第九章 空间解析几何
空间解析几何
空间解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它研究几何问题的代数方法。
解析几何的核心思想是将几何问题转化为代数问题，从而利用代数技巧来解决几何问题。
解析几何的发展可以追溯到17世纪，当时法国数学家笛卡尔首先提出了用代数方法研究几何问题的思想。
他引入了坐标系的概念，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一思想开创了解析几何的研究方法，也为后来的数学发展提供了重要的启示。
在解析几何中，我们将平面上的点用有序数对表示，这个有序数对叫做一个点的坐标，一般用$(x, y)$表示。
同样地，在三维空间中，我们用有序数对$(x, y, z)$表示点的坐标。
通过坐标系的引入，我们可以将点的位置和运动用代数方法描述出来。
解析几何的一个重要概念是向量。
向量可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
在解析几何中，向量用有序数组表示，例如$(x, y)$表示一个平面向量，$(x, y, z)$表示一个空间向量。
两个向量的加法、减法、数乘等运算可以通过其坐标进行计算，这为解析几何提供了更为便利的计算方式。
解析几何的另一个重要概念是直线和曲线。
通过代数方程，我们可以表示出平面上的直线和曲线的方程。
例如，一条直线可以用$ax + by + c = 0$表示，其中$a, b, c$是实数。
同样地，二次曲线可以用$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$表示。
通过代数方程，我们可以研究直线与曲线之间的交点、切线等几何性质。
解析几何的研究对象不仅限于平面和空间中的几何图形，它还涉及到高维空间中的几何问题。
例如，我们可以通过添加更多的坐标向量来研究四维、五维甚至更高维空间中的几何性质。
这为数学家提供了更为广阔的研究空间。
除了以上的基本概念和方法外，解析几何还有许多具体的应用。
例如，在物理学中，许多物理问题可以通过解析几何来建立模型和求解。
在工程学中，解析几何可以帮助工程师设计建筑、道路等工程结构。
在计算机图形学中，解析几何为计算机生成的图像提供了基础。
向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何
空间解析几何.求解答过程谢谢.空间解析几何是一种系统的空间几何学，它使用简单的几何元素，如点、线段、面和体，来推理复杂的空间结构。
求解空间几何问题的基本步骤是：1.准备所需的元素；2.根据定义、定理和原理解释该空间结构的构造；3.对空间变换和其它变换进行适当的推理。
空间解析几何是一门探究物体的定位和形状的学科。
它集合了几何、微积分、代数、物理和计算机科学等多项学科协同创新，并使用数学解决一些空间问题的解决方法。
本文的目的是介绍空间解析几何的基本概念，并通过实例给出求解空间问题的步骤。
一、什么是空间解析几何空间解析几何（Spatial Analytic Geometry）是探究物体的定位和形状的学科，也可以叫做空间几何学。
它集合了几何、算术、代数、物理和计算机科学等多项学科、术语和概念，应用数学解决解析几何问题，研究方式综合多元素、多模态。
它不仅涉及形状和位置的探究，还有基于图像的空间加工、性能分析和可视化的处理，是一门相当丰富的学科。
二、空间解析几何主要概念1、坐标定位：坐标定位是将物体定位于一个特定的位置的表示方法，股票投资者可以使用坐标定位来实现多轴上的测量。
2、几何形体量度：用以测量几何形状的各种参量，如内接圆直径，面积，体积等，常用于测量地形面、工程坑槽等三维物体。
3、平面投影：使用几何学方法将三维物体投射到二维平面上，用以分析物体的位置、形状和尺寸等。
4、位置运算：位置运算是一种基于位置的算法，可以用于分析几何对象之间的关系。
三、空间解析几何求解过程1、收集数据：空间解析几何需要收集几何形状相关的位置数据，并按照特定格式用计算机处理这些数据。
2、定义几何形状：将收集到的数据用定义空间几何形状的方法（如坐标定位、几何沿面记号法等）转换成一系列几何内容。
3、应用计算机：针对这些定义的几何形状，可使用计算机空间分析技术，建立计算机模型，实现物体的分析和可视化。
4、结果统计：根据模拟或实际的空间物体分析数据，进行分析处理，得出完整的结果统计。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它是研究空间内点、直线、平面等几何元素的相互关系和性质的数学分支。
在空间解析几何中，我们通过向量和坐标等工具来描述和分析空间内的几何问题。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常用方法和一些实际应用。
基本概念在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间内的几何元素。
点在空间中用其三维坐标(x,y,z)来表示，直线可用参数方程、点向式方程或标准式方程等来表示，平面则通常用点法式方程表示。
在空间解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它能够很好地描述空间内的方向和长度。
方法和技巧解析几何中有很多方法和技巧可以应用到空间解析几何中。
例如，我们可以通过向量的线性运算来求解点到直线的距离，通过向量的数量积和向量积来判断点和直线、平面的位置关系，通过方向比值来判断两直线的平行性或垂直性等。
此外，我们还可以利用三角函数和投影的概念来解决一些空间几何中的问题。
实际应用空间解析几何不仅仅是一种理论工具，它在实际应用中也具有广泛的意义。
在工程建筑中，空间解析几何可以帮助工程师设计和规划建筑物的结构和布局；在航天航空领域，空间解析几何可以帮助科学家研究轨道、飞行路径等问题；在计算机图形学中，空间解析几何是实现三维模型和动画的重要基础。
总的来说，空间解析几何是一门极具实用性的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握空间解析几何的基本概念和方法，我们可以更好地理解和解决空间内的几何问题，为我们的工程设计和科学研究提供有力的支持。
以上是关于空间解析几何的简要介绍，希望对读者理解和学习空间解析几何有所帮助。
愿大家在空间解析几何的世界中能够不断探索、学习和创新，为数学事业的发展贡献自己的力量。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、线、面在三维空间中的位置关系和运动规律。
通过坐标系和向量的表示方法，可以对三维空间中的几何问题进行分析和解决。
本文将从坐标系的建立、向量和点的运算以及空间图形的性质等几个方面介绍空间解析几何的基本概念和方法。
一、坐标系的建立在空间解析几何中，我们常常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
三维直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，它们的交点O称为坐标原点。
我们可以通过确定原点O和三个坐标轴的方向来确定一个三维坐标系。
在三维直角坐标系中，每个点的位置都可以通过它到三个坐标轴的垂直距离来表示。
二、向量的表示与运算向量是空间解析几何中的重要概念，它不仅可以表示空间中的位移和运动方向，还可以表示线段和有向线段。
在三维空间中，向量可以用一组有序的实数表示。
常用的向量表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
1. 点表示法：在空间中，一个点可以用大写字母表示，如A、B、C 等。
2. 坐标表示法：对于给定的三维直角坐标系，我们可以通过一个有序的三元组(x, y, z)来表示一个点P的坐标。
3. 分量表示法：给定一组基向量i、j和k。
对于向量a，我们可以将其表示为各个分量与基向量之积的和，即a = xi + yj + zk，其中x、y和z分别为向量a在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，向量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
这些运算遵循一定的规律，使得向量能够描述和计算空间中的相对位置和方向。
三、点和直线的运算在空间解析几何中，点和直线是两个基本的几何要素。
点是空间中的一个位置，用坐标表示；直线是由无数个点连成的轨迹，可以用不同的参数方程、对称方程或一般方程来表示。
1. 点的运算：两个点之间可以计算距离和中点。
- 距离公式：设点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
高等数学2课程重点难点
高等数学2课程重点难点高等数学是大学中各专业必修的一门重要基础课。
高等数学的思想、内容、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分,是提高学生文化素质,进一步学习有关专业知识,专业技术必不可少的工具。
第九章向量与空间解析几何掌握空间直角坐标的概念、向量概念，会用坐标表达式进行向量运算的方法；知道平面、直线方程，会根据所给的条件求平面、直线方程；了解空间常见的二次曲面的类型并能作出其草图，向量平行、垂直的条件，曲面在坐标面上的投影区域。
重点：向量概念、向量坐标表达式、求平面、直线方程。
难点：向量概念、向量坐标表达式第十章多元函数微分学掌握二元函数、二元函数的定义域及其可微、全微分的概念、偏导数概念，熟练地求出一阶、二阶偏导数，计算复合函数的偏导数和隐函数的偏导数；会利用偏导数讨论多元函数的极值。
重点：偏导数和全微分的概念，多元函数的极值。
难点：多元函数在诸方面不同于一元函数。
第十一章多元函数积分学熟练掌握二重积分的计算，学会计算一些简单的二重积分。
了解二重积分的概念及性质，用二重积分计算一些几何量（体积等）。
重点：熟练掌握二重积分的计算。
难点：将积分区域D化为x-型或y型或θ型-第十二章级数掌握交错级数收敛的莱布尼茨判别法和较简单的幂级数的收敛半径及收敛区域的求法；会用正项级数收敛的判别法；了解数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数、P级数、调和级数的收敛性；了解幂级数的概念和运算，会用间接法将一些简单函数展成幂级数。
重点：数项级数收敛和发散的概念, 正项级数的比值判别法, 交错级数的莱布尼茨判别法,幂级数的收敛半径和收敛区域。
难点：数项级数收敛的判别法的适当选择,函数间接展开成幂级数。
空间解析几何
空间解析几何.求解答过程谢谢.空间解析几何是一种数学和几何学结合的方法，主要用于解决三维空间中的几何问题，其中利用几何图形来分析和计算问题，并尝试为给定的几何形状和位置找出恰当的解决方案，从而在空间中进行解析。
以下是常用于空间解析几何的策略：首先要弄清楚问题的跨度，仔细观察图形，运用几何和数学原理来理清问题，并尝试提出解答。
借助图形，解决难题更为容易，因此，准确地推断几何图形的概念显空间解析几何是介绍几何相关问题的一种数学方法，主要用于解决几何问题，处理图形和空间结构。
在这种数学方法中，探讨和求解问题的基本方法是以坐标系方式反映和表示空间的物理状况、分析各元素之间的相互作用，从而推断出问题的解决方案。
下面就来分析解析几何的解决过程。
一、建立空间坐标系首先，要建立空间坐标系，建立三维坐标系，将空间中的每一个点和每一条线定义为三个坐标轴所确定的空间坐标位置。
这样可以使解析几何的空间操作变得容易，也可以将各种几何图像表示为相应的数字坐标。
二、确定问题并抽象表示其次，要确定问题，有参数地抽象表示出来。
几何的问题可以用相应的几何方程表示，其实就是一个建模表达，其形式如下：f(x,y,z)=0其中，x、y、z分别是坐标轴上的三个坐标变量，函数《f》可以是任何几何函数，表示问题的本质，0表示函数满足等于0的时候，其坐标就找到了问题的答案。
三、求解几何模型最后，要求解出几何模型，也就是要把几何学中的一切问题转化成一个可以求解的数学问题。
求解几何模型的方法可以有多种，例如直角坐标系方法，极坐标系方法，空间直线方程法，圆锥全等式法等。
求解过程不仅要考虑本身的几何问题，还要考虑几何模型的特性，最终获得准确的解决方案。
空间解析几何解决过程就是以上这三个步骤：建立空间坐标系，确定问题并抽象表示，最后求解几何模型。
这种方法能够容易地明确几何问题，并以节省时间、节约空间的方式高效求解几何问题。
7 高数B 9.1 空间解析几何简介
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f ± 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f ( x , y ) = 0 ⊂ xoy
( x + y , z) = 0 f (y ,± x + z ) = 0
2 2
2 2
2 2 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f x ,± y + z = 0
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f ( x , z ) = 0 ⊂ zox
( f (±
x2 + z2
) , y) = 0
) , z) = 0
2 2 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f x ,± y + z = 0
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
( f (±
x2 + y2
记忆法：轴不变，其余两元团团转。 记忆法：轴不变，其余两元团团转。
x2 y2 z2 用截痕法研究曲面的形状。 例1 已知方程 2 + 2 − 2 = 1 用截痕法研究曲面的形状。 a b c 2 2
解 （1）用 z = 0 截此曲面，得 截此曲面， ） 截此曲面， 用 z = h 截此曲面，得
x y + 2 =1 2 a b
z=0
x2 y2 h2 + 2 =1+ 2 2 a b c z=h
第九章 空间解析几何
用代数的方法研究几何问题称为解析几何 平面解析几何 空间解析几何
P ↔ ( x, y)
一元微积分 多元微积分
P ↔ ( x, y, z)
本章的主要内容 : §9.1 空间直角坐标系 向量概念和运算; §9.2 向量概念和运算; 曲面方程和空间曲线方程 和空间曲线方程; §9.3 曲面方程和空间曲线方程; §9.4 平面方程 §9.5 空间直线方程; 空间直线方程; 二次曲面. 常见二次曲面 §9.6 常见二次曲面.
高等数学教材第七版同济
高等数学教材第七版同济高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容。
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第一章微分学微分学是高等数学中的重要分支，研究函数的局部变化规律和相关概念与定理。
微分学的基本概念包括导数和微分，导数表示函数在某一点的瞬时变化率，微分表示函数在某一点附近的线性逼近。
第二章积分学积分学是高等数学中另一重要分支，主要研究函数的整体特征和相关定理。
常见的积分有定积分和不定积分，定积分表示函数在一定区间上的面积或曲线长度，不定积分求出函数的原函数。
第三章无穷级数无穷级数是高等数学中的一个重要概念，指由无穷多个数相加或相乘所得到的数列或数列的极限。
常见的无穷级数包括等比级数、调和级数等，对于收敛级数可以求和，对于发散级数可以研究其性质和敛散性。
第四章常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，研究函数的导数与自变量之间的关系。
常微分方程可分为一阶、二阶以及高阶常微分方程，通过求解常微分方程可以得到函数的解析解或数值解。
第五章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一门重要课程，研究多元函数的导数、偏导数和方向导数等。
通过多元函数微分学的学习，可以深入理解函数的局部变化规律和极值问题。
第六章重积分重积分是高等数学中的一个重要概念，用于研究多元函数在闭区域上的积分。
常见的重积分包括二重积分和三重积分，可以求解曲面面积、质量、重心等问题。
第七章曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是高等数学中的两个重要内容，分别用于研究曲线和曲面上的积分问题。
曲线积分常常用于计算力学中的功和电磁学中的电场强度，曲面积分常常用于计算流体力学中的流量和电磁学中的电通量。
第八章数列和序列数列和序列是高等数学中的基础内容，研究数的无限排列和乘积。
数列是按照一定规律排列的数的集合，序列是取数列的有限个数而得到的结果。
第九章空间解析几何空间解析几何是高等数学中的一门重要课程，研究空间中的点、直线、平面的位置关系和相关性质。
空间解析几何
2
x x0 (4) 三 点 式 ： x1 x0
x2 x0
y y0 y1 y0 y2 y0
z z0 z1 z0 0 ， 其 中 ( x0 , y0 , z0 ) ， ( x1, y1, z1 ) ， z2 z0
( x2 , y2 , z2 ) 为平面上不在一条直线上的三点．
例 2 求通过点 M 0 (2,1,4) 和 z 轴的平面方程．
向量的大小．从坐标表示上，以 M1 (x1, y1, z1 ) 为始点， M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量为
M 1M 2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1} ， 其大小(模)为 M1M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 ，其方向由其与坐标轴正向
曲
且 x, y 的平方项系
O
面
f ( x2 y2 , z) 0
数相同
曲面形式 y y
x
z
x2 椭球面
y2
z2
1
a2 b2 c2
(a, b, c) 0
x, y, z 的平方项系
数同号
O
y
二
x
次
曲
z
面
抛物面 z x 2 y 2 2 p 2q
( p, q 0)
含 x, y 的平方项， z 的一次项
于是
c {4,4,2} 或 c {4,4,2} ．
解二 利用向量的垂直平行条件，因为 c a, c b ，所以 c ∥ a b ． 设 是不为零的常数，则
ij k c (a b) 1 0 2 2i 2j k ，
11 0
因为 c 6 ，所以 2[22 (2)2 12 ] 6 ，解得
解 因为 z 轴的单位向量 k {0,0,1} 和 OM 0 {2,1,4}均在所求平面内，故可取该平 面的一个法向量为 n k OM 0 {1,2,0}，于是所求方程为
高数下第九章的答案
，即 ；又 在直线 上，
联立方程 解得
从而点 到直线 的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
解：（1） 在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2； 在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足 ，证明 .
（4）设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知 ，右乘b得 ，即 ；同理 ；
所以 .
（4）因为 ；
所以设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点 到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
；则 ；联立
解得
所以，过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为 ；在直线
上任取一点 ，则 解得
所以，点向式方程为 ；参数方程为
3.求直线 与平面 之间的夹角.
解：因为
吉林大学高职高专《高等数学》第09章
这就是平面的方程, 称为点法式方程.
过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n(A, B, C)的平面的方程
为 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0.
41
二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 .
以轴与向量的夹角的余弦：Pr jl AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr jl AB Pr jl' AB
l'
l
| AB | cos
17
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
γ
24
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及 向量与数的乘法的运算如下：
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
C( x,o, z)
• M(x, y, z)
o
y
Q(0, y,0)
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
6
二、空间两点间的距离公式
上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)
《高等数学教程》第九章 向量代数与空间解析几何习题参考答案9－1（A ） 4．;342,324m n CD m n BC -=-= 5．;}116,117,116{}116,117,116{---或 6．－2 ;7．13, 7 j ;8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。
9．模：2; 方向余弦：21,22,21--; 10．434ππγ或=; 11．31cos ,31cos ,31cos =-=-=γβα; 12．m = 4 , n = 0 .9－1（B ）1． ;0,22,221,0,0或- 3． }5,4,6{-B , }10,6,9{-C , }7,1,7{--=CA4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;6． 2 .9－2（A ）1．(1) 28 , (2) 52 ;3．15 , 593;4．}4,2,4{--=b ;5．m = 4 , n = 0 ;6．;}2,2,3{171}2,2,3{171-----或 7．12 ,219; 8．5 ;9．,1548)^,(sin =b a ,7753)^,(cos =b a (1) }2,0,1{-, (2) }2,10,16{-, (3) 0 , (4) }24,8,0{--;10．(1) 24, (2) 60 ;11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;13．是14．20 ,619; 9－2（B ）1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;2．(1) 至 (8) 全错;5．1328-; 6．;,,,,,共线与c b d c d b d a c a b a ⊥⊥⊥⊥⊥ 7．;共线必须与b a8．3π; 9．)68(51)68(51k j k j ---或; 10．(1) 2-=λ, (2) 1002,99821=-=λλ;11．23-. 9－3（A ）2．04573=-+-z y x ;3．0473=+--z y x ;4．012634=+-+z y x ;5．023=--z y x ;6．049263=-+-z y x ;7．010377=--+z y x ;8．029)3(,5)2(,043)1(=---==+z y y y x ;9．1 ;10．32,32,31; 11．270)3(,1)2(,2)1(±===k k k ; 12．(1) 18,32=-=l m , (2) 6=l ; 9－3（B ）1．12=++z y x ;2．02=--z y x ;3．1522=-+z y x ;4．03326=-+±z y x ;5．)54,0,0(,)2,0,0(; 6．032=-+-z y x ;7．312228±=++z y x ;9－4（A ）1．112243--=-+=-z y x ; 2．0270112520255612523=+--=++-z y x z y x 及;3．311121-=-=--z y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 31121 ; 4．13422z y x =-=--; 5．0592298=---z y x ;7．341111; 8．4273; 9．D = －6 ;9－4（B ）1．(1) 平行, (2) 垂直, (3) 直线在平面上（题目中平面方程应为 3=++z y x ）;2．0=ϕ;3．)32,32,35(-; 5．⎩⎨⎧=-+-=--+0140117373117z y x z y x ; 6．012=++y x ; 7．2849161-==+z y x ; 8．,1=λ ⎩⎨⎧=-=-+-0027z x z y x ; 10．012720=-++z y x ; 11．564922-=-=-z y x ; 12．0163401022=-+=-++z x z y x 或;13．03=---z y x ;14．332; 15．⎩⎨⎧=++-=-++0893012572z y x z y x ; 16．不相交, 29311=d ;9－5（A ）1．9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34,1,32(---为球心, 2932为 半径的球面。
高等数学教材第五版
高等数学教材第五版高等数学是大学数学中的一门重要课程，它是建立在初等数学的基础上，深入研究数学分析、数理逻辑和数学推理等内容的学科。
高等数学教材第五版是一本经典教材，它在数学教学界有着广泛的影响和良好的口碑。
第一章函数与极限高等数学教材第五版的第一章主要介绍函数与极限的概念，从基本公式、性质、运算和图像等方面深入阐述了函数的基础知识。
通过该章的学习，可以帮助学生建立函数的概念，并能灵活运用。
第二章导数与微分第二章主要介绍导数与微分的概念和性质，以及它们在几何、物理、经济等领域的应用。
通过学习导数与微分的知识，可以帮助学生掌握函数变化规律，并应用于实际问题的解决中。
第三章不定积分第三章主要介绍不定积分的概念、基本公式和求法，以及它们在物理、生物、工程等领域的应用。
通过学习不定积分的知识，可以帮助学生理解积分与导数的关系，掌握积分的运算技巧。
第四章定积分与应用第四章主要介绍定积分的概念、性质和应用。
通过学习定积分的知识，可以帮助学生理解积分与面积、体积等概念的关系，并能够应用定积分解决实际问题。
第五章微分方程第五章主要介绍微分方程的基本概念、解法和应用。
通过学习微分方程的知识，可以帮助学生理解微分方程与实际问题的联系，并能够应用微分方程解决实际问题。
第六章多元函数微分学第六章主要介绍多元函数的概念、偏导数、全微分及其应用。
通过学习多元函数微分学的知识，可以帮助学生理解多元函数的变化规律，并能够应用多元函数微分学解决实际问题。
第七章重积分第七章主要介绍重积分的概念、性质和计算方法。
通过学习重积分的知识，可以帮助学生理解重积分与几何体积和质量等概念的关系，并能够应用重积分解决实际问题。
第八章曲线积分与曲面积分第八章主要介绍曲线积分与曲面积分的概念、性质和计算方法。
通过学习曲线积分与曲面积分的知识，可以帮助学生理解曲线积分与曲面积分与矢量场和流量等概念的关系，并能够应用曲线积分与曲面积分解决实际问题。
第九章空间解析几何第九章主要介绍空间解析几何的基本概念、性质和计算方法。
高等数学c教材各章内容
高等数学c教材各章內容高等数学C教材各章内容高等数学C教材是大学数学专业必修课程之一，也是学习数学的基础。
它包含了多个章节，每个章节都涵盖了不同的数学概念和技巧。
下面将对高等数学C教材的各章内容进行介绍。
第一章导数与微分第一章主要介绍了导数与微分的概念和运算法则。
学习这一章的内容，我们可以了解到导数的几何意义和物理意义，可以计算各种类型函数的导数，掌握求导的基本规则，并能够利用导数解决实际问题。
第二章微分中值定理与导数的应用第二章主要讲解了微分中值定理和导数的应用。
通过学习这一章，我们可以了解到拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的具体表述和应用场景。
在导数的应用方面，我们可以学习如何利用导数求函数的极值和最值，计算函数的曲率，解决相关最优化问题等。
第三章不定积分第三章主要介绍了不定积分的概念和性质，以及常见的求不定积分的方法。
学习这一章的内容，我们可以了解到不定积分的定义和基本性质，学会使用基本积分公式和换元积分法求解不定积分，还可以了解到分部积分法和有理函数的积分等特殊方法。
第四章定积分第四章主要讲解了定积分的概念、性质和计算方法。
通过学习这一章，我们可以了解到定积分的几何和物理意义，学习使用定积分求解曲线下面积、弧长、旋转体的体积等问题。
此外，我们还可以学习到变上限积分法、定积分的一些性质和常用公式。
第五章定积分的应用第五章主要介绍了定积分在几何、物理、概率等方面的应用。
在这一章节，我们可以学习到如何利用定积分计算平面曲线的弧长、曲率、曲边梯形的面积、球体的体积等问题。
同时，我们还可以了解到定积分在统计和概率领域中的应用。
第六章常微分方程第六章主要讲解了常微分方程的基本概念和解法。
通过学习这一章的内容，我们可以了解到常微分方程的基本定义、分类和初等解法。
此外，我们还可以学习到一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程等特殊类型方程的解法，以及利用常微分方程解决相关实际问题的方法。
第七章多元函数微分学第七章主要介绍了多元函数的概念、偏导数和全微分等内容。
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== . 由此可知：∥⊥⊥. ①⊥ ; ②∥⊥ ; ③∥ . 12. 曲面方程 如果曲面∑上每一点的坐标都满足方程，而不在曲面∑上的每一点 坐标都不满足方程，则称方程为曲面方程，称曲面∑为的图形. 13. 柱面 直线沿定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线称为柱面的 准线，动直线称为柱面的母线. 如果柱面的准线在坐标面上的方程为,那么以为准线，母线平行于轴 的柱面方程就是；同样地，方程表示母线平行于轴的柱面方程；方程表 示母线平行于轴的柱面方程.一般地，在空间直角坐标系中，含有两个 变量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪个变量，此柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴.
故所求平面为 ， 即. 例5 求过点且垂直于直线的平面方程. 解 已知直线的方向向量为==, 由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量为该方向向量，即=， 由点法式得平面方程 ，即 . 例6 求通过点且与直线垂直相交的直线方程. 解 利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方 向向量.为此先求出过点且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直 线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量，即可 得到所求的直线方程.其步骤如下： (i)过点垂直于已知直线的平面方程为 ，即 . (ii)求上述平面与直线的交点，为此令 =， , , ， 将上述参数方程代入平面中，有 ，得 = , 所以 , , =，即 , 所以 , 写出所求直线方程。由于直线过点，故所求直线方程为 ， 即. 例7 求过点且与两平面：和：平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为，，， 因为所求直线与,平行，所以,, 取====, 故所求直线的方程为 . 小结 求平面方程和直线方程，在已知一给定点的条件下，关键是求 出平面的法线向量和直线的方向向量.这要以两向量的点积和叉积的运 算为基础.另外，求平面方程和直线方程的方法往往不是一种，读者可 灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法，求出平面方程或直线 方程.
==. 由题设，得=2 ， ，,
从而得 =，或 =. 2． 建立平面方程与直线方程的方法
例3 求平行于轴，且过点与的平面方程. 解一因为平面过点与，所以必有.于是，取=, 而={2，7，4} ，所以 ==， 因此，由平面的点法式方程，得，即 . 解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 ,
2 向量与数的乘法运算 实数与向量的乘积是一个向量，称为向量与数的乘积，记作，并且 规定： ①； ②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； ③当时，是零向量. 设都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：； 分配律： , (+)=+. 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算. ⑶ 求与同向的单位向量的方法 设向量是一个非零向量，则与同 向的单位向量 . ⑷ 负向量 当时，记(-1)=-，则-与的方向相反，模相等，-称为向 量的负向量. ⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 -= +(-1) . 向量的减法也可按三角形法则进行，只要把与的起点放在一起，-即 是以的终点为起点，以的终点为终点的向量. 4. 向量的坐标表示 ⑴ 基本单位向量 ,,分别为与轴,轴,轴同向的单位向量.
至少有一个不为零）. ⑶两个平面的位置关系 设两个平面的方程分别为
其法向量分别为=，=，有如下结论： ①⊥ ②∥∥； ③. （4）平面的夹角，即为两个平面法向量夹角，其公式为 =. （5）点到平面的距离公式为 . 10. 直线方程 ⑴如果一个非零向量平行于直线,则称为直线的方向向量. ⑵直线的标准式方程 设直线过点且以为方向向量,则直线的标准式
⑵ 向径的坐标表示 点的向径的坐标表达式为=或简记为 =.
⑶的坐标表示 设以为起点,以为终点的向 的坐标表达式为
=. ⑷ 向量的模 =. 5. 坐标表示下的向量的线性运算 设，，则有 （1）； （2）； （3）. 6. 向量的数量积
⑴定义 设向量之间的夹角为，则称为向量的数 量积，记作·，即 ·=.
二、主要解题方法
1．向量的运算 例1 设向量=44+7的终点的坐标为(2,1,7).求 (1)始点的坐标；(2)向量 的模；(3)向量的方向余弦；(4)与向量方向一致的单位向量. 解 （1）设始点的坐标为 ，则有 ， ,，得 =2 , =3 , =0 ; (2) =9; (3) cos= , cos , cos ; (4) o==(44+7). 例2 已知向量与向量=及轴垂直，且，求出向量. 解 因为，（垂直于轴），故与向量平行.由两向量平行的充要条件， 可写成，即
×=. 可将×表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行 展开即可.即
×=. 8.三个重要结论 ⑴; ⑵⊥0; ⑶∥=. 其中，“”表示“充分必要条件”． ９.平面方程 ⑴平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于平面，则称此向量为该平面的法向量. 过点，以=为法向量的点法式平面方程为
至少有一个不为零）. ⑵平面的一般式方程 以=为法向量的一般式平面方程为
. ⑵ 圆柱面方程 设一个圆柱面的母线平行于轴，准线是在坐标面上的以原点为圆 心，为 半径的圆，即准线在坐标面上的方程为，其圆柱面方程为
. ⑶ 锥面方程 顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面方程为
. ⑷ 椭圆抛物面方程 椭圆抛物面方程为
, 当时，原方程化为，它由抛物线绕轴旋转而成，称为旋转抛物面. ⑸ 椭球面方程 椭球面方程为
方程(也称为点向式方程)为 .
⑶ 直线的参数方程 设直线过点且以为方向向量,则直线的参数方程 为
其中为参数. ⑷ 直线的一般式方程 若直线作为平面和平面
的交线，则该直线的一般式方程为 其中{}与{}不成比例.
⑸ 两条直线的位置关系 设直线的标准方程分别为
其方向向量分别为则有 ①∥； ②⊥⊥. 11．直线与平面的位置关系 直线与它在平面上的投影线间的夹角，称为直线与平面的夹角. 设直线的方程分别为
向量的数量积又称“点积”或“内积”. 向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：·= ·； 分配律：(+)·= ·+·； 结合律：(·)=()· .
2 数量积的坐标表示 设，,则·=.
⑶ 向量与的夹角余弦 设，,则
=. ⑷ 向量的方向余弦
设 向 量 与 轴 , 轴 , 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为 ,称其为 向量的三个方向角，并称 ,,为的方向余弦，向量的方向余弦的坐标表 示为
2. 向量的基本概念 ⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量． ⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用或表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的. ⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量. ⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量. ⑺向径 终点为的向量称为点的向径,记为. 3. 向量的线性运算 ⑴ 向量的加法 ① 三角形法则 若将向量的终点与向量的起点放在一起，则以的 起点为起点，以的终点为终点的向量称为向量与的和向量，记为.这种 求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. ② 平行四边形法则 将两个向量和的起点放在一起，并以和为邻 边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为.这种求向量和的方 法称为向量加法的平行四边形法则. 向量的加法满足下列运算律. 交换律：=； 结合律：（）+=+（+）.
3． 求旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影的方法 例8 求由椭圆绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程. 解 在方程中把换成，得所求方程为 ， 这是一个旋转椭球面. 例9 求空间曲线在面上的投影曲线方程. 解 将所给曲线方程组中消去，就得到包含曲线的投影柱面方程.由于 此方程组中的第二个方程不包含有，所以包含曲线的投影柱面方程就是 .因此，投影柱面与面的交线为 故曲线在面的投影曲线方程为 例10 求曲线在坐标面上的投影曲线方程. 解 消去得, 这是圆柱面的方程，所以在面上的投影曲线的方程为 ，
由于平面平行于轴，所以 ，原方程变为，又所求平面过点(1, 5, 1) 与(3 , 2, 3)，将的坐标代入上述方程，得 解之得 , ,代入所设方程，故所 求平面方程为 .
例4 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与平面成角的平面的方程. 解 设所求平面方程为 ，
平面过点(3, 0, 0)，有 , 即 ， ① 平面过点(0, 0, 1), 有 , 即 ， ② 又,平面与面成角，有 ==，③ 即， 解 ①②③得 =,
第九章 空间解析几何
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求 1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向 角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向 量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算. 5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方 程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概 念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐 标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重点 向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念， 用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平 面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴 为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影. 难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向 量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面 的方程画出空间图形. （二）内容提要 1. 空间直角坐标系 在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点，这三条数轴分别称为 轴、轴和轴，一般是把放置在水平面上，轴垂直于水平面.轴的正向按 下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向轴的正向，这时大拇指 所指的方向就是轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空 间直角坐标系.在此空间直角坐标系中，轴称为横轴，轴称为纵轴，轴 称为竖轴，称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐 标面.轴与轴所确定的坐标面称为坐标面，类似地有坐标面，坐标面。 这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限. 在空间直角坐标系中建立了空间的一点与一组有序数之间的一一对 应关系。有序数组称为点的坐标；分别称为坐标，坐标，坐标.