第八章 静电场中的导体和电介质(精)

第八章静电场中的导体和电介质

一、基本要求

1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。

2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。

3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。

4．了解电场能量、电场能量密度的概念。

二、本章要点

1．导体静电平衡

导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。

2．电位移矢量

在均匀各向同性介质中

D=εE=ε0εrE

介质中的高斯定理 D⋅ds=∑Qi自 si

3．电容器的电容

C=

电容器的能量Q ∆U

1Q2

W= 2C

4．电场的能量

电场能量密度

w=

电场能量 1 E⋅D 2

W=⎰VwdV

三、例题

8-1 下列叙述正确的有（Ｂ）

（Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。（Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。

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（Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。（Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。（Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。

i 解：选（B）。由高斯定理E⋅ds=∑qi/ε0，由∑q=0⇒φ=0，但场强则

不一定为零，如上题。

（C）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。

（D）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。

（E）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。

8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等

于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；

球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。

解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O点的电势为

U1=-

点电荷Ｑ2在球心的电势为Q14πε0R

U2=

所以，O点的总电势为Q2Q2 =4πε0⋅3R12πε0R

U0=U1+U2=

由于整个导体球壳为等势体，则 Q2-3Q1 12ε0R

UA=U0=Q2-3Q1 12ε0R

8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为

______________，两球电势为______________。

解：连接前，空心球电势U1=Q1，所以带电量为

4πε02R

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Q1=8πε0RU1 实心球电势U2=Q2

4πε0R，所以带电量为

Q2=4πε0RU2

连接后，两球电势相等，但总电量不变。有

'=U2'=U' 或U1Q1'8πε0R='Q2

4πε0R

Q'1+Q'2=Q1+Q2

联立解得

Q1'=8πε0R2U1+U2(2U1+U2） U'= 33

8-4 一不带电的导体壳，壳内有一个点电荷q0，壳外有点电荷q1和q2。导体壳不接（Ａ）q1与q2的电量改变后，壳内场强分布不变。

（Ｂ）q1与q2在壳外的位置改变后，壳内的场强分布不变。

（Ｃ）q0的电量改变后，壳外的场强分布不变。

（Ｄ）q0在壳内的位置改变后，壳外的场强分布不变。

8-5 如图，半径为Ｒ的不带电的金属球内有两个球形空腔，在两个空腔中分别放点电荷q1和q2，在金属球外放一点电荷q3，它们所带电荷均为q。若q1和q2到球心距离都是地，下列说法中正确的是（A、B、D）；若导体壳接地，下列说法中正确的是（A、B、C、D）。 R/2，q3到球心距离r>>R，则q1受力为

_______，q2受力为_________，q3受力约为________。

解：q1、q2受力为0。球为等势体，球外

表面感应电荷均匀分布，电场在球外也呈径向

对称分布。由高斯定理球外场强为

E=

所以，q3受力约为q1+q2 4πε0r2

q3(q1+q2)2q2

F==224πε0r4πε0r

8-6 半径分别为Ｒ1和Ｒ2（Ｒ1＜Ｒ2 ）互相绝缘的两个同心导

体球壳，内球带电＋Ｑ。取地球与无限远的电势均为零。求

（１）外球的电荷和电势。

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（２）将外球接地后再重新绝缘，此时外球的电荷和电势。

（３）再将内球接地，此时内球的电荷。

解：（1）由于内球带电＋Ｑ，由静电平衡条件和高斯定理知，外球壳内表面带电-Q，外表面带电+Q。

因为外球壳外面的场强为

E=

所以，外球的电势为Q4πε0r2 （r>R2）

U=⎰∞

R2 ∞E⋅dr=⎰Q4πε0r2R2dr=Q4πε0R2

（2）外球接地，内表面电量不变，外表面电量变为零，电势为零。

（3）将内球接地后，内球电势为零。设内球电量变为q，则