广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中数学(理)试题

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2015年广东省佛山一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年广东省佛山一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的4个选项中，只有1项是正确的．请把答案填涂在答题卡上）.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．62．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．4．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣25．（5分）已知，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）若a=2x，b=log x，则“a＞b”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2﹣a＜2c D．2a+2c＜2二、填空题（本大题共3小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一．每小题5分，共20分．请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）. 11．（5分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．12．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．13．（5分）当k＞0时，两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为．三、（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为．四、（几何证明选讲选做题）15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．五、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．17．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．18．（14分）a∈R，解关于x的不等式≥a（x﹣1）．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P﹣ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．20．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n（1）求a1（2）求数列{a n}的通项；（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．21．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证：m＜n；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．2014-2015学年广东省佛山一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的4个选项中，只有1项是正确的．请把答案填涂在答题卡上）.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．6【解答】解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∪B={0，1，2}，则0∈B，则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，故选：C．2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．3．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．4．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵⊥，∥，∴2x﹣4=0，2y+4=0，解得x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故选：A．5．（5分）已知，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：将两边平方得，，可得，故选：B．6．（5分）若a=2x，b=log x，则“a＞b”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：如图，x=x0时，a=b，∴若a＞b，则得到x＞x0，且x0＜1，∴a＞b 不一定得到x＞1；∴a＞b不是x＞1的充分条件；若x＞1，则由图象得到a＞b，∴a＞b是x＞1的必要条件；∴a＞b是x＞1的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵k=0，a=45时，sina=cosa不满足判断框中的条件，k=1，a=90时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，k=2，a=135时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，k=3，a=180时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，k=4，a=225时，sina=cosa，不满足判断框中的条件，k=5，a=270时，sina＜cosa，满足判断框中的条件，即输出的结果为5，故选：C．8．（5分）在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，10]要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求0≤x2+y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为；故选：D．9．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2﹣a＜2c D．2a+2c＜2【解答】解：对于A，若a＜0，b＜0，c＜0，因为a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，而函数f（x）=|2x﹣1|在区间（﹣∞，0）上是减函数，故f（a）＞f（b）＞f（c），与题设矛盾，所以A不正确；对于B，若a＜0，b≥0，c＞0，可设a=﹣1，b=2，c=3，此时f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故B不正确；对于C，取a=0，c=3，同样f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故C不正确；对于D，因为a＜c，且f（a）＞f（c），说明可能如下情况成立：（i）a、c位于函数的减区间（﹣∞，0），此时a＜b＜c＜0，可得f（a）＞f（b）＞f（c）与题设矛盾；（ii）a、c不在函数的减区间（﹣∞，0），则必有a＜0＜c，所以f（a）=1﹣2a ＞2c﹣1=f（c），化简整理，得2a+2c＜2成立．综上所述，可得只有D正确故选：D．二、填空题（本大题共3小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一．每小题5分，共20分．请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）.11．（5分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．【解答】解：函数f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数∴f（x）+f（﹣x）=0，∴2x+2﹣x lga+2﹣x+2x lga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0∴lga=﹣1∴a=故答案为：．12．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：313．（5分）当k＞0时，两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为．【解答】解：由两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形如图，联立，解得B（）．则=．当且仅当k=，即k=时上式取等号．故答案为：．三、（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为．【解答】解：由题意得点A（2，0），直线l为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，即x+y+2=0，∴点A到直线l的距离为=2，故答案为2．四、（几何证明选讲选做题）15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．【解答】解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割线由切割线定理可得：AB2=AC•AD由AC=4，AB=6，故AD=9故CD=5又∵P是弦CD的中点故PC=PD=由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=故答案为：五、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin （B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．17．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．【解答】解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（1分）其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，不大于0的老龄人共有70人，…（5分）所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e．…（7分）从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B，则P（B）=…（12分）18．（14分）a∈R，解关于x的不等式≥a（x﹣1）．【解答】解：原不等式可转化为≥0（*）．（1）当a=1时，（*）式为≥0，解得x＜0或x≥1．（2）当a≠1时，（*）可式为≥0①若a＜1，则a﹣1＜0，＜0，解得≤x＜0，或x≥1；②若1＜a≤2，则1﹣a＜0，≥1，解得x＜0，或1≤x≤；③若a＞2，则a﹣1＞1，0＜＜1，1﹣a＜0，解得x＜0，或≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x＜0或x≥1}当a＜1时，不等式解集为{x|≤x＜0，或x≥1}当1＜a≤2时，不等式解集为{x|x＜0，或1≤x≤}当a＞2时，不等式解集为{x|x＜0，或≤x≤1}．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P﹣ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE ∴BC∥ED．∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∴DE⊥平面PAC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DE⊥PC，又∵PC⊥AD，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，∴AE⊥PC，∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．==．∴V ABCED===6．20．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n （1）求a1（2）求数列{a n}的通项；（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．【解答】解：（1）令n=1，得a12+a1=2S1=2a1，∵a1＞0，∴a1=1，（2）又a2n+a n=2S n，有a2n+1+a n+1=2S n+1，两式相减得并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}是以a1=1，公差为1的等差数列，通项公式为a n=1+（n﹣1）×1=n；（3）n=1时b1=1＜符合…（9分）n≥2时，因为==2（﹣）所以T n=b1+b2+…b n＜1+2（++…+﹣）=1=∴T n＜．21．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证：m＜n；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=（2x﹣3）•e x+（x2﹣3x+3）•e x=x（x﹣1）e x，由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0；∴t的取值范围为（﹣2，0]．（2）证明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，∴f（x）在x=1处取得极小值e，又∵f（﹣2）=m=＜e=f（1），∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）．从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n；（3）证明：∵=﹣x0，∴=（t﹣1）2可化为﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，则证明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数．∵g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣（t+2）（t﹣4），g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=（t+2）（t﹣1），①当t ＞4或﹣2＜t ＜1时，g （﹣2）•g （t ）＜0，则方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有且只有一解；②当1＜t ＜4时，g （﹣2）＞0，且g （t ）＞0，又∵g （0）=﹣（t ﹣1）2＜0，∴方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有解，且有两解； ③当t=1时，g （x ）=x 2﹣x=0，从而解得，x=0或x=1，故方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有且只有一解； ④当t=4时，g （x ）=x 2﹣x ﹣6=0，从而解得，x=﹣2或x=3，故方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有且只有一解；综上所述，对于任意的t ＞﹣2，总存在x 0∈（﹣2，t ），满足=（t ﹣1）2；当方程=（t ﹣1）2在（﹣2，t ）上有唯一解时，t 的取值范围为（﹣2，1]∪[4，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题

2014学年度上学期期中考试高二理科数学试题命题人：黄俊斌审题人：何历程参考公式：台体体积：1(3V hS S +=+上底下底锥体体积：Sh V 31=错误！未找到引用源。

，球体体积：334R V π=错误！未找到引用源。

球表面积：错误！未找到引用源。

柱体体积：ShV =一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分）2、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π3、在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )A. B.D.14、直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α, a//b 则 a//αC 、若a//α,α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 5、 a, b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。

其中正确命题的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.36、如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（）A 、AC ⊥SBB 、AB ∥平面SCDC 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角7、任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（） A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心8、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是( ) A 、23 B 、34 C 、45 D 、56二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30 分）9、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是． 10、以点（2，－1）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是_______________________ 11、与直线01125=++y x 平行，并且与其距离等于2的直线方程是_____________ 12、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为13、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB=6，BC=则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．14、如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形; ②当12CQ =时,S 为等腰梯形; ③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S三、解答题（本大题共6个小题，15、16两题各12分，其余各题14分，共80分。

广东省佛山市第一中学高二数学上学期期中试题理

1 A佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学试题参考公式：24r S π=球表面积，rl S π=圆锥侧，334r V π=球，h r V 231π=圆锥一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。

每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1310y ++=的倾斜角是（） A 、56π B 、3π C 、23π D 、6π2、已知A （2，4）与B （3，3）关于直线m 对称，则直线m 的方程为（） A 、x+y=0 B 、x-y=0 C 、x+y-6=0 D 、x-y+1=03、如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（） A 、BD ∥平面CB 1D 1 B 、AC 1⊥BDC 、AC 1⊥平面CB 1D 1 D 、异面直线AD 与CB 1所成的角为60°4、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（） A 、π350 B 、π50 C 、π32125 D 、π321000 5、如图是某实心几何体的三视图，其中主视图和侧视图是半径为1的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积是（） A 、π B 、π2 C 、π3 D 、π4 6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A 、 45B 、60 C 、 75 D 、307、如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为（）A 、242aB 、2aC 、222aD 、22a8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A 、30 B 、60 C 、90 D 、1209、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（） A 、γα⊥，且γβ⊥ B 、n m ,是两条异面直线，且ββ//,//n m ，αα//,//n m C 、n m ,是α内的两条直线，且ββ//,//n mD 、α内存在不共线的三点到β的距离相等10、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（） A 、1 BC 、2 D 、 11、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段AC 1上有两个动点E ，F ，且.给出下列四个结论: ①CE ⊥BD ；②三棱锥E —BCF 的体积为定值；③△BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线. 其中，正确结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、412、设Q P ,分别为直线0=-y x 和圆()2622=-+y x 上的动点，则PQ 的最小值为（）A 、、C 、、4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在矩形ABCD 中,AB 3BC =,BE AC ⊥, 垂足为E ,则ED =_______.14、已知直线m:02=-+y x 与圆C:1)2()1(22=-+-y x 相交于B A ,两点，则弦长=AB ________________.15、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AECE=_______________． 16、已知光线经过点A （-1，2），由镜面所在直线y=x 反射后经过点B （1，4），则反射光线所在直线方程为π120_______________________ .三．解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆相切于点A ，过P 作直线与圆交于C 、D 两点，点B 在圆上，且C CD ∠PA =∠B ．（1）证明：//CD AB ；（2）若AC PC 2=18、（本小题满分12分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点.（1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()1,2-P 作圆C 的切线，求该切线的方程及切线的长.19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，1,D D 分别是11,C B BC 的中点. （1）求证：;1D C AD ⊥（2）求证：.//111B D A ADC 平面平面20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为直角梯形，且//A D B C ，90A B C P A D ∠=∠=︒，侧面P A D ⊥底面A B C D ．若121====AD BC AB PA ．（1）求证：C D ⊥平面PAC ；（2）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由.21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，,,.将ADC ∆沿折起,使平面ACD平面,得到几何体,如图所示（2）.（1）求几何体的体积；（2）求二面角C AB D --的正切值; （3）求几何体的外接球的表面积.22、（本题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE ．将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE ．（1）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；（2）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．D ABC -D ABC -2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答卷座位号：一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）请把答案涂在答题卡二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、；14、；15、；16、；三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分） 18、（本小题满分12分）考号：班级：姓名：试室号：20、(本小题满分12分)佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答案一、选择题ADDC CACB DBBA 二、填空题 13、22114、2 15、31 16、 y=-5x+9三、解答题17、(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点，点在圆上，且．（1）证明：；（2）若AC PC 2=，求．（1）证明：直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点 ∴ABC PAC ∠=∠------------------------------------2分∴ABC BCD ∠=∠-----------------------------------------3分∴-------------------------------------5分（4）解：由（1）得，ABC PAC ∠=∠∴ACP BAC ∠=∠---------------------------------------------------------7分 ∴CBA PAC ∆∆~--------------------------------------------------------9分 ∴2==CAPCBC AP ------------------------------------------------------10分 18、（本题满分12分）已知圆心（1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()1,2-P 作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.AP C D B C CD ∠PA =∠B //CD AB CAPB PA A PCD C CD ∠PA =∠B //CD AB //CD AB ()(1,2)0,1C，且经过点解：（1）圆C 的半径分所以圆C 的标准方程： ------------------------------4分（2）由题意知切线斜率存在,故设过点的切线方程为-----------------6分即，，解得，------------------------------------------8分所求切线的方程为-----------------------------------10分由圆的性质可知：-----------12分（本题12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，1,D D分别是11,C B BC 的中点，求证：D C AD 1⊥；（2）求证： .//111B D A ADC 平面平面（1）证明：底面边长均为2，D 是BC 中点∴BC AD⊥ ----------------------------1分三棱柱111C B A ABC-的侧棱垂直于底面，ABC 面⊂AD∴1BB ⊥AD-----------------------------------------2分 11BCC B 面⊂BC，111BCC B 面⊂BB ，B BB BC =⋂1∴11面BCC B AD⊥ -----------------------------------------------------3分111BCC B 面⊂DC∴1DC ⊥AD ----------------------------------4分（2）证明：连结C A 1交1C A 于O ，连结DOO 是正方形11AACC对角线的交点∴O 为C A 1中点D 是BC 的中点∴OD//B A 1，且111ADC 面B A ，面⊄⊂ADC OD--------------6分715010x y x y --=+-=或r ==()()22122x y -+-=(2,1)P -1(2)y k x +=-210kx y k ---==2670k k ∴--=71k k ==-或∴=PA PB =E FP∴11面//ADC BA ---------------------------7分1,D D 分别是11,C B BC 的中点，∴1111,//DD AA DD AA = ∴四边形D D AA 11是平行四边形 ∴11//D A AD-----------------------------------------------------------9分1111ADB AD 面，面⊂⊄ADB D A∴111ADB //D A 面-------------------------------------------------10分1111A B A D A =⋂∴.//111B D A ADC 平面平面 ----------------------------------------12分 20、（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（1）证明：因为，所以．又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面． -----------------------------------------------2分而底面，所以． -----------------------------------------------3分在底面中，因为，，所以，所以． -------------------------------------5分又因为，所以平面． ------------------------------------6分（2）在上存在中点，使得平面，P ABCD -ABCD //AD BC 90ABC PAD ∠=∠=︒PAD ⊥ABCD 12PA AB BC AD ===CD ⊥PAC PA E //BE PCD E 90PAD ∠=︒PA AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PA ⊥ABCDCD ⊂ABCD PA ⊥CD ABCD 90ABC BAD ∠=∠=︒12AB BC AD ==2AC CD AD ==AC ⊥CD PA AC A=CD ⊥PAC PA E //BE PCDAC BC ==ABCD 1122 2.22ADC S AD CD ∆=⋅=⨯⨯=证明如下：设的中点是，连结，，，则，且．------------------------8分由已知，所以． --------------------------------9分又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．--------11分因为平面，平面，所以平面． -------------------12分21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，,,.将ADC ∆沿折起,使平面ACD 平面,得到几何体,如图所示（2）.求几何体的体积；求二面角C AB D --的正切值;求几何体外接球的表面积.（1）解：在直角梯形中， ∴, ∴ 即∵平面底面，且交线为，平面∴平面分在中， -------------- ∴∴几何体的体积为———---------------------------4分解：记AC 中点为E ，过E 作AB EH ⊥，连结DE ，DHAD=DC,E 为AC 中点∴AC DE ⊥90ADC ∠=︒D ABC -D ABC -//CD AB 4,2AB AD CD ===AC ⊥ABC D ABC -BC =11233D ABC B ACD ACD V V S BC --∆==⋅=⨯⨯=D ABC -3222AC BC AB +=90ACB ∠=︒.BC AC ⊥ACD ⊥ABC AC BC ⊂ACD BC ⊥ACD Rt ADC ∆PD F BE EF FC //EF AD 12EF AD =90ABC BAD ∠=∠=︒//BC AD 12BC AD =//BC EF BC EF =BEFC //BE CF BE ⊄PCD CF ⊂PCD //BE PCD平面ACD平面，AC ACB ACD =⋂面面 ACB DE 面⊥∴ -------------------------------------------------5分AB DE ⊥∴又 AB EH ⊥，且E HE DE =⋂，DHE HE DHE,面面⊂⊂DEDHE AB 面⊥∴-----------------------------------------------6分AB DH ⊥∴DHE ∠∴是二面角C AB D --的平面角-------------------------7分 DE=2，HE=1 -----------------------------------------8分 2tan =∠∴DHE ----------------------------------------------------9分（3）解：O 为AB 中点，E 为AC 中点，连结DE ，EO ，DOACB DE 面⊥ ，DE=OE=2OE DE ⊥∴,2=∴DO --------------------------10分又2===CO BO AO∴的外接球的球心为O ，半径为2----------------------------------11分∴的外接球的表面积为π16---------------------------------------12分22、（本题12分）如图1，直角梯形中，,，2=BC ．交于点，点,分别在线段,上，且．将图1中的沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面（如图2所示），连结、，、．（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：∵，，42==AB CD又BC AE //交CD 于点E ．∴四边形ABCE 是边长为的正方形 ----------------------------------1分∴BE AC ⊥，AE DE ⊥．又∵平面ABCD //,90AB CD ABC ∠=︒42==AB CD //AE BC CD E G H DA DE //GH AE AED ∆ABCE BD CD AC BE ⊥DAC DEB GHE B -BG BCD CD AB //︒=∠90ABC 2ADE ABCE ⊥平面平面∴ ------- -------------------3分 ∵，∴DE AC ⊥ ------------------------ --4分又E BE DE =∴-------------------------5分 ∵ ∴平面 --------------------------- 6分（2）解：由（Ⅰ）知，，设，则（）由，得到，从而， ---------------------------------------7分根据时，三棱锥体积最大，此时，为中点．------------------------8分设直线与平面所成的角为,θ,////,//BC GH BC AE AE GH ∴ ⊂BC 平面BCD , ⊄GH 平面BCD∴//GH 平面BCD∴G 到平面BCD 的距离d 就是到平面BCD 的距离， ---------------------9分 BC S d S V V DCH BCD DCH B BCD H ⋅=⋅∴=∆∆--3131, 1212121,222222121=⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅=∆∆CE DH S CD BC S DCH BCD.22=⋅=∴∆∆BCD DCH S BC S d -----------------------------------11分又.63622sin ,6==∴=θBG ---------------------------------12分H ED BG BCD ADE ABCE AE =平面DE ABCE ⊥平面DAC DEB ⊥平面EC AE ⊥CE AB //DAE AB 面⊥2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x 1=x GHE B -。

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题带答案及评分标准

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科） 2015.1本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2．已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R MN =ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．(]0,1D ．[)0,1 3．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1 BCD ．2 4. 已知,a b ∈R ,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5．已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 6．下列函数中,可以是奇函数的为( )A ．()()=-f x x a x ,a ∈RB ．2()1=++f x x ax ,a ∈RC ．()2()log 1=-f x ax ,a ∈RD ．()cos =+f x ax x ,a ∈R 7．已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ) A . 45 B . 55 C . 10! D . 1010二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．如果()1,1sin ,1x f x x x ì£ïï=íï>ïî,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 10.不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .11.已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为__________. 12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为__________.13.如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,PA 、PB 是圆O 的两条切线,切点分别为A 、B ,PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点,若PB =1MC =,则CD = . 15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线1C:)sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______. C图1O DCA MPB图22013年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表表2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点? 图32014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据表118.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是ABC ∠=60︒的菱形,M 为棱PC 上的动点,且PMPCλ=([λ∈(Ⅰ) 求证:△PBC 为直角三角形；(Ⅱ) 试确定λ的值,使得二面角P AD M --19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ). (Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).20.(本小题满分14分)已知曲线E :2211x y m m +=-. (Ⅰ) 若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围；(Ⅱ) 已知4m =,()1,0A -和曲线C :()22116x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数). 图68π3π2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．[必做题] 9．1 10．(][),24,-∞-+∞ 11．112-或 12．96625(或0.1536) 13[选做题] 14．2 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分所以sin sin cos cos sin 6343434f πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224-⨯=.………4分 (Ⅱ)因为2x ππ-≤≤,所以532x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分画出函数()y f x =在区间,⎡⎤-上的图像如图所示!由图象可知函数()y f x =在,22-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28-- ⎪⎝⎭,,82 ⎪⎝⎭.…………12分 17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分2014年11月的优良率为:3026, …………9分 ………8分2014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OCOP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥,即90PCB ∠=︒,从而△PBC 为直角三角形.………………5分说明:利用PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分! (Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD .………………6 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(P ,()0,1,0A -,()0,1,0D ,)C,(3,0,PC =………………7分由PM PC λλ==可得点M 的坐标为),………………9分所以()3AM =,()3,DM =-,设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即))00x y z x y z ++=-+= 解得10x z y λλ-⎧=⎪⎨⎪=⎩,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,………………11分显然平面PAD 的一个法向量为()3,0,0OC =,………………12分依题意cos ,5OC OC OCλ⋅===n n n ,解得13λ=或1λ=-(舍去), 所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为5.………………14分[传统法]由(Ⅰ)可知AD ⊥平面POC ,所以AD OM ⊥,AD OP ⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角,即cos POM ∠=,………………8分在△POM 中,sin POM ∠=,PO =,4OPM π∠=,所以sin sin 4PMO POM π⎛⎫∠=∠+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 44POM POM ππ=∠+∠=,………10分由正弦定理可得sin sin PM PO POM PMO =∠∠,510=,解得PM =………………12分又PC =,所以13PM PC λ==, 所以,当13λ=时,二面角P AD M --………………14分19.【解析】(Ⅰ)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ……………………………………1分当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………………………………2分(Ⅱ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n n S n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- ……………………………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………………………6分所以()1n n S n n +=，即21n n S n =+ ……………………………………………7分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. ……………………………………………8分方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,…………………………………4分下面用数学归纳法证明: ①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ……………………………………………5分 ②假设()*n k k =∈N ,猜想也成立,即()111k a k k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+-P AB C DMO整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++ 即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有()111n a n n =-+. ……………………………………………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………………………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭………11分当1=n 时,13522T =<成立； …………………………………………………12分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上所述,命题得证. ………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线E 为双曲线,所以()10m m -<,解得01m <<, 所以实数m 的取值范围为()0,1.…………………………………………………4分 (Ⅱ)结论:l 与曲线E 相切.………………………5分证明:当4m =时,曲线E 为22143x y +=,即223412x y +=, 设()00,P x y ,其中()2200116x y -+=,……………………………………6分线段PA 的中点为001,22x y Q -⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为001y k x =+,………………………………7分当00y =时，直线l 与曲线E 相切成立.当00y ≠时，直线l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即2200000112x x y y x y y ++-=-+,…9分因为()2200116x y -+=,所以220001214x y x +-=+,所以000017x x y x y y ++=-+,………………10分代入223412x y +=得220000173412x x x x y y ⎡⎤+++-=⎢⎥⎣⎦, 化简得()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦,…………12分即()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=,所以()()()()222200006417471610x x x x ∆=++-+⨯+=所以直线l 与曲线E 相切.……………………………………………………14分说明:利用参数方程求解正确同等给分!21.【解析】(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x -++'=,………………………………………………2分令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. …………………………………………………6分 (Ⅱ)由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a aa '=+>--,…………………………………9分故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-,………11分由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,…………………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1x h x x =--,则()e 10xh x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,…………………………13分所以()()00h x h >=,即e 1xx <-,故()()1e x f x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx xx x x -++>=--…………………………………………………………14分2015届佛山一模理科数学评分细则(补充)第16题三角函数(Ⅰ) ① ……4…得4分； ② 2ω=,得2分； ③ 2ππω=，得1分； ④ sin 634f πππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1分； ⑤ sin 34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开正确得1分；(Ⅱ) ① 图形画对得6分； ② 有列表或图象有描对1,2个点或有曲线的趋势,得1分； ③ 图象不完整,大部分对得3分； ④ 画成折线,趋势都对,扣1分； ⑤ 单调区间无论开闭都不扣分；⑥ 写成“”或“或”扣1分；⑦ 列出一个单调区间得1分.第17题统计(Ⅰ) 分布表:频率填写成近似值不扣分(0.067,0.233,0.400,0.167,0.033,0.100)① 只要填对一个给1分；② 填错不超过一半给2分； ③ 填错超过一半给1分；④ 全对给3分. 直方图:只要六个方图作出来,高度不太离谱给3分. ① 只要作正确一个给1分； ② 错误不超过一半给2分. (Ⅱ) ① 只要有计算式,给1分；19300.633≈,只要在0.6~0.7均给2分； ②260.86730≈,只要在0.8~0.9给1分； ③ 若没有用增长率不给分!730只要在23%~24%给2分.只要有答不扣分.第18题立体几何第19题数列第20题解析几何(Ⅱ) ① 判断出相切给2分；第 11 页共 11 页由题意得曲线E :22143x y +=,设CP 与直线l 的交点为(),Q x y ,由中垂线性质知QA QP =, 所以4QA QC QP QC R AC +=+==>,所以Q 点轨迹是以,A C 为焦点,长轴为4的椭圆,易得Q 点轨迹方程为22143x y +=. 所以Q 为曲线E 上的点,即l 与曲线E 有交点.假设l 与曲线E 还有其他交点M , 同理可得24MA MC MP MC a R CP +=+====,所以,,C M P 三点共线,故,M Q 重合, 故l 与曲线E 有唯一交点,即l 与曲线E 的位置关系是相切,得证！第21题函数导数(Ⅰ) 第一问给分说明:① 定义域正确必得1分；② 求导正确给至2分(有无定义域都是2分)；③ 构造()()()1ln 1g x x x x =-++,然后正确证明同样给满分.(Ⅱ) 第二问给分说明:① 得出1x =处导数值为1得1分；整理后再得1分.③ 得出0a =但没理由支撑扣1分；但整道题只是给给出0a =只能得1分.(Ⅲ) 第三问给分说明:若纯粹用图形得到1e xx +<扣1分.。

2015佛山一中高三上期中考试题11月

2015学年度上学期期中考试高三级物理科试题命题人：李红澜本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共110分。

测试时间90分钟。

第Ⅰ卷 (选择题，共40分)一、选择题(本题共12小题，单选每小题3分，多选每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，第1～8小题，只有一个选项正确；第9～12小题，有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

)1．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t ＝2 s 内物体位移最大的是( )2．如图所示，一质量均匀的实心圆球被直径AB 所在的平面一分为二，先后以AB 沿水平和竖直两种不同方向放置在光滑支架上，处于静止状态，两半球间的作用力分别为F 和'F ,已知支架间的距离为AB 的一半，则'FF 为（）A B D 3. 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G ．关于四星系统，下列说法不正确的是A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为2aC ．四颗星表面的重力加速度均为2mG RD ．四颗星的周期均为2π4.在灭火抢险的过程中,消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。

如图所示,为了节省救援时间,消防车向前前进的过程中,人相对梯子匀加速向上运动,在地面上看消防队员的运动,下列说法中正确的是( ) A.当消防车匀速前进时,消防队员可能做匀加速直线运动 B.当消防车匀速前进时,消防队员水平方向的速度保持不变C.当消防车匀加速前进时,消防队员一定做匀变速曲线运动D.当消防车匀减速前进时,消防队员一定做匀变速曲线运动5．起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是()6．实验室常用的弹簧测力计如图甲所示，有挂钩的拉杆与弹簧相连，并固定在外壳一端O上，外壳上固定一个圆环，可以认为弹簧测力计的总质量主要集中在外壳（重量为G）上，弹簧和拉杆的质量忽略不计。

广东省佛山一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)-Word版含解析

2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．直线x+3y+1=0的倾斜角是( )A．B．C．D．2．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=03．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )A．B．125 C．50π D．125π5．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是( )A．πB．2πC．3πD．4π6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A．75° B．60° C．45° D．30°7．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )A．a2B．a2C．2a2D．2a28．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等10．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为( )A．1 B．C．2 D．211．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．412．设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为( ) A．B．C．D．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=__________．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦长|AB|=__________．14．已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：15．如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=__________．16．已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为__________．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．18．已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．21．如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC 折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC 的外接球的表面积．22．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．直线x+3y+1=0的倾斜角是( )A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角．【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题．【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为 k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选 D．【点评】本题考查求线段的中垂线所在的直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．3．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．4．长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )A．B．125C．50π D．125π【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴V球=π×R3=．故选A．【点评】本题考查球的体积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．5．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是( )A．πB．2πC．3πD．4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个球，其半径为1，则该几何体的全面积由半个球的表面积和一个大圆面积组成，分别代入球的表面积和圆面积公式，即可求出答案．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选C．【点评】本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题．其中根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】棱锥的结构特征；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】数形结合．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解析：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PA O即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选 C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．7．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )A．a2B．a2C．2a2D．2a2【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y 轴上，由此可以求得原平面图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．8．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】通过举反例推断A、C、D是错误的，即可得到结果．【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B 错误．故选B．【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．10．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为( )A．1 B．C．2 D．2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由BD⊥平面ACC1，知BD⊥CE；由点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，知三棱锥B﹣CEF的体积为定值；线段EF在底面上的正投影是线段GH，故△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，由此能导出△BGH 的面积是定值；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条．【解答】解：∵BD⊥平面ACC1，∴BD⊥CE，故①正确；∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故②正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，∵线段EF的长是定值，∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征．12．设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为( ) A．B．C．D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先由条件求得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d的值，则d减去半径，即为所求．【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d==3，圆的半径r=，故|PQ|的最小值为d﹣r=2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦长|AB|=．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线m：x+y﹣2=0的距离d，即可得出弦长|AB|．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．∴圆心到直线m：x+y﹣2=0的距离d==．∴弦长|AB|=2=．故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，属于基础题．15．如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．【分析】先判断△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，可得AD=2AE，在直角△ADC 中，∠A=60°，可得AC=2AD，从而AC=4AE，故可得结论．【解答】解：连接OD，CD∵DE是圆的切线，∴OD⊥DE，又∵DE⊥AC，∴OD∥AC；∵AB=AC，∴BD=OD；又∵OD=OB，∴OB=OD=BD，∴△BDO是等边三角形，∴∠B=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，∴AD=2AE，在直角△ADC中，∠A=60°，∴AC=2AD，∴AC=4AE∴=故答案为：【点评】本题考查圆的切线，考查比例线段，属于基础题．16．已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为5x+y﹣9=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点的坐标，代入直线方程即可．【解答】解：设A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n），则，解得：，∴反射光线的斜率为：k==﹣5，∴反射光线的直线方程为：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0，故答案为：5x+y﹣9=0．【点评】本题考查了求直线的方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）证明∠ABC=∠BCD，即可证明AB∥CD；（2）若PC=2AC，证明△PAC∽△CBA，即可求．【解答】（1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，∴∠PAC=∠ABC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∠PAC=∠BCD∴∠ABC=∠BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB∥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC∴∠BAC=∠ACP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴△PAC∽△CBA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴==2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可写出圆C的标准方程；（Ⅱ）利用点斜式设出过点P（2，﹣1）作圆C的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与P点的距离满足勾股定理，求出切线长．【解答】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）圆C的半径，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由圆的性质可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的应用，勾股定理是求解切线长的有效方法，也可以求出一个切点坐标利用两点间距离公式求解，考查计算能力．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．【解答】（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AD⊥平面B1BCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DC1⊂面B1BCC1，∴AD⊥DC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示：∵O是正方形ACC1A1对角线的交点∴O为A1C中点∵D是BC的中点∴OD∥A1B，且OD⊂平面ADC1，A1B⊊平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A1B∥平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵D，D1分别是BC，B1C1的中点，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，∴四边形AA1D1D是平行四边形∴AD∥A1D1﹣﹣﹣﹣﹣∵A1D1⊄平面ADB1，AD⊂平面ADB1，∴A1D1∥平面ADB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵A1D1∩A1B=A1，∴平面ADC1∥平面A1D1B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（I）由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出CD2+AC2=1=AD2，从而AC⊥CD．最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面PAC；（II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC．利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BE∥CF．最后利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面PCD．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊂侧面PAD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=AD．∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．∵BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．21．如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC 折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，证明∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角，即可求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为2，即可求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD，∵S△ACD=×2×2=2，∴三棱锥B﹣ACD的体积为：=，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：；（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，∵AD=DC，E为AC中点，∴DE⊥AC，∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DE⊥平面ACB，∴DE⊥AB，又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，∴AB⊥平面DHE，∴DH⊥AB，∴∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角．∵DE=，HE=1，∴tan∠DHE=；（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，∵DE⊥平面ACB，DE=OE=，∴DE⊥OE，DO=2．又∵AO=BO=CO=2，∴D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为2，∴D﹣ABC的外接球的表面积为16π．【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．22．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据折叠前后的边角关系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE为正方形，从而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根据线面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根据面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）根据已知条件知道三直线EA，EC，ED两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，设EH=x，从而表示出HG=2﹣x，三棱锥B﹣GHE的高为AB=2，从而可表示出三棱锥B﹣GHE的体积V=，从而看出x=1时V最大，这时G为AD中点．从而可求G点坐标，求出向量坐标，可设平面BCD的法向量为={x，y，z}，根据即可求出，设直线BG与平面BCD所成角为θ，而根据sinθ=求出sinθ．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；又AE∥BC交CD于点E；∴四边形ABCE是边长为2的正方形；∴AC⊥BE，DE⊥AE；又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；∴DE⊥平面ABCE；∵AC⊂平面ABCE，∴AC⊥DE；又DE∩BE=E；∴AC⊥平面DBE；∵AC⊂平面DAC；∴平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；以E为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；设EH=x，则GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；∴=；∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B﹣GHE体积最大，此时，H为ED中点；∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），；设是面BCD的法向量；则令y=1，得；设BG与面BCD所成角为θ；则=；∴BG与平面BCD所成角的正弦值为．【点评】考查对折叠前后图形的观察能力，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，棱锥的体积公式，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角的概念，直线和平面所成角与直线和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．。

广东省佛山市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

2015学年度上学期期中考试高一级数学科试题一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．1.已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( ) A ．{0,1,2,6,8} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥2)，－x 2＋3x (x ＜2)，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．4 3．以下四个图形中可以作为函数y =f(x)的图象的是（）4．下列各组函数中，两个函数相同的是（）A ．33y =(x)和y =xB ．2y =(x)和y =xC ．2y =x 和2y =(x)D ．33y =x 和2x y =x5.已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )6．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（）A. ()1,0B. ()2,1C.()3,2D.()4,37．已知函数t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－N100 的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t 表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min 的水平，所需的学习时间是 ( )A ．144B ．90C ．60D ．408.设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b << 9．函数的定义域是（）A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭10．设函数()y f x =与函数()y g x =的图象如图所示，则函数()()y f x g x =⋅的图象可能是下面的( )11．将xy 2=的图象关于直线x y =对称后，再向右平行移动一个单位所得图象表示的函数的解析式是（） A ．222log (1).log (1).log 1y x B y x C y x =+=-=+ D ．1log 2-=x y 12. 下列几个命题： ①函数2211y x x --是偶函数，但不是奇函数；②方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③ )(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，)(x f ＝221x x +-，则x ≥ 0时，)(x f ＝ 221x x -++④函数3222x x y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.其中正确的有．A ． ②④B ．①③④C ．①②④D ．①②③二、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应()()0231log 32y x x =--的横线上．13．函数()log (23)1a f x x =-+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是。

广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含答案)-精品

佛山市第一中学2019届高三上学期期中考试数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集，集合，，则A.B.C. D.2. 设命题：若定义域为的函数不是偶函数，则，．命题：在上是减函数，在上是增函数．则下列判断错误的是 A. 为假B. 为真C.为真 D.为假3. 已知，，则B.D.4. 函数的图象大致为A. B.C. D.5. 已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点A.4 B.2D.6. 已知，为平面上的单位向量，与的起点均为坐标原点，与的夹角为D 由的点P那么平面区域DA. B.7. 设命题p ：实数,x y 满足||||1+≤x y ，q ：实数x ，y满足11⎧≤⎪⎪≥-⎨⎪≥-⎪⎩y y x y ，则p 是qA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-B. 2C. D. 89. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则mA. 7B. 6C. 5D. 410. 已知点A ，F ，P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若2PFA PAF ∠=∠C. 2D. 1+11.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是A.B.C. D.12. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =，则120192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. △ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ＝3，c ＝2． O 为△ABC 的外心，则________．15. 已知点(1,2)P -及圆22(3)(4)4x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则||||PQ QT +的值为________．16. 函数2π()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为________．三、解答题：共70分。

佛山市高明区第一中学2015届高三上学期第二次段考(理数)

佛山市高明区第一中学2015届高三上学期第二次段考数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（）A.()2,4--B.()2,4C.()6,10D.()6,10--2. 函数周期为π，其图像的一条对称轴是3x π=，则此函数的解析式可以是（）A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3.已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b （） A ．2BC．D．4.已知2)2sin()cos()sin()2sin(=-+--+-x x x x πππ，则)43tan(π+x 的值为（）A.2B.2-C.21D.21-5.根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的b ∧的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断力约为( )（附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，a y b x ∧∧=-，其中x ，y 为样本平均值) A ．7 B ．7.5 C ．8 D ．8.56.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。

则不同的搜寻方案有（）A ．40种B ．70种C ．80种D ．100种7.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) (A.300B.216C.180D.162 8.设向量),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是（） A ．2 B． C． D ． 4二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题(9～13题)9.若二项式()*1(n n N x+∈的展开式中的第5项是常数项，则n =_______．10．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有个． 11.已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，则cos β= ． 12.如右图,在四边形ABCD 中,13DC AB =,E 为BC 的中点,且AE x AB y AD =⋅+⋅,则32x y -=_______.13.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得 A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线1C 的参数方程为2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数且0t ≠），在以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为__________．15.（几何证明选讲）如图，PT 切圆O 于点T ,PA 交圆O 于A B 、两点，且与直径CT 交于点D ，若236C D A D B D ===，，，则PB =___________．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数)2,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式；（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小.17．(本小题满分12分)已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球. （1）若每次取球后都放回．．袋中，求事件“连续取球四次，至少两次取得白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回．．．袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望.18.(本题满分14分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ,()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m .(1)求sin A 的值;(2)若a =5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影.19.(本题满分14分)如图4,在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,ADC ∠=︒90,1AB AD PD ===,2CD =.(1) 求证://BE 平面PAD ; (2) 求证:平面PBC ⊥平面PBD ;(3) 设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒45.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()244,n S n n n N *=-+∈。

广东省佛山市佛山一中2015届高三数学9月月考试题理(含解析)

佛山市第一中学2015届高三9月考理数试题【试卷综析】试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）【题文】1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1} 【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】C 解析：由已知中阴影部分在集合A 中，而不在集合B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B （属于B 的补集）,即（CRB ）∩A={1，2}．故选C ．【思路点拨】由已知中U 为全集，A ，B 是集合U 的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．【题文】2、设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，i z 211+=，则12z z =A.i 54+B. i 4C. i 5D. 5【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案解析】C 解析：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i ，∴z2=2+i ，∴z1z2=（1+2i ）（2+i ）=5i ，故选：C ．【思路点拨】先求出z2=2+i ，再计算z1z2．【题文】3、下列说法正确的是A ．命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B ．命题“∀x ≥0，x2＋x －1＜0”的否定是“∃x0＜0，x20＋x0－1≥0”C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题【知识点】复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定。

解析版广东省佛山一中高三(上)期中数学试卷

上的极小值为( )
A. 2b−43
B. 32b−23
C. 0
D. b2−16b3
11. 在棱长为 a 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 是侧面 CDD1C1
上的动点，且 B1F//面 A1BE，则 F 在侧面 CDD1C1 上的轨迹的长度是( )
A. a
B. a2
第 9 页，共 19 页
则 b=6ln1−4=−4，则公共点为(1,−4)，则有−4=1+m，解得 m=−5．故选 D．
10.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是中档题．求出函数的导数，根据函数的单调性，求出 b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到 f(2)是函数的极小值即可．【解答】解：f′(x)=(x−b)(x−2)， ∵函数 f(x)在区间[−3,1]上不是单调函数， ∴−3<b<1，由 f′(x)>0，解得：x>2 或 x<b，由 f′(x)<0，解得：b<x<2， ∴f(x)极小值=f(2)=2b−43．故选 A．
第 3 页，共 19 页
20. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为 12，过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且△MNF2 的周长为 8． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 AB 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OA⊥OB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结论．
7. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1−a5−a10−a15+a19=2，则 S19 的值为

广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含答案)

佛山市第一中学2019届高三上学期期中考试数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集，集合，，则A. B.C. D.2. 设命题：若定义域为的函数不是偶函数，则，．命题：在上是减函数，在上是增函数．则下列判断错误的是A. 为假B. 为真C. 为真D. 为假3. 已知，，则A. B. C. D.4. 函数的图象大致为A. B.C. D.5. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点，则抛物A. B. C. D.6. 已知，为平面上的单位向量，与的起点均为坐标原点，与域D的点P 组成，那么平面区域D的面积为A. B.C.D.7. 设命题p ：实数,x y 满足||||1+≤x y ，q ：实数x ，y满足11⎧≤⎪⎪≥-⎨⎪≥-⎪⎩y y x y ，则p 是qA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为A.B. 2C. D. 89. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则mA. 7B. 6C. 5D. 410. 已知点A ，F ，P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若2PFA PAF ∠=∠A.B. C. 2D. 111.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.12. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A. B. C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =，则120192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. △ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ＝3，c ＝2． O 为△ABC 的外心，________．15. 已知点(1,2)P -及圆22(3)(4)4x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则||||PQ QT +的值为________．16. 函数2π()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为________．三、解答题：共70分。

广东佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学

1 A佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学试题命题人：熊艳桃审题人：张燕文参考公式：24r S π=球表面积，rl S π=圆锥侧，334r V π=球，h r V 231π=圆锥一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。

每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1310y ++=的倾斜角是（） A 、56π B 、3π C 、23π D 、6π2、已知A （2，4）与B （3，3）关于直线m 对称，则直线m 的方程为（） A 、x+y=0 B 、x-y=0 C 、x+y-6=0 D 、x-y+1=03、如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（） A 、BD ∥平面CB 1D 1 B 、AC 1⊥BD C 、AC 1⊥平面CB 1D 1 D 、异面直线AD 与CB 1所成的角为60°4、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（） A 、π350B 、π50C 、π32125 D 、π321000 5、如图是某实心几何体的三视图，其中主视图和侧视图是半径为1的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积是（） A 、π B 、π2 C 、π3 D 、π4 6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A 、 45B 、60 C 、 75 D 、307、如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为（）A 、242aB 、2a C 、222a D 、22a8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A 、 30B 、 60C 、 90D 、1209、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（） A 、γα⊥，且γβ⊥B 、n m ,是两条异面直线，且ββ//,//n m ，αα//,//n mC 、n m ,是α内的两条直线，且ββ//,//n mD 、α内存在不共线的三点到β的距离相等10、一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（）A 、1BC 、2D 、 11、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段AC 1上有两个动点E ，F ，且.给出下列四个结论: ①CE ⊥BD ；②三棱锥E —BCF 的体积为定值；③△BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线. 其中，正确结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、412、设Q P ,分别为直线0=-y x 和圆()2622=-+y x 上的动点，则PQ 的最小值为（）A 、B 、C 、D 、4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥, 垂足为E ,则ED =_______.14、已知直线m:02=-+y x 与圆C:1)2()1(22=-+-y x 相交于B A ,两点，则弦长=AB________________.15、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AECE=_______________．16、已知光线经过点A （-1，2），由镜面所在直线y=x 反射后经过点B （1，4），则反射光线所在直线方程为_______________________ .三．解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆相切于点A ，过P 作直线与圆交于C 、D 两点，点B 在圆上，且C CD ∠PA =∠B ．（1）证明：//CD AB ；（2）若AC PC 2=18、（本小题满分12分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点.（1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()1,2-P 作圆C 的切线，求该切线的方程及切线的长.19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，1,D D 分别是11,C B BC 的中点. （1）求证：;1D C AD ⊥（2）求证：.//111B D A ADC 平面平面20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为直角梯形，且//A D B C ，90A B C P A D ∠=∠=︒，侧面P A D ⊥底面A B C D ．若121====AD BC AB PA ．（1）求证：C D ⊥平面PAC ；（2）侧棱P A 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由.21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ACD ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图所示（2）.（1）求几何体D ABC -的体积；（2）求二面角C AB D --的正切值; （3）求几何体D ABC -的外接球的表面积.22、（本题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE ．将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE ．（1）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；（2）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答卷座位号：一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）请把答案涂在答题卡二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、；14、；15、；16、；三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分） 18、（本小题满分12分）考号：班级：姓名：试室号：20、(本小题满分12分)佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答案一、选择题ADDC CACB DBBA 二、填空题 13、22114、2 15、31 16、 y=-5x+9三、解答题17、(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点，点在圆上，且．（1）证明：；（2）若AC PC 2=，求．（1）证明：直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点∴ABC PAC ∠=∠ ------------------------------------2分∴ABC BCD ∠=∠ -----------------------------------------3分 ∴ -------------------------------------5分（2）解：由（1）得，ABC PAC ∠=∠∴ACP BAC ∠=∠ ---------------------------------------------------------7分 ∴CBA PAC ∆∆~ --------------------------------------------------------9分 ∴2==CAPCBC AP ------------------------------------------------------10分 18、（本题满分12分）已知圆心（1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()1,2-P 作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.A P C DBC CD ∠PA =∠B //CD AB CAPB PA AP C D C CD ∠PA =∠B //CD AB //CD AB ()(1,2)0,1C，且经过点解：（1）圆C 的半径分所以圆C 的标准方程： ------------------------------4分（2）由题意知切线斜率存在,故设过点的切线方程为-----------------6分即，，解得，------------------------------------------8分所求切线的方程为-----------------------------------10分由圆的性质可知：-----------12分19、（本题12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，1,D D分别是11,C B BC 的中点，（1）求证：D C AD 1⊥；（2）求证： .//111B D A ADC 平面平面（1）证明：底面边长均为2，D 是BC 中点∴BC AD⊥ ----------------------------1分三棱柱111C B A ABC-的侧棱垂直于底面，ABC 面⊂AD∴1BB ⊥AD -----------------------------------------2分11BCC B 面⊂BC，111BCC B 面⊂BB ，B BB BC =⋂1 ∴11面BCC B AD⊥ -----------------------------------------------------3分111BCC B 面⊂DC∴1DC⊥AD----------------------------------4分（2）证明：连结C A 1交1C A 于O ，连结DOO 是正方形11AACC对角线的交点∴O 为CA 1中点D 是BC 的中点∴OD//B A ，且ADC 面B A ，面⊄⊂ADC OD--------------6分715010x y x y --=+-=或r ==()()22122x y -+-=(2,1)P -1(2)y k x +=-210kx y k ---==2670k k ∴--=71k k ==-或∴=PA PB ==E FP∴11面//ADC BA ---------------------------7分1,D D 分别是11,C B BC 的中点，∴1111,//DD AA DD AA =∴四边形D D AA 11是平行四边形 ∴11//D A AD -----------------------------------------------------------9分1111ADB AD 面，面⊂⊄ADB D A∴111ADB //D A 面 -------------------------------------------------10分1111A B A D A =⋂∴.//111B D A ADC 平面平面 ----------------------------------------12分20、（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（1）证明：因为，所以．又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面． -----------------------------------------------2分而底面，所以． -----------------------------------------------3分在底面中，因为，，所以，所以． -------------------------------------5分又因为，所以平面． ------------------------------------6分（2）在上存在中点，使得平面， ----------------------------------7分证明如下：设的中点是，连结，，，则，且．------------------------8分 P ABCD -ABCD //AD BC 90ABC PAD ∠=∠=︒PAD ⊥ABCD 12PA AB BC AD ===CD ⊥PAC PA E //BE PCD E 90PAD ∠=︒PA AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PA ⊥ABCD CD⊂ABCD PA ⊥CD ABCD 90ABC BAD ∠=∠=︒12AB BC AD ==2AC CD AD ==AC ⊥CD PAAC A =CD ⊥PAC PA E //BE PCD PD F BE EF FC //EF AD 1EF AD =AC BC ==ABCD 1122 2.22ADC S AD CD ∆=⋅=⨯⨯=由已知，所以． --------------------------------9分又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．--------11分因为平面，平面，所以平面． -------------------12分21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ACD ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图所示（2）.（4）求几何体D ABC -的体积；（5）求二面角C AB D --的正切值;（6）求几何体D ABC -外接球的表面积.（1）解：在直角梯形中，∴, ∴ 即∵平面底面，且交线为，平面∴平面分在中， -------------- ∴∴几何体的体积为———---------------------------4分（2）解：记AC 中点为E ，过E 作AB EH ⊥，连结DE ，DHAD=DC,E 为AC 中点∴AC DE ⊥平面ACD DA 平面DE ，AC ACB ACD =⋂面面ACB DE 面⊥∴ -------------------------------------------------5分AB DE ⊥∴BC =112333D ABC B ACD ACD V V S BC --∆==⋅=⨯⨯=D ABC -222AC BC AB +=90ACB ∠=︒.BC AC ⊥ACD ⊥ABC AC BC ⊂ACD BC ⊥ACD Rt ADC ∆90ABC BAD ∠=∠=︒//BC AD 12BC AD =//BC EF BC EF =BEFC //BE CF BE ⊄PCD CF ⊂PCD //BE PCD又 AB EH ⊥，且E H E DE =⋂，DHE HE DHE,面面⊂⊂DEDHE AB 面⊥∴-----------------------------------------------6分AB DH ⊥∴DHE ∠∴是二面角C AB D --的平面角-------------------------7分DE=2，HE=1 -----------------------------------------8分 2tan =∠∴DHE ----------------------------------------------------9分（3）解：O 为AB 中点，E 为AC 中点，连结DE ，EO ，DOACB DE 面⊥ ，DE=OE=2OE DE ⊥∴,2=∴DO --------------------------10分又2===CO BO AO∴DE ABCE ⊥平面的外接球的球心为O ，半径为2----------------------------------11分∴x DH GH -==2的外接球的表面积为π16---------------------------------------12分22、（本题12分）如图1，直角梯形中，,，2=BC ．交于点，点,分别在线段DA ,DE 上，且．将图1中的沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面（如图2所示），连结、，、．（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：∵，，42==AB CD又BC AE //交CD 于点E ．∴四边形ABCE 是边长为的正方形 ----------------------------------1分 ∴BE AC ⊥，AE DE ⊥．又∵平面平面∴ ------- -------------------3分 ∵，∴DE AC ⊥ ------------------------ --4分ABCD //,90AB CD ABC ∠=︒42==AB CD //AE BC CD E G H//GH AE AED ∆ABCE BD CD AC BE ⊥DAC DEB GHE B -BG BCD CD AB //︒=∠90ABC 2ADE ABCE ⊥平面ADE ABCE AE =平面DE ABCE ⊥平面AC ABCE ⊂平面又E BE DE =∴ -------------------------5分 ∵∴平面 --------------------------- 6分（2）解：由（Ⅰ）知DE ABCE⊥平面，，设，则x DH GH -==2（）由，得到，从而， ---------------------------------------7分根据时，三棱锥体积最大，此时，为中点．------------------------8分设直线与平面所成的角为,θ,////,//BC GH BC AE AE GH ∴ ⊂BC 平面BCD , ⊄GH 平面BCD∴//GH 平面BCD∴G 到平面BCD 的距离d 就是到平面BCD 的距离， ---------------------9分 BC S d S V V DCH BCD DCH B BCD H ⋅=⋅∴=∆∆--3131, 1212121,222222121=⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅=∆∆CE DH S CD BC S DCH BCD.22=⋅=∴∆∆BCD DCH S BC S d -----------------------------------11分又.63622sin ,6==∴=θBG ---------------------------------12分H ED BG BCD AC DBE ⊥平面AC DAC ⊂平面DAC DEB ⊥平面EC AE ⊥x EH =20<<x CE AB //DAE AB 面⊥2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x 1=x GHE B -。

广东省佛山市第一中学2015届高三10月段考数学(理)试题 Word版含答案

佛山一中2015届高三上学期数学（理科）段考试题2014.10.14本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x|－x 2－3x>0}，B ＝{x|x<－1}，则A ∩B ＝( )A ．{x|－3<x<－1}B ．{x|－3<x<0}C ．{x|x<－1}D ．{x|x>0} 2．函数2cos 1y x =+在下列哪个区间上为增函数A ．π[0, ]2B ．π[, π]2C ．[]0, πD ．[]π, 2π 3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为 A ． 3 B ．4 C ．6 D ．－6 4．已知函数()12sin()cos()2f x x x ππ=++-，则()f x 是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5．向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝A ．12B ．13C ．14D ．156．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于________．10．已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. 11．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知a =4B π=，，求b .”若破损处的条件为三角形的一个内角的大小，且答案提示b =试在横线上将条件补充完整.12．若数()f x x a =+-a =__________.13．直线2()y x m m R =+∈和圆122=+y x 交于A 、B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为α,β,则)sin(βα+的值为_________.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设A 、B 分别在曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 24y x （θ为参数）和曲线21=ρ上，则||AB 的取值范围是_______15．（几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则OBC S ∆= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .17．（本题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。

广东省佛山市第一中学15—16学年上学期高一期中考试数学试题(附答案)

2015学年度上学期期中考试高一级数学科试题一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．1.已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( ) A ．{0,1,2,6,8} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 x ，－x 2＋3x x ＜，则f (－1)＋f (4)的值为( ) A ．－7 B ．3 C ．－8 D ．4 3．以下四个图形中可以作为函数y =f(x)的图象的是（）4．下列各组函数中，两个函数相同的是（）A ．3y =和y =xB ．2y =和y =xC ．y =2y =D ．y =2x y =x5.已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )6．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（） A. ()1,0B. ()2,1C.()3,2D.()4,37．已知函数t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－N100 的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t 表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间， N 表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min 的水平，所需的学习时间是 ( )A ．144B ．90C ．60D ．408.设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b << 9．函数的定义域是（）A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦C.2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭10．设函数()y f x =与函数()y g x =的图象如图所示，则函数()()y f x g x =⋅的图象可能是下面的()11．将xy 2=的图象关于直线x y =对称后，再向右平行移动一个单位所得图象表示的函数的解析式是（） A ．222log (1).log (1).log 1y x B y x C y x =+=-=+ D ．1log 2-=x y 12. 下列几个命题：①函数y =是偶函数，但不是奇函数；②方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③ )(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，)(x f ＝221x x +-，则x ≥ 0时，)(x f ＝221x x -++④函数3222x x y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.其中正确的有．A ． ②④B ．①③④C ．①②④D ． ①②③二、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应()1y x =-+的横线上．13．函数()log (23)1a f x x =-+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是。

广东省佛山市第一中学2015届高三9月考数学(理)

广东省佛山市第一中学2015届高三9月考数学（理）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}2、设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，i z 211+=，则12z z = A.i 54+ B. i 4 C. i 5D. 53、下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1≥0” C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题 D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 4、若)4,2(∈x ，则下列结论正确的是x 2x 2x 2x2A ．0B ．1C ．2D ．38、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得α≥∠AOB 对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A 、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O 的“确界角”．已知曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0 , 0 , 143 )(2x e x x x f ex（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O 为坐标原点，则曲线C 的相对于点O 的“确界角”为 A ．3π B ．125π C ．2π D ．127π二、填空题：(本题共6个小题，每小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置）9、3216)1258(8log -+= ．10、dx xx ⎰+212)12(＝________．11、已知函数x a ax x x f )1(2131)(23-+-=（a ∈R ）是区间)4,1(上的单调函数，则a 的取值范围是．12、若函数3)2(2)2()(222-+++++=k x x k x x x f 恰有两个零点，则k 的取值范围为；13、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 .14、已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点),(b a P 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”.则函数23)(23--+=x x x x f 图像的对称中心坐标为 .三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答） 15、(本小题满分12分)已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期；（6分）（2）若∀x ∈⎣⎡⎤0，π2，都有f (x )－c ≤0，求实数c 的取值范围．（6分）16、(本小题满分12分)如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.⑴求证：AC ⊥平面BDE ；（5分） ⑵求二面角D BE F --的余弦值；（7分）17、（本小题满分14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测. 下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].（1）求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（5分）（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；（3分）（3）若产品净重在[98，104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望。

广东省佛山一中届高三上学期期中考试(数学理).doc

广东省佛山一中201X 届高三上学期期中考试试题数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 ．若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤1，则B A = A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D. {}x x 0≤≤1 2．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞3.已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(2x x x x f x ，若21)(=a f ，则实数a 的值为A ．－1 B.2 C ．－1或2 D ．1或2-4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．函数y ＝ln1|2x －3|的大致图象为()6．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则 AG →＝A.27a ＋17bB.27a ＋37bC.37a ＋17bD.47a ＋27b 7.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则221y x ++的最大值是A. 5B. 6C. 8D. 108．函数11xy x +=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ． 4 C ． 6 D ．8二.填空题：本大题共6小题，考生做答6小题，每小题5分, 共30分．（一）必做题（9～12题）9．不等式212-<-x x 的解集为 .10．若6x ⎛- ⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .11 ．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角B ＝ .12．已知8,0,0=++>>ab b a b a ，，则b a +的最小值是 .13．如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行．其中真命题是是 _______.（填写真命题的序号）（二）选做题：（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为3)6sin(=-πθρ，点)3, 2(πA 到曲线C 上点的距离的最小值．15.如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的大小为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , 已知4A π=，4cos 5B =. （I ）求cos C 的值；（II ）若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.17．(本题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10图乙图甲M （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18. (本题满分14分)如图甲，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2DAB π∠=，点M 、N 分别在AB ，CD 上，且MN AB ⊥，MC CB ⊥，2BC =，4MB =，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）.（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）当DN 的长为何值时，二面角D BC N --的大小为30︒？19. （(本题满分14分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学(理)试题及答案

佛山一中2015届高三上学期期中数学（理科）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为（）A ．2i +B ．2i -C ．5i +D ．5i -2 .已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. 34 B. 4 C. 324 D. 3343. 设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为（） A. α⊥β, α∩β=l , m ⊥l B. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γ C. α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．275 设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a c b >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >> 6. 设R y x ∈,，向量)4,2(),,1(),1,(-===c y b x a且b c a //,⊥，则x y +=（）A .0 B.1 C.2 D.-27.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边,AB AD 分别交于F E 、两点，且交其对角线于K ，其中，25AE AB =,12AF AD =,AK AC λ=，则λ的值为( )A ．29 B ． 27 C ．25 D ．238．对于下列命题：①命题“错误！未找到引用源。

”的否定是“错误！未找到引用源。

”；②在ABC∆中“B A ∠>∠”的充要条件是“B A sin sin >”；③设32014sinπ=a ,32014cos π=b ， 32014tan π=c ,则b a c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标变为原来的3倍，再向左平移6π个单位，得到函数+=x y sin(23π）图象。

广东省佛山市第一中学高三上学期期中——数学(文)数学

4545输出广东省佛山市第一中学 2015届高三上学期期中数学（文）试题参考公式:.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题的4个选项中，只有1项是正确的。

请把答案填涂在答题卡上）.1. 设集合A={}，则满足AB={0，1，2}的集合B 的个数是( ) A .1 B.3C. 4D. 62．已知复数满足，则（）A. B. C. D.3．函数220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则的值分别是（） A. B. C. D.4. 设，向量)4,2(),,1(),1,(-===y x 且，则（） A .0 B.1 C.2 D.-25. 已知，则（）A. B. C. D.6. 若，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7．如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A ．B ．C ．D ．8. 在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是（）A ．B ．C ．D ．NB9．设函数f (x )＝2x1＋2x －12，表示不超过x 的最大整数，则函数的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 10．已知函数，，且，则下列结论中，一定成立的是 ( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一。

每小题5分，共20分。

请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）. 11. 若是奇函数，则实数=_________. 12. 函数的图像在点处的切线方程为，则 .13.当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为 . 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的极坐标为，直线的极坐标方程为02)sin (cos =++θθρ，则点A 到直线的距离为________．15.(几何证明选讲选做题)如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在中，边，，分别是角，，的对边，且满足：cos (3)cos b C a c B =-.（1）求；（2）若，，求边，的值.17．（本小题满分12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．18．（本小题满分14分）设∈R, 解关于的不等式≥．（要求：对结果作综述．．，解集用区间．．表示）19.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC//平面ADE .（Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积．20 .（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列的前项和为,且. （1）求；(2) 求数列的通项公式； (3) 若,n n b b b T +++=........21，求证：＜.21.（本小题满分14分）已知函数x e x x x f ⋅+-=)33()(2的定义域为，设.（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）求证：；（3）求证：对于任意的总存在满足；又若方程200)1(32)(),,2(,20-='-∈->t e x f t x t x 满足总存在在上有唯一解，请确定的取值范围。

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广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为（）A ．2i +B ．2i -C ．5i +D ．5i -2 .已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. 34B. 4C. 324D. 3343. 设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为（） A. α⊥β, α∩β=l , m ⊥l B. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γ C. α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．275 设232555322555a b c ===（）,（）（，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a c b >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >> 6. 设R y x ∈,，向量)4,2(),,1(),1,(-===y x 且c b c a //,⊥，则x y +=（） A .0 B.1 C.2 D.-27.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边,AB AD 分别交于F E 、两点，且交其对角线于K ，其中，25AE AB =,12AF AD =,AK AC λ=，则λ的值为( )A ．29 B ． 27 C ．25 D ．238．对于下列命题：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②在ABC ∆中“B A ∠>∠”的充要条件是“B A s i n s i n >”；③设32014sinπ=a ,32014cos π=b ， 32014tan π=c ,则b a c >>；④将函数2s i n 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标变为原的3倍，再向左平移6π个单位，得到函数+=x y sin(23π）图象。

其中真命题的个数是（） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30．（一）必做题：（9—13） 9.已知530,0,sin ,cos(),22135ππαββαβα<<-<<=--==则sin 。

10 已知函数()2sin()f x x ωφ=+ 的图像如图所示，则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

11．过点(1,1)A 作曲线2(0)y x x =≥的切线,设该切线与曲线及x 轴所围图形的面积为,S 则S = .12.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为 .13．如图，多面体OABCD ，AB=CD=2，AD=BC=32，AC=BD=10，且OA ，OB ，OC 两两垂直，给出下列 5个结论： ①三棱锥O —ABC 的体积是定值；②球面经过点A 、B 、C 、D 四点的球的直径是13； ③直线OB//平面ACD ；④直线AD与OB所成角是600；⑤二面角A—OC—D等于300．其中正确的结论是____________________。

NB（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线cos()33πρθ-=的距离的最小值是 .15.(几何证明选讲选做题)如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题（共80分）16（本题满分12分）已知21()cos cos 4442x x x f x =++．（1）求f(x)的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，满足（2a -c ）cosB=bcosC ，求)(B f 的值．17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是12，12，23，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ， AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC//平面ADE （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角A DE P --为直二面角时，求多面体ABCED 与PAED 的体积比。

19．（本小题满分14分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T20. （本题满分14分）如图,四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD .(Ⅰ)证明平面⊥AE A 1平面DE A 1;(Ⅱ)若E A DE 1=,试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角1--C A D E 的余弦值.21．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ．（1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．佛山一中2015届高三上学期期中考数学（理科）参考答案及其评分标准就是2sinA cosB = sinBcosC +sinC cosB即2sinAcosB=sin(B+C) =sinA (9)因为2sinA>0所以cosB=12又因为0<B<π所以B=3π (10)所以，f(B)=sin()1126B π++=..12 17. 解用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P （A ）＝P （B ）＝12， P （C ）＝23…………………2分（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是211111()1()()()1().2312-=-=-⋅=P ABC P A P B P C ……………4分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P A B C P A BC P AB C ξ==++＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++＝2221112111()()().2323233⋅+⋅+=…………………6分 (1)()()()P P A B C P A B C P AB C ξ==++=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=2221211111()()().2323233⋅+⋅+⋅=…………………8分 2121(2)()()()()().236ξ====⋅=P P A B C P A P B P C …………………9分 1(3)()()()().6ξ====P P A B C P A P B P C …………………10分所以， ξ的分布列是………11分ξ的期望111170123.33666ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E ………12分18解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC ⊂平面PBC, 平面PBC ⋂平面ADE=DE∴BC//ED …………2分∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ∴PA ⊥BC . ………3分又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∵PA 与AC 是平面PAC 内的两条相交直线…………5分 ∴BC ⊥平面PAC . …………6分又BC//ED∴D E ⊥平面PAC . …………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角， …………10分 ∴90AEP ︒∠=，即AE ⊥PC ， …………11分 ∵AP=AC, ∴E 是PC 的中点，ED 是∆PBC 的中位线。

………12分13==∴--PED BCED PDE A BCED A S S V V ………14分（用向量做对，可酌情给分）19解因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,………2分当1n =时,11a S b r ==+,………3分当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, ………5分又因为{n a }为等比数列,3212a a (b 1)b b a a b r-=⇒=+ 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-………7分（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯………9分则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-………14分20、解(Ⅰ)依题意,CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形,060=∠AEB又00030)120180(21=-⨯=∠CED所以090=∠AED ,AE DE ⊥ …………2分因为⊥1AA 平面ABCD ,⊂DE 平面ABCD ,所以DE AA ⊥1 …………3分因为A AE AA = 1,又1AA ,AE 在平面1AA E 内所以⊥DE 平面AE A 1 …………4分ABCDE1A 1B 1C 1D F因为⊂DE 平面DE A 1,所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 …………5分 (Ⅱ)取1BB 的中点F ,连接EF 、AF ,连接C B 1,则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 …………7分因为3=DE ,2211AE A A E A +=,所以21=A A ,22=BF ,26121=+==EF AF 所以662cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF …………9分(Ⅱ)解法2以A 为原点,过A 且垂直于BC 的直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系设a AA =1(0>a ),)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 21, 23(E (Ⅰ)设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =,则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002123111ap AA n n m n 0=p ,取1=m ,则3-=n ,从而)0 , 3 , 1(1-=n ,同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an =, 直接计算知021=⋅n n ,所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 (Ⅱ)由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=a)0 , 21, 23(=AE ,)2 , 2 , 0(1-=D A 所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66||||cos 11=⋅=D A AE θ (Ⅲ)由(Ⅱ)可知21=A A ,平面DE A 1的一个法向量为2( 3 , 1 , n = 又31=-,02CD ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0A Dn CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩得2y 01y 02⎧=⎪⎨+=⎪⎩ ，令x 1=,则y ==所以(3=1,3,n …………11分设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ,且ϕ为锐角则232323cos =cos ,=n n n n nn ϕ⋅…………13分所以二面角1--C A D E …………14分 21、解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ，令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分 )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ，∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分（2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k n k k k k 111211ln ． ……………12分 ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( 1215131)1ln(++++>+∴n n ．………………………………14分(法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++．根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++，则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<n dx x 1121．……11)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n ]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ， ∴121715131+++++n )12151(31++++=n ⎰++<dx x 11231]3ln )12[ln(2131-++=n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+=223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++，又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2++<+n n n ，)1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ．)1ln(1215131+<++++∴n n ．…………………14分。