集合论中罗素悖论问题
罗素悖论的产生原因及排除方法
㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２１ １２罗素悖论的产生原因及排除方法罗素悖论的产生原因及排除方法Һ王海东㊀（天津市北方调查策划事务所㊀天津㊀３０００５０）㊀㊀ʌ摘要ɔ罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．ʌ关键词ɔ罗素悖论；属于关系；自我归属定理一个 幽灵 在集合论中徘徊．这个幽灵就是罗素悖论．罗素悖论：是指属于一个集合的元素不属于自己，或属于自己的元素不属于一个集合．二者必居其一．罗素悖论可以用以下公式表示：∃ｘ∀ｙ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙᶱｙɪｙ↔ｙ∉ｘ）从这个公式来看，如果罗素悖论成立，那么属于一个集合的元素不属于自己，包含这个元素的集合也不属于自己了．因为，在集合论的逻辑推理过程中，任何一个集合都有可能被定义为另一个集合的元素．这样一来，集合论就产生了一个集合都不属于自己的逻辑矛盾．有人认为，集合论公理系统（ＺＦＣ）能够从集合论中排除罗素悖论．因为，集合论公理系统（ＺＦＣ）包括外延公理㊁配对公理㊁并集公理㊁幂集公理㊁无穷公理㊁概括公理㊁替换公理㊁正则公理㊁选择公理等九个公理．外延公理可以用以下公式表示：∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ））配对公理可以用以下公式表示：∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ））并集公理可以用以下公式表示：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（ｂɪｘɡａɪｂ）））幂集公理可以用以下公式表示：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ））无穷公理可以用以下公式表示：∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ））ɡ（∀ｙ（ｙɪｘңｙɣ｛ｙ｝ɪｘ）））概括公理可以用以下公式表示：∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｙ））替换公理可以用以下公式表示：∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（ｕɪｘɡφ（ｕ，ｖ））））正则公理可以用以下公式表示：∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（ｙɪｘɡｘɘｙ＝φ））选择公理可以用以下公式表示：∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ））在这九个公理中，概括公理就是针对罗素悖论提出的一个公理．因为概括公理规定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意规定集合概念的现象．因为概括公理限制了任意规定集合概念的现象，所以概括公理消除了形成罗素悖论的可能性．又因为概括公理消除了形成罗素悖论的可能性，所以概括公理就把罗素悖论从集合论中排除出去了．但是，实际情况并非如此．即使有了概括公理，我们仍然消除不了形成罗素悖论的可能性．不管我们怎样在集合论中挥舞概括公理的 保护伞 ，罗素悖论的阴影仍然神出鬼没㊁无处不在．因为，我们可以从概括公理中推出以下公式：∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｘ）↔ｚɪｐ（ｙ）↔ｙɪｐ（ｙ）↔ｙ∉ｙ）从这个公式来看，概括公理只是把罗素悖论从一个集合推向了另一个集合．如果这样推下去，罗素悖论将会出现在所有集合之中．由此可见，概括公理不仅没有把罗素悖论从集合论中排除出去，还把罗素悖论从集合论带进了集合论公理系统（ＺＦＣ）．因为，出现在概括公理之中的罗素悖论，同样可以出现在其他八个公理之中．我们可以从外延公理中推出以下公式：∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ）↔ｚ∉ｚ）我们可以从配对公理中推出以下公式：∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ）↔（ｘɪｚ，ｙɪｚ）↔（ｘ∉ｘ，ｙ∉ｙ））我们可以从并集公理中推出以下公式：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（（ｂɪｘ↔ｂ∉ｂ）ɡ（ａɪｂ↔ａ∉ａ））））我们可以从幂集公理中推出以下公式：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ↔ａɪｘ↔ａ∉ａ））我们可以从无穷公理中推出以下公式：∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ↔ａ∉ａ））ɡ（∀ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ң（ｙɣ｛ｙ｝ɪｘ））））我们可以从替换公理中推出以下公式：∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（（ｕɪｘ↔ｕ∉ｕ）ɡφ（ｕ，ｖ））））我们可以从正则公理中推出以下公式：∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ɡｘɘｙ＝φ））我们可以从选择公理中推出以下公式：∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ）↔ａ∉ａ））从这些公式来看，集合论公理系统（ＺＦＣ）如同一个包含罗素悖论的公理系统．这个包含罗素悖论的公理系统肯定不是一个合理的公理系统，所以集合论公理系统（ＺＦＣ）的合理性将会受到严重质疑．那么，怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢？显然，要想从集合论中排除罗素悖论，就必须找到罗素悖论的产生原因．只有找到罗素悖论的产生原因，才能找到罗素悖论的排除方法．只有找到罗素悖论的排除方法，才能从集合论中排除罗素悖论．那么，怎样才能找到罗素悖论的产生原因呢？显然，要想找到罗素悖论的产生原因，就必须从集合论的一个二元关系说起．这个二元关系就是在规定集合概念的数学公式中必须阐明的属于关系．属于关系就是某个数学对象属于另一个数学对象的二元关系．从属于关系来看，当某个数学对象属于另一个数学对. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２１ １２象的时候，这个数学对象就被包含在另一个数学对象之中了．因此，属于关系可以被理解为包含关系．包含关系就是某个数学对象包含另一个数学对象的二元关系．但是，属于关系不仅可以被理解为包含关系，而且还可以被理解为等于关系．等于关系就是某个数学对象等于另一个数学对象的二元关系．包含关系可以推广到等于关系．当某个数学对象等于另一个数学对象的时候，这个数学对象就如同被包含在另一个数学对象之中了．这种推广到等于关系的包含关系称为包含等于关系．包含等于关系就是某个数学对象包含等于另一个数学对象的二元关系．由于属于关系有两种理解方法，所以罗素悖论也有两种评价标准．如果我们把属于关系理解为包含关系，罗素悖论就是一个可以成立的悖论．如果我们把属于关系理解为等于关系，罗素悖论就是一个不能成立的悖论．由此可见，罗素悖论隐含着一个理论假设：某个数学对象既可以属于另一个数学对象，也可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，但是不能属于任何一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个理论假设称为罗素假设．罗素假设就是罗素悖论的理论依据．罗素悖论就是根据罗素假设提出的．那么，罗素假设是否可以成立呢？显然，如果罗素假设可以成立，我们不仅可以从中推出罗素悖论，而且可以从中推出罗素悖论的悖论．罗素悖论的悖论可以用以下公式表示：∃ｘ∀ｙ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ↔ｙɪｚ↔ｚɪｘ↔ｚ∉ｚ↔ｚɪｙ↔ｙɪｘ ）从这个公式来看，如果属于一个集合的元素不属于自己，这个元素就属于另一个元素了．如果这个元素属于另一个元素，属于一个集合的元素就不是这个元素了．按照这个推论不断推导下去，我们会陷入一个永无止境的循环推理过程．在这个永无止境的循环推理过程中，每一个罗素悖论都会遭到下一个罗素悖论的否定．由此可见，罗素假设是不能成立的，所以罗素悖论也是不能成立的．但是，问题并没有到此结束．因为，罗素假设不能成立并非意味着罗素假设绝对不能成立．罗素假设在一定条件下是可以成立的．这个假设是否成立是由某个数学对象的自身存在决定的．如果罗素假设不涉及某个数学对象的自身存在，罗素假设就是一个可以成立的假设．罗素假设如果涉及某个数学对象的自身存在，就是一个不能成立的假设．那么，这个成立条件又是怎样形成的呢？显然，要想回答这个问题，就必须从属于关系说到等价关系．等价关系也是集合论中的一个二元关系．这个二元关系具有自反性㊁对称性和传递性三个基本特征．自反性可以用以下公式表示：ａ＝ａ对称性可以用以下公式表示：ａ＝ｂ，ｂ＝ａ传递性可以用以下公式表示：ａ＝ｂ㊀ｂ＝ｃ⇒ａ＝ｃ如果上述三个公式都可以成立，等价关系可以用以下公式表示：ａ ｂ由此可见，等价关系是从等于关系中推导出来的．只要把属于关系理解为等于关系，我们就可以将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系．只要将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系，我们就可以使属于关系成为一种等价关系．属于关系的自反性可以用以下公式表示：ａɪａ属于关系的对称性可以用以下公式表示：ａɪｂ，ｂɪａ属于关系的传递性可以用以下公式表示：ａɪｂ㊀ｂɪｃ⇒ａɪｃ这样一来，我们就发现了一个十分重要的数学定理：在属于关系成为一种等价关系的条件下，某个数学对象在属于另一个数学对象的同时，不仅可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，而且可以属于一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个不包含另一个数学对象的数学对象就是这个数学对象的自身存在．这个数学定理就是自我归属定理．我们可以用以下公式证明自我归属定理：已知ｐɪｑ，又知ｐ＝∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）；ｑ＝∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）因此∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）ɪ∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）．证毕．从这个证明过程来看，某个数学对象在属于另一个数学对象之前就已经属于自身存在了．某个数学对象只有在属于自身存在的条件下才能属于另一个数学对象．这种数学现象如同发生在我们身边的一种社会现象．在这种社会现象中，我们每一个人只有在属于自己的条件下才能属于一个社会组织，才能使自己成为一个社会组织的合法成员．除非这个社会组织是一个奴隶制的社会组织．因为，在一个奴隶制的社会组织中，奴隶主属于自己而奴隶不属于自己．这种不属于自己的人只能被视为奴隶主的一种财产，而不能被视为这个社会组织的合法成员．由此可见，如果将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都不会产生罗素悖论．如果不将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都会产生罗素悖论．综上所述，罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．ʌ参考文献ɔ［１］王元，文兰，陈木法．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［２］冯琦著．集合论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１９．［３］石纯一．数理逻辑与集合论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００．［４］汪芳庭．数理逻辑．［Ｍ］北京：中国科技大学出版社，２０１０．. All Rights Reserved.。
罗素
罗素"集合悖论"大概的意思是这样的：有个理发师说：我只给不给自己理发的人理发。
于是，罗素问他：你给自己理发吗？用集合的语言说这个问题，就是：“所有的人“这个全集合可以被分为下面这2个子集合：“给自己理发的人”和“不给自己理发的人”。
这看起来是毫无问题的。
问题是：“我“这个理发师也是“所有的人”集合里的元素，应该把这个元素放到上面的哪个子集合中去呢？，如果把“我”放到“给自己理发的人”的集合里面，“我”就是给自己理发的人，根据命题条件，我不能给这样的我理发，那么，我又必须放到“不给自己理发的人”的集合里面。
这是罗素用来挑战集合论的一个惊雷，还真的雷倒了数学界的一大批数学家。
集合论，显然是没问题的，有问题的是这个悖论。
这个悖论巧妙地利用了哲学概念的偷换，成功忽悠了数学界多年（直到如今吗？）这个悖论的问题在哪？关键是“我”是什么？“我”是谁？哲学上有所谓的本体论和认识论。
从本体论来讲“我”就是客观存在的“我“这个人，这个唯一存在的事物。
从认识论来讲“我”是被其他人或自己所认识的那个“我“。
显然，两个“我“的概念的指向是有差异的。
在这个悖论中，罗素恰恰巧妙地掩盖了这两个“我“的概念的差异。
在集合论对元素的讨论中，元素的概念指向应该是一致的，不能随意变换的。
在“所有的人”这个集合中，每个人作为元素，是指人本体的概念，指的是活生生存在的每一个人本身。
而在“给自己理发的人”或“不给自己理发的人”中的“人“，则是从“是否给自己理发”的角度，来认识每一个人所得到的认识结果。
所以，这两个子集是“被认识中的人”的集合，而与全体集是“本体存在的人“的集合是不同性质的集合，无法进行这样超性质的集合的划分的，如果非要这样的划分，就必须改变全集的属性，也必须是“全体被认识中的人“的集合，其中的元素，只能是存在于认识中的人的概念，而不能是实际存在的人。
而接下来的“我”，到底是什么成为关键。
我，如果要参与集合划分，要么是不变的“我”这个人的本体，要么是根据不同的认识角度认识到的可变的“我”的概念。
悖论推理考试题及答案
悖论推理考试题及答案1. 题目：薛定谔的猫悖论描述：一个装有猫、毒气瓶和放射性物质的密封盒子。
如果放射性物质衰变，毒气瓶就会释放毒气杀死猫。
在没有观察之前，猫的状态是既死又活的叠加态。
问：打开盒子后，猫的状态会如何？答案：打开盒子后，根据量子力学的哥本哈根解释，猫的状态会坍缩为一个确定的状态，即猫要么是死的，要么是活的。
2. 题目：罗素悖论描述：设集合S是所有不包含自身的集合的集合。
问：S是否包含自身？答案：罗素悖论揭示了朴素集合论的逻辑矛盾。
如果S包含自身，那么它就不应该包含自身；如果S不包含自身，那么它就应该包含自身。
这个悖论表明，集合论中存在逻辑上的不一致性，需要更严格的公理化来避免。
3. 题目：说谎者悖论描述：一个人说：“我正在说谎。
”问：这个人是在说谎还是说真话？答案：说谎者悖论是一个语义悖论，它挑战了经典逻辑的基本原则。
如果这个人在说真话，那么他正在说谎，这与真话矛盾；如果这个人在说谎，那么他实际上说的是真话，这又与说谎矛盾。
这个悖论表明，有些陈述无法在经典逻辑框架内被一致地分类为真或假。
4. 题目：祖父悖论描述：一个人穿越时空回到过去，杀死了自己的祖父。
如果祖父死了，那么这个人就不会出生，那么他如何能回到过去杀死祖父？问：这个悖论如何解决？答案：祖父悖论涉及时间旅行的逻辑问题。
解决这个悖论的一种方法是接受多世界解释，即每次时间旅行都会产生一个新的平行宇宙，因此这个人杀死的是另一个宇宙中的祖父，不影响他自己的宇宙。
5. 题目：阿基里斯与乌龟悖论描述：阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟先行一步。
当阿基里斯到达乌龟的起点时，乌龟又前进了一段距离。
阿基里斯继续追赶，但每次他到达乌龟的新位置时，乌龟又前进了。
问：阿基里斯能否追上乌龟？答案：阿基里斯与乌龟悖论是芝诺悖论之一，它质疑无限分割的概念。
实际上，阿基里斯能够追上乌龟，因为每次追赶的距离构成一个收敛的无限等比数列，其和是有限的。
这意味着在有限的时间内，阿基里斯可以追上乌龟。
集合最难练习题
集合最难练习题集合是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在集合理论中，有一些难题，需要我们动脑筋来解决。
本文将介绍集合最难练习题，并尝试解答这些题目。
一、集合问题的背景集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的定义和性质是数学的基本内容之一。
在解决集合问题时，我们需要掌握集合的运算、集合之间的关系，以及集合的基本性质。
二、集合最难练习题的挑战1. 难题一：康托尔对角线论证康托尔对角线论证是由德国数学家康托尔提出的一种证明方法。
它用来证明无限集中元素个数的差异性。
具体问题为：对于一个由实数构成的集合，是否存在一个实数，它与集合中的每一个实数都不相等？如果存在，该如何构造这样一个实数？2. 难题二：罗素悖论罗素悖论是由英国哲学家罗素提出的一种逻辑悖论，也被称为自指悖论。
该悖论的具体问题为：是否存在一个集合，该集合既不属于自身，也属于自身？如果存在这样的集合，会导致逻辑的矛盾。
如何解决这个悖论，成为了集合论的一个重要问题。
三、集合最难练习题的解答1. 康托尔对角线论证对于一个由实数构成的集合，我们可以通过康托尔对角线论证得出，不存在一个实数与集合中的每一个实数都不相等。
我们可以通过构造一个实数，使得它在小数点后的每一位都与给定的实数不相等。
这样，我们就得到了一个不属于给定集合的实数。
2. 罗素悖论为了解决罗素悖论，数学家们提出了限制公理系统的办法。
通过限制公理系统中的公理，我们可以避免出现自指悖论。
例如，限制公理系统中的自反性公理，即不存在一个集合同时既非自己的元素，又是自己的元素。
四、结论集合最难练习题，考察了我们对集合概念的理解和运用能力。
通过解答这些难题，我们可以更好地掌握集合论的基本原理和性质，提高数学思维能力。
在解决集合问题时，我们需要灵活运用集合的运算和性质，善于发现问题的规律和特点。
通过不断练习和思考，我们可以逐渐提高解决集合问题的能力，掌握集合理论的精髓。
罗素悖论及其拓展
“万有之集”W是一个集合，它无所不包，任何物质的或精神的事物都是它的元素，同时W本身也是一个事物，W∈W，所以“万有之集”W是一个异常集。但是罗素提问：
把正常集的全体构成一个集M，M是正常的还是异常的呢？
如果M是正常的，则M/∈M，即M不是M的元素，所以，M是异常的；
如果M是异常的，则M∈M，即M是M的元素，所以M是正常的。
正常之集M，如果是正常反而成了异常，如果是异常反而成了正常，既正则异，既异则正，两难选择，违反集合论二维基本公理。这就是罗素悖论。
罗素悖论曾经引起以集合论为基础的新兴数学的混乱。聪明的希尔伯特提出“A/∈A”的公理，从而制止了数学界的地震。不过这样做仅仅只是一种限制性回避。但是，回避不是办法。提出A/∈A的公理，回避了以自己为元素的异常集，实际是抛弃了对异常集的数学计算。异常集是客观存在的事物，前述如“观念之集”、“集之集”，再如“团体之集”、“市场之集”、“社会之集”、“宇宙之集”等。抛弃对客观事物的计算，不是数学精神。实际上，空集之集为空，全集之集为全，这两个集合论中的重要集合，也一起被抛弃在外了。
此时，杜瑞德法官看到骗子听了他的话以后无动于衷，就补充道：“我要警告，首席行刑官是逻辑实证主义行刑官俱乐部会员，将视任何形而上学废话为诺言，所以你别想在她面前玩花招。现在，给你一天时间，让你作出你自己的选择！”
杜瑞德法官言毕，陪审团为判决严正而鼓掌，法庭中所有的人都瞧着那名被告，为严惩这个撒谎成性的坏人而高兴，还想看看他是否会发表一个讲真话的声明而自取其辱。但奇怪的是，那“哲学家”仅微微冷笑，让人把他押送到死牢。
若干悖论（九、布什悖论）
只要是政治家，都好说漂亮话。美国总统布什访问北京大学，回答北大学子诘问有关自由的话题时说：“一个人只要不影响他人的自由，就可以享受个人自由”。这是近乎完美的闪烁着真理光芒的漂亮话。它是不是真理呢？
罗素悖论
第三次数学危机
16级水保一班林南屏
Katalogue
什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
有趣的集合论悖论
有趣的集合论悖论
1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。
然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。
无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。
1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。
”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。
由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
悖论还有很多，这里有这样一个有趣的悖论：有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。
一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”下面我们来证明上帝不是万能的。
（用反证法证明）。
罗素悖论与不可判定问题
第六章 罗素悖论与不可判定问题§6.1 罗素悖论及其彻底消除方法6.1.1 罗素悖论与已有解决方法简述1902 年罗素、策梅罗发现了集合论中的一个重要的“策梅罗——罗素悖论”。
关于这个悖论黄耀枢著《数学基础引论》（北京大学出版社，1987 年出版）118-119页作了如下叙述。
“依逻辑二分法，可把集合分为两类：第一类：非正常集合。
例如：所有集合的集合、所有观念的集合，都是非正常的集合。
这类集合的特点是：集合本身也可以作为自己的一个元素。
所以可以作如下的定义：定义1 如果x 是非正常集合，当且仅当x 可以包括自己作为一个元素。
通常把满足非正常集合的条件记为：x x ∈。
第二类：正常集合。
例如：所有中国人组成的集合、所有自然数组成的集合、所有拉丁字母组成的集合等都是正常集合。
这类集合的特点是：集合本身不能作为自己的一个元素。
所以可以给正常集合作如下一个定义：定义2 如果x 是一个正常集合，当且仅当集合x 本身不是自己的一个元素。
通常把x 满足正常集合的条件记为：x x ∉。
现在设：所有不以自己为元素的集合组成一集合R, 即令所有正常集合组成一集合R 。
亦即{}x x x R ∉=。
那么集合R 包不包含自身？或者说集合R 是属于第一类集合还是属于第二类集合？” 结果得到：“集合R 包含在R 中当且仅当R 不包含在R 中的矛盾”。
为了解决集合论中的悖论，在罗素的《数学原理》中建立了逻辑类型轮。
其中一个内容说的是：‘应消除这种表示“非正常总体”的“所有集合的集合R ”的假设’(这句话摘自黄耀枢著《数学基础引论》265页)。
这是罗素对集合论研究的有益且有用的贡献；但是，罗素没有能够用纯粹逻辑方法建立起集合理论，在如何对待无穷集合问题上，他不是使用笔者的“自然数集合是一个（不同于有穷集合的）理想的非正常集合”的做法，而是采用了“无穷公理”。
这个公理的采用，实质上是采用了康托尔的“实无穷”观点，也可以说是采用了“肯定了自然数无穷总体的存在”、“所有数学对象的无穷总体都可以和通常的一个数学对象那样来处理”（这两句话摘自黄耀枢著《数学基础引论》305页）的柏拉图主意者的观点。
罗素悖论与罗素定理
罗素悖论与罗素定理王海东(天津市北方调查策划事务所㊀３０００５０)摘㊀要:不能从集合论中排除罗素悖论ꎬ说明不能用集合论证明罗素定理.不能用集合论证明罗素定理ꎬ说明集合论公理系统不完善.集合论公理系统不完善ꎬ说明集合论定义系统未建立.集合论定义系统未建立ꎬ说明集合定义问题没解决.只有解决了集合定义问题ꎬ才能建立集合论定义系统.只有建立了集合论定义系统ꎬ才能完善集合论公理系统.只有完善了集合论公理系统ꎬ才能用集合论证明罗素定理.只有用集合论证明了罗素定理ꎬ才能从集合论中排除罗素悖论.关键词:罗素悖论ꎻ罗素定理ꎻ集合论公理系统ꎻ集合论定义系统中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１２－００２８－０２收稿日期:２０２１－０１－２５作者简介:王海东(１９８５.３－)ꎬ男ꎬ河北省南皮人ꎬ硕士ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一个幽灵在集合论中徘徊ꎬ这个幽灵就是罗素悖论.罗素悖论可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘɪｙ↔ｘ∉ｘ()从这个公式来看ꎬ罗素悖论来自于集合论的一个常用语句.这个常用语句就是用属于符号ɪ构成的语句.由于集合论的所有表达式都离不开这个常用语句ꎬ所以集合论的所有表达式都会无一例外地受到罗素悖论的困扰.有人认为ꎬ子集公理能够从集合论中排除罗素悖论.子集公理可以用以下公式表示:∀ｘ∃ｙ∀ｚｘɪｙ↔ｘɪｚɡｐｘ()()但是ꎬ即使有了子集公理ꎬ罗素悖论仍然无处不在.因为ꎬ我们可以从子集公理中推出:∀ｘ∃ｙ∀ｚ(ｘɪｙ↔ｘɪｚɡｐ(ｘ)↔ｚɪｐ(ｘ)↔ｘɪｐ(ｘ)↔ｘ∉ｘ)由此可见ꎬ子集公理只是把罗素悖论从某个集合推给了另一个集合.如果可以这样推下去ꎬ罗素悖论将会出现在所有集合之中.那么ꎬ怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢?显然ꎬ要想从集合论中排除罗素悖论ꎬ就必须找到罗素悖论在集合论中的形成条件.那么ꎬ罗素悖论在集合论中的形成条件是什么呢?显然ꎬ罗素悖论在集合论中的形成条件ꎬ就是集合论一直没有解决集合定义问题.有人认为ꎬ集合论不需要给出明确的集合定义.把集合视为一种可以任意定义的数学对象ꎬ就可以对号入座地解决各种各样的集合论问题了.这种看法是一种不符合数学要求的错误看法.从数学发展史来看ꎬ任何一种数学理论都是以数学定义作为理论起点的.不能给出明确的数学定义ꎬ就不能建立起严密的数学理论.只有给出了明确的数学定义ꎬ才能建立起严密的数学理论.几何学就是一个最好的先例.在几何学中ꎬ几何定义的理论地位高于几何公理ꎬ几何公理的理论地位又高于几何定理.在给出了各种几何定义之后ꎬ几何学才会进一步给出各种几何公理.在给出了各种几何公理之后ꎬ几何学才会进一步给出各种几何定理.如果我们将集合论视为一种数学理论ꎬ我们就必须让集合论遵循数学理论的发展规律.更重要的是ꎬ如果我们所说的集合不是集合论所说的集合ꎬ而是人们在日常生活中所说的集合ꎬ那么这种集合也许不需要给出明确的定义.因为ꎬ人们在日常生活中所说的集合与人们的生活环境密切相关.人们可以通过各种不同的生活环境找到集合的明确定义.例如ꎬ一个学校的集合就是全校师生的集合ꎬ一支军队的集合就是全军官兵的集合ꎬ以此类推.但是ꎬ如果我们所说的集合是集合论所说的集合ꎬ而不是人们在日常生活中所说的集合ꎬ那么这种集合就必须给出明确的定义了.因为ꎬ集合论所说的集合是一种具有数学抽象性的集合.这种具有数学抽象性的集合与人们的生活环境毫无关系.如果不把这种具有数学抽象性的集合用数学语言明确地表述出来ꎬ人们就可以随心所欲地解释这种具有数学抽象性的集合了.这样一来ꎬ罗素悖论就会从集合论所说的集合中产生出来ꎬ集合论所说的集合就为罗素悖论提供了形成条件.不过ꎬ我们也应该看到ꎬ虽然集合论一直没有解决集合定义问题ꎬ但是集合论已经为解决这一问题奠定了良好的理论基础.这个理论基础就是代表任意集合的集合公式:∃Ａ∀ａａɪＡ｜ａ＝ａｎꎬ０ɤｎɤ¥()根据集合公式ꎬ我们可以把集合定义为一组具有相８２Copyright©博看网 . All Rights Reserved.同数学性质的数学对象.根据集合定义ꎬ我们可以将元素定义为包含在某个集合之中的最小数学对象.根据元素定义ꎬ我们可以将子集定义为包含在某个集合之中并包含其若干元素的数学对象.根据子集定义ꎬ我们可以将空集定义为包含在某个集合之中但不包含其任何元素的数学对象.根据空集定义ꎬ我们可以将非空集合定义为包含某个集合的所有元素但不包含其空集的子集.由此可见ꎬ只要给出了集合定义ꎬ我们就可以给出元素定义.只要给出了元素定义ꎬ我们就可以给出子集定义.只要给出了子集定义ꎬ我们就可以给出空集定义.只要给出了空集定义ꎬ我们就可以给出非空集合定义.由于这五个集合论定义具有极其密切的理论联系ꎬ所以我们可以把这五个集合论定义称为集合论定义系统.令Ｄ代表集合论定义系统ꎬｄ１代表集合定义ꎬｄ２代表元素定义ꎬｄ３代表子集定义ꎬｄ４代表空集定义ꎬｄ５代表非空集合定义ꎬ我们可以用以下公式来证明集合论定义系统:已知ｄ１ңｄ２ңｄ３ңｄ４ңｄ５又知ｄ１ɪＤｄ２ɪＤｄ３ɪＤｄ４ɪＤｄ５ɪＤ因此∃Ｄ∀ｄｄɪＤ｜ｄ＝ｄｉꎬ０<ｉɤ５()证毕.我们不难发现:集合论定义系统为集合论公理系统提供了理论依据.只要给出了集合论定义系统ꎬ我们就可以从中推出集合论公理系统.令Ｇ代表集合论公理系统ꎬｇ１代表外延公理ꎬｇ２代表空集公理ꎬｇ３代表子集公理ꎬｇ４代表偶集公理ꎬｇ５代表并集公理ꎬｇ６代表幂集公理ꎬｇ７代表正则公理ꎬｇ８代表无穷公理ꎬｇ９代表替换公理ꎬｇ１０代表选择公理ꎬ我们可以用以下公式来证明这一发现:已知∃Ｄ∀ｄｄɪＤ｜ｄ＝ｄｉꎬ０<ｉɤ５()∃Ｇ∀ｇｇɪＧ｜ｇ＝ｇｊꎬ０<ｊɤ１０()又知ｄ１ɪＤңｇ４ɡｇ５ɡｇ８ɪＧｄ２ɪＤңｇ１ɡｇ９ɪＧｄ３ɪＤңｇ３ɡｇ６ɪＧｄ４ɪＤңｇ２ɪＧｄ５ɪＤңｇ７ɡｇ１０ɪＧ因此∃Ｄ∀ｄｄɪＤ｜ｄ＝ｄｉꎬ０<ｉɤ５()ң∃Ｇ∀ｇｇɪＧ｜ｇ＝ｇｊꎬ０<ｊɤ１０()证毕.我们还会发现ꎬ集合论定义系统不仅为集合论公理系统提供了理论依据ꎬ而且为集合论公理系统提供了四个十分重要的集合论公理.这四个集合论公理就是包含公理㊁等于公理㊁包含等于公理和不属于公理.包含公理是指:包含在某个集合之中的任何一种数学对象都属于某个集合而不属于自己.等于公理是指:任何一种等于某个集合的数学对象都属于自己而不属于某个集合.包含等于公理是指:除了两个元素相同的集合ꎬ其他任何一种数学对象都不可能既包含在某个集合之中又等于某个集合.不属于公理是指:与某个集合的元素有关却又不属于某个集合的数学对象属于某个集合的空集.包含公理可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘ⊂ｙ↔ｘɪｙ↔ｘ∉ｘ()等于公理可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘ＝ｙ↔ｘɪｘ↔ｘ∉ｙ()包含等于公理可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘ⊆ｙ↔ｘ⊂ｙᶱｘ＝ｙ↔ｘɪｙᶱｘ∉ｙ()不属于公理可以用以下公式表示:∀ｘ∃ｙ∀ｚｘɪｙꎬｘɪｚ｜ｚ∉ｙꎬｚɪ?ꎬ?ɪｙ()这样一来ꎬ我们就找到了从集合论中排除罗素悖论的方法.这个方法就是:将包含公理㊁等于公理㊁包含等于公理和不属于公理引进集合论公理系统.因为ꎬ在引进了这四个集合论公理之后ꎬ我们不仅可以将罗素悖论视为罗素定理ꎬ而且可以用以下方法来证明罗素定理:已知∃ｙ∀ｘｘɪｙ↔ｘ⊂ｙ()又知∃ｙ∀ｘｘ⊂ｙ↔ｘ∉ｘ()因此∃ｙ∀ｘｘɪｙ↔ｘ∉ｘ()证毕.综上所述ꎬ不能从集合论中排除罗素悖论ꎬ说明不能用集合论证明罗素定理.不能用集合论证明罗素定理ꎬ说明集合论公理系统不完善.集合论公理系统不完善ꎬ说明集合论定义系统未建立.集合论定义系统未建立ꎬ说明集合定义问题没解决.只有解决了集合定义问题ꎬ才能建立集合论定义系统.只有建立了集合论定义系统ꎬ才能完善集合论公理系统.只有完善了集合论公理系统ꎬ才能用集合论证明罗素定理.只有用集合论证明了罗素定理ꎬ才能从集合论中排除罗素悖论.㊀㊀参考文献:[１]王元ꎬ文兰ꎬ陈木法.数学大辞典[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０１７(９).[２]冯琦.集合论导引[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０１９(１２).[３]石纯一.数理逻辑与集合论[Ｍ].北京:清华大学出版社ꎬ２０００(１２).[责任编辑:李㊀璟]９２Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
数学史上的经典悖论节选
悖论影响：罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及 的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学 界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿 付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列 结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰 到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃 了。”罗素悖论的提出导致了数学的第三次危机。 悖论解决：罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能 够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需 要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必 须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论 主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。
②一个人从A点走到B点，要先走完路程 的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的 1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 另附：《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”
三：希尔伯特悖论
• 人物生平：戴维·希尔伯特，又译大卫·希尔伯特，D.（David Hilbert，1862～1943），德国著名数学家。他于1900年8月8 日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努 力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点，对这些 问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远 的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的 一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中 的天才。
数学中无解的悖论
数学中无解的悖论在数学中，无解的悖论是指一些看似合理的问题或命题，但却无法找到满足条件的解或证明。
这些悖论挑战了我们对数学系统的直觉和逻辑推理，引发了对数学基础和逻辑严谨性的思考。
下面将介绍几个常见的数学中无解的悖论。
一、罗素悖论罗素悖论是由哲学家和数学家罗素提出的一个著名悖论。
它涉及集合论中的自包含集合。
考虑一个集合S，包含所有不属于自己的集合的集合。
问题在于，如果假设S不属于自己，则根据定义，S应该属于S；而如果假设S属于自己，则根据定义，S不应该属于S。
因此，无论如何假设，都会导致矛盾。
二、哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理是由奥地利数学家哥德尔在20世纪上半叶提出的。
该定理证明了任何一种包含自然数运算的形式化数学体系，都存在无法被该体系内部证明或证伪的命题。
这意味着数学体系无法完全自洽和完备，总会存在无法确定真假的命题。
三、希尔伯特问题希尔伯特问题是由德国数学家希尔伯特在1900年提出的23个重要的数学问题。
其中第10个问题涉及到Diophantine方程是否总有解。
Diophantine方程是指多项式方程中所有变量都为整数的方程。
至今，尽管已经解决了一些特殊情况下的Diophantine方程，但对于一般情况下是否总有解仍然没有统一的回答。
四、连续统假设连续统假设是由哥德尔和科恩在20世纪上半叶提出的。
它涉及到集合论中集合的基数问题。
连续统假设表明不存在介于可数集和实数集之间的集合。
也就是说，不存在一个集合的基数既大于可数集又小于实数集。
连续统假设的真假至今尚未被证明。
这些无解的悖论揭示了数学系统的某些困境和限制。
它们挑战了我们对数学的直觉和逻辑推理，并促使我们进一步思考数学基础的严谨性和可行性。
这些悖论的存在也推动了数学领域的发展，促使数学家们不断探索和研究新的理论和方法，以更好地理解和解决这些问题。
罗素悖论用逻辑符号证明
罗素悖论用逻辑符号证明
（实用版）
目录
一、罗素悖论的概念
二、罗素悖论的逻辑证明
三、罗素悖论的解决方法
四、罗素悖论的意义
正文
一、罗素悖论的概念
罗素悖论是由英国哲学家、数学家伯特兰·罗素提出的一个逻辑悖论，其核心问题是关于集合的自我归类。
罗素悖论用逻辑符号证明，可以表示为：“所有不包含自身的集合组成的集合是否包含自身？”
二、罗素悖论的逻辑证明
为了证明罗素悖论，我们可以通过逻辑符号来进行表示。
假设有一个集合 A，它包含所有不包含自身的集合。
那么我们可以得到以下两个结论：
1.如果 A 包含自身，那么根据 A 的定义，A 不应该包含自身，产生矛盾。
2.如果 A 不包含自身，那么根据 A 的定义，A 应该包含在 A 之中，产生矛盾。
由此可以看出，集合 A 无论是包含自身还是不包含自身，都会产生矛盾。
这便是罗素悖论的逻辑证明。
三、罗素悖论的解决方法
针对罗素悖论，数学家们提出了多种解决方法，如：
1.采用更加严谨的集合论公理系统，如 Zermelo-Fraenkel 集合论
（ZFC）。
2.引入新的逻辑原则，如 Gdel 不完备定理。
3.使用范畴论或模型论等数学工具对集合论进行重建。
四、罗素悖论的意义
尽管罗素悖论揭示了集合论的矛盾，但它对数学和逻辑学的发展产生了深远的影响。
罗素悖论的解决
罗素悖论的解决罗素悖论1901年,罗素提出了“不包含自己在内的集合的集合”这一悖论(策梅罗也同时独立地发现了这个悖论)。
“罗素悖论”大家比较熟悉,但为了它的重要性,这儿不妨再说明几句。
有的集合不包括自己在内,例如“人”这个集合,包括所有的人在内,却不能包括抽象的人这个总的概念在内,因为这是个概念,本身并不是一个具体的人。
大多数集合属于这一类,罗素称之为“平常集”,即“不包括自身在内的集合刀。
另一类集合却包括了集合本身,例如“概念”这个集合,本身也是一个概念。
这一类集合,就叫做“非常集”。
现拿“平常集”来说,它也有一个总的集合,那就是“所有不包括自身在内的集合的集合”,这就造成了一个悖论,因为既然定义了“不包括自身在内”,这个总集合当然不能包括自身在内,但如果不包括它自己在内,定义却是“所有不包括自身”的集合,因此又只能理解为包括它自身在内。
至于所谓“非常集”,即“包括自己在内的集合”,例如“概念”这个“集合”，其中包含的元素同作为集合总体的“概念”相对言之,自然都是比较具体的概念,其实也是自相矛盾的。
人们至今对于罗素悖论相当重视,这不仅在于它指出了康托“不包括自己在内的合的集合刀的致命弱点,而且也由于这个悖论在形式逻辑概念问题上有重大意义,反映了逻辑学上的一些概念为什么必然自相矛盾这个问题。
例如“否定刀这个概念是形式逻辑中不可少的,但“否定刀往往会转化为“肯定”。
从辩证逻辑的观点看来,否定就包含着肯定,肯定也包含着否定,“包含自己刀和“不包含自己刀也是一种否定和肯定的关系,因为“包含”这个概念本身就包含着“不包含力。
“谎话”可以是“真话”。
但这一类辩证逻辑的判断,在形式逻辑领域中是不能允许其存在的。
悖论的解决为了使康托集合论避免悖论的危害,本世纪初,策梅罗拟出了一套公理化系统,这一个系统后来经过法兰凯尔的补充,就是现在数学界最为通行的ZF系统。
简略地说,策梅罗的系统就是限制了康托集合论中产生悖论的所谓“概括公理”(comprehensionaxiom),因为这条公理允许构成包括一切集合的集合。
有关无限的悖论（罗素悖论）
有关无限的悖论（罗素悖论）
─选自《什么是数学》
虽然直觉主义者的那种不妥协立场对大多数数学家来说是太极端了，但是当美妙的无限集理论中出现了一些逻辑上明显的悖论时，集论受到了严重的威胁。
人们很快就发现，毫无约束地滥用“集合”的概念必然引出矛盾。
有一个由罗素（R.Russell）揭出的悖论可叙述如下。
大多数集合不包含它自身作为元素。
例如，全体整数集A只包含数为元素;A本身，不是一个整数，而是一个整数集，A并不包含它自身为元素。
这样的集我们可以称之为“普通的”。
有许多集可能包含它自身为元素，例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是S的元素。
”可以看到，S是包含了它自身为一元素的。
这样的集我们可以称之为“非普通集”。
但无论如何，多数集将是普通的。
为了排除“非普通”集的反常状态，我们可以只着眼于所有普通集组成的集，称它为C。
集合C的每一个元素本身是一个集合，而且事实上是一个普通集。
现在产生了一个问题上：C本身是普通集还是非普通集？它必须是这二者之一。
如果C是普通集，由于C定义为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。
这样的话，C必须是非普通集，因为非普通集是那些包含了它本身为元素的集。
这是一个矛盾。
因此C必须是非普通集。
但这时C包含了一个非普通集（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义相矛盾。
因此，无论哪一种情形，仅仅是C的存在，就已经使我们陷入矛盾。
史上最著名的数学悖论—关于集合论的悖论，引发了深层的数学危机
史上最著名的数学悖论—关于集合论的悖论，引发了深层的数学危机希尔伯特以康托的连续统问题来开始他在1900年巴黎的第一届世界数学家大会上的著名问题清单，这是集合理论的一个关键问题，而接着的第二问题就是是否每一个集合都可以被良序（良序定理）？第二问题相当于确立实数集合R的概念为相容的。
在数学中，良序指的是对于一个集合，其中的每个非空子集都有一个最小元素。
换句话说，一个集合被称为良序的，当且仅当它的元素可以被排成一列，并且其中没有无穷递减的序列。
良序性质在数学中有广泛的应用，比如在证明归纳原理、Zorn引理等定理时都需要使用良序的概念。
在选择公理中，良序定理指的是任何一个集合都可以被良序排列的定理，这个定理与选择公理等价。
悖论和相容性1896年前后，康托发现所有序数的集合和所有基数的集合，这些表面上无害的概念都会导致矛盾。
在康托尔的集合论中，序数（Ordinal）和基数（Cardinal）是两个重要的概念。
序数是用来描述集合之间的顺序关系的概念。
具体地说，一个序数就是所有在它之前的序数构成的集合。
例如，自然数集合 {0, 1, 2,3, ...} 就是一个序数，因为每个自然数都比前面的自然数大 1。
基数则是用来描述集合的大小的概念。
一个集合的基数就是它所包含的元素的个数。
例如，自然数集合的基数就是无穷，因为它包含了无穷多个元素。
在序数的情况，这个矛盾通常称为Burali-Forti悖论；而在基数情况，则称为康托悖论。
根据康托的结果，所有序数形成一个集合这一假设，将会导致存在一个序数小于其自身——对于基数，也有类似的结果。
戴德金在听说这些悖论以后，开始怀疑人类的思想是否完全是理性的。
更糟的是，在1901年或1902年，策墨罗和罗素发现一个很初等的矛盾，现在称为罗素悖论，有时也称为策墨罗-罗素悖论。
现在已经很清楚了，把集合理论理解为逻辑是站不住脚的，一个新的不稳定的时期开始了。
但是应该说，只有逻辑学家心烦意乱，因为矛盾是出现在他们的理论中。
rusell悖论
rusell悖论
罗素悖论是由伯特兰·罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。
根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x:x∉x}。
罗素悖论现在已经得到了“解决”。
解决罗素悖论的努力直接导致现代数理逻辑的奠基工作，哥德尔不完备定理。
罗素悖论就是因为把全体集合构成的东西当做集合（集合论语言中的元素）来处理。
冯诺依曼提出，全体集合构成的东西可以作为类提起，但不能作为集合参与集合论的运算（这其中的区别很大），亦即不能说这个东西属于某个集合。
同时有人提出，加入WF公理（不存在无穷集合降链）。
这样一来，罗素悖论就“不再存在”（没有严格证明集合论不存在悖论，但自新集合论公理提出后没有人再发些悖论，数学界也普遍相信新集合论没有悖论。
并且哥德尔证明了“无法本质上证明集合论无矛盾”）。
罗素悖论
罗素悖论百科名片把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A} Q ={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
目录[隐藏]罗素悖论简介什么是悖论罗素悖论例子罗素悖论的影响问题的解决罗素悖论简介什么是悖论罗素悖论例子罗素悖论的影响问题的解决罗素悖论[编辑本段]罗素悖论简介1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。
此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。
触发了第三次数学危机。
[编辑本段]什么是悖论解释让我们先了解下什么是悖论。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的罗素悖论否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
主要形式悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
罗素悖论
罗素悖论的通俗形式，即“理发师悖论”： 一天，西班牙萨维利亚村理发师挂出一块招牌： “村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发， 我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的 头发由谁理呢 ? ”理发师顿时哑口无言。
罗素（Russell）悖论的数学形式： 罗素悖论是集合论悖论中形式最简单、意义 最强的一个。1901年6月，罗素考虑了康托 尔悖论，通过分析其结构后于1902年发现 了罗素悖论：令Ｓ（我们称作罗素集）是 所有不以自身为元素的集合所构成的一个 集合，即{s|s is not a member of s}， 例如{汤勺的集合}就是所有那些不是汤勺 的东西构成的集合；{我班同学的集合}就 是所有那些不是我班同学所构成的集合。
集合论悖论产生的根源在哪里?如何解决？
以Brouwer为代表的直觉主义认为问题出在无 限集合，他们从直觉主义哲学观出发，认 为数学是一个创造过程，只能接受越来越 大的有限集合,而不能接受无限集合。以自 然数为例，只能承认有越来越大的自然数， 因此任何时候只能有自然数的有限集合， 而不能承认有全体自然数这样一个无限集 合。
Russell和其他一些人认为集合论悖论产生的原因在 于所谓的“恶性循环”（涉及自身），“恶性循 环”是指一个集合中某些元素的定义中用到了这 个集合本身,每个集合论悖论中都有这样的定义存 在。为此，Russell根据排除“恶性循环”的原则， 提出了类型论。类型论的主要思想是将集合论讨 论的对象分成不同的类型，只允许相同的类型的 元素组成集合。排除“恶性循环”的主张过于激 烈，因为大多数这样的定义并不产生矛盾，要把 这些证明和定义全部改成没有“恶性循环”的证 明和定义，不但相当复杂而且有些是做不到的。 实际上,类型论也没有排除所有的“恶性循环”。
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集合论中罗素悖论问题
1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。
然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。
无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。
平时我们熟悉的大多数集合都不是自身的成员：例如自然数集合,有理数集合,实数集合,集合{1,2,3,4,5,6},N就表示所有这类集合作为元素的新集合.
而是自身成员的集合相对少见：例如所有集合的集合.
将所有集合分为两类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问,Q∈P 还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾.若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=∅,所以Q∉Q,还是矛盾.这就是著名的“罗素悖论”.
1 有些集合以自己为元素，如“所有集合的集合”，自己是集合，所以也是自己的元素。
【1】
2 可以把集合分为两类，凡不以自身为元素的集合称为第一类集合；凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。
显然每个集合或为第一类集合或为第二类集合。
设A为第一类集合的全体组成的集合。
如果A是第一类集合，由集合A的定义知: A应该是A的元素，这表明A是第二类集合。
如果A是第二类集合，那么A不会是它自身的元素，这表明A是第一类集合。
【2】
3 萨维尔村里有个理发匠。
他给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。
请问：这位理发师该不该给自己刮脸？【3】
以上例子被认为是以自己为元素的集合，由此产生罗素悖论。
我们分析一下。
1 任何事件都发生在时间轴上，集合的归纳、产生也发生在时间轴上。
在“所有集合的集合”中，前半句“所有集合”中的集合产生的时间在前，后半句“的集合”中的集合产生的时间在后，两集合产生的时间不同，它们虽然同类、同名但不是同一个集合，所以“所有集合的集合”不是以自己为元素的集合。
认为“所有集合的集合”是以自己为元素的集合违反同一律。
集合论中没有时间因素、没有时间轴，所以不能区分“所有集合”与“的集合”中两个集合的不同。
同一律、矛盾律、排中律中有时间因素，可以区分发生在不同时间的事件。
2 一个集合是否以自身为元素，需要考察元素与集合在确定环境（关系、时间）中的实质关系，有实质证据显示集合与元素在同一环境内的关系，才能认定集合在此环境中是哪类集合。
例如，有一人a，a相对于子集；儿子时，因a是父亲是儿子们的集合，所以a集可称作“父集”，此“父集”是不以自身为元素的集合，是第一类集合。
但当a作a父的子集时，a父是“父集”，这时a 以前的所称“父集”之名对a父就名不副实了，如果在a父的“父集”中仍把a当作“父集”，那么a父的“父集”就可被认为是以自身为元素的集合，是第二类集合，但a父的“父集”实质不以自身为元素，a父的“父集”实质不是第二类集合。
同样，当“第一类集合”成为“第一类集合全体组成的集合”的子集后，它以前的名称“第一类集合”没有实质证据显示此时还是名副其实，不能依据元素在其它环境的名称作推论、结论（悖论）。
即使有“第一类集合全体组成的第一类集合”，也不是以自己为元素的集合，因为前后两“集合”生成的时间不同。
3 理发师本人与理发师悖论事件相关的部分是“理发师的胡须”和“理发师的刮脸手艺”，与“理发师的刮脸手艺”相关的是“可被理发师刮的胡须”，所以理发师集可以包含“理发师的胡须”和“可被理发师刮的胡须”两个子集。
在理发师悖论中实质的题问是，“可被理发师刮的胡须” 中是否包含“理发师的胡须”，其中没有涉及以自身为元素。
如果用“理发师集”替代他自己的两个子集“理发师的胡须”和“可被理发师刮的胡须”，这样才出现理发师集是否包含理发师的情况。
以自身为元素在理发师悖论中不存在。
因此罗素悖论中没有“以自身为元素的集合”。
不必用公理回避“以自身为元素的集合”，只需在集合论中启用事实已存在的时间轴。