极化恒等式在向量问题中的应用专题

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平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)

2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝

向量复习专题二极化恒等式

向量复习专题二极化恒等式一、极化恒等式：222214
a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦
二、极化恒等式的应用
ABC D BC E F AD BA CA=4BF CF=-1BE CE ∆⋅⋅⋅ 例1.如图，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则的值是
AB O M O CD AB=8CD=6.MA MB ⋅∈
例2.若是的直径，是的弦上的一个动点，，则
例 4.在中,,,已知点是内一点,则的最
小值是_______.
()
ABCD OB OC ⋅ 例5.如图放置的边长为1的正方形顶点分别在x 轴，y 轴正半轴含原点滑动，则的最大值为
.3,2,()P ABO OA OB P AB OP OA OB ∆==⋅- 例3为所在平面内一点，线段在线段的垂直平分线上，则
的值为
例6.（2013浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙，则
A. 2π=
∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =
例7.已知圆的半径为，是圆上的两点，且，是圆的任意一条直径，
若点满足，则的最小值为
O 1,A B 3AOB π
∠=MN O C 1(1)()2
OC OA OB R λλλ=+-∈ CM CN ⋅。

高中数学平面向量专题——专题07??极化...

高中数学平面向量专题——专题07 极化...
高中数学平面向量专题——专题07 极化恒等式问题
极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效
1.极化恒等式：
2.极化恒等式三角形模型：
3. 极化恒等式平行四边形模型：
题型总结归类：
类型一利用极化恒等式求值
类型二利用极化恒等式求最值或范围
类型三利用极化恒等式求参数
全国卷向量考察基本送分题，一般难度不大，但是对于基础比较好的多学一点技巧和解题套路，没有坏处。

[玫瑰][玫瑰][玫瑰][玫瑰][撒花][撒花][撒花]。

向量极化恒等式

2 EF
AF
2
21
，选
A。
16
4．（2017 年新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA PB PC 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
解：记 BC 中点为点 D ， AD 中点为点 E ，则
PA
PB PC
题型二：利用极化恒等式求解两向量不同起点，但可转化为两
同起点向量的数量积问题
例 2．（2016 年江苏）如图，在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点， E, F 是 AD 上的两个三等
分点， BA CA 4, BF CF 1 ，则 BE CE
。
解：由极化恒等式：
BA
，其中 D 为 BC
4
中点，此时 AB AC 的值只依赖于 AD 的值，向量数量积的问题转化为两点间距离问题，
难度大大降低。
2、两向量不同起点时，考虑转化为同起点两向量数量积。如例 2 中求解 BE ⋅CE ，两
向量同终点不同起点，但经转化后 BE CE EB EC 同起点，亦可利用极化恒等式求解。
1 4
AB
，且对于边
AB
上
任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 则（
）
A． ABC=90 B． BAC=90 C． AB AC D． AC BC
解：记
AB
中点为点
H
， BC
中点为点
M
，则
PB PC
2 PM
2 BM
，注意到
BM
2
为定
值，即 P 为 P0 时 PM 最小时，故 MP0 AB, CH AB CA CB ，选 D。

巧用极化恒等式,妙解高考向量题

巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上，若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。

平面向量中极化恒等式应用习题

编辑整理：中年油腻大叔276424199@
1 / 1 平面向量中极化恒等式应用
一．秒杀基础题：
1．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7，
则BC →·DC →的值是 ▲ ．
答案：9
2．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13
AB →．若DB →·DC →＝3，则AC 的长是 ▲ ．答案： 10
3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点， 8AB =，6CD =，则MA MB ⋅ 的取值范围是
▲ ．
答案：[9,0]- 4．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅ 的取值范围是 ▲ ．
答案：[)716，
二．难题简单化：
1．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- ，
则BE CE ⋅ 的值是 ▲ . 答案：
78
2．已知点P
是边长为ABC 内切圆上的一点，则.PA PB 的取值范围是 ▲ .
答案：[3,1]-
3．已知C B A ,,是半径为1的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则PA PC PC PB PB PA ⋅+⋅+⋅的取值范围为．答案：4[,4]3-。

极化恒等式在向量问题中的应用专题

极化恒等式在向量问题中的应用专题阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=⋅（三角形模式）例 1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

M图1 AB CM目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅.________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB（也可用正弦定理求AB ）又由极化恒等式得：341222-=-=⋅PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD所以]6,2[-∈⋅PB PA【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

极化恒等式(教师版)

巧用极化恒等式秒杀向量高考题一、极化恒等式：1.极化恒等式：设b a ,是两个平面向量，则有恒等式])()[(4122b a b a b a --+=⋅ （1） 2.极化恒等式的几何意义：向量a 和b 的数量积b a ⋅等于以a 和b 为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的41，即 ][41])[(41])()[(41222222BC AD BC AD b a b a b a -=-=--+=⋅在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即22222241])2[(41])()[(41BC AM BC AM b a b a b a -=-=--+=⋅极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解二、极化恒等式的应用1.（2012年浙江高考15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB解法1：（基底法）)()()()(MA MB MA MB MA MC MA MB AC AB --⋅-=-⋅-=⋅1625922-=-=-=MB MA解法2：（坐标法）以点M 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,5(),0,5(C B -，设)sin 3,cos 3(θθA ，则)sin 3,cos 35(),sin 3,cos 35(θθθθ--=---=AC AB16259sin 925cos 9)sin 3()cos 35)(cos 35(222-=-=+-=-+---=⋅θθθθθAC AB 解法3：（极化恒等式）=⋅AC AB 161004194122-=⨯-=-BC AM2.（2011年上海高考11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，3=AB ，1=BD ，则=⋅AD AB解法1：（基底法）)3132(AC AB AB AD AB +⋅=⋅ AC AB AB ⋅+=313222152********=⨯⨯⨯+⨯= 解法2：（基底法）)(BA BD BA AD AB -⋅-=⋅215921132=+⨯⨯-=+⋅-=BA BD BA解法3：（坐标法）以BC 的中点O 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,23(-B , )233,0(),0,21(A D -，所以)233,21(),233,23(--=--=AD AB所以21542743=+=⋅AD AB 解法4：（转化为其它向量的数量积）取BC 的中点E ，则BD AE ⊥所以=⋅AD AB ED EB AE EB ED AE AE ED AE EB AE ⋅+⋅+⋅+=+⋅+2)()(2152123)233(22=⨯+=⋅+=ED EB AE 解法5：（极化恒等式）取BD 的中点M ，则由极化恒等式知215411)233(412222=-+=-=⋅BD AM AD AB 3.（2016年江苏高考13题）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，F E ,是AD 上两个三等分点，4=⋅CA BA ，1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE解法1：（基底法）设b AC a AB ==,，则4=⋅=⋅=⋅b a AC AB CA BA ①)32()32()()(AC AD AB AD AC AF AB AF CF BF -⋅-=-⋅-=⋅1)22(91)3231()3231()3131()3131(22-=--⋅=-⋅-=-+⋅-+=b a b a b a a b b b a a b a ② 联立①②得229,2=+b a所以))(61[])(61[)()(b b a a b a AC AE AB AE CE BE -+⋅-+=-⋅-=⋅87)5526(36122=--⋅=b a b a解法2：（基底法）设a DF b BD ==,，则49)3()3()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DA DB DA CA BA ① 1)()()()(22-=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DF DB DF CF BF ②联立①②得813,852==b a 所以874)2()2()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DE DB DE CE BE 解法3：（坐标法）以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设)0,(a B -， ),(),2,2(),3,3(),0,(y x F y x E y x A a C ，则4)(9)3,3()3,3(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CA BA ① 4)(),(),(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CF BF ②联立①②得813,85222==+a y x 所以813)(4)2,2()2,2(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CE BE 解法4：（极化恒等式）设a FD EF AE ===，则4419412222=-=-=⋅=⋅BC a BC AD AC AB CA BA ①141412222-=-=-=⋅=⋅BC a BC FD FC FB CF BF ②联立①②得81341,8522==BC a所以=⋅CE BE 87813820414412222=-=-=-=⋅=BC a BC ED EC EB4.若AB 是圆O 的直径，M 是圆O 的弦CD 上的一个动点，8=AB ，6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）设点)0,4(),0,4(B A -，设),(y x M ，则由OC OM OG ≤≤知16722≤+≤y x所以]0,9[1622-∈-+=⋅y x MB MA解法2：（极化恒等式）1641222-=-=⋅MO BC MO MB MA又OC OM OG ≤≤，即]4,7[∈OM ，所以]0,9[-∈⋅MB MA5.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 与点F ，则FB FA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）建系如图，)1,3(),1,3(B A --，设]2,6[),sin 2,cos 2(ππθθθ-∈F ，所以 ]6,0[sin 42)sin 21,cos 23()sin 21,cos 23(∈+=---⋅----=⋅θθθθθFB FA解法2：（极化恒等式）341222-=-=⋅FD BC FD FB FA 因为CD FD BD ≤≤，即]3,3[∈FD ，所以FB FA ⋅]6,0[∈ 6.如图，放置的边长为1的正方形ABCD ，顶点D A ,分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OC OB ⋅的最大值为解法1：（坐标法）设)90,0(0∈=∠θODA ，则)0,(sin θA ，)cos ,0(θD ，)sin cos ,(cos ),sin ,cos (sin θθθθθθ++C B所以22sin 1)cos (sin cos cos )cos (sin ≤+=+++=⋅θθθθθθθOC OB 当且仅当045=θ时等号成立，所以OC OB ⋅的最大值为2 解法2：（极化恒等式）取AD BC ,的中点N M ,，则4141222-=-=⋅OM BC OM OC OB ，又23121=+=+≤MN ON OM所以241)23(2=-≤⋅OC OB ，即OC OB ⋅的最大值为27.（2012年南京模拟）在ABC ∆中，点F E ,分别为线段AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅的最小值是解析：（极化恒等式）由题意知4221=⋅⇒=⋅=∆h BC h BC S ABC 2222224341BC PO BC BC PO BC PC PB +=+-=+⋅322343)2(22≥⋅≥+≥h BC BC h8.（2012年安徽高考题）平面向量b a ,满足32≤-b a ，则b a ⋅的最小值为解法1：222249494432b a b a b a b a b a +=+⋅⇒≤⋅-+⇒≤- 由基本不等式得894449422-≥⋅⇒⋅-≥≥+=+⋅b a b a b a b a b a ，当且仅当略所以b a ⋅的最小值为89-解法2：（极化恒等式）]92[81]22[81)2(21222-+≥--+=⋅=⋅b a b a b a b a b a89)90(81-=-≥，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3202b a b a 即b a ,反向共线且43=a 时等号成立，所以b a ⋅的最小值为89-巩固练习：1.（2007年天津高考15题）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，D 是边BC 的中点，则=⋅BC AD解析：=⋅BC AD 25)49(21)(21)(222=-=-=-⋅+AB AC AB AC AC AB 2.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的动点，则PB PA ⋅的取值范围为解析：过点C 作AB CD ⊥于点D ，则点D 为AB 的中点，32===BC AC AB ，PB PA ⋅341222-=-=PD AB PD因为31≤≤PD ，所以PB PA ⋅]6,2[-∈3.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围为解析：取CD 的中点E ，则441222-=-=⋅PE CD PE PC PD因为522≤≤PE ，所以]160[ ∈⋅PC PD4.（2015年南通三调）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径作圆交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PD PC ⋅的最小值为解法1：（坐标法）解法2：（极化恒等式）取CD 的中点G ，则141222-=-=⋅PG CD PG PD PC又215≤≤-PG ，所以PD PC ⋅]3,525[-∈，所以PD PC ⋅的最小值为525- 5.已知AB 是圆O 的直径，2=AB ，C 是圆O 上异于，点B A ,的一点，P 是圆O 所在的平面上任意一点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为解析：取OC 的中点D ，则21212)41(22)(222-≥-=-⨯=⋅=⋅+PD OC PD PC PO PC PB PA6.（2017年南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3=OA ，5=OC ，若7-=⋅AD AB ，则=⋅DC BC解析：16417419412222=⇒-=-=-=⋅BD BD BD AO AD AB916254122=-=-=⋅=⋅BD CO CD CB DC BC7.如图，在ABC ∆中，已知4=AB ，6=AC ，060=∠BAC ，点E D ,分别在边AC AB ,上，且AD AB 2=，AE AC 3=，若F 为DE 的中点，则DE BF ⋅的值为解法1：（极化恒等式）取BD 的中点N ，连接EB NF ,，则AE BE ⊥，所以32=BE 因为NF 是DBE ∆的中位线，所以3=FN4)1(2)41(22222=-=-=⋅=⋅FN DB FN FD FB DE BF解法2：（基底法）略解法3：（坐标法）略备选题：1.（2008年浙江高考9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量0)()(=-⋅-c b c a ，则c 的最大值为（）A.1B.2C.2D.22 解法1：（代数法）c b a c b a c b a c c b c a ⋅+=⇒=⋅+⋅+-=-⋅-)(0)()()(22所以2cos 2cos 2≤=⇒+=θθc c b a c ，故选C解法2：（坐标法）设),(),1,0(),0,1(y x OC c b a ====，则)1,(),,1(y x c b y x c a --=---=-所以21)21()21(0)1()1()()(22=-+-⇒=----=-⋅-y x y y x x c b c a所以点C 在以点)21,21(为圆心，222≤解法3：（几何法）设b a OD c OC b OB a OA +====,,,2==所以0)()(=-⋅-c b c a CB CA CB CA OC OB OC OA ⊥⇒=⋅⇒=-⋅-⇒00)()(所以点C 在以AB 的最大值为22.（2013年浙江高考7题）设点0P 是ABC ∆的边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00⋅≥⋅，则（）A.090=∠ABC B.090=∠BAC C.AC AB = D.BC AC = 解析：取BC 的中点M ，则22022004141BC M P BC PM C P B P PC PB -≥-⇒⋅≥⋅ 所以M P PM 0≥，所以AB MP ⊥0，所以BC AC =，故选D3.在平面直角坐标系xOy 中，B A ,分别在y x ,正半轴上移动，2=AB ，若点P 满足2=⋅PB PA ，则OP 解析1：（坐标法）设),0(),0,(b B a A ，),(y x P ，则422=+b a2),(),(22=--+=-⋅-=⋅=⋅by ax y x b y x y a x BP AP PB PA by ax y x +=-+⇒222324324)(4))(()()2(222222222222+≤+≤-⇒+=++≤+=-+⇒y x y x y x b a by ax y x]13,13[22+-∈+=y x解析2：（极化恒等式）取AB 的中点Q ，则121==AB OQ⇒=-=-=⋅∴2141222PQ AB PQ PB PA 3=，1313+≤+≤=≤=-∴4.梯形ABCD 中，满足AD // BC ，1=AD ，3=BC ，2=⋅DC AB ，则=⋅BD AC 解析：取BC 的两个三等分点F E ,，G 在CB 的延长线上，且1==AD BG ，则321412222=⇒=-=-=⋅=⋅AE AE BF AE AF AB DC AB=⋅BD AC 1)43()41(22=--=--=⋅-GC AE AG AC5.（2016年南京三模）在半径为1的扇形AOB 中，060=∠AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则BP OP ⋅的最小值为解析：取OB 的中点D ，则41)43(41412222-≥-=-=⋅=⋅PD OB PD PB PO BP OP 161-=6.在等腰直角ABC ∆中，1==AC AB ，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则)()(AM AC AM AE -⋅-的取值范围为解析：取CE 中点D ，则]42343[，∈MD]1167[8141)()(222，∈-=-=⋅=-⋅-MD CE MD MC ME AM AC AM AE7.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是线段AB 上的动点，当AOB ∆的面积最大时，2AP AP AO -⋅的最大值为解析：当AOB ∆的面积最大时，OB OA ⊥，所以PO PA PO AP AP AO AP AP AP AO ⋅-=⋅=-⋅=-⋅)(2取OA 的中点，则222241)41(PM OA PM PO PA AP AP AO -=--=⋅-=-⋅81)42(412=-≤。

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+ 证明：不妨设,AB a AD b ==，则C A a b =+ ，DB a b =- ()22222C 2AC A a ba ab b ==+=+⋅+ ①()222222DB DB a ba ab b==-=-⋅+ ②①②两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD+=+=+ （2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a ba b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=- （M 为BD 的中点）AB CM 【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，·4BA CA = ，·1BF CF =-，则·BE CE 的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD的两个三等分点，若7BA CA ⋅= ，2BE CE ⋅= ，则BF CF ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32B ．32-C ．34D ．34-题型二：范围与最值问题例4．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________.例5．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC =，则BE BF ⋅的取值范围为________________.例6．（2023·陕西榆林·三模（文））四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅的最小值为________.例7．（2023·重庆八中模拟预测）ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，PQ 为ABC 内切圆的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]1,4C ．[]0,9D ．[]1,9题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且2MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =CM CN ⋅ 的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．例10．（2023·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________.【同步练习】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．02．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．[]1,1-3．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A ．4B ．56-C ．103-D ．–34．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在ABC 中，26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==，则AB AD ⋅=（）A ．18B ．9C ．12D ．65．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．166．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 中点.2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值（）A ．0B ．12C ．2D ．67．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，M 是BC 边上的中点，P 是AM 上一点，且满足13BP BA mBC =+ ，则BP AM ⋅=（）．A ．43B ．13C ．13-D ．43-8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC 是边长为1的正三角形，2BD DC =，AB +AC =2AE ，则AE AD ⋅=（）A ．34B ．32C ．38D ．19．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A．B．56-C．34D．12二、填空题10．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，//AB DC，1AD BC==；2AB=，π3ABC∠=，E是BC的中点，则DB AE⋅=_________．11．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）已知AB为圆()22:11C x y-+=的直径，点P为直线20x y-+=上的任意一点，则PA PB⋅的最小值为______．12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则AB AF AC AE⋅+⋅的最大值为______．13．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC中，E为边BC中点，若8BC=，ACE△的外接圆半径为3，则22AB AC+的最大值为________.14．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，3Aπ∠=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN⋅的取值范围是______.15．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）已知圆O的直径AD上有两点B、C，且有2AB BC CD===，MN为圆O的一条弦，则BM CN⋅的范围是______.16．（2023秋·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABCD中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC==∠=︒，动点E和F分别在线段BC和DC上，且1,6BE BC DFλλ==，则AE AF⋅的最大值为__________．17．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，2,45AB DAB==∠= ，E是BC的中点，点P满足2AP AE AD=-，则||PD=________；PE PD ⋅=__________．18．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅=______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅的最小值为______.三、解答题19．（2023·高一单元测试）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A为中点，求BP CQ ⋅ 的最大值．参考答案【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，·4BA CA = ，·1BF CF =-，则·BE CE 的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF BD DF =+，CF CD DF BD DF =+=-+ ，3BA BD DA BD DF =+=+ ，3CA CD DA BD DF =+=-+，所以()()221BF CF BD DF BD DF DF BD ⋅=+⋅-+=-=- ，()()22·3394BD DF BD DF DF B A D BA C =+⋅-+=-= ，可得258DF = ，2138BD =，又因为2BE BD DE BD DF =+=+ ，2CE CD DE BD DF=+=-+所以()()225137224488·8BD DF BD DF DF BD BE CE =+⋅-+=-=⨯-= ，故选：C ．例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD的两个三等分点，若7BA CA ⋅= ，2BE CE ⋅= ，则BF CF ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则222211436=72244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，22221141223232269414FD BC BE CE BC AD BC AD AD BC -⋅=⋅--=-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ，因此221,8FD BC == ，221144181.2244FD BC BF CF BC FD BC FD -⨯-⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32B ．32-C ．34D ．34-【答案】A【解析】取HF 中点O ，则222131(24EF FG EF EH EO OH ⋅=⋅=-=-=,222131()24GH HE GH GF GO OH ⋅=⋅=-=-= ，因此32EF FG GH HE ⋅+⋅= ，选A.题型二：范围与最值问题例4．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，()()22214PM PN PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅-=-=- ，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，min12OP=，当P 与正方形ABCD的顶点重合时，max2OP=，即122OP ≤≤ ，因此，2110,44PM PN PO ⎡⎤⋅=-∈⎢⎥⎣⎦ .故答案为：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例5．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD，AB =12BC =，则BE BF ⋅的取值范围为________________.【答案】[]99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =8GC =，16CD ==，tanBCD ∠=60BCD ∠= .()()()22222112944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 60BP =⨯=所以()(2min999BE BF⋅=-=.当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572BP =+-⨯⨯⨯= ，当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，则222112321231172BP =+-⨯⨯⨯= ，所以()max1579148BE BF ⋅=-= ，即BE BF ⋅ 的取值范围为[]99,148.故答案为：[]99,148例6．（2023·陕西榆林·三模（文））四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅的最小值为________.【答案】27-【解析】由题设，=AC AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，则PA PO OA =+ ，PC PO OC PO OA =+=- ，所以()()2222727PA PC PO OA PO OA PO OA PO ⋅=+⋅-=-=-≥- .故答案为：27-例7．（2023·重庆八中模拟预测）ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，PQ 为ABC 内切圆的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]1,4C ．[]0,9D ．[]1,9【答案】C【解析】由题可知，222AB BC AC +=，所以ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，设内切圆半径为r ，则()113434522ABC S r =⨯⨯=⨯++ ，解得1r =，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是ABC 内切圆的一条直径，所以1OP = ，OQ OP =- ，则MP MO OP =+，MQ MO MO O OQ P =+=- ，所以()()2221MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ⋅=+-=-=- ，因为M 为ABC 边上的动点，所以min 1MO r ==；当M 与C 重合时，max MO 所以MP MQ ⋅的取值范围是[]0,9，故选：C题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．【答案】29-【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO AB ⊥于O ，如图，112PM MN ==，依题意，()()2221CM CN CP PM CP PM CP PM CP ⋅=+⋅-=-=- ，因CM CN ⋅的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此2CO =，在Rt AOC 中，1cos 3CO OCA CA ∠==，sin 3OCA ∠=在Rt BOC 中，2cos 3CO OCB CB ∠==，sin 3OCB ∠=，所以cos cos()cos cos sin sin ACB OCA OCB OCA OCB OCA OCB ∠=∠+∠=∠∠-∠∠29-=.例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN ⋅ 的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．【答案】18-【解析】取MN 的中点P ，取PN PM =- ，12PN PM ==，()()()()214CM CN CP PM CP PN CP PM CP PM CP ⋅=+⋅+=+⋅-=- ，因为CM CN ⋅ 的最小值34，所以min 1CP =．作CH AB ⊥，垂足为H ，如图，则1CH =，又2BC =，所以30B ∠=︒，因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =，cos 4A =，所以()1cos cos 150sin 22ACB A A A ∠=︒-=-+1124=+⨯=故答案为：18-.例10．（2023·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D，如图所示：22111224PB PC PD BC PD BC PD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2200014P B P C P D BC ⋅-= ，00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，222201144PD BC P D BC-≥∴- 0PD P D ∴≥0P D AB ∴⊥，设O 为AB 的中点，001//,2P B OB P D OC OC AB AC BC ∴=⇒⇒⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 【同步练习】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．0【答案】A【解析】由题意可得正方体外接球的直径AB =O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，OA OB =-且OA OB =222()()()3P OA OP OB OP OA OB OA B A PB O OP OP OP OP =-⋅-=⋅-+⋅+=⋅=- ，由212OP ≥=，PA PB ⋅ 的最小值为2132-=-.故选︰A ．2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．[]1,1-【答案】A【解析】当弦MN 的长度最大时，弦MN 过正方形ABCD 的外接圆的圆心O ，因为正方形ABCD 的边长为2，所以圆O 如下图所示：则PM PO OM =+ ，PN PO ON PO OM =+=-，所以，()()22PM PN PO OM PO OM PO OM ⋅=+⋅-=- .因为点P 为正方形四条边上的动点，所以1PO ≤≤又OM = ，所以[]1,0PM PN ⋅∈-，故选：A.3．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A ．B ．56-C ．103-D ．–3【答案】C【解析】由已知，4BA = ，4BC =，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 14482=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+，()1136BE BD BA BC ==+，12BF BC = .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，EC BC BE=- ()16BC BA BC =-+ 1566BA BC =-+ ，所以，11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22175363618BA BA BC BC =-+⋅-17516816363618310=-⨯+⨯-⨯=-.故选：C.4．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在ABC 中，26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==，则AB AD ⋅= （）A ．18B ．9C ．12D ．6【答案】D【解析】2()2B D C BD BD C →→==-，即23BD BC →→=，22123333AD AB BD AB BC AB AC ABAB AC →→→→→→→→→→⎛⎫∴=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，2212122π663cos 6333333123AB AD A A B AB AB AC AB C →→→⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎭+⎝ .故选：D5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】如图所示：连接OD ，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得4ADO ODB π∠=∠=，||OD = ||4AD = ，2ADB π∠=则()()··AB AO AD DB AD DO =++ ，23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+24421422⎛=+⨯-+⨯= ⎝⎭.故选：C.6．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 中点.2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值（）A ．0B ．12C ．2D ．6【答案】A【解析】4AC = ，E 为AC 中点，2AE CE ∴==，()()()()22BA BC BE EA BE EC BE EA BE EA BE EA ⋅=+⋅+=+⋅-=- 2412BE =-= ，4BE ∴= ，122DE BE ∴==，()()()()22DA DC DE EA DE EC DE EA DE EA DE EA ∴⋅=+⋅+=+⋅-=- 440=-=.故选：A.7．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，M 是BC 边上的中点，P 是AM 上一点，且满足13BP BA mBC =+ ，则BP AM ⋅=（）．A ．43B ．13C ．13-D ．43-【答案】D【解析】因为P 是AM 上一点，故可设AP AM λ=，因为M 是BC 边上的中点，所以12BM BC =，所以12AM BM BA BC BA =-=- ，()11122BP BA AP BA AM BA BC BA BA BC λλλλλ=+=+=+-=-+ ，又13BP BA mBC =+ ，所以111,32m λλ-==，故13m =，所以()13BP BA BC =+ ，所以()()()221111132322BP AM BA BCBC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，所以43cos606BC BA ⋅=⨯⨯=，所以111416963223BP AM ⎛⎫⋅=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭ ，故选：D.8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC 是边长为1的正三角形，2BD DC =，AB +AC =2AE ，则AE AD ⋅=（）A ．34B ．32C ．38D ．1【答案】A【解析】由2AB +AC =AE，可知E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，如图所示：因为2BD DC =，根据上图可知16AD AE ED AE BC=+=+ 21364AE AD AE AE BC AE ⎛⎫⋅=⋅+==⎪⎝⎭故选：A9．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A．B ．56-C ．34D ．12【答案】B【解析】由已知，2BA =，2BC = ，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 12222=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+ ，()1136BE BD BA BC ==+ ，12BF BC = .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，EC BC BE =- ()16BC BA BC =-+ 1566BA BC =-+，所以，11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22175363618BA BA BC BC=-+⋅-17554243636186=-⨯+⨯-⨯=-.故选：B.二、填空题10．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD BC ==；2AB =，π3ABC ∠=，E 是BC 的中点，则DB AE ⋅= _________．【答案】94【解析】在梯形ABCD 中，依题意，12CD BA =，而E 是BC 的中点，则12DB DC CB BA BC =+=--，12AE BE BA BA BC =-=-+ ，又22AB BC ==，π3ABC ∠=，所以2211113)()2224(2D BA BC BA BC BA B B AE C BA BC ⋅=--⋅-+=-+⋅2113π9221cos 22434=⨯-+⨯⨯⨯=.故答案为：9411．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）已知AB 为圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线20x y -+=上的任意一点，则PA PB ⋅的最小值为______．【答案】72【解析】圆心()1,0C ，半径为1，且点C 为线段AB 的中点，()()()()2221PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA PC CA PC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，圆心C 到直线20x y -+=的距离为2d ==当PC 与直线20x y -+=垂直时，PC 取最小值，即21PA PB PC ⋅=- 取最小值，且()()22minmin7112PA PBPC d ⋅=-=-=.故答案为：72.12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，∠BAC =60°，点D 为边BC 的中点，E ，F 分别为BD ，DC 的中点，若AD =1，则AB AF AC AE ⋅+⋅的最大值为______．【答案】53【解析】设AC =b ，AB =c ，则1||||cos602bc AB AC AB AC ︒⋅=⨯= ，∵D 为边BC 的中点，∴()12AD AB AC =+ ，∴()222124AD AB AB AC AC =+⋅+ ，即：224b c bc ++=，①又∵222b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号.②∴由①②得：43bc ≤.又∵E 、F 分别为BD 、DC 的中点，∴231)4(41AD AE AB AB AC +=+= ，231)4(41AD AF AC AC AB +=+= ，∴223131113()()4444442AB AF AC AC AB AB AC A C AE AB C AB AB A AC⋅+⋅=⋅++⋅+=++⋅22131145()11442233b c bc bc =++=+≤+⨯=，当且仅当b c =时取等号.∴AB AF AC AE ⋅+⋅ 的最大值为53.故答案为：53.13．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC 中，E 为边BC 中点，若8BC =，ACE △的外接圆半径为3，则22AB AC +的最大值为________.【答案】104【解析】如图所示：1()2AE AB AC =+ ，()222124AE AB AC AB AC =++⋅ ，()()22224242AB AC AE AB AC AE A B E E E A EC ++=-⋅=-⋅+ ()()()()22222222424AE AE AE A A EB EB E A B E E E E B =+----⋅==+ 因为8BC =，所以4EB =.因为ACE △的外接圆半径为3，所以6AE ≤，当且仅当AE 为圆直径时等号成立.所以()()2222223616104A C EB B A AE +≤++== ，当且仅当AE 为圆直径时等号成立.故答案为：10414．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是______.【答案】[2,5]【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B ，因为3A π∠=，1AD =，所以122D ⎛ ⎝⎭，522C ⎛ ⎝⎭，设,[0,1]BM CN BC CDλλ==∈，则52,222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22532225(1)6224AM AN λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=--+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为[0,1]λ∈，所以2(1)6[2,5]λ-++∈，所以AM AN ⋅ 的取值范围为[2,5]，故答案为：[2,5]15．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）已知圆O 的直径AD 上有两点B 、C ，且有2AB BC CD ===，MN 为圆O 的一条弦，则BM CN ⋅ 的范围是______.【答案】1716,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为圆O 的直径AD 上有两点B 、C ，且有2AB BC CD ===，则BC 的中点为圆心O ，故圆O 的半径为3，()()()()BM CN OM OB ON OC OM OB ON OB ⋅=-⋅-=-+ 1OM ON OB ON OB OM =⋅-⋅+⋅- ，由于()()22222OB ON OM OB OM ON OM ON OB ON OB OM +-=++-⋅-⋅+⋅ ()192OM ON OB ON OB OM =-⋅-⋅+⋅ ，且0OB ON OM OB NM +-=-≥ ，当且仅当OB NM = 时，等号成立，7OB ON OM OB NM OB NM +-=-≤+≤ ，当且仅当OB 、MN 方向相同且MN 为圆O 的直径时，两个等号同时成立，故[]0,7OB ON OM +-∈ ，则()[]1920,49OM ON OB ON OB OM -⋅-⋅+⋅∈ ，所以1915,2OM ON OB ON OB OM ⎡⎤⋅-⋅+⋅∈-⎢⎥⎣⎦ ，所以1716,2BM CN ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ .故答案为：1716,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．（2023秋·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,6BE BC DF λλ== ，则AE AF ⋅ 的最大值为__________．【答案】3【解析】由题可得图形如下：由于12112AB AD ⋅=⨯⨯= ，21cos02AB DC ⋅=⨯⨯= ，111122AD BC ⋅=⨯⨯= ，111122BC DC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，因为1,6BE BC DF DC λλ== ，所以011116016λλλ<≤⎧⎪⇒≤≤⎨<≤⎪⎩，则()()()16AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λλ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 11111112666262AB AD AB DC BC AD BC DC λλλλ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯++⨯- ⎪⎝⎭ 1111232λλ=++，1,16λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当且仅当132λλ=，即λ=时取等号，即取最小值，函数1111232y λλ=++在1,63λ⎡∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在λ⎤∈⎥⎝⎦上单调递增，当1λ=时，11111117123212324λλ++=++=；当16λ=时，1111112312321212λλ++=++=，所以AE AF ⋅ 的最大值为3.故答案为：3．17．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，2,45AB DAB ==∠= ，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =- ，则||PD = ________；PE PD ⋅= __________．【答案】5【解析】由题意知245AB AD DAB ==∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB --⋅+=＝2242cos 454210-⨯+⨯= =，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭ ()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；518．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅= ______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅ 的最小值为______.【答案】1336-【解析】因为90ABC ∠= ，162BF AB ==，8BC =，则10CF ==，当3CE =时，7EF =，此时()()()()22227613EA EB EF FA EF FB EF FB EF FB EF FB ⋅=+⋅+=-⋅+=-=-= ；()1EF CF CE CF λ=-=- ，则()222213636EA EB EF FB CF λ⋅=-=--≥- ，当且仅当1λ=时，等号成立，故EA EB ⋅ 的最小值为36-.故答案为：13；36-.三、解答题19．（2023·高一单元测试）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，求BP CQ ⋅ 的最大值．【解析】由题意作出图形，如图，因为90BAC ∠= ，所以0AB AC ⋅= ，因为AP AQ =- ，BP AP AB =- ，CQ AQ AC =- ，所以()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅- ()()AQ AB AQ AC =--⋅- 2AQ AQ AC AB AQ AB AC=-+⋅-⋅+⋅ ()2a AQ AC AB AB AC =-+⋅-+⋅ 2a AQ BC=-+⋅ 212a PQ BC =-+⋅ 22cos ,a a PQ BC =-+ ，故当cos ,1PQ BC = ，即PQ 与BC 同向时，BP CQ ⋅ 取得最大值0．。

极化恒等式的应用

极化恒等式的应用极化恒等式（Polarization Identity）是线性代数中的一个重要定理，它对向量空间内的内积和范数的关系进行了深入的探讨和证明。

极化恒等式不仅在线性代数中具有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学、经济学等多个领域中也有着重要的应用。

本文将介绍极化恒等式的应用，包括其在向量空间的几何意义、特征向量的计算、信号处理、机器学习和经济学等方面的应用。

一、在向量空间的几何意义极化恒等式是向量空间内内积和范数的一个等式，它的几何意义是将内积（或范数）表示为向量之间的内积的线性组合。

极化恒等式表明了向量空间内的任何一个内积可以表示为向量之间的内积的线性组合，这个线性组合的系数是向量空间内的所有向量。

因此，极化恒等式是将内积和范数联系在一起的关键。

具体来说，假设V是一个有限维向量空间，u和v是V中的任意两个向量，则其极化恒等式可以表示为：⟨u,v⟩ = (||u||^2 + ||v||^2 - ||u-v||^2)/2其中，⟨u,v⟩表示u和v的内积，||u||表示u的范数。

这个等式可以表示为u和v之间的距离。

通过极化恒等式，我们可以得到向量空间中的任意两个向量之间的内积和范数的关系，从而为向量空间内的几何结构构建提供了基础。

例如，在计算几何中，利用极化恒等式可以计算任意两个向量之间的夹角，从而计算出向量空间中的长度、角度和曲线等几何问题。

二、特征向量的计算极化恒等式在计算特征向量和特征值方面也具有重要的应用。

这里，特征向量是指一个向量空间中的一个非零向量，其在线性变换下只被缩放，而不改变其方向。

特征向量的计算是线性代数中的一个关键问题，它在信号处理、图像处理和机器学习等领域中有广泛的应用。

通过极化恒等式，我们可以计算特征向量和特征值。

假设A 是一个n*n的实对称矩阵，x是非零向量，λ是实数，则其极化恒等式可以表示为：(Ax)·x = x·(Ax) = λx·x其中，·表示向量之间的内积操作。

极化恒等式(学生版)

课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围；目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。

重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题难点根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式）目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 M图1思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式）例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

极化恒等式在向量问题中的应用专题之欧阳语创编

极化恒等式在向量问题中的应用专题阅读以下资料:引例：平行四边形是标向量加法和减法的用可模型。

你能用向量方法证明：平行四边形的对角线侨方和等于两条邻边平方和的八倍.证明：不妨设二二贝 iAC = a + b, DB =a~b,阿二疋药+匸丨可+2茴+丨兀|丽卜粛二£易胡2我苏冃2 (1)(2)两式相加得 :阿+阿=2(卸+”『卜2(网+阿)结论:平行四边形对角线的平方和即是两条邻边平方和的两倍.思考］:如果将上面(1)(2)两式相减,能获得什么结论呢?打二推+亦_ (二明对上述恒等式，用向量运算显然容易证明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以暗示为以这组向量为邻边的平时间:2021.03.01创作：欧阳语 (1)极化恒等式图欧阳语创编4行四边形的“和对角线〃与〃差对角线〃平方差的;.即：打寸ACf_|则]（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何暗示呢？因为AC = 2AM，所以打日如「一扣3「（三角形模式）例1・（浙江文15）在AABC中，M是BC的中点，#M=3,8C = 10,A则而•疋二一.解：因为M是BC的中点，由极化f CAB-AC=|AM|2=9\100= 16【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线,再写出极化恒等式。

目标检测例2 （自编）己知正三角形内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点，则丙•两'I勺収值范围是•解：取AB的中点D,连结CD,因为三角于正三角形，所以O为三角形ABC的重心且OC=2O£> =2,所以CD=3Z M二2®（也可用正弦定理求AB ）又由极化恒等式得：因为P在圆O上，所以当P在点C处时，I 7Y?lmax= 3当P在CO的延长线与圆O的交点处时，I PD\^= 1所以PAPBe[-2,6]【小结】涉及数量积的规模或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变成单变量，再用数形结合等办法求岀单变量的规模、最值即可。

2021--平面向量--高考极化恒等式在向量问题中的应用

高考极化恒等式在向量问题中的应用大招系列一、秒杀公式的讲解：1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式：2214a b a b a b2.极化恒等式几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即：2214a b AD AB AD AB 或2214a b AC BD平行四边形模式：2214AB AD和对角线差对角线或2214AB AD AC BD3. 极化恒等式的三角形模式：在ABC 中，记M 为BC 的中点，则2214AB AC AM DB二、以例讲法典型类题 1 〖例1〗(2012浙江文)在ABC 中，M 是BC 的中点，3AM ，10BC ，则AB AC.〖例2〗(2007天津文)在ABC 中，2AB ，3AC ，D 是边BC 的中点，则AD BC.〖例3〗点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的底面1111A B C D 上一点，则PA PC的取值范围是；〖例4〗(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF，则0y 的取值范围是.A ,33 .B ,66 .C ,33 .D ,33〖例5〗(2010福建文数)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为.A 2 .B 3 .C 6 .D 8〖例6〗已知A ，B 是圆221x y 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB 的面积最大时，则2AO AP AP 的最大值是.A 1 .B 0 .C 18 .D 12〖例7〗(2017新课标Ⅱ理)已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC的最小值是.A 2 .B 32 .C 43.D 1〖例8〗(2010全国Ⅰ理)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB的最小值为( )．.A 4 .B 3 .C 4 .D 3〖例9〗(2013浙江理)设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C，则( )．.A 90BAC .B 90BAC .C AB AC .D AC BC高考数学讲义新华教育张老师：150****2680〖例10〗(2016江苏)如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA， 1BF CF ，则BE CE的值是 ▲ .〖例11〗(2020天津)如图，在四边形ABCD 中，60B，3AB ，6BC ，且AD BC ，32AD AB ，则实数的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ，则DM DN的最小值为 .NMDCBA高考数学讲义新华教育张老师：150****2680『强化练习』在Rt ABC 中，2CA CB ,M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN ，CM CN的取值范围是；正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面积上的动点，当弦MN 最大时，PM PN的最大值为；(2011上海理)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ，则AB AD；(2010福建理数)若点O 和点(2,0)F 分别为双曲线2221x y a (0a )的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为( ).A 3 .B3 .C 7,4 .D 7,4(2018天津理数)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ，AD CD ，120BAD ，1AB AD ．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为.A 2116 .B 32 .C 2516.D 3 E DCBA。

向量专题之极化恒等式课件-2023届高三数学一轮复习

【典例精讲】
平面向量数量积的值
【例 3】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E, F 是 AD 上两个三等分点，BA CA 4 ，BF CF 1 ，则 BE CE 的值是
．
A
E F
B
D
C
【解析】设
BD
x
，
DF
y
由极化恒等式得
BA CA
AB
AC
2
AD
2
BD
9y2
x2
4
，
BF
CF
【真题回顾】
2 (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点．B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E
的值为________．
解析极化恒等式法设 BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则 AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有A→B·A→C＝A→D2－D→B2＝9n2－m2＝4， F→B·F→C＝F→D2－D→B2＝n2－m2＝－1．联立解得 n2＝58，m2＝183．因此E→B·E→C＝E→D2－D→B2＝4n2－m2＝78．即B→E·C→E＝78．
1 2
AB AC
2
1 2
AB AC
2
2
AD
1 2
CB
2
2
AD
2
DB .
（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差
D
C
A
O
D
A
图(1)
BB
图(2)
C
【知识梳理】
二、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围：（1）(可转化)共起点（终点）向量数量积问题

微专题06——极化恒等式及其应用(学生版)

讲义：微专题06——极化恒等式及其应用班级：__________________姓名：___________________随着高考对平面向量问题的研究的不断深入，极化恒等式在解决平面向量问题上取得一些进展，随着应用的推进，一些诸如“动点”、“多动动”、“曲线”、“运动动态”、“极限状态”等平面向量复杂问题接踵而至．极化恒等式在2016年江苏高考以后的模拟练习中，经常出现，往往通过极化恒等式能快速地解决一些求数量积问题，在此要注意观察什么样的数量积适用于极化恒等式解决，首先：共起点（或共终点或可化成共起点或终点），其次：有中线（没有自己造）．极化恒等式1．平行四边形中的极化恒等式．设b a ，是平面内的一组基底，如图所示，由恒等式])()[(4122b a b a b a --+=∙可得：2222])()[(41DM AM BD AC -=-=∙b a ．即22||||DM AM AD AB -=∙．此等式称为极化恒等式．其几何意义是向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41．2．三角形中的极化恒等式．在ABC ∆中，设D 为BC 的中点，2=+，=-，则224)(AD AC AB =+，22)(CB AC AB =-，两式相减可得：2244CB AD AC AB -=∙，化简得极化恒等式2241CB AD AC AB -=∙．说明：1．极化恒等式源于教材又高于教材，在ABC ∆中，)(21AC AB AD +=，)(21AB AC BD -=是教材上出现的两个重要向量三角形关系，而极化恒等式无非就是这两个公式的逆用；2．具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单；3．向量与代数的互换运算深入人心，而与几何的运算略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说极化恒等式把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致．引例：在ABC ∆中，M 是线段BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则∙的值为_______．A B C D M B CM A目标一：掌握用极化恒等式求数量积的值例1：如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，F E ，是AD 上的两个三等分点，4=∙，1-=∙CE BE ，则CF BF ∙的值是__________．训练1：如图，在ABC ∆中，E D ，是BC 上的两个三等分点，2=∙AC AB ，4=∙AE AD ，则BC 的模长的值是__________．B CAE FAB D E C目标二：掌握用极化恒等式求数量积的范围、最值例2：如图，ABC ∆是边长为32的等边三角形，点P 是平面内的任意一点，1||=，则∙的最小值是______________________．训练2：已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则∙的取值范围是______________________．A BCPO BA PC例3：在边长为1的菱形ABCD 中，π32=∠A ，若点P 为对角线AC 上一点，则∙的最大值为______________________．训练3：在菱形ABCD 中，对角线3=AC ，1=BD ，点P 是AD 边上的动点，则PC PB ∙的最小值为______________________．午练：微专题06——极化恒等式及其应用班级：__________________姓名：___________________1．在ABC ∆中，10=BC ，16-=∙AC AB ，D 为边BC 的中点，则AD 的模为__________．2．设P 是ABC ∆的中线AD 的中点，D 为边BC 的中点，且2=AD ，若3-=∙PC PB 则AC AB ∙的值为________________．3．如图，在ABC ∆中，已知4=∙AC AB ，3||=BC ，点N M ，分别为边BC 上的三等分点，则AN AM ∙的值为_________________．4．如图，在ABC ∆中，点F E D ，，依次为边BC 上的四等分点，2=∙AC AB ，5=∙AF AD ，则AE 的长为_____________．5．已知AB 为圆1)1(:22=+-y x C 的直径，点P 为直线01=+-y x 上任意一点，则PB PA ∙的最小值为_________________．AB M NC A BDE CF6．已知圆O 的直径2=AB ，C 为该圆上异于B A 、的一点，P 是圆O 所在平面上任一点，则PC PB PA ∙+)(的最小值为_________________．7．已知点)02( ，A ，)04( ，B ，动点P 在抛物线x y 42-=上运动，则使BP AP ∙取得最小值的点P 的坐标为_________________．8．【选做】已知点B A ，分别在直线31==x x ，上，4||=-OB OA ，则当||+取得最小值时，∙的值为________________．作业：微专题06——极化恒等式及其应用班级：__________________姓名：___________________1．在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，若208==BC AD ，，则=∙AC AB _____________．2．在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为)00( ，O ，)11( ，A ，且1=∙OC OA ，则=∙AC AB ________________．3．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则MB MA ∙的取值范围为_________________．4．在周长为16的PMN ∆中，6=MN ，则PN PM ∙的取值范围为_____________．5．已知D C B A ，，，四点的坐标分别为)01( -，A ，)01( ，B ，)10( ，C ，)02( ，D ，P 是线段CD 上的任意一点，则BP AP ∙的最小值为_________________．6．若等腰ABC ∆底边BC 上的中线长为1，底角︒>60B ，则∙的取值范围为_________________．7．点P 为椭圆1151622=+y x 上的任意一点，EF 为圆4)1(22=+-y x 的一条直径，则PF PE ∙的取值范围为_________________．8．如图，在ABC ∆中，已知︒=∠==12023BAC AC AB ，，，点D 为边BC 的中点，若AD CE ⊥，垂足为E ，则EC EB ∙的值为_________________．AB D EC9．如图，若AB 是圆O 的直径，点M 是弦CD 上的一个动点，68==CD AB ，，则∙的取值范围是______．10．设锐角ABC ∆的面积为1，边AC AB ，的中点分别为F E ，，P 为线段EF 上的动点，则2BC PC PB +∙的最小值是__________________．11．如图，ABC ∆为等腰三角形，4==AC AB ，︒=∠120BAC ，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AC AB ，于点F E ，，点P 是劣弧EF 上的一点，则PC PB ∙的取值范围是______．C B AEF PC A BD M O12．【选做】如图，圆O 是ABC Rt ∆的内切圆，已知3=AC ，4=BC ，︒=90C ，过圆心O 的直线l 交圆O 于Q P ，两点，则CQ BP ∙的取值范围为____________．A C BQOPl。

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9

向量专题之极化恒等式课件-高三数学一轮复习

4、已知直角三角形 ABC 中， A 90 ，AB=2，AC=4，点 P 在以 A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则 PB PC 的最大值为（）
A． 16 16 5 5
B． 16 8 5 5
C． 16 5
D． 56 5
【解析】设 BC 中点为
D ，则
PB
PC
2
PD
1
2
BC
PD
2
1 20
向量专题之极化恒等式
【知识梳理】
一、极化恒等式及其推论：
1、极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
ab ab
2 2
2
a
2
a
2
2ab b
2
2ab b
ab
1 4
ab
2
ab
2
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．
【典例精讲】
平面向量数量积的值
【例 3】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E, F 是 AD 上两个三等分点，BA CA 4 ，BF CF 1 ，则 BE CE 的值是
．
A
E F
B
D
C
【解析】设
BD
x
，
DF
y
由极化恒等式得
BA CA
AB
AC
2
AD
2
BD
9y2
x2
4
，
BF
CF
PD
2
5，
4
4
又因为
PD max
AD
r
5 4 9 ， 55

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