流体动力学理论基础第四章

z
'zy
'zx
xxxy
dz xz
dy
yx
yy
'yz
yz 'yx
zx
'yy
zy
'xz 'xy
'xx
zz
dx
x
实际流体的运动方程
x方向受力平衡：
f x dxdydz
[( xx
xx
x
dx)dydz
xxdydz]
[(
yx
yx
y
dy)dxdz
yxdxdz]
[(
zx
zx
z
dz)dydx
zxdydx]
对于流体微元来说，x方向上：
Pa Pb Fx axdxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
f x dxdydz
ax dxdydz
fx
1
p x
ax
理想流体的运动方程
同理，y、z方向上：
fy
1
p y
ay
fz
1
p z
az
矢量形式
f
1
p
a
静止流体
f
1
p
0
理想流体的运动方程
欧拉加速度
ar dur ur ur • ur
dt t
欧拉运动方程的另一形式
r f
1
p
dur
ur
ur
• ur
dt t
理想流体的运动方程
理想流体运动的偏微分方程组矢量形式
• u 0
t f
1
p
u
u•
u
t
ur •
rr r ui vj wk
x
r i
y
r j
z
r k
第1节 理想和实际流体的运动微分方程（N-S方程）
理想流体的运动方程
z
p p dx x 2
dz p
a
C
dy y
dx
O
x
p p dx x 2
b
f (X ,Y,Z) a (ax , ay , az )
理想流体的运动方程
泰勒级数
f (x)
f
(
x0
)
f x
(
x
x0
)
f
n ( x) n!
(
x
x0
u
x
v
y
w
z
理想流体的运动方程
理想流体运动的偏微分方程组
t
u
x
v
y
w
z
0
fx
1
p x
u t
u
u x
v
u y
w
u z
fy
1
p y
v t
u
v x
v
v y
w
v z
fz
1
p z
w t
u
w x
v
w y
w
w z
实际流体的运动方程
第一下标
z
与该力作用面相
垂直的坐标轴
第二下标 与该力作用方向 相平行的坐标轴
zx
w x
u z
xz
流体微团的角变形运动
角变形速率：
单位时间内流体微团的角度变化。
同理
xy
yx
d
dt
1 2
v x
u y
yz
zy
1 2
w y
v z
zx
xz
1 2
u z
w x
实际流体的运动方程
实际流体的特点：
实际流体任一点的压应力，由于粘性切应力的
存在，各向大小不等，即τxx τyy τzz。
2v x2
2v y 2
2v z 2
v t
u
v x
v
v y
w v z
fx
1
p z
2w x2
2w y 2
2w z 2
w t
u
w x
v
w y
w
w z
实际流体的运动方程
实际流体运动的偏微分方程组
• •
连续性方程 运动方程
• u 0
t F
f
m
du
dt
• 本构方程 f
• 能量方程 • 状态方程
fx
1
p x
2u x2
2u y2
2u z 2
du dt
fy
1
p y
2v x2
2v y2
2v z 2
dv dt
fz
1
p z
2w x2
2w y2
2w
z 2
dw dt
实际流体的运动方程
矢量形式（Navier-Stokes方程）
r f
1
p
2ur
dur
dt
拉普拉斯算子：
2
2 x2
2 y 2
du dt
fx
1
p x
x
u x
u x
y
u y
v x
z
u z
w x
du dt
实际流体的运动方程
fx
1
p x
x
u x
u x
y
u y
v x
z
u z
w
x
du dt
fx
1
p x
2u x2
2u y2
2u z 2
x
u x
v y
w z
du
dt
实际流体的运动方程
2 z2
实际流体的运动方程
实际流体运动的偏微分方程组矢量形式
• u 0
t
f
1
p
2u
u
u•
u
t
实际流体的运动方程
实际流体运动的偏微分方程组
t
u
x
v
y
w
z
0
fx
1
p x
2u x2
2u y 2
2u z 2
u t
u
u x
v
u y
w u z
fx
1
p y
求解T ,h, s
p f ,T / h / s
理想Leabharlann Baidu体运动的偏微分方程组
流体动力学基础
流体动力学的研究内容
• 研究流体运动要素与引起运动的动 力要素——力之间的关系。
• 根据动量守恒和能量守恒定律，建 立流体运动的动力学方程
第四章
第1节 理想和实际流体的运动微分方程（N-S方程） 第2节 元流的伯努利方程 第3节 实际流体总流的伯努利方程 第4节 总流的动量方程及其应用
y
'zz
'zy
'zx
xx xy
yx
dz xz 'yz
yy
yz 'yx
dy A
zx
'yy
zy
'xz 'xy
'xx
zz
dx
x
实际流体的运动方程
实际流体的特点：
实际流体的受到表面力包括：压应力和粘性引
起的切应力，该切应力由广义牛顿内摩擦定律
确定：
xy
u y
v x
yx
yz
v z
w y
yx
x方向受力情况：
• 左右面压力 xx dydz 'xx dydz • 上下面切力 zx dyfx dx 'zx dydx • 前后面切力 yx dxdz 'yx dxdz
• 质量力 fxdxdydz
实际流体的运动方程
xx
xx
xx
x
dx
yx
yx
yx
y
dy
zx
zx
zx
z
dz
y
'zz
dxdydz du
dt
实际流体的运动方程
fx
1
xx
x
yx
y
zx
z
du dt
fy
1
xy
x
yy
y
zy
z
dv dt
fz
1
xz
x
yz
y
zz
z
dw dt
实际流体的运动方程
考查x方向，代入应力表达式：
fx
1
x
p
2
u x
y
u y
v x
z
u z
w x
流体动压强：
p
1 3
xx
yy
zz
2 3
u x
v y
w z
xx
p
2
u x
yy
p
2
v y
zz
p
2
w z
实际流体的运动方程
'zz
z
'zy
'zx
xx xy
yx
dz xz 'yz
yy
yz 'yx
dy A
zx
'yy
zy
'xz 'xy
'xx
zz
dx
y
x
实际流体的运动方程
)n
一阶近似
pa
p
p x
[( x
dx ) 2
x]
p
p x
dx 2
pb
p
p x
[( x
dx ) 2
x]
p
p x
dx 2
理想流体的运动方程
x方向表面力
Pa
padydz
p
p x
dx 2
dydz
Pb
pbdydz
p
p x
dx 2
dydz
x方向质量力
Fx fxdxdydz
理想流体的运动方程
牛顿第二定律 F ma