平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版

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高中数学《奔驰定理+向量与三角形四心问题》习题集【公式编辑器完美编辑版】

一、奔驰定理1.已知O 是ABC 内的一点,,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S , 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.推论：若O 是ABC 内的一点，且0xOA yOB zOC ++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z =.考点一由系数比推面积比【典型例题1】1.设点O 在ABC 的内部,且有0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=, 记,,AOB BOC AOC 的面积分别为,,AOB BOC AOC S S S .若1x y z === 则::AOB BOC AOC S S S =__________.若2,3,4x y z === 则::AOB BOC AOC SS S =__________.答案：1:1:1,,,4:2:3 【对点演练1】1.已知O 是ABC 内的一点,且220OA OB OC ++=,ABC 和OBC 的面积分别为ABC S 和OBC S ,则:=OBC ABC S S __________. 答案：15考点二由面积比推系数比【典型例题2】1.已知O 是ABC 内的一点,满足::=4:3:2AOB BOC COA SS S , 设=+AO AB AC λμ, 则实数λ和μ的值分别是__________. 答案：24==99λμ，【对点演练2】1.已知O 是ABC 内的一点,:6:1ABC OBC S S =,若30OA OB OC λ++=, 则λ=__________.答案：2二、三角形四心内心:三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：三角形的内心到三边距离相等。

外心：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆圆心。

性质：三角形的外心到三个顶点距离相等。

重心：三角形三条中线的交点。

性质：三角形的重心是三条中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

6.4.1平面几何中的向量方法(奔驰定理、三角形四心)(教学课件)--高中数学人教A版

AC 2 + DB2 = 2(AB 2 + AD2 ).

任务一：平面几何中的向量方法
【例3】正方形ABCD的边长为6, E是AB的中点，F是BC边上靠近
点B的三等分点，AF与DE交于点M,求∠EMF的余弦值．
解：建系如图
则D 0,6 ，E 3,0 ，F 6,2 ，DE = 3, −6 ，AF = 6,2
【例8】在△ ABC中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是△ ABC的垂心，
则DH ⋅ BC = ？
任务三：三角形的四心的向量表示
【选做】O是△ ABC所在平面上的一点，动点P满足OP = OA + λ(
AC
|AC|cos∠C
)，则点P 形成的图形一定通过△ ABC 的垂心。
AB
|AB|cos∠B
2
1
AC
2
1
.
2
C
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-2】利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？
转化
• 用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题
运算
• 通过向量运算研究几何元素之间的关系
翻译
• 把运算结果“翻译”成几何关系
任务一：平面几何中的向量方法
【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC
6.4.1平面几何中的向量方法-奔驰
定理，三角形四心
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-1】平面几何中的位置关系如何用向量表示
几何
向量
坐标
՜ ՜ ՜
՜
՜
՜
平行 // ( ≠ 0 ) ⇔ = ； //
Ԧ
⇔ 1 2 − 2 1 = 0.

平面向量奔驰定理

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

三角形四心与平面向量(用)(可编辑修改word版)

OA OB OC AB AC AB cos BAC cos C→ AB sin B → AC sin C ⎪⎪⎭ 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1） OA + OB + OC = 0 ⇔ O 是 ∆ABC 的重心.（2） OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ⇔ O 为 ∆ABC 的垂心. （3）设 a , b , c 是三角形的三条边长，O 是 ∆ ABC 的内心aOA + bOB + cOC = 0 ⇔ O 为 ∆ABC 的内心.（4） = = ⇔ O 为 ∆ABC 的外心。

典型例题：例 1： O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA + ( A B + AC ) ，∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 2： O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA + ( +) ，∈[0,+∞) ，则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 3： O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA + (+) ， ∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过 ∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心⎛ ⎫→ → → → ⎪ 例 4：若存在常数,满足 M G = MA + AB + ⎝AC ⎪(≠ 0) ,则点 G 可能通过∆ABC 的.举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若 P 点为∆ABC 内任意一点，若 P 点满足:⎪DP PB = DP PC ⇒ P 为 ABC 的外心; ⎪ AP BC = 0 ⇒ P 为 ABC 的垂心. 1 + = ⎪ ⎧AP = ( AB + AC ),> 0⎪⎪ 1． ⎨AB AC ⇒ P 为 ABC 的内心;⎪BP = t ( BA + BC )，t > 0 ⎩⎪ BABC 2. D 、E 两点分别是∆ABC 的边 BC 、CA 上的中点,且 ⎧ ⎨ ⎪⎩EP PC = EP PA ⎧ 1 ⎪ AP = 3 ( AB + AC ), 3. ⎨ 1⇒ P 为 ABC 的重心; ⎪BP = ⎩ (BA + BC )， 3 ⎧ 4. ⎨ ⎪⎩BP AC = 0练习：1. 已知∆ABC 三个顶点 A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，若实数满足： AB + AC = AP ，则的值为（） 3 A ．2B ．C ．3D ．622. 若∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 1， OA + OB + OC = 0 ，则OA ⋅ OB = ()A ．B ．0C ．1D ． - 1223. 点O 在∆ABC 内部且满足OA + 2OB + 2OC = 0 ，则∆ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（）3 54 A ．0B ．C ．D ．2434.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，若OH = OA + OB + OC ，则 H 是∆ABC 的（）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心5.O 是平面上一定点， A 、 B 、 222C 是平面上不共线的三个点，若OA BC OB+ CA 2= OC 2+ AB 2，则O 是∆ABC 的（）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ， OH = m (OA + OB + OC ) ，22 2=++则实数m =→→→→AB AC→→AB→AC17.已知非零向量AB与AC满足( → + → )·BC=0 且→·= , 则△ABC 为( )|AB| |AC| |AB|→ 2|AC|A.三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8.已知∆ABC 三个顶点A、B、（）C ，若AB =AB ⋅AC +AB ⋅CB +BC ⋅CA ，则∆ABC 为A.等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.已知A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =1(1OA +1OB +2 OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（）3 2 2A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点10.在三角形ABC 中，动点P 满足：CA =CB - 2 A B •CP ，则P 点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心11.若O 点是∆ABC 的外心, H 点是∆ABC 的垂心,且OH m(OA OB OC) ,求实数m 的值.12、已知向量OP1, OP2 , OP3 满足条件OP1+OP2 +OP3 = 0 ，| OP1|=| OP2 |=| OP3 |= 1 ，求证：△P1P2P3是正三角形．PA13.在△ABC 内求一点 P ，使 AP 2+ BP 2+ CP 2最小．B图２。

平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理

秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。

平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是厶ABC 内的一点， BOC^ AOC^ AOB 的面积分别为 S A , S B ,S C ,求证:S A ∙OA S B ∙OB S C ∙OC = 0S B S CS A ∙OA S B ∙OB S C ∙O^ 0推论0是ABC 内的一点，且X ・OA y ∙OB z*O^ = 0 ,则S BOC : S COA S AOB =x: y:ZOD洼OBID OCS BOBSB ' S CS B⅛OCOD OA_ S BOD SBOA_ S COD SlSCOABOD■ S CODSBOA ' S COAS A S B S COD =-S A OA—OAS B S CS⅛OBS⅛OC如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BD DC图1有此定理可得三角形四心向量式S AOB =1:1:1= OA QB OC = 0O 是:ABC 的外心二 S BQC : S-CQA : S AoB =Sin2A:Sin2B: Sin2C =Sin2AQA sin2B∙0B Sin2C QC = 0O 是ABC 的垂心U S-BOC : S 'COA : S AOB =tan A: tan B: tanC =tan A ∙0A tan B ∙0B tanC ∙0C = 0S BOC : S COA=DB : ADS 岳OC : S^COA =tan A: tan B同理得 S COA : S AO B ^tan B：tanC , S BOC : S-AO B^tan A ：tanCS BoC : S COA : S AOB H tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统O 是ABC 的内心=abc =a ∙OA b*OBtan^≤D,tanBAD CD — =——=tan A: ta n B = DB: AD DBO 是ABC 的重心B证明：如图O 为三角形的垂心,4.2三角形“四心”的相关向量问题一•知识梳理:四心的概念介绍：垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;如图⑴.Op=OA …（AB ∙AC）, ■（0, •：：）,则P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）.A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意AP=^.(AB AC),当…(0, •时，由于■ (AB ■ AC)表示BC边上3 Q程ABC所在平面内一点，动点P满足' -"λ(∈( 0, +∞)),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的( )A.内心B.重心C.外心D.垂心重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 : 1；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心：中垂线的交点(外接圆的圆心) ,外心到三角形各顶点的距离相等。

三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”_

→
t
anCOC＝０．
用向量法研究三角形的性质,一方面完善有关三
角形性质的知识,另一方面加深对向量法基本思想的
理解．
在此过程中,充分运用了平面向量基本定理、向
量的线性运算以及数量积运算,体现了等价转化与化
归的思想方法,让学生深刻感受到向量集数与形于一
驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示．
关键词:三角形;向量表示;数学探究;奔驰定理
“用向量法研究三角形的性质”是人教 A 版新教
材的“数学探究活动”专题,要求学生用向量方法研究
三角形的性质．
用向量法研究三角形的性质,首先用向
身的无限力量,发展和提高了数学抽象、数学运算、逻
辑推理等核心素养．
Z
９０
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争鸣探究
２０２３年５月上半月
三角形 “ 四心 ” 的向量表示及 “ 奔驰定理 ”
◉ 湖北大学附属中学杨彩云
摘要:数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法．
本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然后由特殊到一般,猜想并证明“奔
→
→
一点,则 S△BOCO→
A ＋S△AOCOB ＋S△AOBOC＝０．
４．
２奔驰定理

(完整版)平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量奔驰定理word

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++∙∙∙OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OCOB OAOA BCDOA BCO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++∙∙∙OC OB OA c b a O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++∙∙∙OC C OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

三角形“四心”的向量表示及运用2

三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。

平面向量奔驰定理(精编)

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。

定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0.证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。

进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔ根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。

同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。

根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}= \tan A:\tan B$，$S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan B:\tan C$，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan C$，因此，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan B:\tan C$。

例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1}{5}$CA，求$\triangle ABP$的面积。

根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。

例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。

第7讲平面向量的奔驰定理与四心问题(解析版)

第7讲平面向量的奔驰定理与四心问题【考点分析】考点一：三角形四心的概念：①重心：各边中线的交点，重心将中线长度分成2：1．①内心：各角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． ①外心：各边中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． ④垂心：各边上高线的交点，高线与对应边垂直．考点二：三角形四心的向量表示： ①内心：三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上.0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心. ①外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心.①垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心. ④重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心. 考点三：重心坐标公式已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则①ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，. 考点四：奔驰定理奔驰定理：0321=++OC OB OA λλλ，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ 证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++=11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△.考点五：三角形四心与奔驰定理的关系①O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OAOB OC =⇔++=△△△．①O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c OA OB OC =⇔++=△△△．①O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△． ④O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．【题型目录】题型一：四心的向量表示题型二：奔驰定理的应用【典型例题】题型一：四心的向量表示【例1】已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PA PC ==，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心【解析】解：因为且||||||OA OB OC ==，所以0到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心．由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥．同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC ∆的垂心．若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以2||||NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心．故选：C ．【例2】已知M 点在ABC 所在的平面内，满足()(|si |||n sin AB ACOM OA AB B AC Cλλ=++∈R)，则动点M 的轨迹一定通过ABC 的（） A ．内心 B ．垂心 C ．外心 D ．重心||sin ||sin AB B AC C =，由,AB AC 表示出AM 即可判断作答令ABC 边BC 上的高为h ，则有||sin ||sin AB B AC C h ==，令边BC 的中点为则2AB AC AD +=，因此，2()()AB AC AB AC AD h h h AM OM OA hλλλ+=-=+==，即//AM AD ，所以动点M 的轨迹一定通过ABC 的重心. D【例3】设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（） A ．重心（三条中线交点） B ．内心（三条角平分线交点） C ．垂心（三条高线交点） D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥，由题中向量的等式化简得CM AB ⊥，即CM 在AB 边的高线上．同理可证出AM 在BC 边的高线上，故可得M 是三角形ABC 的垂心．【详解】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==， ①OA OB OC OM ++=， ①OA OB OM OC +=-，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD =， ①CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上．同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，故选：C【点睛】本题给出三角形中的向量等式，判断点M 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．【例4】已知点O 是ABC ∆所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若1,(0,)2OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心由12AB BC AD +=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，知OP OA AD λ=+，，故点P 的轨迹一定经过①ABC 的重心．的中点， ①12AB BC AD +=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，①OP OA AD λ=+，即AP AD λ=①点P 的轨迹是射线AD ， ①AD 是①ABC 中BC 边上的中线，点P 的轨迹一定经过故选：A ．【点睛】本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【例5】点O 为ABC 所在的平面内，给出下列关系式： ①0OA OB OC ++=；①0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭且0BC BA OB BC BA ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭； ①()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=.则点O 依次为ABC 的（）A ．内心、重心、垂心B ．重心、内心、垂心C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心 AB AB和AC AC，从而得出点的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出OA OB +和AB 垂直，从而和三角形的外心由于()2OA OB OC OD =-+=-，其中的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点（靠近O 为ABC 的重心； AC AC，AB AB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC '和AB '，它们的差是向量B C ''，当0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭，即OA 的平分线上，同理由0BC BA OB BC BA ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭，在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC 的内心；①OA OB +是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，()0OA OB AB +⋅=表示这个平行四边形是菱形，即OA OB =，同理有OB OC =，故O 为ABC 的外. 故选：C【点睛】本题考查利用向量的方法去研究三角形的内心，外心，重心的性质，属于有一定难度的综合题。

平面向量奔驰定理word可编辑版

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

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平面向量奔驰定理与三角形四心的应用
定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：
0=++•••OC S OB S OA S C B A
证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；
B
C
COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；
OD =
DC BC OB +BC
BD
OC =
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
C
B A
COA BOA COD BOD COA COD BOA
BOD S S S S S S S S S S
S
OA OD +=++==
=
∴ C
B A S S S OD +-
=OA ； ∴C
B A S S S +-
OA =
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
∴0=++•••OC S OB S OA S C B A
推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=
有此定理可得三角形四心向量式
O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量
AB AC AB
AC
+所在的直线上. ]
⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==
⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]
⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=
证明：如图O 为三角形的垂心，DB
CD
B AD CD A ==
tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆
同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan
:=∆∆
∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆
例1 P 是ABC ∆内一点，21
55
AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .
例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（）
例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56
APB π
∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（）
A ．98
B ．4
3
C ．1
D ．6
5
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

➢ 与“重心”有关的向量问题
1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
2已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ). A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足()()0sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫
⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭
，，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心
变式1 在△ABC 中，O 为平面上任意一点，证明：1
()3
OG OA OB OC =++⇔G 为△ABC 的重心.
变式2 已知△ABC 中,G 是重心,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且5640350aGA bGB cGC ++=，则∠B =__ _.
➢ 与“垂心”有关的向量问题
3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
4
已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．
A ．重心
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
5若H 为ABC △所在平面内一点，且222222
HA BC HB CA HC AB +=+=+则点H 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
➢ 与“内心”有关的向量问题
6已知P 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aPA bPB cPC ++=，则P 是ABC △的( ).
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
7已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP = OA +λ
AB AC AB AC ⎛⎫
⎪+ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )． A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心
变式 1 已知非零向量AB 与AC 满足(
)AB AC BC AB
AC
+
⋅=0,且
1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
，则△ABC 为（） A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .三边均不相等的三角形
8若O 在△ABC 所在的平面内：=，
则O 是△ABC 的（） A ．垂心 B ．重心 C ．内心 D ．外心
➢ 与“外心”有关的向量问题
8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
9 已知O 是平面上的一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2
cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )。

A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
变式 1 已知点O ，N ,P 在△ABC 所在平面内，且OA OB OC ==，NA NB NC ++0=，
PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的（）
A .重心、外心、垂心
B .重心、外心、内心
C .外心、重心、垂心
D .外心、重心、内心
变式1 已知点P 是△ABC 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足2
2
2AP BC AC AB ⋅=-，则点P
一定是△ABC 的（）
A . 内心
B . 外心
C . 重心
D . 垂心
➢ 四心的相互关系
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用
设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。

2.三角形外心与重心的向量关系及应用
设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3
OG OA OB OC =++
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用
设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且1
2
OG GH =。

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10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．
求证：（1）H 是△ABC 的垂心；
（2）O ，G ，H 三点共线，且OG ：GH =1：2．
11 求证：若O 是△ABC 的外心，H 是△ABC 的垂心，则OH OA OB OC =++（欧拉定理的引理）.。

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