“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．椭圆31222yx+=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43二、填空题 6.经过圆0222=++yx x 的圆心C ，且与直线x+y=0垂直的直线方程是___ .7.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为___. 8．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是______.9．已知圆C的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C的交点的直角坐标为 .10.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点=+不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y kx b③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数④直线y kx b⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．12．求过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．并判断点M1(2,3)，M2(2,4)与圆的位置关系．13．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．16．已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求：（1）直线l 的方程；（2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程．17．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；… （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程．18．已知圆221:(4)1Cx y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.】（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.19．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-2 42y32--422（1）求12C C 、的标准方程；（2）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()22220y xC a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440xmx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．参考答案一、选择题 1—5 CBAAA 二、填空题 6．x-y+1=0 7. 318.13-9. (1,1),(1,1)- 10. ①，③，⑤三、解答题11.解：(1)设点C(x ，y)，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0，得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)．(2)点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，点N 的坐标是(1,0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1，即5x －2y －5＝0.12. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上，因此圆心坐标是方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)．半径r ＝－1－12＋0－42＝20，所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C(－1,0)的距离为2＋12＋3－02＝18，|M 1C|<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C|＝2＋12＋4－02＝25>20，所以M 2在圆C 外．13. 解：(1)将圆的方程整理为(x 2＋y 2－20)＋a(－4x ＋2y ＋20)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a)，半径为5|a －2|.若两圆外切，则2a －02＋a －02＝2＋5|a －2|，即5|a|＝2＋5|a －2|，由此解得a ＝1＋55.若两圆内切，则2a 2＋a 2＝|2－5|a －2||，即5|a|＝|2－5|a －2||，由此解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，两圆相切时，a ＝1－55或a ＝1＋55.14. 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2，于是，4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组),1(34),432(-=-=-x y x y 得.54),58(==y x ∴N )54,58(. 15. 解：(1)由e ＝2⇒ca＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，将点(4，－10)代入得：λ＝6，故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝6得：m 2＝3.当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)， MF2→＝(23－3，－3)∴MF1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2.(3)S △F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6.16. 解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则 ⎩⎨⎧=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ⎩⎨⎧=+-=-023n m n m ，解得1m -=，2n =．即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．（2）设圆的半径为R ，则222)554(d R +=，其中d 为弦心距，53d=，可得5R 2=，故所求圆的方程为5yx22=+．17．解：（1）设点A ′的坐标为（x ′，y ′）。

《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：专题五解析几何5-1 Word版含解析

专题五解析几何第1讲直线与圆(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2021·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()．A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.答案 D2．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(x－b)2＝2相切”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线与圆相切，得|a－b＋2|2＝2，即|a－b＋2|＝2，所以由a＝b可推出|a－b＋2|＝2，即直线与圆相切，充分性成立；反之|a－b＋2|＝2，解得a＝b或a－b＝－4，必要性不成立．答案 A3．(2022·浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是()．A．－2 B．－4 C．－6 D．－8解析由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝2－a.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r2＝d2＋⎝⎛⎭⎪⎫422得2－a＝2＋4，所以a＝－4.答案 B4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10 6 B．20 6 C．30 6 D．40 6解析配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2r2－12＝46，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝12 AC×BD＝20 6.答案 B5．(2021·金华质检)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析由于抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又依据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．。

2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题练习

【2019最新】精选高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题练习一、选择题1.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，)且斜率为k 的直线l 与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C.D.∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析由已知可得直线l 的方程为y ＝kx ＋，与椭圆的方程联立，整理得x2＋2kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k ＜－或k ＞，即k 的取值范围为∪.答案 D2.F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则·的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析设P(x ，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此·的最大值是1.答案 B3.已知椭圆＋＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b 的值是( )A.1B. C. D.3解析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.答案D4.(2017·榆林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是( )A.(1，2)B.(1，2]C.(1，)D.(1，]解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y ＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案B5.抛物线y2＝8x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－2，0)，则的最大值为( )A.1B.C. D.2解析由点P(x，y)在抛物线y2＝8x上，得y2＝8x(x≥0).由抛物线的定义可得|PF|＝x＋2，又|PA|＝＝，所以＝＝（x＋2）2＋8x（x＋2）2＝.当x＝0时，＝1；当x≠0时，＝，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故x＋＋4≥8，0＜≤1，所以∈(1，].综上，∈[1，].所以的最大值为.答案B二、填空题6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆x2－4x＋y2＋2＝0可化为(x－2)2＋y2＝2，其圆心为(2，0)，半径为.因为直线bx±ay＝0和圆(x－2)2＋y2＝2相交，所以＜，整理得b2＜a2，从而c2－a2＜a2，即c2＜2a2，所以e2＜2.又e＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，).答案(1，)7.已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为________.解析在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.答案158.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组解得B、C两点坐标为B，C，又F(c，0)，则＝，＝，又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得：c2－a2＋＝0，①又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.答案63三、解答题9.(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋kx2＋2－kx2＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)x1＋x2x1x2＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.10.(2016·重庆诊断二)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c，0)，由条件知＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.11.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.解(1)由题意知2a＝4，则a＝2，又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0).因为,4)＋y＝1，又＋＝1，即,4)＋y))＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝2（16k2＋4－m2）m21＋4k2＝2.设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，故S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所在△ABQ面积的最大值为6.。

2019高考数学二轮复习专题五解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线的定义方程与性质能力训练理

地地道道的达到第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质一、选择题x 2 y 21．(2018 ·广西南宁模拟 ) 双曲线 25－ 20＝ 1 的渐近线方程为 ()45A ． y ＝± 5xB ． y ＝± 4x12 5C ． y ＝± 5xD ． y ＝± 5 xx 2 y 2b分析：在双曲线 25－ 20＝1中， a ＝5， b ＝ 2 5，而其渐近线方程为 y ＝± a x ，∴其渐2 5近线方程为 y ＝± 5 x ，应选 D.答案： D22x y 22M 在 x 2．已知椭圆 C 的方程为 16＋ m ＝ 1( m ＞0) ，假如直线 y ＝ 2 x 与椭圆的一个交点轴上的射影恰巧是椭圆的右焦点 F ，则 m 的值为 ( )A ． 2B ． 2 2C ． 8D ． 2 3分析：依据已知条件得c ＝222－ 2x 2y 216－ m ，则点16－，16 m 在椭圆＋ 2＝ 1( mm216m22＞0) 上，∴ 16－ m 16－ m＝ 22.＋2＝ 1，可得162mm答案： B3．(2018 ·张掖模拟 ) 双曲线 x 2 y 20) 的渐近线与圆 x 222－ 2＝ 1( a ＞ 0，b ＞＋ ( y － 2)＝1 相切，ab则双曲线的离心率为 ()A. 2B. 3C ．2 D ． 3x 2 y 2x 2y － 2)2相切，则圆心 (0,2) 到直线－ay分析：双曲线 2－2＝1 的渐近线与圆＋(＝ 1abbx2a2ac＝0 的距离为 1，因此a 2＋b2＝1，即c＝1，因此双曲线的离心率e ＝a ＝ 2，应选 C.答案： Cx 2 y 24．(2017 ·高考全国卷Ⅲ ) 已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右极点分别为 A 1、 A 2 ，且以线段 A A 为直径的圆与直线－ ay ＋ 2 ＝ 0 相切，则 C 的离心率为 ()地地道道的达到6 3 2 1 A. 3B. 3C.3D. 3分析：以线段 A 1 A 2 为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0) ，半径为 a . 由题意，圆心到直线－＋ 2 2ab＝，即 2＝ 322b 2 2 6bx ＝ 0 的距离为a . 又e ＝ 1－2＝，因此＝ .ay aba 2＋ b2aba3e 3答案： Ax 2 y 25．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1( a ＞0， b ＞ 0) 的焦距为 4 5，渐近线方程为 2x ± y ＝ 0，则双曲线的方程为 ( )x 2y 2＝ 1x 2 y 2A. －B.－＝1416164x 2y 2x 2 y 2C. 16－ 64＝ 1D. 64－ 16＝ 122分析：易知双曲线x2－ y2＝ 1( ＞ 0，＞ 0) 的焦点在x 轴上，因此由渐近线方程为 2 ±yababxb222＝0，得a ＝ 2，因为双曲线的焦距为 4 5，因此 c ＝25，联合 c ＝ a ＋ b ，可得 a ＝ 2，b ＝ 4，x 2 y 2因此双曲线的方程为4－ 16＝ 1，应选 A.答案： A6．(2018 ·长春模拟 ) 已知O 为坐标原点，设 1， 2 分别是双曲线 x 2－ y 2＝ 1 的左、右焦F F点， P 为双曲线上随意一点，过点F 作∠ F PF 的均分线的垂线，垂足为H ，则 | OH | ＝()112A ． 1B ． 21 C ． 4D. 2分析：不如设 P 在双曲线的左支，如图，延伸F 1H 交 PF 2于点，因为PH既是∠12的均分线又垂直于1，故△1M F PFF MPFM为等腰三角形， |PF | ＝| PM |且 H 为 F M 的中点，因此OH 为△111 2121212MFF 的中位线，因此 | OH |＝ 2| MF | ＝ 2(| PF | － | PM |) ＝ 2(| PF | － | PF 1|) ＝ 1. 应选 A.答案： Ax 2 y 27．(2018 ·高考全国卷Ⅲ ) 已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1( a ＞0， b ＞ 0) 的离心率为 2，则点 (4,0) 到 C 的渐近线的距离为 ()A. 2B ．23 2C. 2c分析：由题意，得e ＝ a ＝渐近线方程为 x ± y ＝ 0，点 (4,0) 应选 D.答案： DD ．2 22， c 2＝a 2＋b 2，得 a 2＝b 2 . 又因为 a ＞ 0， b ＞0，因此 a ＝ b ，4到渐近线的距离为＝2 2， 2x 2 y 28．(2018 ·石家庄一模 ) 已知直线 l ：y ＝2x ＋ 3 被椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 截得的弦长为 7，有以下直线：① y ＝ 2x － 3；② y ＝ 2x ＋ 1；③ y ＝－ 2x － 3；④ y ＝－ 2x ＋ 3. 此中被椭圆 C 截得的弦长必定为 7 的有 ()A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条分析：易知直线 y ＝2x － 3 与直线 l 对于原点对称，直线 y ＝－ 2x － 3 与直线 l 对于 x轴对称，直线y ＝－ 2x ＋ 3 与直线 l 对于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3 条直线被椭圆 C 截得的弦长必定为 7.选C.答案： Cx 2y 29．(2018 ·洛阳模拟 ) 设双曲线 C ：16－ 9 ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 作双曲线 C 的渐近线的垂线，垂足分别为 M ，N ，若 d 是双曲线上随意一点d)P 到直线 MN 的距离，则 | | 的值为 (PF3 4 A. 4 B. 5C. 5D ．没法确立4x 2y 2分析：双曲线 C ： 16－ 9 ＝ 1 中， a ＝ 4， b ＝ 3， c ＝ 5，右焦点 F (5,0) ，渐近线方程为 y＝± 3 . 不如设在直线 y ＝ 3 上， N 在直线 y ＝－ 3 上，则直线的斜率为－4，其方程4xM4x4xMF3433416为 y ＝－ 3( x － 5) ，设 M ( t ， 4t ) ，代入直线 MF 的方程，得 4t ＝－ 3( t － 5) ，解得 t ＝ 5 ，即16 12 16 12 16M ( 5 ， 5 ) ．由对称性可得 N ( 5 ，－ 5 ) ，因此直线 MN 的方程为 x ＝ 5 . 设 P ( m ， n ) ，则 d ＝16 2291dm n 2 222|＝| m － 5 | ， 16－ 9 ＝ 1，即 n ＝ 16( m － 16) ，则 | PF | ＝m －＋n ＝ 4|5 m －16|. 故 |PF16| m － 5 |41＝ 5，应选 B.4|5 m － 16|答案： B2210．(2018 ·高考全国卷Ⅰ ) 设抛物线 C ： y ＝ 4 x 的焦点为 F ，过点 ( － 2,0) 且斜率为 3的直线与C 交于，两点，则 →· →＝ ()M NFM FNA ． 5B ． 6C ． 7D ． 82分析：由题意知直线MN 的方程为 y ＝ 3( x ＋2) ，2y ＝x ＋，联立直线与抛物线的方程，得3y 2＝ 4x ，x ＝ 1， x ＝ 4，解得或y ＝ 4.y ＝ 2不如设 M 为 (1,2) ， N 为 (4,4) ．又∵抛物线焦点为 → →F (1,0) ，∴ FM ＝(0,2) ，FN ＝ (3,4) ， → → ∴ FM ·FN ＝0×3＋2×4＝ 8. 应选 D. 答案： Dx 2 y 211．(2018 ·广西五校联考 ) 已知点 F 1，F 2 分别是双曲线 a 2－ b 2 ＝1( a ＞ 0，b ＞ 0) 的左、右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于→ → M ， N 两点，若 MF · NF ＞0，则该双曲线的离21 1心率 e 的取值范围是 ()A ．( 2， 2＋1)B ．(1， 2＋1)C ．(1， 3)D ． ( 3，＋∞)分析：设 F 1( － c, 0) ， F 2( c, 0) ，c 2 y 2 b 2依题意可得 a 2－ b 2＝ 1，获得 y ＝ a ，b 2b 2不如设 M c ， a ，N c ，－ a ，则 → → ＝－ 2c ，－ b 2 · － 2c ， b 2 ＝ 4c2 b 41·1－2＞，MFNFa aa2 2 2 2 2获得 4a c － ( c － a ) ＞ 0，即 a 4＋ c 4－6a 2c 2＜ 0，故 e 4－ 6e 2＋ 1＜ 0，解得 3－ 2 2 ＜e 2＜ 3＋ 2 2，又 e ＞1，因此 1＜ e 2＜ 3＋2 2，解得 1＜ e ＜ 1＋ 2答案： B21 12 212．(2018 ·南昌模拟 ) 抛物线 y ＝ 8x 的焦点为 F ，设 A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) 是抛物线上的两个动点，若 x 1＋ 2 3 的最大值为 ( )2＋4＝ | |，则∠x AB AFB 3π3πA.B.3 4 5π2πC. 6D. 3分析：由抛物线的定义可得2 3| AF | ＝ x ＋ 2， | BF | ＝ x ＋ 2，又 x ＋ x ＋ 4＝3 | AB|，12122 3得|AF |＋|BF |＝ 3 |AB |，3因此 | AB | ＝ 2 (| AF | ＋| BF |) ．| AF | 2＋| BF | 2－| AB | 2因此 cos ∠ AFB ＝2| AF | ·|BF || AF 2＋ BF 2－ 3AF ＋ BF2|||2 ( |||| )＝2| AF | ·|BF |121 2 3 4| AF | ＋4| BF | － 2| AF | ·|BF |＝2| |·| |AFBF1 ||| |3 1| AF | | BF | 3 1AF BF ＜ π ，＝＋－≥×2·－＝－，而0＜∠8 | BF || AF |4 8| BF | | AF |42AFB2π因此∠ AFB 的最大值为 3 .答案： D二、填空题x 2 y 2213．(2018 ·成都模拟 ) 已知双曲线 a 2－ 2 ＝ 1( a ＞ 0) 和抛物线 y ＝ 8x 有同样的焦点，则双曲线的离心率为 ________．2x 2 y 2分析：易知抛物线 y ＝ 8x 的焦点为 (2,0) ，因此双曲线 a 2 － 2 ＝ 1 的一个焦点为 (2,0) ，2 2c 2 则 a ＋ 2＝ 2 ，即 a ＝ 2，因此双曲线的离心率e ＝ a ＝ 2 ＝ 2.答案：2y 2 x 214．(2018 ·武汉调研 ) 双曲线 Γ ： a 2－ b 2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0) 的焦距为10，焦点到渐近线的距离为 3，则 Γ 的实轴长等于 ________．a|5 b | 5b分析：双曲线的焦点 (0,5) 到渐近线 y ＝ b x ，即 ax －by ＝ 0 的距离为a2＋ b2＝ c ＝b ＝ 3，因此 a ＝ 4,2 a ＝ 8.答案： 815．(2018 ·唐山模拟 ) 过抛物线 y 2＝2px ( p ＞ 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ， B 两点，若| AF | ＝ 2| BF | ＝ 6，则 p ＝ ________.分析：设 AB 的方程为 x ＝ my ＋2， A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) ，且 x ＞ x ，将直线 AB 的方程p1 12212代入抛物线方程得22y y2,4x x2l ，过 Ay － 2pmy －p ＝ 0，因此＝－ p＝p . 设抛物线的准线为1 212作 AC ⊥ l ，垂足为 C ，过 B 作 BD ⊥ l ，垂足为 D ，因为 | AF | ＝2| BF | ＝6，依据抛物线的定义知，| AF | ＝ | AC | ＝ x ＋pp＋2＝ 6， | BF| ＝| BD| ＝ x ＋ 2＝ 3，因此 x － x ＝ 3，x ＋ x ＝ 9－p ，因此 ( x12121212 2 12 21 2 2x ) －( x － x ) ＝ 4x x ＝p ，即 18p －72＝ 0，解得 p ＝ 4.答案： 42216．(2017 ·高考全国卷Ⅰ改编 ) 设， B 是椭圆： x＋ y ＝ 1 长轴的两个端点．若 C 上A Cm3存在点 M 知足∠ AMB ＝120°，则m 的取值范围是 ________．分析：当 0＜ m ＜ 3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 知足∠ AMB ＝120°，a 3，即3则 ≥tan 60 °＝≥ 3，bm解得 0＜ m ≤1.当 m ＞3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 知足∠ AMB ＝120°，a 3，即m则 ≥tan 60 °＝≥ 3，解得 ≥9.bm3故 m 的取值范围为 (0,1] ∪ [9 ，＋∞ ) ．答案： (0,1] ∪ [9 ，＋∞)地地道道的达到三、解答题17．(2018 ·辽宁五校联考 ) 已知椭圆 C ：x2 22＋ y2＝1( a ＞ b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，a bF 2，上极点为 B ，若△ BF 1F 2 的周长为 6，且点 F 1 到直线 BF 2 的距离为 b .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设1 ， 2 是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不一样于1， 2 的随意一点，直线A A A AA 1P 交直线 x ＝m 于点 M ，若以 MP 为直径的圆过点 A 2，务实数 m 的值．分析： (1) 由题意得 F 1 ( － c, 0) ， F 2( c, 0) ， B (0 ，b ) ，则 2a ＋ 2c ＝ 6，①直线 BF 2 的方程为 bx ＋ cy －bc ＝ 0，| － bc － bc | 因此 22 ＝ b ，即 2c ＝ a ，② c ＋ b 又 a 2＝ b 2＋c 2，③因此由①②③可得 a ＝ 2，b ＝ 3，x 2 y 2因此椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.(2) 不如设 A 1( － 2,0) ， A 2(2,0) ， P ( x 0， y 0) ，y 0则直线 A 1P 的方程为 y ＝ x 0＋ 2( x ＋ 2) ，y 0因此 M ( m ， x 0＋ 2( m ＋ 2)) ，22x 0又点 P 在椭圆 C 上，因此 y 0＝ 3(1－4)，→ →若以 MP 为直径的圆过点 A 2，则 A 2M ⊥ A 2P ， A 2M · A 2P ＝ 0，y 02因此 ( m － 2，( m ＋2)) ·(x 0－ 2， y 0) ＝ ( m － 2)( x 0－ 2) ＋y 0( m ＋ 2) ＝ ( m － 2)( x 0－x ＋ 2x ＋ 22x 0－1 742) ＋ x 0＋ 2 ( m ＋ 2) ＝ ( x 0－ 2)( 4m － 2) ＝ 0.又点 P 不一样于点 A 1， A 2，因此 x 0≠± 2，因此 m ＝ 14.18．(2018 ·福州模拟 ) 抛物线 C ： y ＝2x 2－ 4x ＋ a 与两坐标轴有三个交点，此中与y 轴的交点为 P .(1) 若点 Q ( x ， y )(1 ＜ x ＜4) 在 C 上，求直线 PQ 斜率的取值范围；(2) 证明：经过这三个交点的圆 E 过定点．分析： (1) 由题意得(0 ， )( ≠0)， (2 2－4 ＋ )(1 ＜＜4)，故 k PQ ＝ 2x 2－ 4x ＋ a －a ＝ 2x －4， x因为 1＜ x ＜ 4，因此－ 2＜k PQ ＜ 4，因此直线 PQ 的斜率的取值范围为 ( － 2,4) ．(2) 证明：法一： P (0 ， a )( a ≠0) ．令 2x 2－4 ＋＝ 0，则＝16－ 8 a ＞0， a ＜ 2，且 a ≠0，x a解得 x ＝1±4－ 2a，2故抛物线C 与 x 轴交于4－ 2a4－ 2a(1 －，0)， (1＋，0) 两点．A2B2故可设圆 E 的圆心为 M (1 ， t ) ，由 | | 2＝|| 2，得 12＋ ( t－ )2＝(4－ 2a ) 2＋2，解得 t ＝ a＋ 1， MPMAa2t2 4则圆 E 的半径 r ＝ | MP |＝1 a 21＋ 4－2.因此圆 E 的方程为 ( x － 1) 2a1 2 1 a 2，＋ ( y －2 － )＝1＋( － )44 2221a因此圆 E 的一般方程为 x ＋y － 2x － ( a ＋ 2) y ＋ 2＝ 0，即 x 2＋ y 2－2x － 1y ＋a ( － y ) ＝0.221x 2＋ y 2－2 －1＝ 0， x ＝ 0，x ＝ 2，x 2y由得1或11y ＝ 2y ＝ 2，2－ y ＝ 0，1 1 故圆 E 过定点 (0， ) ，(2， ) ．22法二： P (0 ，a )( a ≠0) ，设抛物线 C 与 x 轴的两个交点分别为A ( x 1, 0) ，B ( x 2, 0) ，圆 E 的一般方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Fy ＋ G ＝ 0，则x 12＋1＋＝0，Dx G2＋G ＝ 0，x 2＋ Dx 2a 2＋＋＝0.Fa G22a因为 x 1，x 2 是方程 2x － 4x ＋ a ＝ 0，即 x －2x ＋2＝ 0 的两根，2a2a因此 x 1－2x 1＋ 2＝ 0，x 2－ 2x 2 ＋2＝ 0，a因此 D ＝－ 2， G ＝ 2，2－ G － a1因此圆 E 的一般方程为221 ax ＋y － 2x － ( a ＋ ) y ＋＝ 0，222211即 x ＋ y －2x － 2y ＋a ( 2－ y ) ＝0.221x ＋ y － 2x － y ＝ 0，由得12－ y ＝ 0，11故圆 E 过定点 (0，2) ，(2，2) ．x ＝ 0，x ＝ 2，y ＝1 或12 y ＝，2y 2x 219．(2018 ·广州模拟 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆： 2＋ 2 ＝ 1( ＞＞0)的上C aba b焦点为 F ，椭圆 C 的离心率为1 2 62，且过点 (1 ，3) ．1(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设过椭圆 C 的上极点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B ( B 不在 y 轴上 ) ，垂直于 l 的直线→ →与 l 交于点 M ，与 x 轴交于点H ，若 F 1B ·F 1H ＝ 0，且 | MO |＝ | MA | ，求直线 l 的方程．分析： (1) 因为椭圆C 的离心率为 1c 1a ＝2 .，因此＝，即2 a 2 c2222223 2y 2 x 2又 a ＝ b ＋c ，因此 b＝3c ，即 b ＝4a ，因此椭圆 C 的方程为 a 2 ＋3 2＝1.4a2 62＝ 4.把点 (1， ) 代入椭圆 C 的方程中，解得a3因此椭圆 C 的方程为y 2＋ x 2＝ 1.43(2) 由 (1) 知， A (0,2) ，设直线 l 的斜率为 k ( k ≠0) ，则直线 l 的方程为 y ＝kx ＋ 2，地地道道的达到y＝kx＋2，由 x2 y2 得 (3 k2＋ 4) x2＋ 12kx＝ 0.3＋4＝1，－12k设 B( x B，y B)，得 x B＝3k2＋4，－6k2＋ 8因此 y B＝3k2＋4，－12k－6k2＋ 8因此 B(3k2＋4，3k2＋4)．设 M( x M，y M)，因为| MO|＝| MA|，因此点 M在线段 OA的垂直均分线上，1 1因此 y M＝1，因为 y M＝ kx M＋2，因此 x M＝－k，即M(－k，1)．设 ( H,0)，又直线垂直于直线l ，因此k1 1 1MH＝－，即＝－ .H x HM k 1 k－k－ xH1 1因此 x ＝k－k，即 H( k－k，0)．H又 F (0,1) →－ 12k 4－ 9k2 → 1，因此 F B＝ 3k＋ 4， 3k＋ 4， F H＝ k－k，－1)．1 12 2 1→ →－ 12k 1 4－ 9k2因为 F1 B· F1H＝0，因此3k2＋4·(k－k)－3 k2＋4＝0，2 6解得 k＝±.32 6因此直线 l 的方程为 y＝±3 x＋2.。

解答题针对训练：解析几何(原卷版+解析版)

专题五解答题针对训练之解析几何1．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．2．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3．已知曲线C：y=x22，D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．4．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．5．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|．6．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．7．双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．（1）求C的离心率；（2）若B在第一象限，证明：∠BF A＝2∠BAF．8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，点A（b，0），点B、F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|⋅|BA|=2√6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．9．设D 是圆O ：x 2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=√3|ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．10．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝1．（Ⅰ）F 是抛物线C 的焦点，A 是抛物线C 上的定点，AF →=（0，2），求抛物线C 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点F 的直线l 与圆E 相切，设直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，则在x 轴上是否存在点M 使∠PMO ＝∠QMO （O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．12．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)离心率e=√32，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为52，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．13．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△F AB的面积是1+√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线x＝my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，则求出点H坐标；否则，请说明理由．14．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，点E（a，b）在抛物线N：x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．15．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点M （﹣2，1），且右焦点F(√3，0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N （1，0）的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t =MA →⋅MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1+t 2的值．16．已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与y 轴交于C 点．（1）若EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，求乘积λ1•λ2的值；（2）若E （4，0），过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，求出此定直线方程．17．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C 上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，上、下顶点分别是B，C，|AB|=√7，直线CF交线段AB于点D，且|BD|＝2|DA|．（1）求E的标准方程；（2）是否存在直线l，使得l交E于M，N两点，且F恰是△BMN的垂心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．专题五解答题题型归纳之解析几何题型归纳一、中点弦、轨迹方程考点1.中点弦——点差法1．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （1，0），离心率为√22．直线l 过点F且不平行于坐标轴，l 与C 有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；【分析】（Ⅰ）由题可知，c ＝1，e =ca =√22，再结合a 2＝b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M 为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =y Mx M可求出直线OM 的斜率，进而得解；【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，c ＝1，e =c a =√22， ∵a 2＝b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，则x 1+x 2=4k22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k 2k 2+1，∴k OM =yM x M=−12k ，∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．2．已知中心在原点，一焦点为F （0，√50）的椭圆被直线l ：y ＝3x ﹣2截得的弦的中点横坐标为12．（1）求此椭圆的方程；（2）过定点M （0，9）的直线与椭圆有交点，求直线的斜率k 的取值范围．【分析】（1）设椭圆为x 2b 2+y 2a 2=1，由已知条件推导出a 2＝b 2+50，6b 2a 2+9b 2=12，由此能求出椭圆．（2）设过定点M （0，9）的直线为l ，若斜率k 不存在，直线l 方程为x ＝0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5√3）和下顶点（0，﹣5√3）；若斜率k 存在，直线l 的方程为：y ＝kx +9，k ≠0，代入椭圆方程，由△≥0，能求出直线的斜率k 的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆中心在原点，一焦点为F （0，√50），∴设椭圆为x 2b 2+y 2a 2=1，（a ＞b ＞0），a 2＝b 2+c 2＝b 2+50，① 把y ＝3x ﹣2代入椭圆方程，得 a 2x 2+b 2（3x ﹣2）2＝a 2b 2，（a 2+9b 2）x 2﹣12b 2x +4b 2﹣a 2b 2＝0，∵椭圆被直线l ：y ＝3x ﹣2截得的弦的中点横坐标为12，∴6b 2a 2+9b 2=12，整理，得a 2＝3b 2，②由①②解得：a 2＝75，b 2＝25，∴椭圆为：x 225+y 275=1．（2）设过定点M （0，9）的直线为l ，①若斜率k 不存在，直线l 方程为x ＝0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5√3）和下顶点（0，﹣5√3）；②若斜率k ＝0，直线l 方程为y ＝9，与椭圆无交点； ③若斜率k 存在且不为0时，直线l 的方程为：y ＝kx +9，k ≠0 联立{y =kx +9x 225+y 275=1，得（3+k 2）x 2+18kx +6＝0，△＝（18k ）2﹣24（3+k 2）≥0，解得k ≥√65或k ≤−√65．综上所述：直线的斜率k 的取值范围k ≥√65或k ≤−√65或k 不存在．考点2.轨迹方程——定义法、相关点法3．已知O 为坐标原点，圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0，定点F （﹣1，0），点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；【分析】（Ⅰ）推导出动点Q 的轨迹为以M 、F 为焦点、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|MQ |+|FQ |＝|MN |＝4，又|MF |＝2＜4，∴由椭圆定义知动点Q 的轨迹为以M 、F 为焦点、长轴长为4的椭圆，故2a ＝4，2c ＝2，∴曲线C 的方程是x 24+y 23=1．4．从抛物线y 2＝36x 上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足PM →=2MQ →．（1）求点M 的轨迹C 的方程；【分析】（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则点Q 的坐标为（x 0，0）．利用向量关系，推出{x 0=x ，y 0=3y ．，代入已知条件即可得到点M 的轨迹C 的方程．【解答】解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则点Q 的坐标为（x 0，0）．因为PM →=2MQ →，所以（x ﹣x 0，y ﹣y 0）＝2（x 0﹣x ，﹣y ），（2分）即{x 0=x ，y 0=3y ．，（3分）因为点P 在抛物线y 2＝36x 上，所以y 02=36x 0，即（3y ）2＝36x ．所以点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x ．（5分）题型归纳二、弦长、面积考点1.弦长问题1．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （√3，12）在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |•|MB |＝|MC |•|MD | 【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得{a =2ba 2=b 2+c 23a 2+14b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）证明：设AB 所在直线方程为y =12x +m ，联立{y =12x +mx 24+y 2=1，得x 2+2mx +2m 2﹣2＝0．∴△＝4m 2﹣4（2m 2﹣2）＝8﹣4m 2＞0，即−√2＜m ＜√2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−2， |AB |=√1+14|x 1−x 2|=√54√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√54√4m 2−4(2m 2−2)=√10−5m 2．∴x 0＝﹣m ，y 0=12x 0+m =m2，即M （−m ，m2），则OM 所在直线方程为y =−12x ，联立{y =−12x x 24+y 2=1，得{x =−√2y =√22或{x =√2y =−√22． ∴C （−√2，√22），D （√2，−√22）．则|MC |•|MD |=(2√2)⋅(2√2)=√(54m 2+52−52√2m)⋅(54m 2+52+52√2m)=√(52−54m 2)2=52−54m 2．而|MA |•|MB |=(12|AB|)2=14（10﹣5m 2）=52−5m 24．∴|MA |•|MB |＝|MC |•|MD |． 2．已知椭圆E ：x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t ＝4时，椭圆E 的方程为x 24+y 23=1，A （﹣2，0），直线AM 的方程为y ＝k （x +2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0，解得x ＝﹣2或x =−8k 2−63+4k 2，则|AM |=√1+k 2•|2−8k 2−63+4k 2|=√1+k 2•123+4k 2，由AN ⊥AM ，可得|AN |=√1+(−1k )2•123+4⋅(−1k)2=√1+k 2•123|k|+4|k|，由|AM |＝|AN |，k ＞0，可得√1+k 2•123+4k 2=√1+k 2•123k+4k，整理可得（k ﹣1）（4k 2+k +4）＝0，由4k 2+k +4＝0无实根，可得k ＝1，即有△AMN 的面积为12|AM |2=12（√1+1•123+4）2=14449；方法二、由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ．可得直线AM 的斜率为1，直线AM 的方程为y ＝x +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2+16x +4＝0，解得x ＝﹣2或−27，M （−27，127），N （−27，−127），则△AMN 的面积为12×247×（−27+2）=14449；（Ⅱ）直线AM 的方程为y ＝k （x +√t ），代入椭圆方程，可得（3+tk 2）x 2+2t √t k 2x +t 2k 2﹣3t ＝0，解得x =−√t 或x =−t √tk 2−3√t 3+tk 2，即有|AM |=√1+k 2•|t √tk 2−3√t 3+tk 2−√t |=√1+k 2•6√t3+tk 2，|AN |═√1+1k2•6√t3+tk2=√1+k 2•6√t 3k+t k，由2|AM |＝|AN |，可得2√1+k 2•6√t3+tk 2=√1+k 2•6√t3k+t k，整理得t =6k 2−3k k 3−2，由椭圆的焦点在x 轴上，则t ＞3，即有6k 2−3k k 3−2＞3，即有(k 2+1)(k−2)k 3−2＜0，可得√23＜k ＜2，即k 的取值范围是（√23，2）．考点2.面积问题3．已知点A （0，﹣2），椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F （c ，0），由条件知2c=2√33，得c =√3，又ca=√32，所以a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝1，故E 的方程x 24+y 2=1．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）将y ＝kx ﹣2代入x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2﹣16kx +12＝0，当△＝16（4k 2﹣3）＞0，即k 2＞34时，x 1，2=8k±2√4k 2−31+4k 2从而|PQ|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2又点O 到直线PQ 的距离d =√k 2+1，所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d|PQ|=4√4k 2−31+4k 2，设√4k 2−3=t ，则t ＞0，S △OPQ =4tt 2+4=4t+4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±√72等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x ﹣2或y =−√72x ﹣2．…（12分）4．设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0即为（x +1）2+y 2＝16，可得圆心A （﹣1，0），半径r ＝4，由BE ∥AC ，可得∠C ＝∠EBD ，由AC ＝AD ，可得∠D ＝∠C ，即为∠D ＝∠EBD ，即有EB ＝ED ，则|EA |+|EB |＝|EA |+|ED |＝|AD |＝4＞|AB |，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有2a ＝4，即a ＝2，c ＝1，b =√a 2−c 2=√3，则点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1（y ≠0）；（Ⅱ）椭圆C 1：x 24+y 23=1，设直线l ：x ＝my +1，由PQ ⊥l ，设PQ ：y ＝﹣m （x ﹣1），由{x =my +13x 2+4y 2=12可得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），可得y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，则|MN |=√1+m 2•|y 1﹣y 2|=√1+m 2•√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4 =√1+m 2•√36(4m 2+4)3m 2+4=12•1+m 23m 2+4，A 到PQ 的距离为d =√1+m 2=√1+m 2，|PQ |＝2√r 2−d 2=2√16−4m 21+m 2=4√3m 2+4√1+m 2，则四边形MPNQ 面积为S =12|PQ |•|MN |=12•4√3m 2+4√1+m 2•12•1+m 23m 2+4＝24•√1+m 2√3m 2+4=24√13+11+m 2，当m ＝0时，S 取得最小值12，又11+m 2＞0，可得S ＜24•√33=8√3，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8√3）．题型归纳三、定值、定点、定直线考点1.定值问题1．设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．【解答】解：（1）c =√2−1=1， ∴F （1，0）， ∵l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22，∴A （1.√22），或（1，−√22）， ∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2，y =√22x −√2，证明：（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA ＝∠OMB ，当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k （x ﹣1），k ≠0， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＜√2，x 2＜√2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为k MA +k MB =y 1x 1−2+y 2x 2−2，由y 1＝kx 1﹣k ，y 2＝kx 2﹣k 得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k (x 1−2)(x 2−2)，将y ＝k （x ﹣1）代入x 22+y 2＝1可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1， ∴2kx 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+4k =12k 2+1（4k 3﹣4k ﹣12k 3+8k 3+4k ）＝0 从而k MA +k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA ＝∠OMB ，综上∠OMA ＝∠OMB ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为M ，上顶点为N ，直线2x +y −6√3=0与直线MN 垂直，垂足为B 点，且点N 是线段MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交于E ，F 两点，点G 在椭圆C 上，且四边形OEGF 为平行四边形，求证：四边形OEGF 的面积S 为定值．【解答】解：（1）由题意知，椭圆C 的左顶点M （﹣a ，0），上顶点N （0，b ），直线MN 的斜率k =b a=12，得a ＝2b ，因为点N 是线段MB 的中点，∴点B 的坐标是B （a ，2b ），由点B 在直线2x +y −6√3=0上，∴2a +2b =3√2，且a ＝2b ，解得b =√3，a =2√3， ∴椭圆C 的方程为x 212+y 23=1．（2）证明：设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），G （x 0，y 0），将y ＝kx +m 代入x 212+y 23=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则x 1+x 2=−8m1+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2−121+4k 2， ∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m =2m1+4k 2， ∵四边形OEGF 为平行四边形， ∴OG →=OE →+OF →=（x 1+x 2，y 1+y 2），得G(−8km1+4k 2，2m1+4k 2)，将G 点坐标代入椭圆C 方程得m 2=34(1+4k 2)，点O 到直线EF 的距离为d =√1+k 2，EF =√1+k 2|x 1−x 2|，∴平行四边形OEGF 的面积为S ＝d •|EF |＝|m ||x 1﹣x 2|=|m|√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =4|m|√3−m 2+12k 21+4k 2=4|m|√3m 21+4k 2=4√3m 21+4k 2=3√3．故平行四边形OEGF 的面积S 为定值3√3．考点2.定点问题3．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），点M （2√63，﹣1）在椭圆上，椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2=−14，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可得：{83a 2+1b 2=1c a =12a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）因为A （﹣2，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线的斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝kx +m ，联立方程组{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 可得：（3+4k 2）x 2x 2+8mkx +4m 2﹣12＝0，所以x1+x2=−8mk3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，因为k1k2=−14，所以k1k2=y1x1+2⋅y2x2+2=(kx1+m)(kx2+m)(x1+2)(x2+2)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 x1x2+2(x1+x2)+4=−14所以4m 2k2−12k2−8k2m2+3m2+4m2k24m2−12−16mk+12+16k2=−14，所以m2﹣mk﹣2k2＝0，所以（m﹣2k）（m+k）＝0，所以m＝2k或m＝﹣k，当m＝2k时，PQ：y＝k（x+2），此时直线过定点（﹣2，0）不符合题意，当m＝﹣k时，PQ：y＝k（x﹣1），此时过定点（1，0），当直线的斜率不存在时，PQ的方程为：x＝1，所以P，Q的坐标为（1，32），（1，−32），所以k AP⋅k AQ=321−(−2)⋅−321−(−2)=−14，满足要求，综上可知：直线PQ过定点（1，0）．4．已知点F1（−√2，0），圆F2：（x−√2）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B 两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△P AB′面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得：|NF1|＝|NM|，∴|NF1|+|NF2|＝|MN|+|NF2|＝|4，又|F1F2|＝2√2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a ＝4，2c ＝2√2，即a ＝2，c =√2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣2＝2， ∴点N 的轨迹方程是x 24+y 22=1．证明：（2）设直线AB ：y ＝kx +1，（k ≠0），设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则B ′（﹣x 2，y 2），联立直线AB 与椭圆得{x 2+2y 2=4y =kx +1，得（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2＝0，显然△＝8（1+4k 2）＞0， ∴x 1+x 2=−4k 1+2k 2，x 1x 2=−21+2k 2 ∴k AB ′=y 1−y2x 1+x 2，∴直线AB ′：y ﹣y 1=y 1−y2x 1+x 2（x ﹣x 1），∴令x ＝0，得y =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1(kx 2+1)+x 2(kx 1+1)x 1+x 2=2kx 1x 2x 1+x 2+1＝2，∴直线AB ′过定点Q （0，2）， ∴△P AB ′的面积S =12|x 1+x 2|=2|k|1+2k 2=21|k|+2|k|≤√22，当且仅当k ＝±√22时，等号成立． ∴△P AB ′的面积的最大值是√22．5．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S(0，−13)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b ＝c ，又斜边长为2，即2c ＝2，解得c ＝1，故a =√2c =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．（Ⅱ）当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+(y +13)2=169；当l 为y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝1，由{x 2+(y +13)2=169x 2+y 2=1⇒{x =0y =1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q （0，1）．下证明Q （0，1）为所求：若直线l 斜率不存在，上述已经证明．设直线l ：y =kx −13，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由{y =kx −13x 2+2y 2−2=0⇒(9+18k 2)x 2−12kx −16=0，△=144k 2+64(9+18k 2)＞0，x 1+x 2=12k18k 2+9，x 1x 2=−1618k 2+9， QA →=(x 1，y 1−1)，QB →=(x 2，y 2−1)，QA →⋅QB →=x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−4k3(x 1+x 2)+169=(1+k 2)−169+18k 2−4k 3⋅12k9+18k 2+169=0，∴QA →⊥QB →，即以AB 为直径的圆恒过点Q （0，1）．6．已知直线l 1是抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的准线，直线l 2：3x ﹣4y ﹣6＝0，且l 2与抛物线C 没有公共点，动点P 在抛物线C 上，点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值等于2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）点M 在直线l 1上运动，过点M 做抛物线C 的两条切线，切点分别为P 1，P 2，在平面内是否存在定点N ，使得MN ⊥P 1P 2恒成立？若存在，请求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）作P A ，PB 分别垂直l 1和l 2，垂足为A ，B ，抛物线C 的焦点为F(0，p2)，由抛物线定义知|P A |＝|PF |，所以d 1+d 2＝|P A |+|PB |＝|PF |+|PB |，显见d 1+d 2的最小值即为点F 到直线l 2的距离，故d =|−2p−6|5=2⇒p =2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 1的方程为y ＝﹣1，当点M 在特殊位置（0，﹣1）时，显见两个切点P 1，P 2关于y 轴对称，故要使得MN ⊥P 1P 2，点N 必须在y 轴上．故设M （m ，﹣1），N （0，n ），P 1(x 1，14x 12)，P 2(x 2，14x 22)，抛物线C 的方程为y =14x 2，求导得y ′=12x ，所以切线MP 1的斜率k 1=12x 1，直线MP 1的方程为y −14x 12=12x 1(x −x 1)，又点M 在直线MP 1上，所以−1−14x 12=12x 1(m −x 1)，整理得x 12−2mx 1−4=0，同理可得x 22−2mx 2−4=0，故x 1和x 2是一元二次方程x 2﹣2mx ﹣4＝0的根，由韦达定理得{x 1+x 2=2m x 1x 2=−4，P 1P 2→⋅MN →=(x 2−x 1，14x 22−14x 12)⋅(−m ，n +1)=14(x 2−x 1)[﹣4m +（n +1）（x 2+x 1）]=14(x 2−x 1)[−4m +2m(n +1)]=12m(x 2−x 1)(n −1)，可见n ＝1时，P 1P 2→⋅MN →=0恒成立，所以存在定点N （0，1），使得MN ⊥P 1P 2恒成立．考点3.定直线问题7．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点M(√2，1)，且左焦点为F 1(−√2，0) （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P （4，1）的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|•|QB →|=|AQ →|•|PB →|，证明：点Q 总在某定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由题意得{c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C的方程为x 24+y 22=1．（Ⅱ）设点Q 、A 、B 的坐标分别为（x ，y ），（x 1，y 1），（x 2，y 2）．由题设知|AP →|，|PB →|，|AQ →|，|QB →|均不为零，记λ=|AP →||PB →|=|AQ →||QB →|，则λ＞0且λ≠1又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP →=−λPB →，AQ →=λQB →于是4=x 1−λx 21−λ，1=y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=4x①，y 12−λ2y 221−λ2=y②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 12+2y 12＝4 ③，x 22+2y 22＝4 ④， ①+②×2并结合③、④得4x +2y ＝4，即点Q （x ，y ）总在定直线2x +y ﹣2＝0上．8．已知抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0）和圆C 2：（x +1）2+y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．（1）求p 的值；（2）点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN →=MA →+MB →，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【解答】解：（1）依题意设直线l 1的方程为y =x +p2，由已知得：圆C 2：（x +1）2+y 2＝2的圆心C 2（﹣1，0），半径r =√2，因为直线l 1与圆C 2相切，所以圆心到直线l 1：y =x+p2的距离d=|−1+p 2|√12+(−1)2=√2，即|−1+p2|√2=√2，解得p ＝6或p ＝﹣2（舍去）．所以p ＝6；（2）解法一：依题意设M （m ，﹣3），由（1）知抛物线C 1方程为x 2＝12y ，所以y =x 212，所以y ′=x6，设A(x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x ＝0，y =−16x 12+y 1=−16×12y 1+y 1=−y 1，即l 2交y 轴于B 点坐标为(0，−y 1)，所以MA →=(x 1−m ，y 1+3)，（9分）MB →=(−m ，−y 1+3)， ∴MN →=MA →+MB →=（x 1﹣2m ，6），∴ON →=OM →+MN →=(x 1−m ，3)．设N 点坐标为（x ，y ），则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．解法二：设M （m ，﹣3），由（1）知抛物线C 1方程为x 2＝12y ，① 设A(x 1，y 1)，以A 为切点的切线l 2的方程为y =k(x −x 1)+y 1②，联立①②得：x 2=12[k(x −x 1)+112x 12]，因为△=144k 2−48kx 1+4x 12=0，所以k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x ＝0，得切线l 2交y 轴的B 点坐标为(0，−y 1)，所以MA →=(x 1−m ，y 1+3)，MB →=(−m ，−y 1+3)， ∴MN →=MA →+MB →=（x 1﹣2m ，6），∴ON →=OM →+MN →=(x 1−m ，3)，设N 点坐标为（x ，y ），则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．题型归纳四、探索性问题考点1.是否存在定值1．如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率是√22，点P （0，1）在短轴CD 上，且PC →•PD →=−1（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点．是否存在常数λ，使得OA →•OB →+λPA →•PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C （0，﹣b ），D （0，b ），又∵P （0，1），且PC →•PD →=−1， ∴{1−b 2=−1c a=√22a 2−b 2=c 2，解得a ＝2，b =√2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ＝1，使得OA →•OB →+λPA →•PB →为定值﹣3．理由如下：对直线AB 斜率的存在性进行讨论：①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +1， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 22=1y =kx +1，消去y 并整理得：（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2＝0， ∵△＝（4k ）2+8（1+2k 2）＞0， ∴x 1+x 2=−4k1+2k 2，x 1x 2=−21+2k 2，从而OA →•OB →+λPA →•PB →=x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+（y 1﹣1）（y 2﹣1）] ＝（1+λ）（1+k 2）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1 =(−2λ−4)k 2+(−2λ−1)1+2k 2=−λ−11+2k 2−λ﹣2．∴当λ＝1时，−λ−11+2k 2−λ﹣2＝﹣3，此时OA →•OB →+λPA →•PB →=−3为定值；②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →•OB →+λPA →•PB →=OC →⋅OD →+PC →⋅PD →=−2﹣1＝﹣3；故存在常数λ＝1，使得OA →•OB →+λPA →•PB →为定值﹣3．2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)短轴长为2，F 是C 的左焦点，A ，B 是C 上关于x轴对称的两点，△ABF 周长的最大值为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，且k 2＝k 1k 2，求直线l 的斜率，并判断|OM |2+|ON |2的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．【分析】（1）设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为F 2．由题意可得|AF 1|+|AH |≤|AF 1|+|AF 2|＝2a ，进而可得△ABF 周长取最大值4a ＝8，解得a ，b ，进而可得椭圆C 的标准方程．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，在化简k 2＝k 1k 2，解得k ，再计算|OM |2+|ON |2，即可得答案．【解答】解：（1）设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为F 2．由题意|AH |≤|AF 2|，则|AF 1|+|AH |≤|AF 1|+|AF 2|＝2a ，当AB 过右焦点F 2时，△ABF 周长取最大值4a ＝8，∴a ＝2，且b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x 24+y 2=1y =kx +m，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，∴x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2，由题知k 2=k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2， ∴km(x 1+x 2)+m 2=0，∴−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，∵m 2＝0（舍去）或k 2=14，此时(x 1+x 2)2=(−8km 1+4k2)2=4m 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2=2(m 2−1)，则|OM|2+|ON|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+1−x 124+x 22+1−x 224=34(x 12+x 22)+2=34[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2=34[4m 2−4(m 2−1)]+2=5，故直线l 的斜率为k =±12，|OM |2+|ON |2＝5．考点2.是否存在定点3．已知椭圆C ：9x 2+y 2＝m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=−2kb9+k2，则x M=x1+x22=−kb9+k2，y M＝kx M+b=9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =−9k，即k OM•k＝﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b＝m−k3m，∴k2m2＞9（m−k3m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM 的方程为y =−9kx ，设P 的横坐标为x P ，由{y =−9k x9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81，即x P =3√9+k 2将点（m3，m ）的坐标代入l 的方程得b =m(3−k)3，即l 的方程为y ＝kx +m(3−k)3，将y =−9k x ，代入y ＝kx +m(3−k)3，得kx +m(3−k)3=−9k x 解得x M =k(k−3)m 3(9+k 2)，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是3√9+k2=2×k(k−3)m 3(9+k 2)，解得k 1＝4−√7或k 2＝4+√7， ∵k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，∴当l 的斜率为4−√7或4+√7时，四边形OAPB 能为平行四边形．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，焦距为2c ，直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线bx ﹣y +2c ＝0与y 轴交于点P ，A ，B 是椭圆C 上的两个动点，∠APB 的平分线在y 轴上，|P A |≠|PB |．试判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）因为直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点，故令y ＝0，得x =−√2ab=−c ，又因为离心率为√22，从而求出b ＝2，又因为a 2＝b 2+c 2，求出a 的值，从而求出椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）先求出点P 的坐标，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立方程组，利用根与系数的关系，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），得到k 1+k 2=8k(m−1)m 2−4，又因为∠APB 的平分线在y轴上，所以k 1+k 2＝0，从而求出m 的值，得到直线AB 的方程为y ＝kx +1过定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为直线bx ﹣y +√2a ＝0过椭圆的左焦点，故令y ＝0，得x =−√2ab=−c ，∴ca=√2b =√22，解得b ＝2，又∵a 2＝b 2+c 2＝b 2+12a 2，解得a ＝2√2， ∴椭圆C 的标准方程为：x 28+y 24=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =√22a ＝2，∴直线bx ﹣y +2c ＝0的方程为2x ﹣y +4＝0，令x ＝0得，y ＝4，即P （0，4），设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，则直线P A 的斜率k 1=y 1−4x 1=k +m−4x 1，则直线PB 的斜率k 2=y 2−4x 2=k +m−4x 2，所有k 1+k 2＝2k +(m−4)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(m−4)(−4km)2m 2−8=8k(m−1)m 2−4，∵∠APB 的平分线在y 轴上，∴k 1+k 2＝0，即8k(m−1)m 2−4=0，又|P A |≠|PB |，∴k ≠0，∴m ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝kx +1，过定点（0，1）．考点3.是否存在圆5．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，M （﹣2，y 0）是C 上一点，且|MF |＝2．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形P AQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F （0，p2），准线方程为y =−p2，M （﹣2，y 0）是C 上一点，且|MF |＝2，可得4＝2py 0，y 0+p2=2，解得p ＝2，即抛物线的方程为x 2＝4y ；（Ⅱ）由F （0，1），设l AB ：y ＝kx +1，代入x 2＝4y 中，得x 2﹣4kx ﹣4＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，x 1•x 2＝﹣4．所以|AB|=√1+k2•|x1﹣x2|=√1+k2•√16k2+16=4（k2+1）．因为C：x2＝4y，即y=x 24，所以y′=12x．所以直线l1的斜率为k1=12x1，直线l2的斜率为k2=12x2．因为k1k2=x1x24=−1，所以P A⊥PB，即△P AB为直角三角形．点P关于直线AB的对称点Q，即有QA⊥QB，即四点Q，A，B，P共圆．四边形P AQB存在外接圆，所以外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|＝4（k2+1），所以当k＝0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的半径最小，且为2，面积最小，最小面积为4π．6．已知平面内一个动点M到定点F（3，0）的距离和它到定直线l：x＝6的距离之比是常数√22．（Ⅰ）求动点M的轨迹T的方程；（Ⅱ）若直线l：x+y﹣3＝0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）设M的坐标，由题意得出等式，化简得M的轨迹方程；（Ⅱ）由题意求出A，B的坐标，进而求出AB的中垂线方程，与椭圆联立求出C，D的坐标，进而求出CD的中点E的坐标，求出EA，EB，CD之间的关系，进而求出A，B，C，D是在同一个圆上，且圆心，半径都可以求出．【解答】解：（Ⅰ）设动点M （x ，y ），由题意知：√(x−3)2+y 2|x−6|=√22，整理得：x 218+y 29=1，所以动点M 的轨迹T 的方程为：x 218+y 29=1；（Ⅱ）将直线与椭圆联立：{x +y −3=0x 218+y 29=1，解得：A （0，3），B （4，﹣1），所以AB 的中点N （2，1），k CD ＝1，∴AB 的中垂线CD 的方程为：x ﹣y ﹣1＝0，设C （x ，y ），D （x '，y '），联立直线CD 与椭圆的方程整理：3x 2﹣4x ﹣16＝0，x +x '=43，xx '=−163，∴CD =√1+12√(x +x ′)2−4xx′=√2⋅√(43)2−4⋅(−163)=4√263，设CD 的中点为E ，则|DE |＝|CE |=12|CD|，又x E =x+x′2=23，y E ＝x E ﹣1=−13，所以E （23，−13），∴|EA |=√(23)2+(−13−3)2=2√263=12|CD|=|EB|，所以A ，B ，C ，D 是在同一个圆上，且以E 为圆心，以2√263为半径的圆上，此时圆的方程：（x −23）2+（y +13）2=1049．考点4.是否存在直线7．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）过点P （m ，2），且P 到抛物线焦点的距离为2，直线l 过点Q （2，﹣2），且与抛物线相交于A ，B 两点．（1）求抛物线的方程；（2）若点Q 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）过点M （﹣1，0）作直线MA 、MB 分别交抛物线于C ，D 两点，请问C ，D ，Q 三点能否共线？若能，求出直线l 的斜率k ；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线y 2＝2px （p ＞0）过点P （m ，2），可得2pm ＝4，即pm ＝2， P 到抛物线焦点的距离为2，可得√(m −p2)2+4=2，即m =p2，解得p ＝2，m ＝1，则抛物线方程为y 2＝4x ；（2）直线l 过点Q （2，﹣2），可设直线l 的方程为y +2＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k ﹣2，代入y 2＝4x ，消去x ，可得ky 2﹣4y ﹣8k ﹣8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4k，由点Q （2，﹣2）恰为线段AB 的中点，可得4k=−4，即k ＝﹣1，满足△＞0，可得直线l 的方程为y ＝﹣x ；（3）设（y 124，y 1），B （y 224，y 2），C （y 324，y 3），D （y 424，y 4），设直线l 的方程为y +2＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k ﹣2，代入y 2＝4x ，消去x ，可得ky 2﹣4y ﹣8k ﹣8＝0，y 1+y 2=4k，y 1y 2=−8k+8k，由M ，A ，C 三点共线可得y1y 124+1=y 3−y 1y 324−y 124=4y3+y 1，化为y 1y 3＝4，即y 3=4y 1，同理可得y 4=4y 2，假设C ，D ，Q 三点共线，可得y 3+2y 324−2=y 4−y 3y 424−y 324即y 3y 4+2（y 3+y 4）+8＝0，可得2y 1y 2+y 1+y 2y 1y 2+1＝0，即k−4k−4+1−2k−2+1＝0，解得k =−23，所以当直线l 的斜率为−23，C ，D ，Q 三点共线．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(1，√22)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为△BMN 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意知焦距和过的点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）可得B ，F 的坐标假设存在这样的直线满足体积设直线方程，求出两根之和及两根之积，由垂心可得垂直关系，即数量积为0求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意知：2c ＝2，1a 2+12b 2=1，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）假设存在这样的直线l ，使得F 为△BMN 的垂心，由（1）得B （0，1），F （1，0），∴k BF ＝﹣1，由题意可得l ⊥BF ，NF ⊥BM ，设直线l 的方程为：y ＝x +m ，M （x ，y ），N （x '，y '），联立直线与椭圆的方程整理得：3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0，∴△＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣2）＞0，可得m 2＜3，即−√3＜m ＜√3，且x +x '=−4m 3，xx '=2m 2−23，yy '＝xx '+m （x +x '）+m 2∵FN →⋅BM →=（x '﹣1，y '）（x ，y ﹣1）＝xx '﹣x +yy '﹣y '＝xx '+yy '﹣x ﹣（x '+m ）＝2xx '+（m ﹣1）（x +x '）+m 2﹣m ＝2•2m 2−23−（m ﹣1）⋅4m 3+m 2﹣m =3m 2+m−43，因为NF ⊥BM ，所以NF →⋅BM →=0，所以3m 2+m ﹣4＝0，解得：m ＝1或m =−43，当m ＝1过了B 点，所以舍去所以存在直线l：y＝x−43符合F为△BMN的垂心．。

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专题五解析几何专项训练一、选择题1．设双曲线C: 32x －y 2=1的右焦点为F,直线l 过点F 且斜率为k, 若直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交,则直线的斜率的取值范围是 ( ) A. k ≤－21 或k ≥21 B. －21<k<21 C.k<－21或k>21 D. －21≤k ≤21 2.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（） AB ．3CD ．923．F 1，F 2是椭圆1222=+y x 的左右两个焦点，过F 2作倾斜角为4π的弦AB ，则△F 1AB 的面积为（）A ．34 B ．332 C ．334 D ．1324-4．我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，测得近地点A 距地面200公里，远地点B 距地面350公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大视角为）（A ）67216371arcsin2 （B ）65716371arcsin 2 （C ）67216371arccos 2 （D ）65716371arccos 25．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是DA. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[ 6.已知点F 1、F 2为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，P 为右支上的一点，点P 到右准线的距离为d ，若||1PF 、||2PF 、d 依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是（）（A ）]32,1(+ （B ）]3,1( （C ）),32[+∞+ （D ）]32,22[+-7.已知P 是椭圆252x +92y =1上的点,Q 、R 分别是圆(x+4)2+y 2=41和(x - 4)2 +y 2=41上的点,则|PQ| + |PR|的最小值是( )A.89 B. 85 C. 10 D. 98. 在平面解析几何中，若直线l 过点),(00y x 且法向量为),(B A n =→，那么l 方程为：0)()(00=-+-y y B x x A ；类比到空间，若平面α过点（-1，2，1）且法向量为)1,4,1(--=→n ，那么可写出平面α的方程是（）A.0104=++-z y xB. 0104=-+-z y xC.0104=+--z y xD. 064=-+-z y x 二、填空题9．（2005年成都市零诊理15）双曲线048124322=-+--y x y x 按向量m 平移后的双曲线的方程为13422=-y x ，则平移向量=__________.10.已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .11.已知直线1)13()2(--=-x a y a ，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是。

12.（08江西理15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．三、解答题13．设有定点A （0，2），B （2-，0），长为2的线段CD 在直线x y =上滑动.求直线AD 和BC 的交点M 的轨迹方程.14．直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.分析：本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力.15．已知直线1+-=x y 与椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上. （１）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.16．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点为A （1,0-），且右焦点F 到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求该椭圆的方程；（2）在椭圆内是否存在这样的定点P ：过点P 的直线与椭圆交于M 、N 两点，使得⋅=0？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.专题五解析几何专项训练参考答案一、选择题 1.B2.解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。

依题设P 在抛物线准线的投影为'P ,抛物线的焦点为F ,则1(,0)2F ,依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|'|||PP PF =,则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和||||||2d PF PA AF =+≥==选A.3．过F 2倾斜角为4π的直线为l ：y=x －1。

设A （x 1 , y 1）, B(x 2 , y 2) 则y 1 , y 2是方程3y 2+2y －1=0的两根。

S △F A B = 2122121214)(||||21y y y y y y F F -+=-⋅即知选A 4.B 5.D6.本题难度较大，对考生思维能力及对知识的整体性和综合性把握要求比较高.本题要求灵活运用双曲线的第一定义和第二定义、数形结合的思想以及函数与方程的思想. 由已知：a d PF a PF PF PF d PF 2||2||||||||222112+=⇒⎩⎨⎧=-+=两边同除以d ，由双曲线第二定义有：dae 21+= ①，可知e 是关于d 的减函数. 注意到),[2+∞-∈caa d ，排除C 、D ；当ca a d 2-=时e 最大，代入①并化简得：0142=+-e e ，计算知选A. 7.D8.由平面类比到空间，只需把握平面类比到空间对应元素的对应关系即可. 由于平面内过点),(00y x 且法向量为),(B A n =→的l 方程为：0)()(00=-+-y y B x x A ，所以空间过点（-1，2，1）且法向量为)1,4,1(--=→n 的平面α的方程类比为：01040)1()1()2()4()]1([1=+--⇔=-⋅-+-⋅-+--⋅z y x z y x ，故选C.二、填空题9. 048124322=-+--y x y x 12)1(4)2(322=---⇔y x13)1(4)2(22=---⇔y x ，是中心为点M （2，1）的双曲线，故=)1,2(--=MO .点评：本题短小精悍、绵里藏针、暗藏杀机！学生失分严重，究其根源，一是学生自觉使用1配方法化一般形式为标准形式的意识差，二是向量知识储备不充分. 10.设线段AB 的中点为C ，如图，则 |PA|=|PB|，故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2>|AF|，由椭圆定义知点P 的轨迹是以A 、F 为焦点、长轴为2的椭圆13422=+y x . 如果将点A 设置在圆外，则动点P 的轨迹方程又是什么呢？读者不妨按本题思路尝试一下.（答案：双曲线）11.显然直线经过定点)53,51(，又当2=a 时，51=x ，不经过第二象限，当2≠a 时，a x a a y -+--=21213要使直线不经过第二象限，只需2021>⇒<-a a，综上2≥a 。

12.方法一：依题意得)2,0(p F ，直线方程为x py 30tan 2=-，即p y x 233-=，代入抛物线方程得0435322=+-p py y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 3521=+，又p y y py p y BF AF AB ++=+++=+=212122，且)(21212112p y y AB y y ++==-，即p y y =-123。

p py BF p p y AF p y p y 22,322,23,612121=+==+===∴，故31=BF AF 方法二：（圆锥曲线统一的焦半径公式）直线AB 倾角为30⇔抛物线22(0)x py p =>对称轴到AB 的角θ=0120，由于1=e ，焦点到准线的距离为p ，故由圆锥曲线统一的焦半径公式及A 在y 轴左侧知：p pp FA p p FB 2120cos 1)120180cos(1||,32120cos 1||0000=+=+-==-=， ∴31=BFAF 三、解答题13.解：设M （y x ,），据线段CD 在直线x y =上滑动，设C （t t ,），则D )1,1(++t t 由A ，D ，M 三点共线得：112+-=-t t x y ① 由B ，C ，M 三点共线得：22+=+t tx y ② 联立①，②消去t 得： 04222=--+xy y x 即2±=-y x ，故由几何性知，所求轨迹为直线x y =下方的直线2-=x y .14.解：（1）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.0220220)2(8)2(0222222-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是（2）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((,0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及26=c 代入③式化简得.066252=-+k k 解得566+-=k ，))(2,2(566舍去或--∉-=k ，可知566+-=k 使时满足题设. 点评：注意“直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点”并不等价于“直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线交于不同的两点”，前者需转化为方程的根的分布问题.15.解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,根据韦达定理，得 ,22)(,2222212122221ba b x x y y ba a x x +=++-=++=+∴线段AB 的中点坐标为（222222,b a b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a b a b b a a =∴-==∴=+-+故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得 b y b x 545300==且，由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x 故所求的椭圆方程为14822=+y x16.解：（1）由已知：b=1，设F （c ，0），则c>0,且232|22|=⇒=+c c3222=+=∴c b a ⇒椭圆方程为1322=+y x（2）假设存在满足条件的直线b kx y l +=:，设),(),,(2211y x N y x M .联立：0)1(36)31(03322222=-+++⇒⎩⎨⎧=-++=b kbx x k y x b kx y0130)1)(31(1236222222>+-⇒>-+-=∆b k b k b k且123)1(3,136221221+-=+-=+k b x x k kbx x ①0)1)(1(111121212211=+++⇔-=+⋅+⇔-=⋅⇒⋅y y x x x y x y k k AN AM∵0)1())(1()1)(1()1)(1(2212122121=+++++=++++=++b x x b k x x k b kx b kx y y ∴ 0)1())(1()1(221212=++++++b x x b k x x k ② 将①代入②得：0)1(136)1(13)1(3)1(22222=+++⋅+++-⋅+b k kbb k k b k 显然01≠+b （否则直线l 过点A ），故有：0)13)(1(6)1)(1(3222=+++--+k b b k b k2101336333322222=⇒=++++---+⇒b k b b k b k k b b k ∴直线21:+=kx y l 经过椭圆内的定点)21,0( ∴存在满足条件的椭圆内的定点)21,0(.。