线性半参数模型非参数假设检验理论和方法_丁士俊_姜卫平

（Ｘ）），如果 ＭＤ（Ｘ）Ｎ＝０ 或 ＮＤ（Ｘ）Ｍ ＝０，则 两
个 二 次 型ＸＴ ＭＸ 和ＸＴＮＸ 互 独 立，其 中 Ｍ 与 Ｎ
为对称可逆矩阵。
残差平方和为：
Ω１ ＝Ｖ珚ＴＰ珚Ｖ珚 ＝Ｌ珚Ｔ（Ｐ珚－Ｐ珚Ｂ珚ＮＢ珚－１Ｂ珚ＴＰ珚）Ｌ珚 （２４）
Ω１ 是随机向量 Ｌ珚～Ｎ（ξＬ珚 ，Ｄ（Ｌ珚））的 一 个 二 次 型。
差阵 为 σ２０ （ＨＮＢ珚－１ＨＴ ）；二 次 型 的 母 阵 为 （ＨＮＢ珚－１
ＨＴ ）－１／σ２０ ，则 有 ：
［ ］ （ＨＮＢ珚－１ＨＴ σ２０
）－１σ２０（ＨＮＢ珚－１
Ｈ
Ｔ
２
）
＝
（ＨＮＢ珚－１ＨＴ σ２０
）－１σ２０（ＨＮＢ珚－１
Ｈ
Ｔ）
即根据二次型定理可得：
Ω２／σ２０ ～χ２（ｆ２，λ） 而自由度与非中心化参数为：
［ ］［ ］ ［ ］ ＢＴＰＢ ＢＴＰ ＾Ｘ
ＢＴＰＬ
＝
ＰＢ Ｐ ＋αＲ ＾ｓ
ＰＬ
（５）
对 法 方 程 式 （５）求 解 ，可 得 到 半 参 数 模 型 补 偿 最 小
二乘估计公式［６ ］：
烄＾Ｘ ＝ （ＢＴ Ｐ（Ｉ－Ｓ）Ｂ）－１ ＢＴＰ（Ｉ－Ｓ）Ｌ ＾ｓ ＝ Ｓ（Ｌ －Ｂ＾Ｘ ）
烅＾Ｌ ＝ Ｂ＾ＸＸ ＋＾ｓ＝ Ｈ（α）Ｌ Ｈ（α）＝Ｓ＋ （Ｉ－Ｓ）Ｂ［ＢＴＰ（Ｉ－Ｓ）Ｂ］ＢＴＰ（Ｉ－Ｓ）
式 （５）确 定 。
３ 统计量 Ｆ 的证明
３．１ Ω２／σ２０ 为 χ２（ｆ２）分 布 二次型分布定理为：设 Ｘ 服从 Ｎ （ξ，Ｄ（Ｘ）），
Ｍ 为 对 称 矩 阵，ＭＤ（Ｘ）为 幂 等 矩 阵，则 二 次 型
ＸＴ ＭＸ 服从非中心化的χ２ 分布，即
ＸＴ ＭＸ ～χ２（Ｒ（Ｍ），λ）
（２１）
式中，Ｒ（Ｍ）为 二 次 型 母 阵 Ｍ 的 秩 ，非 中 心 化 参
则化 参 数α 的 计 算 需 要 依 照 一 定 的 计 算 准 则，其
计算准则有广义交差核实法、Ｌ 曲线法等，正则矩
阵 Ｒ 的确定参见文献［３］、文献［６］。
２ 半参数模型的假设检验
设假设检验原假 设 Ｈ０：ｓ＝０。 按 Ｋｏｃｈ［１２］线 性假设检验的思 想，可 将 其 设 为 半 参 数 模 型 的 条
（８）
由 式 （７）～ （８）可 得 到 解 ：
［ ］［ ］ ［ ］ ＢＴＰＢ ＢＴＰ ＾Ｘ
ＢＴＰＬ
ＰＢ Ｐ ＋αＲ ＾ｓ ＝ ＰＬ
（９）
式 （９）与 式 （５）相 同 ，故 模 型 式 （３）、式 （４）与 式 （７）、
式 （８）为 等 价 模 型 。 令
［ ］ ［ ］ ［ ］ ［ ］ Ｖ珚＝ Ｖ ，Ｂ珚＝ Ｂ Ｉ ，＾Ｙ＝ ＾Ｘ ，Ｌ珚＝ Ｌ ，
件方程＾ｓ ＝０，即
ＨＹ ＝ ［０ Ｉ］［＾Ｘ ｓ＾ ］Ｔ ＝０
（１３）
模型式（１０）、式（１３）就 是 附 有 条 件 的 间 接 平 差 问
题，其解可计为＾ＹＨ ，则有：
＾ＹＨ
＝＾Ｙ
－
Ｎ－１ Ｂ珚
ＨＴ
（Ｈ Ｎ－１Ｂ珚
Ｈ
Ｔ
）Ｈ＾Ｙ
（１４）
相应的残差平方和为：
ΩＨ ＝Ｖ珚ＨＴＰ珚Ｖ珚Ｈ ＝ （Ｂ珚＾ＹＨ －Ｌ珚）Ｐ珚（Ｂ珚＾ＹＨ －Ｌ珚）＝ Ｖ珚ＴＰ珚Ｖ珚 ＋ （＾Ｙ－＾ＹＨ ）Ｔ ＮＢ珚（＾Ｙ－＾ＹＨ ） （１５）
１ 半参数模型补偿最小二乘估计
线性半参数回归模型为：
Ｌ ＝ ＢＸ ＋ｓ＋Δ
（１）
Ｅ（Δ）＝ ０，Ｄ（Δ）＝σ２０Ｐ－１
（２）
式中，Ｌ 为ｎ 维观测向量；Ｘ 为ｔ 维参数向量；ｓ 为
ｎ 维非参数向量，代表模型中未参数化 的 部 分（描
述未知的系统误差）；Δ 为ｎ 维独立同分布偶然误
差向量；Ｂ 为ｎ×ｔ 列 满 秩 设 计 矩 阵；σ０ 是 单 位 权 中误差；Ｄ（Δ）与Ｐ 分别是Δ 方差阵与权阵。
数 为λ＝ξＴ Ｍξ。
第 ３９ 卷 第 １２ 期
丁 士 俊 等 ：线 性 半 参 数 模 型 非 参 数 假 设 检 验 理 论 和 方 法
１４６９
由 式 （１８）可 知，Ω２／σ２０ ＝ （Ｈ＾Ｙ ）Ｔ （（ＨＮＢ珚－１ ＨＴ）－１／σ２０）（Ｈ＾Ｙ）。其 中，二 次 型 向 量 为 Ｈ＾Ｙ，其 方
烆Ｓ ＝ （Ｐ＋αＲ）－１Ｐ
（６）
式中，Ｓ 为光滑矩阵；Ｉ 是ｎ×ｎ 阶单位矩阵；Ｈ（α）
为帽子矩阵。
令Ｐｓ＝αＲ，则 模 型 式 （３）、式 （４）可 改 写 为 ：
［ ］ ［ ］［ ］ ［ ］ Ｖ
Ｂ Ｉ ＾Ｘ Ｌ
＝
－
Ｖｓ
０ Ｉ ｓ＾ ０
（７）
［ ］ ［ ］［ ］ Ｖ Ｔ Ｐ ０ Ｖ ＝ ｍｉｎ Ｖｓ ０ Ｐｓ Ｖｓ
立统计量，并证明式（２０）是 Ｆ 分布的统计量，即
Ｆ
＝
Ω２／ｆ２ Ω１／ｆ１
～ Ｆ（ｆ２，ｆ１）
（２０）
对 原 假 设 Ｈ０：ｓ＝０ 作 统 计 检 验，若 Ｈ０ 成
立，由式（２１）可知 Ｆ 服从自由 度 为ｆ２、ｆ１ 的 Ｆ 分
布的统计量，则 在 显 著 水 平α０ 下，必 有 Ｆ＜Ｆα０ 成 立；若 Ｆ＞Ｆα０ ，则 原 假 设 Ｈ０ 不 成 立，即ｓ≠０，说 明ｓ显著，半参 数 模 型 式 （３）正 确，其 最 优 解 可 由
１４６８
武汉大学学报·信息科学版
２０１４ 年 １２ 月
下条件极值问题：
Ｖ ＝ Ｂ＾Ｘ ＋＾ｓ－Ｌ
（３）
ＶＴＰＶ ＋α＾ｓ ＴＲｓ＾ ＝ ｍｉｎ
（４）
式中，Ｒ 为 正 则 矩 阵；α 为 正 则 化 参 数 （又 称 为 光
滑参数 ），在 极 小 化 过 程 中，在 二 次 型 ＶＴＰＶ 与
＾ｓ ＴＲｓ＾ 之 间 起 平 衡 作 用 。 由 式 （３）～ （４）可 得 ：
长 期 以 来 ，模 型 误 差 问 题 是 测 量 数 据 处 理 研 究 的 主 要 问 题 ，但 一 直 没 有 得 到 很 好 的 解 决 。 过 去 人 们研究与处理系统误差问题，大多是在数据处理中 进行模型补偿来消除与削弱误差，或者在模型中用 某些参变量来加以描述，使观测量中残余的系统误 差与偶然误差相比较可以忽略不计；对于粗差问题 的研究，在参数回归数据处理中，有许多方法（如数 据 探 测 、稳 健 估 计 等），因 此 所 建 立 的 参 数 模 型 与 客 观实际基本一致。但是现代测量手段所得到的观 测量往往包含无法补偿的系统误差，如在高精度的 ＧＰＳ定位中，载波相位观测值的系统误差是一个主 要的系统误 差 源 ，主 要 误 差 包 括 卫 星 轨 道 误 差 ，接 收机与卫星钟误差，电离层与对流层误差以及多路 径效应等。由于系统误差的复杂性，许多情况下观 测量中包含有残余的系统误差，而且很难用一定的 数学表达式来加以描述。为了处理这种不确定性 的系统性误差，统计学界提出了一种所谓的偏线性 回归模型 ，又 称 为 半 参 数 回 归 模 型 （ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ），其模型可描述为［１－５］Ｌ＝ＢＸ＋ｓ＋ Δ ，其中Ｌ 为ｎ×１维观测向量，Ｘ 为ｔ×１维未知参 数向量，ｓ称为非参数，Ｂ 为ｎ×ｔ维未 知 参 数 的 系 数矩阵，Δ 为ｎ×１ 维观测噪声，且 Ｅ（Δ）＝０，独 立 同分布。
近几年来，不 同 的 领 域 都 对 半 参 数 模 型 估 计 算 法 进 行 了 大 量 有 益 的 研 究 与 探 讨［１－７］，但 是 对 其模型的假设检 验 问 题 的 讨 论 并 不 多 见，除 文 献
［８－１１］对半参数 模 型 粗 差 检 验 作 过 一 些 讨 论 外， 关于线性半参数模型非参数假设检验的相关性的 文献并不多 见。 因 此，本 文 重 点 研 究 了 半 参 数 模 型非参数假设理 论 和 方 法，在 半 参 数 模 型 补 偿 最 小二乘估计基本 理 论 的 基 础 上，详 细 介 绍 了 半 参 数模型非参数假 设 检 验 的 理 论 与 方 法，导 出 了 其 假设检验统计量，并 对 检 验 统 计 量 的 分 布 进 行 了 推导与证明。最后通过模拟算例验证了其理论与 算法的正确性。
收 稿 日 期 ：２０１３－０７－１０ 项 目 来 源 ：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （４１０７４０２２，４１１７４００９）。 第 一 作 者 ：丁 士 俊 ，博 士 ，教 授 ，研 究 方 向 为 大 地 测 量 、现 代 测 量 数 据 处 理 理 论 及 其 应 用 。Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｊｄｉｎｇ＠ｓｇｇ．ｗｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
（２２）
ｆ ＝ Ｒ（Ｍ）＝
Ｒ（（ＨＮＢ珚－１ＨＴ）－１／σ２０ ）＝ Ｒ（Ｈ）
λ ＝ξＴ Ｍξ ＝０ （在 Ｈ０ 成立时）
上述证明可知，在 Ｈ０ 成立时，中心化χ２ 统计量
Ω２／σ２０ ～χ２（ｆ２）
（２３）
其自由度ｆ２＝Ｒ（Ｈ），Ｒ（Ｈ）为矩阵 Ｈ 的秩。
３．２ Ω１ 与 Ω２ 独立性证明 二次 型 独 立 性 定 理：随 机 向 量 Ｘ ～Ｎ （ξ，Ｄ
（α））为帽子 矩 阵 Ｈ（α）的 秩；σ２０ 为σ＾２０ 的 母 体；单
位权方差σ＾２０ 的估值为 ： ［１］
σ＾２０
＝ｎ
Ｖ珚ＴＰ珚Ｖ珚 －Ｒ（Ｈ（α））
（１９）
下一节 将 证 明 在 原 假 设 Ｈ０ 成 立 下，二 次 型
Ω２ 除以σ２０ 的统 计 分 布 也 为 χ２（ｆ２），其 自 由 度 ｆ２ ＝ Ｒ（Ｈ），Ｒ（Ｈ）为 矩 阵 Ｈ 的 秩，证 明 Ω１ 与 Ω２ 为 独
顾及到Ｖ珚＝Ｂ珚＾Ｙ－Ｌ珚，Ｂ珚ＴＰ珚Ｂ珚＝ＮＢ珚 ，Ｖ珚ＴＰ珚Ｂ珚＝０ 令 Ω１＝Ｖ珚ＴＰ珚Ｖ珚，Ω２＝（＾Ｙ－＾ＹＨ ）Ｔ ＮＢ珚（＾Ｙ－＾ＹＨ ）
则 式 （１５）可 简 化 为 ：
ΩＨ ＝ Ω１ ＋Ω２