数学建模之灰色预测
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
数学建模之灰色预测基础篇
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——我们最常用 • GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个
变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
一、做生成数列 原始数列： x0 (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
1、累加生成 AGO ：
（1）一次累加生成 1 AGO ：
k
x(1) (k ) x(0) (i), k a,, n ia
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
(0)
预测数列： x (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
0i
1 | s0 | | si |
1 | s0 | | si | | si s0
|
n 1
| s0 ||
x00 (k ) 0.5x00 (n) |
k 2
n 1
| si ||
xi0 (k ) 0.5xi0 (n) |
三、检验准指数规律
(k ) x(1) (k ) [1,1.5)
x(1) (k 1)
• 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落 在可容覆盖中，从而对于不合格的序列，可保证 经过选择数据变换处理后能够进行建模，通常的 数据变换有：平移变换、对数变换、方根变换。 如：
y(0) (k) x(0) (k) c, k 1,2,, n
GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
数学建模中的灰色预测
的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分 为直接经济影响和间接影响，直接经济影响涉及商品 零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面(fāngmiàn)难以进
行 定量地评估，现仅就SARS疫情较严重的某市商品零 售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分 析。
• 灰色预测是应用灰色模型GM对灰色系统进行分析、建模、求解、 预测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的 随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为 明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机 分布，也能得到较高的预测精度。因此，灰色预测在社会经济(jīngjì)、 管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的 应用
有白色数的全体。如代购一件价格为100元左右的衣服，100
可作为预购衣服价格的白化值。
灰数有离散灰数（ 属于离散集）和连续灰数（ 属于某
一区间）。
~
~
第五页，共27页。
2.灰色代数方程—含有灰色系数的代数方程
如： x30
x2 2x 3 0
灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分的 方程，如 dx(t) a bx(t)
称所得到的新数列
i 1
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
为数列 x (0的) 1次累加生成数列。类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i), k 1,2,, n, r 1 i 1
称为 x (0)的r次累加生成数列。
第八页，共27页。
（2）累减生成
x (1) (t)
dt （2）
dx(1) (t) ax(1) (t) b,
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模之灰色预测模型
简介
特点:模型使用的不就是原始数据列,而就是生成的数据列。
优点:不需要很多数据,一般只用4个数据就能解决历史数据少,序列的完整性与可靠性低的问题。
缺点:只适用于中短期的预测与指数增长的预测。
1
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程,且只含有一个变量的灰色模型。
1、1模型的应用
①销售额预测
②交通事故次数的预测
3
波形预测,就是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时,可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化,以便进行决策。从本质上来瞧,波形预测就是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
3、1模型的应用
①区域降水量预测(下载文档)
②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)
光滑比为
若序列满足
则序列为准光滑序列。
否则,选取常数c对序列 做如下平移变换
序列 的级比
②对原始数据 作一次累加得
建立模型:
(1)
③构造数据矩阵B及数据向量Y
其中:
④由
求得估计值 = =
⑤由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥精度检验与预测
残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若 <0、2则可认为达到一般要求;若 <0、1,则可认为达到较高要求。
③某地区火灾发生次数的预测
④灾变与异常值预测,如对旱灾,洪灾广州市人口预测与分析(下载的文档)
⑥网络舆情危机预警(下载的文档)
1、2步骤
①级比检验与判断
由原始数据列 计算得序列的级比为
若序列的级比 ∈ ,则可用 作令人满意的GM(1,1)建模。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色预测建模原理及应用
灰色预测建模原理及应用灰色预测建模是一种基于灰色系统理论的预测方法，它通过对已知数据进行灰色处理，利用数学模型进行预测分析，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，并被广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域。
灰色预测的基本原理是通过对原始数据序列进行灰色处理，从而实现数据序列的规律性显现和可预测性增强。
灰色预测建模的基本步骤如下：1.序列建模：对原始数据序列进行建模，确定其特征方程。
主要有一阶、二阶、灰度关联度模型和灰色GM(1,1)模型等。
2.模型参数估计：根据确定的特征方程，通过最小二乘法等方法对模型参数进行估计，得到模型的数值解。
3.模型检验：对已建立的模型进行检验，判断模型的适用性及精度。
一般通过残差检验、相关系数检验等方法来评估模型。
4.预测和累加生成：通过模型预测得到待预测期的结果，并将预测结果与原始数据进行累加生成，得到预测序列。
灰色预测建模的特点是：省数据量、灰度信息充分、模型简单、适用性广泛。
应用方面，灰色预测建模主要有以下几个方面：1.经济方面：灰色预测可以用于经济指标预测，如GDP、消费指数、物价指数等。
通过对这些指标进行预测分析，可以指导政府采取相应的宏观调控政策。
2.环境方面：灰色预测可以应用于环境数据的预测，如空气质量指数、水质指标等。
通过对环境数据的预测，可以做到提前预警，并采取相应的控制措施，保护环境质量。
3.管理方面：灰色预测可以用于企业管理，如销售预测、库存预测、供应链管理等。
通过对企业数据进行预测，可以合理安排生产、销售和供应，提高企业的经济效益和竞争力。
4.工程方面：灰色预测可以应用于工程项目的进度和成本预测，如道路建设、房地产开发等。
通过对工程数据进行预测分析，可以及时发现问题，并采取相应的措施，保证项目的顺利进行。
总的来说，灰色预测建模是一种有效的预测方法，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域，对各行各业的发展和决策都具有重要作用。
数学建模算法：灰色预测模型GM（1,1）及Python代码
数学建模算法：灰⾊预测模型GM（1,1）及Python代码灰⾊预测模型GM(1,1)灰⾊预测模型\(GM(1,1)\)是在数学建模⽐赛中常⽤的预测值⽅法，常⽤于中短期符合指数规律的预测。
其数学表达与原理分析参考⽂章尾部⽹页与⽂献资料。
经过整理，以下附上Python代码：灰⾊模型要求数据前后级⽐落⼊范围 \(\displaystyle \Theta\left(e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+2}}\right)\) ，因此做线性平移预处理使得元数据满⾜要求。
线性平移：将数据平移⾄不⼩于1，检查级⽐，若不满⾜要求则将数据向上平移⼀个最⼩值直到满⾜要求。
可以推断出，级⽐的上下界在给定数据点数越多的情况下，越趋于1。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 线性平移预处理，确保数据级⽐在可容覆盖范围def greyModelPreprocess(dataVec):"Set linear-bias c for dataVec"import numpy as npfrom scipy import io, integrate, linalg, signalfrom scipy.sparse.linalg import eigsfrom scipy.integrate import odeintc = 0x0 = np.array(dataVec, float)n = x0.shape[0]L = np.exp(-2/(n+1))R = np.exp(2/(n+2))xmax = x0.max()xmin = x0.min()if (xmin < 1):x0 += (1-xmin)c += (1-xmin)xmax = x0.max()xmin = x0.min()lambda_ = x0[0:-1] / x0[1:] # 计算级⽐lambda_max = lambda_.max()lambda_min = lambda_.min()while (lambda_max > R or lambda_min < L):x0 += xminc += xminxmax = x0.max()xmin = x0.min()lambda_ = x0[0:-1] / x0[1:]lambda_max = lambda_.max()lambda_min = lambda_.min()return c# 灰⾊预测模型def greyModel(dataVec, predictLen):"Grey Model for exponential prediction"# dataVec = [1, 2, 3, 4, 5, 6]# predictLen = 5import numpy as npfrom scipy import io, integrate, linalg, signalfrom scipy.sparse.linalg import eigsfrom scipy.integrate import odeintx0 = np.array(dataVec, float)n = x0.shape[0]x1 = np.cumsum(x0)B = np.array([-0.5 * (x1[0:-1] + x1[1:]), np.ones(n-1)]).TY = x0[1:]u = linalg.lstsq(B, Y)[0]def diffEqu(y, t, a, b):return np.array(-a * y + b)t = np.arange(n + predictLen)sol = odeint(diffEqu, x0[0], t, args=(u[0], u[1]))sol = sol.squeeze()res = np.hstack((x0[0], np.diff(sol)))return res# 输⼊数据x = np.array([-18, 0.34, 4.68, 8.49, 29.84, 50.21, 77.65, 109.36])c = greyModelPreprocess(x)x_hat = greyModel(x+c, 5)-c# 画图t1 = range(x.size)t2 = range(x_hat.size)plt.plot(t1, x, color='r', linestyle="-", marker='*', label='True')plt.plot(t2, x_hat, color='b', linestyle="--", marker='.', label="Predict")plt.legend(loc='upper right')plt.xlabel('xlabel')plt.ylabel('ylabel')plt.title('Prediction by Grey Model (GM(1,1))')plt.show()误差分析部分：可就绝对误差、相对误差、级⽐、残差做数据分析，以下⽰例为最⼩⼆乘法线性回归分析。
数学建模-灰色预测模型(讲解
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
一、灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统； 称信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是 否具有确定的关系。
1灰色系统的定义和特点
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法.
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
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所以一阶常微分方程可以变换为
x(0) (t) ax(1) (t) u
x(0)
(2)
[ x(1)
(2),1]ua;
x(0) (3) x(0) (N )
[
(1)
a (3),1]u
;
......
[
x
(1)
(
N
)
a ,1]u
由于x (1) t
涉及 x (1) 的两个时刻的值，因此
.......
(
1 2
x (1)
(N
)
1 2
x (1)
(N
1)),
1
1 a u
1
写作 y BU
用最小二乘法估计为
Uˆ
aˆ uˆ
(BT B)1 BT
y
将a与u的估计值代入微分方程可得
xˆ(1) (k 1) [x(1) (1) uˆ ]eaˆk uˆ
aˆ
aˆ
当k=1,2，…N-1时求解的为拟合值，当k大 于等于N时求出的为预测值。
一次累加 x(1) {x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (N ) }
设其满足一阶常微分方程
dx (1) ax (1) u dt
由导数定义
dx(1) lim x(1) (t t) x(1) (t)
dt
t
当t变化取值为1单位时，近似的有 x(1) (t 1) x(1) (t) x(1) t
灰色生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处 理称为生成.对原始数据的生成就是企图从杂 乱无章的现象中去发现内在规律.
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累 减生成,均值生成,级比生成等
累加生成
设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
取其前后两个时刻的均值更为合理。所
以将x(1) (i) 替换为
1 x(1) (i) 1 x(1) (i 1)
2
2
所以就有
x(0) (2)
x(0)
(3)
...
x
(0)
(
N
)
(1 2
(1
x(1) (2) x(1) (3)
1
2 1
x(1) (1)), x(1) (2)),
2
2
平均相对误差
rel 1 n rel(k) n k 1
对残差优化
对残差数列
E e(1), e(2),..., e(n)
若存在k0 ,满足 （1）k k0 , e(0) (k)的符号一致； （2）n k0 4
则可以对残差尾段再次利用灰色预测建模 对原结果进行修正。
后验差检验法
设原始序列与残差序列的方差分别为
优点
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、 建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测 是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些 预测方法（如回归分析等），需要较大的 样本.若样本较小，常造成较大误差，使预 测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少， 运算方便，建模精度高，在各种预测领域 都有着广泛的应用，是处理小样本预测问 题的有效工具.
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
常见应用
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的 时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻 的特征量，或达到某一特征量的时间。 （2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常 值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时 区内。 （3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测 灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变 预测。 （4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定 值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架 构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的 时点。
6 3+8+10+7 34.
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
对比原始数据与一次累加的生成数据，可 以发现原始数据有明显摆动，而生成数据 呈现逐渐递增的形式.所以累加生成可以将 非负的摆动数列转化为递增数列。
累减生成
累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减 生成是累加生成的逆运算,常简记为 IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为 非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息, 其运算符号为∆.
灰色预测
—GM（1.1）模型
简介 灰色生成 GM（1.1）建模机理 模型精度检验
简介
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是 通过少量的、不完全的信息，建立数学模型 并做出预测的一种预测方法.当我们应用运 筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战 略和政策、进行重大问题的决策时，都必须 对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事 物的过去和现在的发展规律，借助于科学的 方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和 分析，并形成科学的假设和判断.
（4）根据 Uˆ (BT B)1 BT y 求估算参数 （5）用时间响应方程计算拟合值， 再用后减运算还原，即
x(0) (i) xˆ(i) xˆ(i 1) , (i 2,3,..., N )
（6）精度检验与预测
累减数列也常用于累加数列的还原中。
均值生成
邻均值生成，就是对等时距数列，用相邻数 据的平均值构造新的生成数据。
非邻均值生成，就是对非等时距数列，或者 等时距数列但是剔除异常值之后产生空穴的 数列,用空穴两边数据求平均值构造新的数 据以填补空穴。
级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的 方法。对数列端点值的生成，我们无法采用 均值生成填补空缺，只能采用级比生成。级 比生成在建模中可以获得较好的灰指数率。 级比生成分级比与光滑比两种。
S12
1 n
n k 1
x(0) (k) x
2
S
2 2
1 n
n k 1
e(0) (k) e
2
后验差比为
C S2 S1
小误差概率
p Pe(k) e 0.6745S1
模型精度等级 1级（好） 2级（合格） 3级（勉强） 4级（不合格）
精度检验等级参照表
均方差比值C
小误差概率p
C<=0.35
0.95<=p
0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
0.65<C
P<0.70
所以模型的精度级别为
Maxp的级别， C的级别
GM（1.1）建模步骤
（1）由原始数据序列 x(0)计算一次累加序
列 x(1)
（2）建立矩阵B，y； （3）(BT B)求1 逆矩阵,(inv)
模型精度检验
灰色关联度
ij
min j
X0(
j)
Xi(
j)
max max
i
j
X0(
j)
Xi
(
X
0
(
j)
X
i
(
j
)
max i
max j
X
0
(
j
)
X
i
(
j)
j)
以一次累加数列为参考序列，以预测数 列为比较序列，利用灰色关联度的方法 可以评价预测结果与原始数据的关联程 度，关联度越大误差越小。
相对误差检验法
设按该模型以求出Xˆ (1) ，并将 Xˆ (1) 做一次累 减转化为Xˆ (0) ，即
Xˆ (0) xˆ(0) (1), xˆ(0) (2),..., xˆ(0) (n)
计算残差
E e(1), e(2),..., e(n)
计算相对误差
rel(k) e(k) 100 %, k 1,2,..., n x(0) (k)
设序列X (0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)]为原始序列,
称 (K )为级比, (k)为光滑比,其表达式为
(k) x(0) (k) / x(0) (k 1)
(k) x(0) (k) / x(1) (k 1)
GM（1.1）建模机理
给定观测序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) }