平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用

定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：

0=++•••OC S OB S OA S C B A

证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；

B

C

COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；

OD =

DC BC OB +BC

BD

OC =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

C

B A

COA BOA COD BOD COA COD BOA

BOD S S S S S S S S S S

S

OA OD +=++==

=

∴ C

B A S S S OD +-

=OA ； ∴C

B A S S S +-

OA =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

∴0=++•••OC S OB S OA S C B A

推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=

有此定理可得三角形四心向量式

O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量

AB AC AB

AC

+所在的直线上. ]

⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==

⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]

⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=

证明：如图O 为三角形的垂心，DB

CD

B AD CD A ==

tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆

同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan

:=∆∆

∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆

例1 P 是ABC ∆内一点，21

55

AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .

例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（ ）

例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56

APB π

∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）

A ．98

B ．4

3

C ．1

D ．6

5

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

➢ 与“重心”有关的向量问题

1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

2已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ). A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心

3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足()()0sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫

⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭

，，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心

变式1 在△ABC 中，O 为平面上任意一点，证明：1

()3

OG OA OB OC =++⇔G 为△ABC 的重心.

变式2 已知△ABC 中,G 是重心,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且5640350aGA bGB cGC ++=，则∠B =__ _.

➢ 与“垂心”有关的向量问题

3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心