四年级奥数专题 加法原理和乘法原理

二讲加法与乘法原理

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加法原理：做一件事情，完成

．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不

同的方法，在第二类办法中有m

2种不同的方法，……，在第n类办法中有m

n

种不同的方法，那么完成这件事情共有m

1+m

2

+……+m

n

种不同的方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m

1

种方法，完

成第二个步骤有m

2种方法，…，完成第N个步骤有m

n

种方法，那么，完成这件

工作共有m

1×m

2

×…×m

n

种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

精典例题

例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问：

①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

思路点拨

①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。

②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。

模仿练习

孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。问：

（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

思路点拨

要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。

模仿练习

一把钥匙只能开一把锁，淘气有20把钥匙和20把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

例3：用数字1、8、3、2、0能组成多少个数字不重复的四位数？

思路点拨

运用乘法原理，把组数过程分为四个步骤：第一步：确定三位数千位上数字，有4种选法（最高位不能为0）；第二步：确定百位上数字，有4种选法；第三步：确定十位上数字，有3种选法；第四步：确定个位上数字，有2种选法。

模仿练习

用数字9、2，1、0、3、7能组成多少个数字不重复的四位数？

例4：如图4有A、B、C、D、E五个区域，分别用五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

思路点拨

由于有5个区域，则分为依次给A，B，C，D，E染色五步。先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；再给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种染色方法；再给C染色，因为不能与A、B同色，故有3种不同的染色方法；再给D 染色，同样不能与A、B、C同色，故有2种不同的染色方法；最后给E染色，由于E只与A、D相邻则只须与A、D不同色即可，那么它有（5－2）种染色方法。

模仿练习

小星同学用5种颜色给右图的5个区域染色，每个区域染1种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

学以致用

A级

1.机器猫有120本不同的童话书、450本不同的科技书、80本不同的故事书，熊大想从中借一本书回家看，问他有多少种不同的选法？

2.学校羽毛球队有12名男队员，10名女队员。

（l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种不同的搭配方法？

（2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选法？

3.如图5，从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有三条路；从甲地到丁地有四条路，从丁地到丙地有四条路，问从甲地到丙地共有多少种走法？

4.欧洲足球锦标赛共有16支球队参加，如果进行行单循环赛。问：共需要进行多少场比赛？

5.由数字0、l、2、3、4、5、6、7共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？（奇数：不是2 的倍数，即单数）

6.有男生5人，女生2人，排成一行照相，女生不站两头，而且2个女生要站在一起，那么有多少种不同的站法？