集合论中罗素悖论问题

集合论中罗素悖论问题

1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。

平时我们熟悉的大多数集合都不是自身的成员：例如自然数集合,有理数集合,实数集合,集合{1,2,3,4,5,6},N就表示所有这类集合作为元素的新集合.

而是自身成员的集合相对少见：例如所有集合的集合.

将所有集合分为两类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问,Q∈P 还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾.若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=∅,所以Q∉Q,还是矛盾.这就是著名的“罗素悖论”.

1 有些集合以自己为元素，如“所有集合的集合”，自己是集合，所以也是自己的元素。【1】

2 可以把集合分为两类，凡不以自身为元素的集合称为第一类集合；凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。显然每个集合或为第一类集合或为第二类集合。设A为第一类集合的全体组成的集合。如果A是第一类集合，由集合A的定义知: A应该是A的元素，这表明A是第二类集合。如果A是第二类集合，那么A不会是它自身的元素，这表明A是第一类集合。【2】

3 萨维尔村里有个理发匠。他给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。请问：这位理发师该不该给自己刮脸？【3】

以上例子被认为是以自己为元素的集合，由此产生罗素悖论。我们分析一下。

1 任何事件都发生在时间轴上，集合的归纳、产生也发生在时间轴上。在“所有集合的集合”中，前半句“所有集合”中的集合产生的时间在前，后半句“的集合”中的集合产生的时间在后，两集合产生的时间不同，它们虽然同类、同名但不是同一个集合，所以“所有集合的集合”不是以自己为元素的集合。认为“所有集合的集合”是以自己为元素的集合违反同一律。集合论中没有时间因素、没有时间轴，所以不能区分“所有集合”与“的集合”中两个集合的不同。同一律、矛盾律、排中律中有时间因素，可以区分发生在不同时间的事件。

2 一个集合是否以自身为元素，需要考察元素与集合在确定环境（关系、时间）中的实质关系，有实质证据显示集合与元素在同一环境内的关系，才能认定集合在此环境中是哪类集合。例如，有一人a，a相对于子集；儿子时，因a是父亲是儿子们的集合，所以a集可称作“父集”，此“父集”是不以自身为元素的集合，是第一类集合。但当a作a父的子集时，a父是“父集”，这时a 以前的所称“父集”之名对a父就名不副实了，如果在a父的“父集”中仍把a当作“父集”，那么a父的“父集”就可被认为是以自身为元素的集合，是第二类集合，但a父的“父集”实质不以自身为元素，a父的“父集”实质不是第二类集合。同样，当“第一类集合”成为“第一类集合全体组成的集合”的子集后，它以前的名称“第一类集合”没有实质证据显示此时还是名副其实，不能依据元素在其它环境的名称作推论、结论（悖论）。

即使有“第一类集合全体组成的第一类集合”，也不是以自己为元素的集合，因为前后两“集合”生成的时间不同。

3 理发师本人与理发师悖论事件相关的部分是“理发师的胡须”和“理发师的刮脸手艺”，与“理发师的刮脸手艺”相关的是“可被理发师刮的胡须”，所以理发师集可以包含“理发师的胡须”和“可被理发师刮的胡须”两个子集。在理发师悖论中实质的题问是，“可被理发师刮的胡须” 中是否包含“理发师的胡须”，其中没有涉及以自身为元素。如果用“理发师集”替代他自己的两个子集“理发师的胡须”和“可被理发师刮的胡须”，这样才出现理发师集是否包含理发师的情况。以自身为元素在理发师悖论中不存在。

因此罗素悖论中没有“以自身为元素的集合”。不必用公理回避“以自身为元素的集合”，只需在集合论中启用事实已存在的时间轴。