空间点直线平面之间的位置关系

作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面的基本性质
思考2：经过两点可以确定一条直线， 那么经过几个点可以确定一个平面呢？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个
平面.
“不共线的三点确定一个平面”
集合符号表示
B．
．A ．C
已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平 面，使得A、B、C
作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内
思考2:
如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行
四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′
的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?
C'
B'
C'
B'
D' C
A' B
D' C
A' B
D
A
D
A
∠ADC=∠A′D′C′ ∠ADC+∠B′A′D′=1800
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
AC // AC, •AB // AB
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
异面直线所成的角
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角，常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢？
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法
最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
a
α
B
Al β
α a
l
P
β b
(1)
(2)
解：1） A，B，=l，a=A，a=B
2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P
2.1.2
空间中wenku.baidu.com线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
共面直线
相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点；
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对?
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些
公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P,且P I l,且Pl
作用：判断两个平面位
置关系的基本依据
Pl
例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.
线 a // a, •b // b ，把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角．
b
O
a a
异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
b
0,
2
a
如果两条异面直线所成角为900，那么这两 条直线垂直.
记直线a垂直于b为：ab
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”P l , A
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
平面的基本性质
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A．
B．
α
Al, Bl,且A, B l
异面直线所成的角
探究 （1）在长方体ABCD ABCD中，有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线？
平面的表示
平面的符号表示
1. 希腊字母： 平面， 平面，平面
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”P l, A
2.1
空间点、直线、平 面之间的位置关系
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
点
直线 可无限延伸的 平面
平面是可无限延展的
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
平行直线
例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分
别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为 EH是 ABD 的中位线，
A
所以 同理
EH // BD，且 EH 1 BD
2
FG // BD，且 FG 1 BD
2
H
E
D
G
因为 EH // FG，且 EH FG B
F
C
所以 四边形EFGH 是平行四边形．
探究
在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四
边形EFGH 是什么图形？
答：四边形EFGH是菱形
A
因为EF 1 AC，EH 1 BD
2
2
H E
且AC BD
DG
所以EF EH
B
所以平行四边形EFGH是菱形
F
C
等角定理
思考1 在平面上，我们容易证明“如果一个角的
两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个 角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？
CA
G DB
HE 答：3对
F
直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD
直线AB 和直线HG
平行直线
观察
如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行
吗?
D'
C'
A'
B'
D A
答：平行
C B
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c