空间点直线平面之间的位置关系
空间几何直线与平面的位置关系与夹角
空间几何直线与平面的位置关系与夹角空间几何中，直线和平面是两种常见的几何图形。
它们在空间中的位置关系以及它们之间的夹角是几何学中的重要概念。
本文将探讨直线与平面的位置关系以及它们之间的夹角。
一、直线与平面的位置关系在空间几何中，直线与平面有以下三种位置关系：平行、相交、重合。
1. 平行：当直线与平面没有交点时，它们被认为是平行的。
平行的直线与平面永远不会相交。
2. 相交：当直线与平面有一个交点时，它们被认为是相交的。
相交的直线与平面在该交点处有唯一的交点。
3. 重合：当直线完全位于平面上时，它们被认为是重合的。
重合的直线与平面完全重合，无法区分。
二、直线与平面的夹角夹角是两条直线或两个平面之间的角度。
在空间几何中，夹角可分为以下三种情况：直线与直线的夹角、平面与平面的夹角、直线与平面的夹角。
1. 直线与直线的夹角：直线与直线之间的夹角可以通过它们的方向余弦来计算。
夹角的大小介于0度和180度之间，可以是锐角、直角或钝角。
2. 平面与平面的夹角：平面与平面之间的夹角可以通过它们的法线向量来计算。
夹角的大小介于0度和90度之间，可以是锐角或直角。
3. 直线与平面的夹角：直线与平面之间的夹角可以通过直线在平面上的投影长度和直线与平面法线的夹角来计算。
直线与平面的夹角大小介于0度和90度之间。
三、应用案例直线与平面的位置关系以及夹角在实际应用中有广泛的应用。
以下为两个具体案例：1. 建筑设计：在建筑设计中，直线与平面的位置关系与夹角的概念被广泛应用。
例如，建筑师需要考虑墙体与地板的夹角以及天花板与墙体的夹角等，以确保建筑物的结构和外观符合设计要求。
2. 机械工程：在机械工程中，直线与平面的位置关系与夹角的概念被用于设计机器零件的装配。
例如，螺栓与螺母之间的夹角需要合适，以确保机器零件的连接牢固。
总结：直线与平面的位置关系与夹角是空间几何中重要的概念。
通过理解它们的定义和计算方法，我们可以更好地理解和应用几何学原理。
空间直线与平面的位置关系与交点求解
空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要，用于解决许多实际问题，比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系，以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况：1. 相交当空间直线与平面交于一点时，它们的位置关系是相交。
此时，交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言，假设空间直线的参数方程为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标，$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标，$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中，可得到：$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组，即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时，它们的位置关系是平行。
此时，两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同，则直线和平面不相交，否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时，它们的位置关系是垂直。
此时，它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先，需要判断直线和平面是否相交或平行，从而决定是否存在交点。
其次，如果相交，则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$，经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为：$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先，需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算，直线的方向向量和平面的法向量的点积为：$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$，所以直线和平面垂直，相交于一点。
位置关系
a=
2 6
a ,由
3
2 6
a =36
3
2
得 a=6.
例6（2012江西卷）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上 的两点，且 DE ⊥ AB ， CF ⊥ AB ， AB=12 ， AD=5 ， BC=4 ， DE=4. 现将 △ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面 体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2）求多面体CDEFG的体积.
热点二
求值问题
例3（2016·湖南联考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1
与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.
①求证:AB1⊥CC1;
②若 AB1= 6 ,求四棱锥 A-BB1C1C 的体积.
(1)①证明:连接AC1,CB1, 则△ACC1和△B1CC1都为正三角形. 取CC1的中点O,连接OA,OB1, 则CC1⊥OA,CC1⊥OB1, 则CC1⊥平面OAB1, 则AB1⊥CC1.
空间的平行关系 (1)线面平行： a∥b α∥β ⇒a∥α； b⊂α⇒a∥α； a ⊂β a⊄α α⊥β a⊥β⇒a∥α； a⊄α
α∥β ⇒α∥γ； γ∥β
(2)面面平行：
a⊂α，b⊂α a∩b＝O a⊥α ⇒α∥β； ⇒α∥β； a∥β a ⊥β b∥β
证明:(2)如图(2),设FC的中点为I,连接GI,HI. 在△CEF中,因为G是CE的中点. 所以GI∥EF, 又EF∥DB, 所以GI∥DB. 在△CFB中,因为H是FB的中点, 所以HI∥BC. 又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC, 因为GH⊂平面GHI. 所以GH∥平面ABC.
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。
空间中直线与平面的关系
空间中直线与平面的关系在空间几何学中，直线和平面是两种基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨直线与平面的相互作用，以及它们在空间中的几何性质。
一、直线在平面内的位置关系直线可以分为三种不同的位置关系：直线在平面内的情况、直线在平面上的情况和直线与平面相交的情况。
1. 直线在平面内的情况当直线和平面没有交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面是平行的。
平行的定义是：两条直线在平面内不存在交点，并且它们的方向向量也是平行的。
例如，在笛卡尔坐标系中，直线方程为y = mx + c，而平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中m、c、a、b、c、d为常数。
当平面的法向量[a, b, c]与直线的方向向量[1, m, 0]平行时，我们可以确定直线在平面内。
2. 直线在平面上的情况当直线与平面有交点时，我们说直线在平面上。
直线在平面上可以有不同的位置关系：直线与平面相切、直线在平面内部和直线穿过平面。
- 直线与平面相切：在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且这个交点同时属于直线和平面。
我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线在平面内部：当直线与平面有无数个交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面相交但不重合。
- 直线穿过平面：当直线与平面有无穷多个交点时，我们说直线穿过平面。
在这种情况下，直线与平面重合。
3. 直线与平面相交的情况当直线与平面相交时，我们可以进一步讨论相交点的情况。
直线可以与平面相交于一个点、一条直线或平面本身。
- 直线与平面相交于一个点：在空间几何中，直线与平面相交于一个点是最常见的情况。
这时，我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线与平面相交于一条直线：在这种情况下，直线与平面共面并且有无数个公共点。
这种情况也可以通过求解直线和平面的方程组来确定。
- 直线与平面相交于平面本身：直线与平面之间存在特殊的关系，即它们有一条公共直线。
空间直线与平面 平面与平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间 的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有哪些 靠什
么来划分呢
按照公共
点的个数
直线与平面的位置关系有且只有三种： 分类
①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点.
无交点 a∥α
下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
a
有且仅有一个 公共点
a∩＝A
没有公共点 a∥
图形表
a
示
α
A
应用举例
例1 下列命题中正确的个数是 B
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l ∥α. ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都平行.
2.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面 与平面之间的位置关系. 难点
3.培养空间想象能力.
a
练习：
若M∈平面α,M∈平面β,则不同平面α与β的
位置关系是 A．平行
B B．相交
C．重合
D．不确定
解析 由公理3知,α与β相交．
ห้องสมุดไป่ตู้
例2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论.
答:有可能1条交线,也有可能3条交线.
（2）
（1）
(3)
1.若直线a不平行于平面α,且 立的是 B
高中数学 点、直线、平面之间的位置关系
点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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37
解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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31
③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
高三数学 空间点线面之间的位置关系
课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返 首 页
后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
返 首 页
25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返 首 页
43
1.下列结论中正确的是 ( )
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
【新教材】高中数学 新人教A版必修第二册 第八章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分： 没有有且公仅共有点一个__平异__公__行面__共点——相___交_
②从是否共面的角度来分： 在同一平面内__平相______行交 不同在任何一个平面内——异___面_
_α__∩_β__＝__l_
无__数__个__点___(共___线_ )
常考题型
一、两直线位置关系的判定
例 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是_______； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是_______； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是_______； ④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.
A.l至少与l1，l2中的一条相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l与l1，l2都不相交 （2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ D ）
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
11
2.［2019·安徽蚌埠高一检测］空间中有三条线段AB，BC，CD，且 ∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ D ） A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交
A.0
B.1
C.2
D.3
13
【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确， 说法①不正确，相交时也符合；说法②不正确，图中， A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；说法③不 正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB 与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；说 法④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与 平面α内所有直线都没有公共点.
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点； 直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A； 直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在 平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空 间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如 点在平面内，直线在平面内，两个平面相交， 等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位 置关系吗？
点线关系 线线关系 面面关系 点面关系 线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与 直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内， 它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
空间几何中的点线面的位置关系
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。
点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。
点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。
点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。
点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。
点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。
点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。
点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。
线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。
平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。
线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。
四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。
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求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为 EH是 ABD 的中位线，
A
所以 同理
EH // BD，且 EH 1 BD
2
FG // BD，且 FG 1 BD
2
H
E
D
G
因为 EH // FG，且 EH FG B
F
C
所以 四边形EFGH 是平行四边形．
探究
在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四
作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面的基本性质
思考2：经过两点可以确定一条直线， 那么经过几个点可以确定一个平面呢？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个
平面.
“不共线的三点确定一个平面”
集合符号表示
B．
．A ．C
已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平 面，使得A、B、C
作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内
线 a // a, •b // b ，把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角．
b
O
a a
异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
b
0,
2
a
如果两条异面直线所成角为900，那么这两 条直线垂直.
记直线a垂直于b为：ab
AC // AC, •AB // AB
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
异面直线所成的角
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角，常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢？
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
异面直线所成的角
探究 （1）在长方体ABCD ABCD中，有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线？
空间中的平行线具有C
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
平行直线
例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分
别是AB，BC，CD，DA的中点.
a
α
B
Al β
α a
l
P
β b
(1)
(2)
解：1） A，B，=l，a=A，a=B
2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P
2.1.2
空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
边形EFGH 是什么图形？
答：四边形EFGH是菱形
A
因为EF 1 AC，EH 1 BD
2
2
H E
且AC BD
DG
所以EF EH
B
所以平行四边形EFGH是菱形
F
C
等角定理
思考1 在平面上，我们容易证明“如果一个角的
两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个 角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？
2.1
空间点、直线、平 面之间的位置关系
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
点
直线 可无限延伸的 平面
平面是可无限延展的
平面的表示
平面的符号表示
1. 希腊字母： 平面， 平面，平面
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”P l, A
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
共面直线
相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点；
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对?
CA
G DB
HE 答：3对
F
直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD
直线AB 和直线HG
平行直线
观察
如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行
吗?
D'
C'
A'
B'
D A
答：平行
C B
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
思考2:
如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行
四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′
的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?
C'
B'
C'
B'
D' C
A' B
D' C
A' B
D
A
D
A
∠ADC=∠A′D′C′ ∠ADC+∠B′A′D′=1800
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”P l , A
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
平面的基本性质
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A．
B．
α
Al, Bl,且A, B l
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法
最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些
公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P,且P I l,且Pl
作用：判断两个平面位
置关系的基本依据
Pl
例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.