椭圆的基本概念及性质
椭圆的基本性质
椭圆的基本性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。
在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。
1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。
2. 椭圆的中心与轴椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。
主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。
主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。
准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。
4. 椭圆的半长轴与半短轴椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的距离，长度记为a。
半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一个顶点的距离，长度记为b。
椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。
5. 椭圆的周长与面积椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C =4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率有关的特殊函数。
椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：S = πab。
6. 椭圆的离心率与轨道的形状离心率可以帮助我们描述椭圆的形状，离心率越小，椭圆越接近于完美的圆形；离心率越大，椭圆越扁平。
在天文学中，行星的轨道通常是椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。
例如，地球的轨道就是一个离心率接近于0.017的椭圆。
通过以上对椭圆的基本性质的介绍，我们对椭圆有了更深入的了解。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
必修二椭圆知识点总结
必修二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是一个点到两个给定点的距离之和等于常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，距离之和等于常数称为椭圆的离心率。
2. 公式表示椭圆的一般方程为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点、离心率和长短轴之间的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
2. 椭圆的对称性椭圆以其中心为中心对称，有两个对称轴，分别为长轴和短轴。
长轴上有两个端点，称为顶点；短轴上也有两个端点。
3. 椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程表示为：$x=h+a\cos t$$y=k+b\sin t$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
4. 椭圆的离心角椭圆上任意一点到两个焦点的连线与椭圆长轴的夹角称为椭圆的离心角。
椭圆的离心角范围在0到$\pi$之间。
三、椭圆的相关定理1. 椭圆的偏心率椭圆的偏心率为：$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$其中，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
2. 椭圆的焦点、半焦距和离心率的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
3. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程为：$\frac{xh}{a^2}+\frac{yk}{b^2}=1$四、椭圆的应用1. 物理学中的应用椭圆在天体运动、热力学等领域都有广泛的应用。
例如，行星绕太阳的运动轨迹就是一个椭圆。
2. 工程学中的应用椭圆在工程学中也有着重要的应用，例如在建筑设计、轨道运输等方面。
椭圆与双曲线的基本概念与性质
椭圆与双曲线的基本概念与性质椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，它们具有不同的特点和性质。
在本文中，我们将介绍椭圆和双曲线的基本概念以及它们的性质。
一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点称为焦点，而常数 2a 称为椭圆的长轴长度。
椭圆的性质如下：1. 椭圆的离心率是一个小于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的中心在原点(0,0) 处，长轴与x 轴平行，短轴与y 轴平行。
3. 椭圆关于 x 轴和 y 轴对称，且关于原点对称。
4. 椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于常数 2a。
5. 椭圆的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 - e^2) 计算。
二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点也称为焦点，常数 2a 称为双曲线的距离。
双曲线的性质如下：1. 双曲线的离心率是大于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c 是焦点之间的距离。
2. 双曲线的中心在原点 (0,0) 处，与椭圆不同，双曲线的两个分支分布在 x 轴的两侧。
3. 双曲线关于原点对称。
4. 双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数 2a。
5. 双曲线的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 + e^2) 计算。
三、椭圆与双曲线在实际中的应用椭圆和双曲线在实际中具有广泛的应用。
下面是两个常见的例子：1. 卫星轨道：卫星在地球上空的轨道通常是椭圆或双曲线，这是因为椭圆和双曲线都能够提供稳定的轨道。
2. 反射面：抛物线是由椭圆和双曲线扩展而来的，抛物面具有反射的特性，因此经常被用于望远镜、碟形天线等设备的设计中。
总结：椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，通过定义、性质以及实际应用来理解它们。
椭圆和双曲线具有不同的形态特点，对应不同的数学模型以及实际应用场景。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
职高椭圆知识点总结
职高椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念：1. 椭圆的定义：椭圆可以由一个动点P到两个固定点F1和F2的距离之和等于定值2a （椭圆的长轴）的点P的轨迹确定。
2. 椭圆的要素：椭圆的主要要素包括长轴、短轴、焦点、焦距等。
3. 椭圆的数学表示：椭圆可以用数学方程（x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1）表示。
二、椭圆的性质：1. 椭圆的对称性：椭圆具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
2. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点F1和F2与长轴的几何性质关系。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e定义及其性质。
4. 椭圆的参数方程：用参数方程表示椭圆的方法及其意义。
三、椭圆的相关定理与推论：1. 椭圆的切线：切线与法线的关系及其倾斜角的性质。
2. 椭圆的长度与面积：椭圆周长与面积的计算公式。
3. 椭圆的焦距关系：焦距与椭圆的长轴和短轴之间的数学关系。
四、椭圆与其他几何图形的关系：1. 椭圆与圆的关系：椭圆是特殊的椭圆；两者之间的数学联系及应用。
2. 椭圆与抛物线的关系：椭圆与抛物线在几何性质上的异同及其图形特点。
五、椭圆的应用：1. 椭圆在物理学中的应用：椭圆在行星轨道、天体运动等方面的物理规律及应用。
2. 椭圆在工程中的应用：椭圆在机械传动、建筑结构设计等领域的工程应用。
3. 椭圆在日常生活中的应用：椭圆在建筑艺术、工艺美术等方面的日常应用实例。
总之，椭圆作为基本的几何图形之一，在现实生活和工程技术中有着广泛的应用，对于职高学生来说，掌握椭圆的基本概念、性质和相关定理是非常重要的，可以帮助他们更好地理解和应用几何知识。
希望以上内容能够对您有所帮助。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
高二椭圆的全部知识点总结
高二椭圆的全部知识点总结一、椭圆的基本概念1. 椭圆的定义：椭圆是平面上满足到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴长度。
2. 椭圆的几何特征：椭圆是一个闭合曲线，具有对称性。
它的中心点是两个焦点的中点，长轴是过中心点且垂直于长轴的线段。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是 x²/a² + y²/b² = 1（a>b>0），其中a是长轴的长度，b是短轴的长度。
4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程是 x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t是参数，a和b是椭圆的半长轴和半短轴。
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e定义为焦点到中心点的距离与长轴的长度之比。
离心率越接近于1，椭圆越扁平；离心率越接近于0，椭圆越圆。
6. 椭圆的焦点属性：椭圆的焦点具有镜像性质，即以长轴为对称轴，椭圆的任意一点与其关于焦点的镜像点关于长轴中心对称。
7. 椭圆的直径定理：椭圆上任意两点的距离之和为常数，与椭圆的长短轴长度有关。
二、椭圆的性质1. 椭圆的对称性：椭圆具有中心对称性，即任意点关于中心对称的点仍在椭圆上。
2. 椭圆的切线性质：椭圆上任意一点的切线与椭圆的法线垂直，并且焦点到切点的距离和到法线的距离的乘积是常数。
3. 椭圆的切点坐标：椭圆上一点P(x,y)的切线方程为xx1/a² + yy1/b² = 1，其中(x1,y1)是椭圆上的一点。
4. 椭圆的焦点坐标：椭圆上一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2= 2a。
5. 椭圆的面积：椭圆的面积为πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
6. 椭圆的离心率与焦距的关系：椭圆的离心率e与焦距c的关系为e = c/a。
7. 椭圆的焦点与直径关系：椭圆的焦点到任意一条直径的两个端点的距离之和等于椭圆的长轴长。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中的一个重要的几何概念，研究椭圆的性质和应用对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
下面是对于椭圆的知识点进行总结的1000字。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆可以通过定义方式来描述：平面上点集到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a，其中P是椭圆上任意一点，a是一个正实数，常数2a称为椭圆的长半轴。
同时，椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离称为椭圆的焦距，记为2c，满足a > c。
椭圆的基本性质如下：1. 椭圆的离心率e的定义为焦距与长半轴的比值，即e = c / a，且0 < e < 1。
离心率的大小和形状相关，当e接近0时，椭圆几乎成为一个圆，当e接近1时，椭圆变得更加扁平。
2. 椭圆的中心为椭圆上两个焦点的中点，记为O。
3. 椭圆的两条主轴分别为椭圆的短轴和长轴，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
4. 椭圆的焦点到直径的距离之和等于直径的长度。
5. 椭圆上每一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长半轴的长度2a。
二、椭圆的方程和参数方程椭圆的方程一般形式为：(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆长半轴和短半轴的长度。
椭圆的参数方程为：x = h + a·cosθ，y = k + b·sinθ，其中θ为参数，范围在0到2π之间。
三、椭圆的焦点和直线1. 椭圆的焦点F1和F2到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长半轴的长度2a。
2. 通过椭圆的两个焦点可以画出两条称为准线的直线，这两条直线与椭圆的切线垂直，并通过椭圆的两个焦点。
3. 椭圆的离心率e小于1，所以椭圆上任意两点之间的距离总是小于椭圆的周长，且椭圆不是一个严格闭合的曲线。
四、椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长可以通过椭圆的长半轴和短半轴来计算：1. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。
椭圆的基本概念与性质
椭圆的基本概念与性质椭圆是数学上的一个重要概念，它在几何学、天文学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆的基本概念与性质，包括定义、方程、焦点、短轴、长轴等内容，以便读者对椭圆有更深入的了解。
1. 定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
2. 方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。
当a=b时，椭圆退化为一个圆。
3. 焦点与离心率椭圆的焦点是椭圆上到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
椭圆的离心率是焦点与椭圆的长轴之比，通常用e表示。
当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状是扁平的；当e=1时，椭圆的形状是长条状。
4. 短轴与长轴椭圆的长轴是通过椭圆中心且垂直于短轴的直线段，长度为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，长度为2b。
长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
5. 面积与周长椭圆的面积可以用公式πab来计算，其中π是圆周率。
椭圆的周长没有一个简单的数学公式，但可以用近似公式2π√((a²+b²)/2)来估算。
6. 焦点与直线关系对于一条过椭圆的焦点的直线，该直线与椭圆的两个交点到焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
这个性质在椭圆的构造和证明中有着重要的应用。
7. 椭圆的投影当一个椭圆被一个平面所截，就会产生一个椭圆的投影。
椭圆的投影可以是一个椭圆、一个圆、一个椭圆的一部分或一个直线段，具体取决于投影平面与椭圆的相对位置。
8. 椭圆与锥面椭圆是一个椭圆锥的截面。
椭圆锥可以由一个两个焦点之间距离不变的点沿着一条直线轨迹旋转而生成，椭圆就是锥面与一个平面的交线。
总结：椭圆是一个重要的数学概念，具有许多独特的性质和应用。
通过了解椭圆的定义、方程、焦点、离心率，以及与直线、投影、锥面的关系，我们对椭圆的基本概念和性质有了更深入的了解。
椭圆的基本概念与性质
椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。
1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。
2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。
可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。
3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。
可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。
椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。
对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。
4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。
离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。
椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。
5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。
在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。
椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。
6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。
例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。
此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。
总结：椭圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的概念和性质。
通过本文的介绍，我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。
对于几何学的学习和实际应用，理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。
高考椭圆所有知识点总结
高考椭圆所有知识点总结椭圆，作为高中数学中的一个重要概念和知识点，是高考中必考的内容之一。
掌握椭圆的相关知识，对于考生来说至关重要。
本文将全面总结高考椭圆的所有知识点，以便考生能够更好地应对高考中的相关题目。
1.椭圆的定义椭圆是平面上满足一定条件的点集合，这个条件就是到一个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，常数2a是称为椭圆的长轴，而连线F1F2称为椭圆的焦点连线。
点集合中的每个点到焦点连线和到椭圆中心的距离之积是一个常数e，e称为椭圆的离心率，0<e<1。
椭圆是以长轴为对称轴的对称图形。
2. 椭圆的基本性质(1) 椭圆的离心率e的大小决定着椭圆的形状，e越接近于0，椭圆越接近于圆形；e越接近于1，椭圆越狭长。
(2) 椭圆的中心是坐标原点O(0,0)。
(3) 横坐标的范围是[-a, a]，纵坐标的范围是[-b, b]，其中a 称为横坐标的最大值，b称为纵坐标的最大值。
(4) 椭圆的参数方程为：x=a*cosθ, y=b*sinθ。
(5) 椭圆的面积为πab。
3. 椭圆的方程椭圆的标准方程为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。
其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴，且a>b>0。
根据椭圆的离心率e=a/b，可以进一步得出椭圆的方程为：x=±a√(1-y^2/b^2)。
4. 椭圆的焦点和离心率(1) 焦点F1和F2的坐标可通过以下公式计算得出：F1=(-ae, 0)，F2=(ae, 0)。
(2) 离心率的计算公式为：e=c/a，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
5. 直线与椭圆的交点直线与椭圆的交点有以下情况：(1) 直线与椭圆相交于两个交点。
(2) 直线与椭圆外离不相交。
(3) 直线与椭圆外切。
(4) 直线与椭圆内部相交于两个交点。
6. 切线和法线(1) 椭圆上的一点处的切线必然经过该点的法线的焦点之一。
(2) 切线的斜率可通过命题得出：设点P(x1, y1)为椭圆的点，椭圆的方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，则切线的斜率为k=(y1/a^2)/(x1/b^2)。
椭圆的基本概念与性质
椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。
一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。
根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。
椭圆还有一个参数b，称为短轴。
这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。
椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。
长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中2a>2b。
两个焦点F与F'关于中心O对称。
椭圆有一些特殊的性质：1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。
2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。
离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。
当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。
3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。
二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。
一般形式的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
椭圆的中心位于原点(0,0)处。
椭圆还可以通过参数方程进行表示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。
三、椭圆的性质1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。
2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。
3. 点到椭圆的距离：点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。
4. 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。
5. 垂直角性质：椭圆上的任意点P处，直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。
椭圆初中知识点总结
椭圆初中知识点总结前言椭圆是初中数学中比较重要的一个知识点，它不仅是数学理论中的一个重要概念，而且在生活中也有很多应用。
在本篇文章中，我将为大家总结椭圆的基本概念、性质以及应用，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、椭圆的定义椭圆是由平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，焦距为2c，且c²=a²-b²，其中b²=a²-c²称为椭圆的短轴。
二、椭圆的基本性质1.椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的长轴，即PF1+PF2=2a。
2.椭圆的两轴在中点处相交，且中点到两焦点的距离相等。
3.椭圆的离心率e=c/a，其中c是焦距，a是长半径。
当e<1时，椭圆存在；e=1时，取长半径是固定的直线段作为轨迹成为一条双曲线；e>1时，取定抛物线作为轨迹。
4.椭圆的面积为πab，其中a、b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
5.椭圆的周长无法用解析式表示，但可以用椭圆积分求得。
三、椭圆的相关公式1.椭圆标准方程：(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a是椭圆的长半径，b是短半径。
2.椭圆离心率公式：e²=1-(b²/a²)。
3.椭圆的焦距公式：c²=a²-b²。
4.椭圆的参数方程：x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中θ∈[0,2π)。
5.椭圆的极坐标方程：r=a(1-e²)/(1-e*cosθ)，其中r为极半径。
四、椭圆的应用椭圆在生活中有很多应用，如：1.椭圆形的花瓶、碗等陶瓷制品。
2.天文学中，椭圆被用来描述行星和星系的轨道，比如地球绕太阳的轨道。
3.电子轨道在量子力学中被认为是椭圆形的。
4.椭圆拱门在建筑中被广泛使用，如罗马竞技场。
5.生物学中，许多动物的眼睛和细胞的形状都是椭圆形的。
高考椭圆基本知识点总结
高考椭圆基本知识点总结椭圆是数学中一种重要的图形，对于高中数学的学生来说，掌握椭圆的基本知识点是非常重要的。
本文将对椭圆的一些基本知识进行总结，并通过实例加深理解。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和恒定于常数2a的动点P 的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为长半轴。
椭圆的性质包括：1. 椭圆的离心率e小于1，且离心率越小，椭圆越扁平。
2. 椭圆的对称轴是y轴和x轴。
3. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2a。
4. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴长度，b为短半轴长度。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)为椭圆中心的坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
以椭圆（x-3）²/4 + (y-2)²/9 = 1为例，该椭圆的中心坐标为(3,2)，长半轴长度为4，短半轴长度为9。
三、椭圆的图形特点1. 对于标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1：- 当a>b时，椭圆的长半轴在x轴上，短半轴在y轴上；- 当a<b时，椭圆的长半轴在y轴上，短半轴在x轴上；- 当a=b时，椭圆即为圆。
2. 椭圆的扁率表达：椭圆的扁率可以通过离心率e来衡量，e的计算公式为：e = sqrt(1 - b²/a²)通过e的大小可以判断椭圆的形状：- 当e=0时，椭圆变成一个点，即焦点和中心重合；- 当e的值在0和1之间时，椭圆越扁平；- 当e=1时，椭圆退化为一个线段，即焦点与中心的连线；- 当e>1时，曲线为双曲线。
四、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹可以用来描述天体的运动，比如地球绕太阳的运动轨迹。
2. 电子轨道原子的电子在原子核周围的运动轨迹可以近似看作椭圆轨道。
文科数学椭圆知识点总结
文科数学椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义：椭圆是一个平面上点的集合，其到两个给定点的距离之和等于常数的情形。
这两个给定点称为焦点，这个常数称为椭圆的半径和。
椭圆是一种特殊的圆锥曲线。
2. 要素：椭圆包括两个焦点F1、F2和椭圆的半长轴a、半短轴b。
定义F1F2=2a，F1P+F2P=2a+b，其中P为椭圆上的任意一点。
二、椭圆的性质1. 关于对称性：椭圆具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，都有P(-x, y)、P(x, -y)、P(-x, -y)在椭圆上。
2. 弧长和扇形面积：椭圆的弧长计算公式为L=4aE(e)，其中E(e)是第二类椭圆积分，并且扇形的面积计算公式为A=πab。
3. 离心率和焦点：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它决定了椭圆的形状。
e=c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是半长轴的长。
4. 判别式：在解析几何中，一般地，椭圆方程Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0可以化为标准型x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a、b和离心率e=√(a^2-b^2)/a，可以通过判别式B^2-4AC来判别椭圆方程的类型。
5. 焦直线和其它性质：椭圆的焦直线可以表示为x=a/c或x=-a/c，其中c=√(a^2-b^2)。
椭圆上的任意一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
三、椭圆的方程1. 标准方程：椭圆的标准方程可以表示为 x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0。
当椭圆的中心位于原点时，方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1；当椭圆的中心不位于原点时，方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。
2. 参数方程：椭圆的参数方程可以表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t是参数，a、b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
3. 焦点方程和直角坐标方程：椭圆的焦点方程可以表示为x^2+y^2=a^2,e^2=a^2-b^2；椭圆的直角坐标方程可以表示为y=a*√(1-x^2/a^2)。
椭圆常用结论及其推导过程
椭圆常用结论及其推导过程椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。
在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。
一、椭圆的定义及基本性质1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
2.椭圆的基本性质：(1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性；(2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上；(3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）；(4)椭圆的离心率e满足0<e<1二、椭圆的焦点、半长轴和半短轴的平方和证明1.定理：椭圆焦点到定点连线与定点切线的夹角为直角。
证明：设定点F1、F2和椭圆上的点M。
由于FM的长度等于椭圆的长轴，且角FMF1和角FMF2均为直角，所以角MF1F2为直角。
对于切线MF1和MF2，它们垂直于线段F1F2，所以MF1与MF2的夹角为直角。
2.定理：椭圆焦点到定点连线的长度平方和等于长轴的平方。
证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任意一点为P。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。
将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。
根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到(PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。
根据切线的性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。
代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。
经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。
高中数学椭圆知识点总结及公式大全
高中数学椭圆知识点总结及公式大全椭圆是几何学中的重要概念，它的知识点包括定义、标准方程、性质等。
以下是椭圆知识点总结及公式大全：一、椭圆的基本概念1. 椭圆的概念：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
2. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上时，标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (其中 $a > b > 0$ )焦点在y轴上时，标准方程为：$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$ (其中 $a > b > 0$ )二、椭圆的性质1. 范围：椭圆上的任意一点P，它到椭圆两个焦点的距离之和为定值，等于椭圆的长轴的长度。
2. 对称性：椭圆是关于其长轴和短轴对称的。
3. 顶点：椭圆与长轴和短轴的交点称为顶点。
长轴的顶点是$(-a,0),(a,0)$，短轴的顶点是$(0,-b),(0,b)$。
4. 焦点：椭圆的两个焦点位于长轴上，焦距为$2c$，其中$c^2 = a^2 - b^2$。
5. 离心率：椭圆的离心率定义为$e = \frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要指标。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用角度θ表示，其中x=a×cosθ，y=b×sinθ。
参数方程可以帮助我们更方便地表达椭圆的轨迹。
以上就是关于高中数学中椭圆的全部知识点总结和相关公式，供你参考，建议咨询数学老师或者查看高中数学教辅以获取更准确全面的信息。
椭圆知识点
椭圆知识点椭圆是一种常见的二维几何图形，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。
以下是关于椭圆的一些基本知识点。
1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
其中，常数被定义为椭圆的焦距。
2. 椭圆的构造：椭圆可以通过用一根固定的线段的两个端点分别为焦点，在平面上绕着该线段的中点画圆的方式来构造。
在这个构造过程中，圆上的每一个点到两个焦点的距离之和等于该固定线段的长度。
3. 椭圆的基本性质：（1）椭圆有两个焦点和两个顶点。
焦点与顶点之间的距离相等，被称为半焦距。
（2）椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是顶点之间的距离。
（3）椭圆的离心率是一个描述其“扁平程度”的参数，定义为焦距与长轴之间的比值。
离心率为0表示圆，离心率小于1表示椭圆，离心率等于1表示抛物线，离心率大于1表示双曲线。
（4）椭圆的直径是指横跨椭圆两个相对的焦点的最长线段。
4. 椭圆的方程：椭圆可以通过一条普通的二次方程来表示。
一般来说，椭圆的方程具有以下形式：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半。
5. 椭圆的参数方程：椭圆也可以用一组参数方程来表示。
一般来说，椭圆的参数方程可以写成：x = h + a*cos(t)y = k + b*sin(t)其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半，t是参数。
6. 椭圆的焦点方程：椭圆焦点的坐标可以通过以下公式计算：焦点1: (h - c, k)焦点2: (h + c, k)其中，c是椭圆的半焦距。
7. 椭圆的面积和周长：椭圆的面积可以通过以下公式计算：S = π * a * b其中，a是长轴的一半，b是短轴的一半。
椭圆的周长可以通过以下公式计算：C = 4 * (a + b)其中，a是长轴的一半，b是短轴的一半。
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椭圆的基本概念及性质适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域苏教版课时时长（分钟）120知识点1、椭圆的定义、几何图形、标准方程.2、椭圆的基本量.教学目标1、使学生掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2、使学生掌握椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法教学重点1、椭圆的标准方程的求法；2、椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法；教学难点椭圆离心率的求法教学过程课堂导入已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________椭圆中的基本量a.b.c分别代表什么，离心率、准线方程的公式，标准方程的公式分别应该怎么求？下面进入我们今天的学习！复习预习1、椭圆的定义、几何图形、标准方程.2、椭圆的基本量.知识讲解考点1椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距．考点2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)A2(a，0)B1(0，－b)B2(0，b)A1(0，－a)A2(0，a)B1(－b，0)B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a、b、c的关系c2＝a2－b2例题精析例1 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．【答案】x 220＋y 25＝1或4x 265＋y 265＝1【解析】设该椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)，依题意，2a ＝2(2b)a ＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以424b 2＋1b 2＝1或14b 2＋42b 2＝1.解得b 2＝5或654，这样a 2＝20或65，故该椭圆的方程为x 220＋y 25＝1或4x 265＋y 265＝1.例2 在平面直角坐标系中，有椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点⎝⎛⎭⎪⎫a2c，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．【答案】22【解析】如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝2OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值ca(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝2OA，所以a2c＝2a，解得ca＝22，即e＝22.例3 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1【解析】(解法1)由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|， 而|FA|＝a 2c －c ，|PF|≤a ＋c ，所以a 2c－c ≤a ＋c ，即a 2≤ac ＋2c 2.又e ＝c a ，所以2e 2＋e ≥1，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.(解法2)设点P(x ，y)．由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|， 由椭圆第二定义，|PF|a 2c －x ＝e ，所以|PF|＝a 2c e －ex ＝a －ex ，而|FA|＝a 2c －c ，所以a －ex ＝a 2c －c ，解得x ＝1e (a ＋c －a 2c )．由于－a ≤x ≤a ，所以－a ≤1e (a ＋c －a 2c )≤a.又e ＝ca ，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0.1 2≤e<1.又0<e<1，所以例4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．【答案】(1) 椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2) 证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② (证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3. 由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．(证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 【解析】(1) 解：由题意知b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2) 证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② (证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3. 由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．(证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．课程小结1. 椭圆的定义中应注意常数大于F 1F2.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于F 1F 2时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于F 1F 2时，其轨迹不存在．2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B)．3. 求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca或e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2去整体求解．。