高等数学-曲面积分试题

Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）

课堂练习题

一、填空题

1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z

∂∂∂αβγ∂∂∂∑++⎰⎰Ò= 。 2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰Ò= 。

3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑

⎰⎰Ò 。 4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。

5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y

∂∂∂∂∂∂αβγ∂∂∂∂∂∑-+-+-∂⎰⎰Ò 。 二、选择题

1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。

A ．12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰；

B ．1

2zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；

C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；

D ．zdxdy ∑

⎰⎰=0。

2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑

⎰⎰等于 。

A

．200d rdr πθ⎰

⎰； B

．200d rdr πθ⎰⎰；

C

．20d rdr πθ⎰； D ．2π。

3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑

⎰⎰等于 。

A

．2xy D x y ⎰⎰； B ．

22xy

D x y ⎰⎰；

C ．0；

D ．343

R π。 4．曲面积分2z dxdy ∑

⎰⎰在数值上等于 。

A ．向量2z i r 穿过曲面∑的流量；

B ．向量2z j r 穿过曲面∑的流量；

C ．向量2

z k r 穿过曲面∑的流量； D ．面密度为z 2的曲面∑的质量。 5．设∑是球面2222x y z R ++=的外侧，D xy 是xoy 面上的圆域222x y R +≤，下述等式正确的是 。

A ．222xy D x y zds x y ∑=

⎰⎰⎰⎰；

B ．2222()()xy D x y dxdy x y dxdy ∑+=

+⎰⎰⎰⎰；

C ．2xy

D zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰；

D ．xy D zdxdy zdxdy ∑=

⎰⎰⎰⎰。

三、计算题

1．求⎰⎰∑++zdxdy y ydzdx x xdydz z

222，Σ是z =x 2+y 2、x 2+y 2=1和坐标面在第一卦限所围立

体V 的边界外侧。

2．求⎰⎰∑-++-dxdy z x x xydzdy dydz x )(48)1(22，Σ是旋转抛物面z =x 2+y 2 上介于0≤z ≤4之

间部分的上侧。

3．求222ds x y z ∑++⎰⎰，∑是界于平面z =0及z =h 之间的圆柱面222x y R +=。

4．求曲面z =x 2+y 2含在x 2+y 2=2x 内的那部分面积。

5．求均匀曲面z =的重心的坐标

四、流体流速k zx j yz i xy v ρ

ρρρ++=，求由z =1、x =0、y =0和z 2=x 2+y 2所围立体在第一卦限向外流的流量。

五、设围成空间闭区域V 的曲面Σ为z z y x 4222=++，函数),,(z y x u u =在V 上具有二阶连续偏导数，且1222222=++=∆z u y u x u u ∂∂∂∂∂∂，n u ∂∂是u (x , y , z )在Σ上各点处沿外法线方向的

方向导数，计算⎰⎰∑ds n

u ∂∂。 选做题

1．设Σ是柱面222a y x =+在h z ≤≤0之间的部分，则2x ds ∑

⎰⎰= 。 2

．∑，∑为曲面22(2)(1)15169

z x y ---=+(z ≥0)的上侧。 3．已知曲面2az =x 2-y 2上任意一点P(x , y , z )处的面密度为k |z | (a >0)，求曲面被柱面x 2+y 2=a 2截下的部分质量。

4．Σ是由x o y 面上曲线x =e y (0≤y ≤a )绕x 轴旋转而成的旋转曲面，曲面法向量与x 轴正向夹角大于π/2，计算⎰⎰∑-+-zxdxdy xydzdx dydz x

48)1(22。

5．计算111dydz dzdx dxdy x y z ∑++⎰⎰Ò，Σ是椭球面1222222=++c

z b y a x 外侧。 6．设分布着均匀物质的曲面Σ上半部为球面2221:y x a z --=∑，下半部为柱面:2∑222a y x =+)0(,≤≤-z h ，底面为,:3h z -=∑222a y x ≤+，欲使其重心落在球心处，试求底半径a 和柱面高h 之间的关系。

7．设u (x , y , z )有连续二阶偏导数，Σ是V 的光滑边界曲面，

n u ∂∂是沿Σ外法线的方向导数，222222u u u u x y z ∂∂∂∂∂∂++=∆，证明：⎰⎰⎰⎰⎰

∆=∑V

udxdydz ds n u ∂∂。 8．证明：22xdx ydy

x y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。

9．求向量A xi y j zk =++u r r r r 通过闭区域Ω：0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1的边界曲面流向外侧的通量。

10．流体在空间流动，流体的密度μ处处相同，流速函数222V xz i yx j zy k =++u r r r r

，试求流体在

单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量（流向外侧）和沿曲线L ：2222x y z z ++=, z =1的环流量（从z 轴正向看取逆时针方向）。

供稿：陈巨龙

Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）