初等数论期末练习
初等数论期末考试试卷张
初等数论试卷 (B)一，选择题 （满分 15 分，每题3 分）1，下列不正确的是（）A 设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 ab(mod m) ，则 b a(mod m) 。
B 设 m ∈ N ， a , b , c ∈ Z , 若 a b c(mod m) , 则 ac b(mod m) .C设 m ∈ N， a 1 ,b 1 , a 2 ,b 2∈ Z ， , 若 a 1 b 1 (mod m) ， a 2 b 2 (mod m) ， 则a 1 a 2b 1b 2 ( m o md) 。
D设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a 2b 2 (mod m)，则 ab(mod m) 。
2，下列哪一个为模 12 互质的剩余类（）A[2] ，B [5] ，C [6]， D [3] 。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A3， B7， C1， D 19 。
2060 51004，同余方程 x 2 2 0(mod 5) 的解为（）Ax 0(mod 5) ， B x 4(mod 5) ， Cx 2(mod 5) ， D 此方程无解。
5，下列哪一个同余方程组无解（）x9(mod 25)x4(mod 9)A， Bx 7(mod 10) x 1(mod 6)x17(mod 25)x 19(mod14)C， D。
x 2(mod 45) x 26(mod 7)二，填空题（满分 10 分，每题 2 分）1，当 m =时， 3211(mod m) 和 17 11(mod m) 同时成立。
2，设 m ∈ N ，则为模 m 的非负最小完全剩余系。
3， (16)。
4，写出模 8 的一个简化剩余系：。
5，余式 x a(mod 5) 等价于等式：。
三，判断题（满分 10分，每题 2 分 ）1，( m)为欧拉函数，则1(m)m 1 。
（）2，设m ∈N，a∈Z ，（a,m =1，若整数集合a1 , a2 ,......,a( m)为模m的一个简化）剩余系，则aa1 , aa2 ,......,aa(m )也为模 m 的一个简化剩余系。
初等数论期末考试试卷张
初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（ ）A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。
B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(mo d 2121m b b a a ≡。
D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。
2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A 203，B 607，C 51，D 10019。
4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（ ）A )5(mod 0≡x ，B )5(mod 4≡x ，C )5(mod 2≡x ，D 此方程无解。
5，下列哪一个同余方程组无解（ ）A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，B ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)6(mod 1)9(mod 4x xC ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。
二，填空题（满分10分，每题2分）1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。
2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。
3，=)16(ϕ 。
4，写出模8的一个简化剩余系： 。
5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。
三，判断题（满分10分，每题2分 ）1，)(m ϕ为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ϕ。
（ ）2， 设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ϕ为模m 的一个简化剩余系，则{})(21,......,,m aa aa aa ϕ也为模m 的一个简化剩余系。
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
三套大学初等数论期末考试试卷
期末考试卷(A)一、填空题（每空3分，共45分）1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。
2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。
3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数是 ，所有正约数的和是 。
4. 。
5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。
6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。
7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。
8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21nn =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。
9. 设今天是星期一，则102天后是星期 。
二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。
（7分）三、（16分）1、求4063的个位数。
2、 求1001006！约分后的分母。
四．解方程（16分）。
＝0 ；2. 525x ＋231y=42。
五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。
2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。
中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧数学专业初等数论试题2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．如果b，d，e，b，则( )．A．a＝b B．a＝-bC．a≥b D．a＝±b2．如果2|n, 15|n，则30( )n．A. 整除B．不整除c. 等于D．不一定3．大于10且小于30的素数有( )．A．4个B．5个C 6个D．7个4．模5的最小非负完全剩余系是( )．A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，45．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．A．(a，b)|c B．c|(a，b)C．a|c D．(a，b)|a6．整数637693能被( )整除．A．3 B．5C．7 D．9二、填空题(每题4分，共24分)1．x=[x]+ ·2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．3．在176与545之间有是17的倍数．4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．三、计算题(共32分)1．求(336，221，391)＝?2．求解不定方程4x+12y=8．3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．4．解同余式x2≡2(mod 23)四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．试卷代号：1077中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．B 2．D 3．B4．A 5．D 6．A二、填空题(每题4分，共24分)1．{x}2．33．124．ab5．因数6．1三、计算题(每题8分，共32分)1．求(336，221，391)＝?解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)2．求解不定方程4x+12y＝8．解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)3．解同余式12x十4≡O(mod7)．解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)4．解同余式x2≡2(mod23)解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)初等数论一、判断题1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。
初等数论期末考试模拟试卷(含答案)
初等数论期末考试模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，共25分）1. 若两个正整数a和b的最大公约数为1，则称a和b互质。
若a和b互质，则a+b与a-b也互质。
（）2. 设m和n是正整数，且m、n互质。
若存在正整数k，使得km+1与kn+1互质，则k的最小值为（）。
答案：13. 已知p和q是不同的质数，且p+q=17，则p^2+q^2的最小值为（）。
答案：974. 设F(n)表示斐波那契数列的第n项，且F(n+1)=F(n)+F(n-1)，F(1)=1，F(2)=1。
若F(n)能被3整除，则n的最小值为（）。
答案：85. 已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，则称a、b、c 为勾股数。
勾股数中，a、b、c都是奇数的三元组称为奇素勾股数。
已知最小的奇素勾股数是(3,4,5)，则第二小的奇素勾股数是（）。
答案：(15,8,17)二、选择题（每题5分，共25分）6. 以下关于最大公约数和最小公倍数的说法，错误的是（）。
A. 两个正整数的最大公约数是它们的公共因子中最大的一个B. 两个正整数的最大公约数等于它们的乘积除以最小公倍数C. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积D. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数一定互质答案：D7. 设p是质数，且p>2，则以下说法正确的是（）。
A. p的平方能被3整除B. p的立方能被3整除C. p的平方加1能被3整除D. p的平方减1能被3整除答案：D8. 以下关于斐波那契数列的说法，错误的是（）。
A. 斐波那契数列中的任意两个相邻项互质B. 斐波那契数列中的任意两个非相邻项互质C. 斐波那契数列中的任意三个连续项构成勾股数D. 斐波那契数列中的任意两个相邻项之比越来越接近黄金比例答案：C9. 设a、b、c是勾股数，且a是最小的质数。
以下说法正确的是（）。
A. b和c一定互质B. b和c一定不互质C. b和c中至少有一个是质数D. b和c中至少有一个不是质数答案：D10. 以下关于同余的说法，错误的是（）。
初等数论期末练习
初等数论练习题一、单项选择题2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B 8、A 9、A 11、B 二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
初等数论期末考试
初等数论期末考试一、选择题（共20题，每题2分）1.质数是指只能被1和本身整除的自然数。
下列数中，属于质数的是（）A. 1B. 2C. 4D. 92.下列数中，能被2整除的是（）A. 15B. 21C. 34D. 493.下列数中，属于互质数对的是（）A. 6和9B. 12和15C. 16和24D. 18和254.在100以内，能被2和3整除的数是（）A. 12B. 24C. 36D. 48…二、填空题（共10题，每题4分）1.两个数的最大公约数为5，最小公倍数为30，则这两个数为____和____。
2.两个数的最大公约数为18，较大的数为54，则较小的数为_____。
3.一个数除以9余7，除以13余11，这个数最小是_____。
4.两个数的最大公约数等于45，较小的数是135，则较大的数为_____。
…三、计算题1.用辗转相除法求出以下两个数的最大公约数和最小公倍数：（）A. 72和96B. 80和120C. 112和140D. 135和180解答：设a和b为两个数，不妨设a > b，则执行以下步骤：1.计算a除以b的余数，记作r1。
2.将b除以r1的余数，记作r2。
3.若r2不等于0，则将r1除以r2的余数，记作r3。
4.依此类推，直到rk等于0为止，此时rk-1即为最大公约数。
5.最小公倍数可以通过a和b的乘积除以最大公约数得到。
经过计算，得到以下结果：–72和96的最大公约数为24，最小公倍数为288。
–80和120的最大公约数为40，最小公倍数为240。
–112和140的最大公约数为28，最小公倍数为560。
–135和180的最大公约数为45，最小公倍数为540。
所以答案为：A. 72和96，B. 80和120，C. 112和140，D. 135和180。
…四、证明题1.证明素数有无穷多个。
证明：假设素数只有有限个，记作p1, p2, p3, …, pn。
令P = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1，则P必定是一个大于1的整数。
西南大学网络教育0346初等数论期末考试复习题及参考答案
。
解：由 x 1(mod3) 得 x 3k 1，将其代入 x 2(mod5)
得 3k 1 2(mod5) ，
解得 k 2(mod5) ，即 k 5t 2 ，
所以 x 15t 7 ，所以解为 x 7(mod15) 。
9.求不定方程 3x + 2y = 2 的一切整数解。
解：因为(3,2) = 1，所以不定方程有整数解。
16．66 的个位数是 6 。
17．710 被 11 除的余数是 1 。
18．（1516，600）= 4 。
19．6 的所有正因数的和是 12 _。
20．24 与 60 的最大公因数是 12 。
21．35 的最小质因数是 5 。
22．46 的个位数是 6 。 23．8 的所有正因数的和是 15 _。 24．18 的标准分解式为 18 2 32 。 25．20 的欧拉函数值(20) = 8 。
8
证明题答案
1.设 m, 一定有一个是 3 的倍数。
证明：若 m 或 n 为 3 的倍数，则 mn 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 1，n 是 3 的倍数加 1，则 m-n 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 1，n 是 3 的倍数加 2，则 m+n 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 2，n 是 3 的倍数加 1，则 m+n 是 3 的倍 数；若 m 是 3 的倍数加 2，n 是 3 的倍数加 2，则 m-n 是 3 的倍数，结论成立。
显然 x 0, y 1是其一个特解，
所以不定方程的一切整数解为 10. 解同余式 4x 1(mod5) 。
，其中 t 取一切整数。
解：因为(4,5) = 1，所以同余式有解，且只有 1 个解。
《初等数论》期末模拟试题
证明：∵ n 2 p 1 为素数，由威尔逊定理 (n 1)!1 0(mod n) ， 即有
(n 1)!1 (n 1)(n 2) 3 2 1 1 (n 1) 2 (n 2) p(n p) 1(mod n)
∴ n 为素数。
18、
18、（10 分）证明： (a b) p ap bp(mod p)
证明：由费尔马小定理知对一切整数有： ap a( p), bp b( p)
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由同余性质知有： ap bp a b( p)
又由费尔马小定理有 (a b) p a b( p) ap bp(mod p)
5、（15 分）设 p、q 是两个大于3
是两个大于 3 的质数，证明：
3,8) = 1，
证明：因为24
证明：因为24 = 3 × 8，(3,8)
。
≡ ()
(mod3)，p2 ≡ q2 (mod8)同时成立。
(mod8)同时成立。
∴ 只需证明p
只需证明p2 ≡ q2 (mod3)，
故 b1 ka .因此 m aka ab1t
反过来，当 t 为任一整数时，
ab
t ，其中 t 满足等式 k a b1t .
( a, b)
ab
t 为 a , b 的一个公倍数，
(a, b)
故上式可以表示 a , b 的一切公倍数.
的一切公倍数.
令 t 1 ，即得到最小的正数，故得证 a , b
证明：由题设可知， mi mi 1 , i 2,3,L , n 1, 且 a1 m2 , ai mi , i 2,3,L , n , ，
初等数论期末复习题
一、填空1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。
2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。
3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-=4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{5. 写出标准分解式(1)!20= .(2)30!=(3)32!= .6. !20中质因数2的指数是 。
在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。
7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。
8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。
9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是：(1) (自反性) ；(2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；(3) （传递性） 。
10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： .11. 欧拉函数2(7)ϕ= ， =)10(ϕ ，=)37(ϕ ，=)120(ϕ 。
12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。
13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ，[125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= .14. 写出82798848的标准分解式 。
15. 写出51480的标准分解式 。
二、判断1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d md b d a =。
（） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ϕ。
（ ）3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。
（ ）4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。
最新福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称 单价 作者版本 出版社 初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-46、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 . 考核知识点：最小公倍数，参见P11-137、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52提示： 且是不小于5的素数．又 且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩分别解出两个解即可。
初等数论练习题一
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程107x・37y=25.(8分)
3、求429,其中563是素数.(8分)
(563
4、解同余式111x三75(mod321) .( 8 分)
5、求[525,231]=?
6、求解不定方程6x_11y=18.
4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、 如果a,b是两个整数，b '0,则存在唯一的整数对q, r,使得a=bq，r,其中0_r b无限个解
、填空题
1、有理数-,0：：：a:::b,（a,b）=1，能写成循环小数的条件是（
b
2、 同余式12x V5三0（mod45）有解，而且解的个数为（）.
3、 不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（）.
4、 设n是一正整数，Euler函数：：（n）表示所有（）n，而且与n（
大于20且小于40的素数有（
4个B5个C2个
是
-6,
12x15^7没有解.
B
D
-3, -2,-1,0,1,2，3 B
因为（）,所以不定方程
［12，15］不整除7
7不整除（12，15）
（12，15）不整除7
7不整除［12，15］
0,1,2,3,4, 5, 6
12、
同余式
2
x三438(mod 593)(
有解B无解
整数5874192能被(
3 B 3与9
C有正数解）整除.
9
7、
如果ba，a b，
).
a =b B
公因数是最大公因数的（
因数B倍数C
初等数论期末复习例题精选2
初等数论例题选讲41、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数.解把⎪⎭⎫ ⎝⎛563429看成Jacobi 符号,我们有⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298142921563.214292⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.216711311327)1(27132113.2127=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--,即429是563的平方剩余.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.(10分)证明因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1,所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332n n n ++是整数.3、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.证明因为133)1(233++=-+n n n n ,所以只需证明1332++n n T )5(mod .而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入1332++n n 分别得值1，7，1，19，7.对于模5,1332++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,所以1332++n n T )5(mod 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
4、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.证明设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n ,如果22y x n +=,则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,所以22,y x 只能与0,1同余,所以)4(mod 2,1,022≡+y x ,而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符,即定理的结论成立.。
初等数论期末试题(A)
042初等数论期末试题（A ）一．选择题（每题4分，共6题）1．把49化为二进制数，下列表示正确的是（ ）A 100001B 110001C 101111 D110012．某数除以3余2，除以4余1，该数除以12余（ ）A 1B 3C 4D 53．某数除300，262，205余数相同，则该数为（ ）A 21B 18C 19D 134．方程x 1+y 1=19981的整数解的个数为（ ） A 125 B 63 C 126 D 625．自200到500的整数中7的倍数的个数为（ ）A 43B 42C 41D 446．下列表达式正确的是（ ）A )199(mod 12001198≡∑=k k B )199(mod 01991198≡∑=k k C )199(mod 11981198-≡∑=k k D )199(mod 11991198≡∑=k k二．填空题（每题5分，共4题）1． 模9的最小简化剩余系为_______.2． 4327891除以18的余数为_______. 3． 1006!100约简后的分母为_______. 4． 250的末两位数为_______.三．计算题（每题8分，共5题）1． 设942762ab ，1142762ab ，求42762ab .2． 用欧拉算法把（5767，4453）表示成5767和4453的倍数和.3． 求20！的标准分解式.4． 解同余方程 )72(mod 4420≡x .5． 装月饼的盒子有两种，大盒子能装7块，小盒子能装4块，要把41块月饼装满盒子，问需要大小盒子各多少个？四．证明题（每题8分，共2题）1．证明：质数有无限多个.2．若整系数二次三项式)(x f =2x +bx +c 当x =0, x =1时的值为奇数，求证：方程)(x f =0没有整数根。
初等数论练习题二(含答案)
四、证明题
1、证明对于任意整数,数是整数. (10分)
证明 因为==,
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1,
所以从和有,
即是整数.
பைடு நூலகம்
-----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为,
所以只需证明. 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成, 所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
三、计算题 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程. 3、解同余式. 4、求,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=? 6、求解不定方程. 7、解同余式. 8、求17的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题 1、证明对于任意整数,数是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
《初等数论》期末练习一
一、单项选择题 1、如果，，则( ). A BCD 2、如果，，则15（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果,是任意整数,则 A BCD 5、如果( ),则不定方程有解. ABCD 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果，，则30（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 8、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 9、模5的最小非负完全剩余系是( ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被( )整除. A3 B5 C7 D9
(完整版)初等数论练习题二(含答案)
《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、 在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、 如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、 整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、 如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、 模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、 整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、 同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、 如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、 在176与545之间有（）是13的倍数.10、 如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（ ）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、 如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、 如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为 （）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（ ）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、 素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、 同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、 如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、 设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、 如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、 在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、 如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
初等数论 期末复习
题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132≡-+x x 。
三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭, 91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。
求兵数。
七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a > 0是整数，p 为素数）的形式。
九、证明: 若方程 11...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。
十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。
十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系, 则g γ通过模m 的一个缩系。
第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 解答：(111,321)3,375=∴同余式有三个解11175321x (m o d )333≡ 即 37x 25(mod107)≡ 4x 75(m o d 10≡ 又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。
湖南第一师范学院初等数论2021年期末试卷
湖南第一师范学院初等数论2021年期末试卷一、单项选择题1、（）.A、B、C、D、02、如果，则=（）.A、B、C、D、3、小于30的素数的个数（）.A、10B、9C、8D、74、如果,是任意整数,则A、B、C、D、5、不定方程（）.A、有解B、无解C、有正数解D、有负数解6、整数5874192能被( )整除.A、3B、3与9C、9D、3或97、如果，，则( ).A、B、C、D、8、公因数是最大公因数的（）.A、因数B、倍数C、相等D、不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A、4个 B 、5个 C 、2个 D 、3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A 、-3，-2,-1,0,1,2，3B 、-6，-5,-4,-3,-2,-1C、1,2,3,4,5，6D、0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程没有解.A、[12，15]不整除7B、（12，15）不整除7C、7不整除（12，15）D、7不整除[12，15]12、同余式（）.A、有解B、无解C、无法确定D、有无限个解二、填空题1、有理数，，能写成循环小数的条件是（）.2、同余式有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设是一正整数，Euler函数表示所有( )，而且与（）的正整数的个数.5、设整数，则（）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、（）.8、同余式有解,而且解的个数( ).9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果,则=( ).11、的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果,那么=( ).三、证明题13、（满分11分）任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.14、（满分10分）证明当是奇数时，有.15、（满分11分）一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.16、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.17、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.18、(满分8分)证明：任一大于2的整数都可写成两个质数之和四、计算题19、求24871与3468的最小公倍数?20、（满分8分）求解不定方程.21、（满分8分）求,其中563是素数.22、（满分8分）解同余式.23、求[525,231]=?24、求解不定方程.25、判断同余式是否有解？26、求11的平方剩余与平方非剩余.。
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= , .
因为10 0(mod5),
所以我们得到
所以整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .
证明 首先证明唯一性.设 , 是满足条件的另外整数对,即
, .
所以 ,即 , .又由于 , ,所以 .如果 ,则等式 不可能成立.
9、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果 ,则 =( ).
11、 的最小公倍数是它们公倍数的( ).
12、如果 ,那么 =( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程 .（8分）
3、求 ,其中563是素数.（8分）
4、解同余式 .（8分）
5、求[525,231]=?
9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.
10、如果 ,则 =( ).
11、 的最小公倍数是它们公倍数的(因数).
12、如果 ,那么 =( 1 ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
解：因为
（24871,3468）=17
所以
[24871,3468]=
=5073684
所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
2、同余式 有解，而且解的个数为( ).
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设 是一正整数，Euler函数 表示所有( ) ，而且与 （）的正整数的个数.
5、设 整数，则 （）= .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.
7、 （）.
8、同余式 有解,而且解的个数( ).
4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .
《初等数论》期末练习答案
一、单项选择题
2、C 3、A 4、A 5、A 6、B8、A 9、A 11、B
二、填空题
1、有理数 ， ，能写成循环小数的条件是（ ）.
2、同余式 有解，而且解的个数为( 3 ).
所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是9的倍数.（11分）
证明 因为
,
= ,
所以, - =
而上面等式右边的每一项均是9的倍数,
于是所证明的结论成立.
2、证明当 是奇数时，有 .（10分）
因此 , .
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……, ……
则整数 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数 使
.
我们设 ,则有 , .
初等数论期末练习题
一、单项选择题
2、如果 ，则 =（）.
A B C D
3、小于30的素数的个数（）.
A 10 B 9 C 8 D 7
4、如果 , 是任意整数,则
A B C D
5、不定方程 （）.
A有解B无解C有正数解D有负数解
6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
通解为 。
7、判断同余式 是否有解？（8分）
解 我们容易知道1847是素数,所以只需求 的值.
如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.
因为 ,所以
.
再 ,所以
,
所以, =1.
于是所给的同余式有解.
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
解因为 ,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.
又因为
, , , , ,
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).
4、设 是一正整数，Euler函数 表示所有(不大于) ，而且与 （互素）的正整数的个数.
5、设 整数，则 （ ）= .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.
7、 （ ）.
8、同余式 有解,而且解的个数( 3 ).
6、求解不定方程 .
7、判断同余式 是否有解？
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当 是奇数时，有 .（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明 可以令 .
从而有 ,
即 .
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明（1）设 ,则显然 .
（2）如果 ,那么
=
= .
4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)
将同余式化简为等价的同余方程
.
我们再解不定方程
,
得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的 .
因此同余式的3个解为
,
,
.
5、求[525,231]=?
解：解：因为
（525,231）=21
所以
[525,231]=
=5775
6、求解不定方程 .
解：因为（6，11） ，所以有解；
考虑 ，有 。
所以，特解为 ，
8、公因数是最大公因数的（）.
A因数B倍数C相等D不确定
9、大于20且小于40的素数有（）.
A 4个B 5个C 2个D 3个
11、因为( ),所以不定方程 没有解.
A [12，15]不整除7 B（12，15）不整除7
C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]
二、填空题
1、有理数 ， ，能写成循环小数的条件是（）.
2、求解不定方程 .（8分）
解：因为（107，37）=1 ，所以有解；
考虑 ，
有 ，
所以，原方程特解为 =225， =-650，
所以通解为
3、求 ,其中563是素数.（8分）
解把 看成Jacobi符号,我们有
,
即429是563的平方剩余.
4、解同余式 .（8分）
解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.