4 微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型

马尔萨斯(1766～1834) Malthus，Thomas Robert
模型假设： • 人口增长率 r 是常数. • 人口的数量本应取离散
值，但由于人口数量一 般较大，为建立微分方 程模型，可以将人口数 量看作连续变量，甚至 允许它为可微变量，由 此引起的误差将是十分 微小的.
模型构成：
设 x(t) 表示 t 时刻的人口，有
即使海洋全部M变alt成hu陆s地模，型每实人际也上只只有有9在.3群平体方总英尺的活动范围， 而到2670年，数人不口太达大3时6×才1合01理5个，，当只总好数一增个大人时站，在另一人的 肩上排成二所层生以了物M.群a故体lt马h的u尔各s模萨成型斯员假模之设型间的是由人不于口完有善限的的.
净生增存长空率间不，可有能限始的终自保然持资常源数及，食物 它等应原当因与，人就口可数能量发有生关生. 存3.5x 10竞11 争等现马尔萨斯模型人口预测
几乎完全吻合.
x(t)
xm
1 ( xm 1)er0t
x0
总结
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的 不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而 指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的 相对简单性也常被采用.
Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种 群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究 其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与 Malthus 模型与 Logistic 模型所反映的数学规律类似 即可.
由荷兰生物数学家 P. F. Verhust 于1837 年在 研究人口问题时建立. 基于这个模型能够描述 一些事物的客观规律，常被称为Logistic 模型.
阻滞作用随人口数量增加而变大 r 是 x 的减函数
假定 r(x) r0 sx (r0, s 0)
r (0) = r0：固有增长率
s 的意义是什么？
于是，k 年后的人口为:
x x (1 r)k
k
0
美丽的大自然
模型二 (指数增长模型，即 Malthus 模型)：
英国著名经济学家，出生于 英格兰的一个土地贵族家庭. 1784年进入剑桥大学学习， 1798年加入英国教会的僧籍, 任牧师. 1799年到欧洲一些 国家调查人口问题. 1805年 成为英国第一位(也是世界上 第一位)政治经济学教授.
4 微分方程建模 —— Malthus模型 与 Logistic模型
4.1. 人口增长模型 4.2. 赝品的鉴定 4.3. 耐用新产品的销售速度问题 4.4. 传染病模型
4.1 人口增长模型
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
米格伦最著名的 伪作之一
• 一位法官试图证明米格伦确有通过制赝牟利的动机， 他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相 信这是真的！”
• 这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者， 米格伦在监狱里开始伪造维米尔的油画《在埃牟斯的门 徒》.
dx dt
rx(t ),
x(t) x e rt
x(0) x0.
0
x0(er )t
当 r > 0，随着时间的增加， 人口按指数规律无限增长!
x0(1 r )t .
回忆： x x (1 r)k
k
0
(r 1)
模型检验：
• 比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符.
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
研究人口变化规律，控制人口过快增长！
模型一 (最简单的人口增长模型)：
假设今年的人口是 x0, 人口的年增长率是常数 r ,
维米尔名作
《戴珍珠耳环的 少女》
• 最初，米格伦的确惊慌了一阵子. 可是，米格伦在同 年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林， 而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画《在埃 牟斯的门徒》都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品.
《在埃牟斯的门 徒》（The Disciples at Emmaus）
• 例如，数学家高斯把 5 只草履虫放进一个盛有
0.5cm3 营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以
每天 230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢，
到第五天达到最大量375个，实验数据与r0 =
2.309，x0 = 5, xm = 375 的Logistic曲线：
x(t)
1
375 74e2.309t
xm：人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)
r(xm ) 0
s= r0 xm
r(x)=r0(1-
x xm
)
dx dt
r(x )x
dx/dt
r0(1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x )x, xm
x(0) x0.
0
x(t)
xm
1 ( xm 1)er0t
x0
x xm
xm/2 x0 0
xm/2
xm x
t
模型检验和预测：
• 大量实验资料表明用Logistic模型描述种群的增长， 效果相当不错!
4.2 赝品的鉴定
• 在第二次世界大战比利时解放后 ，荷兰野战军保安机关开始搜捕 纳粹同谋犯.
• 他们从一家曾向纳粹德国出卖过 艺术品的公司中发现线索，于 1945年5月29日以通敌罪逮捕了 三流画家汉·凡·米格伦(Han van Meegeren)，此人曾将17 世纪荷兰著名画家约翰内斯·维 米尔(Johannes Vermeer)的一些 油画卖给了当时纳粹德国的空军 司令戈林.
象.
3
2.5
2
N/人
1.5
1
0.5
0
1950
2000
2050
2100
2150
2200
t/年
由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人 均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等 原因，出生率将降低而死亡率却会提高.
模型三 (阻滞增长模型，即 Logistic 模型)：
• 特别，利用马尔萨斯模型验证并检查1700年至1961的260 年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！
• 例如，1961年世界人口数为30.6 亿 ，人口数大约每35年增 加一倍.
模型预测：
假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以
几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，