选修2-2第二章 2.3数学归纳法(上)课件-广东省肇庆市肇庆学院附属中学高二数学2020春(共25张PPT)

(2)当n=k+1时,如何利用假设n=k给出的形式来代换？ 提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道
1 2 3L k2 (k2 1) (k2 2) (k2 3) L (k 1)2 k 4 k 2 (k2 1) (k2 2) (k2 3) L (k 1)2 2
当n k 1时，等式成立.
由（1）（2）知，对于 n N* 等式恒成立.
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
1弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况； 小结 2弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
3证明 n＝k＋1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，
k+2
2k+2
提示：用n=k+1时式子左边除以n=k时式子的左边就知道
(k 2)(k 3)L (2k)(2k 1)(2k 2) (k 1)(k 2)(k 3)L (k k)(2k 1)(2k 2) k 1
(k 1)(k 2)(k 3)L (k k) (2k 1)(2k 2) k 1
一、创设情境，开启思维：费马数
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他在解析几何，微积分，概 率论，数论方面都对数学的发展有着卓越的贡献。他观察到: 220 1 3, 221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数！于是他归纳推理提出猜想：
当n＝k+1时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+__…_+_(_2_k_+_1_)+___(_2_k_+_2)______+_[_2(_k_+_1_)_+_1]__ ；
右边是_[(_k__1_)__1_][_2_(k___1)__1_]
先确定最后一项，
规律？ 再按照规律补充
(2k+3)
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
并朝 n＝k＋1 证明目标的表达式变形.
技能1：会找第一个值n 0 技能2：能弄清两端项的情况 技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况 技能4：会由目标形式凑出假设里给出的形式
给出一个递推基础，保证第一块骨牌倒下
条件（2）的作用是什么？
给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下
探究二：你能类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，证明 出刚才的数列通项为 an 2n 1 的猜想吗？
多米诺骨牌游戏原理
证明通项公式 an 2n 1, n N*
(1)第一块骨牌倒下；
........ 10个圆片的时候: 210 1 问题3：n个圆片的时候是 ? 次
an 2n 1
二、数学归纳法类比 多米诺骨牌效应 探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
二、数学归纳法雏形：多米诺骨牌效应 （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
条件（1）的作用是什么？
C.n 3
D.n 1
注意：当n<3时构不成多边形，且由
1 n(n 3) 2
可知 n 3
.
技能2：能弄清两端项的情况
例2 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 当n＝1时，左边所得项是 1_+_2_+__3___ ； 左边=6，右边= (11)(2 1) 23 6 当n＝2时，左边所得项是 1_+_2_+__3_+_4_+_5__ ；左边=15，右边= (2 1)(4 1) 35 15 当n＝k时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+_…_+_(_2_k_+_1_)_=_左__边，； 右边= (k 1)(2k 1)
左边=右边，当n 1时，等式成立. （2）假设当n＝k，n N*时，等式成立，即
1 4 27 310 L k(3k 1) k(k 1)2
当n＝ k+1时，14 27 310 L k(3k 1) (k 1)[3(k 1) 1]
k(k 1)2 (k 1) (3k 4) (k 1) (k 2 k 3k 4) (k 1) (k 2)2 (k 1)[(k 1) 1]2
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使 相邻的第K+1块骨牌也倒下
（2）若n=k时猜想成立 即 ak 2k 1
先把上面的k个圆片全部从A柱移到B柱， ak 2k 1 接着把第k+1个最大的圆片从A柱移到C柱， 1 最后再把B柱上的k个圆片移到C柱. ak 2k 1 ak1 2ak 1 2 (2k 1) 1 2k1 1
基础自测5 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 L n(3n 1) n(n 1)2, n N* 当n＝ k时，左边= 1__4__2__7___3__10___L___k_(3_k__1_) ； 当n＝ k+1时，左边= 1__4__2___7__3__1_0__L___k_(3_k___1)__(_k__1_)[_3_(k__1_)__1_] ；
则当n=k+1时猜想也成立，即 ak1 2k1 1
根据（1）和 （2），可知不论有 根据（1）和（2），可知对任意的正
多少块骨牌，都能全部倒下。
整数n，猜想都成立。
探究三：你能类比证明数列通项的方法，证明出与正整 数有关的数学命题的猜想吗？
证明的通项公式 an 2n 1, n N*
（1）当n=1时猜想成立；
右边是 _____(_k__1_)__[_(_k__1_)___1_]2_________________.
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
例3 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
假设给的形式：连乘积
D. (2k 1)(2k 2) k 1
当n＝k时，左边= _(k___1)_(k___2_)L__(_k__k_)_；右边= _2_k__1__3__5__L___(_2_k__1_)_
当n＝k+1时，左边= __[_(k___1)__1_]_[(_k__1_)__2_]L__2_k__(_2k___1_)[_(k___1)__(_k__1_)_]____ ；
基础自测2.用数学归纳法证明 3n n3(n 3, n N)，第一步应验证（ C ）
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：有些问题中验证的初始值不一定是1.
基础自测3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线有 第一步检证n等于（ C ）
1 n(n 3) 2
条时，
A.n 1
B.n 2
假设给的形式
当n＝k时，左边= _1_+_2_+_3+__…__+_(_2_k+_1_)___ ；
目标形式
保障！
当n＝k+1时，左边= 1_+_2_+_3_+__…__+(_2_k_+_1_)_+__(_2_k_+2_)__+_[_2_(_k_+_1)_+_1_]__ ； 提示：用n=k+1时式子左边减去n=k时式子的左边就知道 (2k+2) +[2(k+1)+1]
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肇庆学院附属中学
课前准备
郑瑞华老师
1、课本、练习本、双色笔、纠错本
2、分析错因，自纠学案
3、标记疑难，以备讨论
挑战极限 共创佳绩
数学归纳法是什么？ 是一种特殊的证明方法！
学习目标： 1、了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点（重点） 2、会用数学归纳法证明有关数学命题（等式、不等式、整除、归纳猜想）（重难点）
提示：从n=k到n=k+1过渡时，考虑清楚到底多了哪几项？少了哪几项？
技能5：会四部曲 一验证二假设三递推四结论
例5 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 L n(3n 1) n(n 1)2, n N*
证解明：：（1）当n＝1时，左边= _1__4___4_；右边= _1__(1___1)_2__4_；
A.(k2 1)
B.(k 1)2
C. (k 1)4 (k 1)2
Hale Waihona Puke Baidu
D.(k2 1) (k2 2) (k2 3) L (k 1)2
假设给的形式
2
k4 k2
当n＝k时，左边= _1__2___3__L___k_2_；右边= ____2_________
k 2 2k 1
当n＝k+1时，左边= 1___2__3__L___k_2 __(_k2__1_)_(_k_2__2_) __(k_2__3_)__L___(k___1)2；
当n∈N时， 22n 1一定都是质数． 问题1：费马运用什么方法得到的结论？
后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 F5 225 1 4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想
到当n＝5这一结论便不成立．
汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。
基础自测4 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 L n(3n 1) n(n 1)2, n N* 当n＝1时，左边所得项是 ________1__4__________ ；右边是 ___1___(1___1_)2___1__4___ ； 当n＝ k时，左边所得项是 1__4___2__7__3__1_0__L___k_(_3_k__1) ；右边是 ____k___(_k__1_)_2______ ； 当n＝ k+1时，左边所得项是 _1__4__2__7___3_1_0___L___k_(3_k__1_)____(k__1_)_[3_(_k__1_) __1]_ ；
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
基础
（1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n 0(n 0 ∈ N* ) 时命题成立。
( 2 ) ( 归纳递推 ) 假设n = k ( k ≥ n 0 ，k ∈ N* ) 时命题成立，
根据
证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n都成立。
右边= _(_k__1_)__[_(_k___1)___1_]2_.
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道 (k 1)(3k 4)
技能4：会由目标形式凑出假设里给出的形式
例4 .用数学归纳法证明等式 1 2 3 L n2 n4 n2 , n N* ，则 (1)当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ D ）2
尝试证明与正整数有关的猜想
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若n=k时猜想成立,即
ak 2k 1
则当n=k+1时猜想也成立，即
ak1 2k1 1
（2）若n=k时猜想成立, 则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的 根据（1）和（2），可知对任意的正
正整数n，猜想都成立。
整数n，猜想都成立。
玩法规则：①一次只移动一片；
②不管在哪根柱子上，小片必须在大片上面。
问：这个10层汉诺塔按规则①②，把圆片从A柱子全部移到C柱子，最少
需要移动多少次呢?
1个圆片的时候： 1 21 1
2个圆片的时候： 3 22 1 3个圆片的时候: 7 23 1
4个圆片的时候: 15 24 1
5个圆片的时候: 31 25 1
基础自测1.判断√和×
[答案] (1)× (2)× (3)√
技能1：会找第一个值n 0
例1.用数学归纳法证明 2n n2 则第一个正整数取值为__________
解：令n 1, 有21 12成立，n0 1
你有什么收获？
验证是基础，找准起点！怎么找起点？代入试一试，找到①第一个（最小的）且②使 式子成立的取值。
技能4：会由目标形式凑出假设里给出的形式
基础自测6.用数学归纳法证明等式 (n 1)(n 2)L (n n) 2n 135L (2n 1), n N*
，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增乘的代数式是（ D ）
A.2k 1(2k 2)
目标形式
B. 2k 1 k 1
C. 2k 3 k 1
上述证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction） 问题4：是否已经确认n = k 时命题成立？ 问题5：上面两个条件分别起怎样的作用？我们能否去掉其中的一个？ 问题6：数学归纳法的第一步n 0 的初始值是否一定为1？
[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.