初等数论期末练习
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2、同余式 有解，而且解的个数为( ).
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设 是一正整数，Euler函数 表示所有( ) ，而且与 （）的正整数的个数.
5、设 整数，则 （）= .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.
7、 （）.
8、同余式 有解,而且解的个数( ).
2、求解不定方程 .（8分）
解：因为（107，37）=1 ，所以有解；
考虑 ，
有 ，
所以，原方程特解为 =225， =-650，
所以通解为
3、求 ,其中563是素数.（8分）
解把 看成Jacobi符号,我们有
,
即429是563的平方剩余.
4、解同余式 .（8分）
解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.
9、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果 ,则 =( ).
11、 的最小公倍数是它们公倍数的( ).
12、如果 ,那么 =( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程 .（8分）
3、求 ,其中563是素数.（8分）
4、解同余式 .（8分）
5、求[525,231]=?
通解为 。
7、判断同余式 是否有解？（8分）
解 我们容易知道1847是素数,所以只需求 的值.
如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.
因为 ,所以
.
再 ,所以
,
所以, =1.
于是所给的同余式有解.
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
解因为 ,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.
又因为
, , , , ,
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).
4、设 是一正整数，Euler函数 表示所有(不大于) ，而且与 （互素）的正整数的个数.
5、设 整数，则 （ ）= .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.
7、 （ ）.
8、同余式 有解,而且解的个数( 3 ).
因此 , .
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……, ……
则整数 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数 使
.
我们设 ,则有 , .
所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是9的倍数.（11分）
证明 因为
,
= ,
所以, - =
而上面等式右边的每一项均是9的倍数,
于是所证明的结论成立.
2、证明当 是奇数时，有 .（10分）
证明 因为 ,所以
.
于是,当 是奇数时,我们可以令 .
从而有 ,
即 .
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明（1）设 ,则显然 .
（2）如果 ,那么
=
= .
4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)
将同余式化简为等价的同余方程
.
我们再解不定方程
,
得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的 .
因此同余式的3个解为
,
,
.
5、求[525,231]=?
解：解：因为
（525,231）=21
所以
[525,231]=
=5775
6、求解不定方程 .
解：因为（6，11） ，所以有解；
考虑 ，有 。
所以，特解为 ，
初等数论期末练习题
一、单项选择题
2、如果 ，则 =（）.
A B C D
3、小于30Βιβλιοθήκη Baidu素数的个数（）.
A 10 B 9 C 8 D 7
4、如果 , 是任意整数,则
A B C D
5、不定方程 （）.
A有解B无解C有正数解D有负数解
6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .
《初等数论》期末练习答案
一、单项选择题
2、C 3、A 4、A 5、A 6、B8、A 9、A 11、B
二、填空题
1、有理数 ， ，能写成循环小数的条件是（ ）.
2、同余式 有解，而且解的个数为( 3 ).
9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.
10、如果 ,则 =( ).
11、 的最小公倍数是它们公倍数的(因数).
12、如果 ,那么 =( 1 ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
解：因为
（24871,3468）=17
所以
[24871,3468]=
=5073684
所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
证明设 是一正整数,并将 写成10进位数的形式:
= , .
因为10 0(mod5),
所以我们得到
所以整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .
证明 首先证明唯一性.设 , 是满足条件的另外整数对,即
, .
所以 ,即 , .又由于 , ,所以 .如果 ,则等式 不可能成立.
6、求解不定方程 .
7、判断同余式 是否有解？
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当 是奇数时，有 .（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
8、公因数是最大公因数的（）.
A因数B倍数C相等D不确定
9、大于20且小于40的素数有（）.
A 4个B 5个C 2个D 3个
11、因为( ),所以不定方程 没有解.
A [12，15]不整除7 B（12，15）不整除7
C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]
二、填空题
1、有理数 ， ，能写成循环小数的条件是（）.
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设 是一正整数，Euler函数 表示所有( ) ，而且与 （）的正整数的个数.
5、设 整数，则 （）= .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.
7、 （）.
8、同余式 有解,而且解的个数( ).
2、求解不定方程 .（8分）
解：因为（107，37）=1 ，所以有解；
考虑 ，
有 ，
所以，原方程特解为 =225， =-650，
所以通解为
3、求 ,其中563是素数.（8分）
解把 看成Jacobi符号,我们有
,
即429是563的平方剩余.
4、解同余式 .（8分）
解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.
9、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果 ,则 =( ).
11、 的最小公倍数是它们公倍数的( ).
12、如果 ,那么 =( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程 .（8分）
3、求 ,其中563是素数.（8分）
4、解同余式 .（8分）
5、求[525,231]=?
通解为 。
7、判断同余式 是否有解？（8分）
解 我们容易知道1847是素数,所以只需求 的值.
如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.
因为 ,所以
.
再 ,所以
,
所以, =1.
于是所给的同余式有解.
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
解因为 ,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.
又因为
, , , , ,
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).
4、设 是一正整数，Euler函数 表示所有(不大于) ，而且与 （互素）的正整数的个数.
5、设 整数，则 （ ）= .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.
7、 （ ）.
8、同余式 有解,而且解的个数( 3 ).
因此 , .
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……, ……
则整数 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数 使
.
我们设 ,则有 , .
所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是9的倍数.（11分）
证明 因为
,
= ,
所以, - =
而上面等式右边的每一项均是9的倍数,
于是所证明的结论成立.
2、证明当 是奇数时，有 .（10分）
证明 因为 ,所以
.
于是,当 是奇数时,我们可以令 .
从而有 ,
即 .
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明（1）设 ,则显然 .
（2）如果 ,那么
=
= .
4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)
将同余式化简为等价的同余方程
.
我们再解不定方程
,
得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的 .
因此同余式的3个解为
,
,
.
5、求[525,231]=?
解：解：因为
（525,231）=21
所以
[525,231]=
=5775
6、求解不定方程 .
解：因为（6，11） ，所以有解；
考虑 ，有 。
所以，特解为 ，
初等数论期末练习题
一、单项选择题
2、如果 ，则 =（）.
A B C D
3、小于30Βιβλιοθήκη Baidu素数的个数（）.
A 10 B 9 C 8 D 7
4、如果 , 是任意整数,则
A B C D
5、不定方程 （）.
A有解B无解C有正数解D有负数解
6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .
《初等数论》期末练习答案
一、单项选择题
2、C 3、A 4、A 5、A 6、B8、A 9、A 11、B
二、填空题
1、有理数 ， ，能写成循环小数的条件是（ ）.
2、同余式 有解，而且解的个数为( 3 ).
9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.
10、如果 ,则 =( ).
11、 的最小公倍数是它们公倍数的(因数).
12、如果 ,那么 =( 1 ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
解：因为
（24871,3468）=17
所以
[24871,3468]=
=5073684
所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
证明设 是一正整数,并将 写成10进位数的形式:
= , .
因为10 0(mod5),
所以我们得到
所以整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .
证明 首先证明唯一性.设 , 是满足条件的另外整数对,即
, .
所以 ,即 , .又由于 , ,所以 .如果 ,则等式 不可能成立.
6、求解不定方程 .
7、判断同余式 是否有解？
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当 是奇数时，有 .（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
8、公因数是最大公因数的（）.
A因数B倍数C相等D不确定
9、大于20且小于40的素数有（）.
A 4个B 5个C 2个D 3个
11、因为( ),所以不定方程 没有解.
A [12，15]不整除7 B（12，15）不整除7
C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]
二、填空题
1、有理数 ， ，能写成循环小数的条件是（）.