第3讲 绝对值
七年级上册-第二章-第3讲(绝对值)
第七讲 绝对值一、相反数的定义定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数. 特别地， 的相反数是0.相反数的求法：求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a 的相反数是－a ，其实质是改变这个数的符号．例1 分别写出下列各数的相反数．－3，2，4.5，0，－ .练1 如图，表示互为相反数的两个数的点是________．二、多重符号的化简例2 化简下列各数：(1)－[＋(－1)]；(2)－{－[－…(－1) …]}. (2n －1)个负号，n 为正整数练1化简下列各数：(1)－[－(＋2)]＝______； (2)－[－(－2 017)]＝________；(3)－[＋(－18)]＝__________； (4) ． 三、相反数的性质－2.5与＋2.5，＋1与－1，＋3与－3性质：每一对数在数轴上的对应点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．在一个数的前面添上“＋”号表示这个数本身．在一个数的前面添上“－”号表示原来这个数的相反数．例3 填空：(1) 的相反数为_______； (2)2是______的相反数；(3)x －y 的相反数为_______； (4)π－3的相反数是_______.练1 下列说法：①m 与－m 互为相反数，因此它们一定不相等；②相反数等于它本身的数只有0；③正数和负数互为相反数；④负数的相反数是正数；⑤a 的相反数一定是负数．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4四、绝对值的定义定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |.(这里的数a 可以是正数、负数和0).代数定义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；任意一个数的绝对值为 ． 用式子表示为： 2=3⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭－＋－＋859－000a a a a ⎧⎪=⎨⎪（＞）；（＝）；163例4 写出下列各数的绝对值：，0， ， ，－4.5，－5. 五、绝对值的性质性质：互为相反数的两个数的绝对值 .1. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.非负性：任何有理数的绝对值都是 ，即 例6 下列各式中无论m 为何值，一定是正数的是( ) A. B. C. +1 D.－(－m )例7 已知 ，求x 与y 的相反数.练1若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ＜1D ．a ＞1六、有理数的大小比较用数轴比较两数的大小：1. 在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数 ．2. 利用数轴比较大小关键有两步：一是在数轴上 ；二是观察表示数的点在数轴上的 ．有理数大小比较法则：a.正数都大于零，负数都小于零， 正数都大于负数．b.两个负数比较大小，绝对值大的反而小例8 已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图，下列结论错误的是( )A ．|a |＜1＜|b |B ．1＜－a ＜bC ．1＜|a |＜bD ．－b ＜a ＜－1例9 下列说法正确的是( )A ．一个数的绝对值一定比0大B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．最小的正整数是115432－132－0.a m 1＋m m 42=0－＋＋x y七、课堂小练1．只有________不同的两个数互为相反数．相反数具有以下四个特征：(1) 相反数是________出现的；(2) 0的相反数是 ；(3) 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，到原点的距离________．2. 下列说法：①－2是相反数；② 2是相反数；③－2是2的相反数；④－2和2互为相反数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．运用相反数的意义化简多重符号，若数字前面的负号有偶数个，则结果为______数；若数字前面的负号有________数个，则结果为负数．4. 下列各组数中，不相等的是( )A ．－(＋2)和＋(－2)B ．－7和－(＋7)C ．＋(－5)和－(－5)D ．－[＋(－8)]和－[－(＋8)]5. 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是( )A ．正数B ．正数或零C ．负数D ．负数或零6. 如图，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为________；(2)若点B 和点D 表示的数互为相反数，则原点为________；(3)若点A 和点D 表示的数互为相反数，请在数轴上标出原点O 的位置．7. 是一个正方体纸盒的平面展开图，若在其中三个正方形A ，B ，C 内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A ，B ，C 内的数分别是多少？8. 数轴上表示数a 的点与原点的________，叫做数a 的绝对值，记作________，读作____________．9. 点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图所示，其中表示的数的绝对值最大的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 10. 一个正数的绝对值是它________；一个负数的绝对值是它的_________；______的绝对值是0.任何数都有且只有一个绝对值；互为相反数的两数绝对值_______，任何数的绝对值不可能是___数． 11. 若|x |＝4，则x 的值是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D. 12.有理数比较大小的规定： (1)正数______0，0______负数，正数______负数．(2)两个负数比较大小，绝对值大的__________．1413.已知a＝－1，b＝－2，则()A．a<b B．|a|>|b| C．|a|<|b| D．a>|b|14.若a，b为有理数，a>0，b<0且|a|<|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．b<－a<－b<a B．b<－b<－a<a C．b<－a<a<－b D．－a<－b<b<a 15.如果－a的相反数是最小的正整数，b是绝对值最小的数，求a＋b的值．16.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．(1) 在横线上填入“＞”或“＜”：a______0，b______0，c______0，|c|______|a|；(2)试在数轴上找出表示－a，－b，－c的点；(3)试用“＜”将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来．。
第三讲 绝对值(解析版)
第三讲绝对值【课程解读】————小学初中课程解读————初中课程【知识衔接】————小学知识回顾————一、整数：整数包括正整数、负整数和0.二、分数：1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
学-科网把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2.分数的分类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数三、百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
四、小数1.小数是分数的一种特殊形式，但不能说小数就是分数.2.小数的分类小数包括有限小数和无限小数，无限小数有包括无限循环小数和无限不循环小数.注：分数又可分为正分数和负分数，小数也可分为正小数和负小数.————初中知识链接————（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
注：这里可以是正数，也可以是负数和0.（2）绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。
当是正数时，a =a ；当是负数时，a =-a ；当是0时，a =0.3.互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）有理数的比较大小。
1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。
3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
第3讲：数轴与绝对值
第三讲：数轴与绝对值模块一 绝对值及其性质：观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：1. 大象在数轴上表示的数为___________，这个数到原点的距离为____________。
2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是－3与3，我们知道－3与3是相反数，它们只有符号 不同，它们什么相同呢？答：它们到原点的距离____________，都等于___________。
学习归纳：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值。
导学练习：1. －3的绝对值是表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是_______，记作33=-； 3的绝对值是表示_______________________，3的绝对值是______，记作：________。
2. =-12____________，=325____________，=-5.0____________。
学习归纳：1. 一个正数的绝对值是它_______，一个负数的绝对值是它的_______，0的绝对值是____。
即：当a 是正数时，____=a ；当a 是负数时，____=a ；当a 是零时，____=a 。
2. 如果a 表示有理数，那么a 表示_________________________________；从而可知：a 是一个_______数或________，即a 是一个非负数。
3. 若a 、b 为有理数，且0=+b a ，则=a _______，=b _______。
4. 互为相反数的两个数的绝对值____________。
即：若6=a ，则=a 。
模块二 利用绝对值比较两个负数的大小做一做：（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：5.1- 3- 1- 5-（2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：（3）你发现了什么？两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
典型例题讲解(理解新知识)：题型一：利用绝对值求有理数例1（1）若2=x ，则=x ；(2) 已知2=a ，3=b ，且b a >，求a 、b 的值。
初一数学绝对值精讲
第三讲 绝对值【思想方法.知识要点回顾与拓展】1.绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 2.绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．3.去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论． （2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．【例题之 能力提升】例1. a ，b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=-（4）若||a b =则a b = （5）若||||a b <，则a b < （6）若a b >，则||||a b >变式练习：x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-例2. 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）A. m −2001B. −m −2001C. m +2001D. –m +200例3. 已知关于x 的方程||(1)a x a x =+-的解是1，则有理数a 的取值范围是______________.例 4. 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？例5.如果在数轴上表示a ，b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b变式练习：已知有理数a ，b 的和a+b 及差a −b 在数轴上如图所示：化简：227a b a b +---。
人教版七年级上册数学第3讲 绝对值
第3讲 绝对值姓名 学校 日期【知识要点】一、绝对值的概念1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。
（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。
例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小； （3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--经典练习一、填空题1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是31．2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．6. 的绝对值比它的本身大．7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．二、选择题1．下列等式中，成立的是（ ）A 、33±=+B 、()33--=-C 、33±=±D 、3131=--2．下列计算中，错误的是（ ）A 、1257=-+-B 、04.03.034.0=---C 、535154=-- D 、311312213=---a b3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）A 、相等B 、都是0C 、互为相反数D 、相等或互为相反数4．下列各式中，不正确的是（ ）A 、01.001.0->-B 、001.001.0->-C 、⎪⎭⎫⎝⎛--<--3131D 、2.32.3->--5．下列判断正确的是（ ）A 、若b a =，则b a =B 、若b a =，则b a =C 、若b a <，则b a <D 、若b a >，则b a >三、解答题1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．2．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，214-，0，－2.2．在这组数中：（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．3．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）（A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个4．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。
第03讲 绝对值（教师版）
第3讲 绝对值【知识扫描】知识点一 对绝对值的几何定义的理解1. 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫数a 的绝对值，记作|a |。
它是一个非负数，即|a |≥0。
拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。
即|a |＋|b |＋…＋＝0，则有|a |＝0，|b|＝0，……，所以a ＝0，b ＝0，……2. 绝对值等于同一个整数的有理数有2个，它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数绝对值相等，如|a |＝5，则a ＝±5。
知识点二 对绝对值的代数定义的理解一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
即：对于任何有理数a ，都有()()()⎪⎩⎪⎨⎧0000＜－＝＞＝a a a a a a知识点三 有理数的大小比较（1）两个正数比较，绝对值大的数较大； （2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
【典型例题】考点一 利用绝对值的定义求解 【例1】－6的绝对值是（ ）A ．6B ．61 C ．61－ D ．－6 【解答】A【变式】（1）在－3，－3.5，－3.75中，绝对值最小的数是________，离原点最远的是________（2）化简：|3.14－π|＝____________【解答】（1）|－3|＝3，|－3.5|＝3.5，|－3.75|＝3.75 ∵3＜3.5＜3.75∴绝对值最小的数是－3，离原点最远的是－3.75 （2）∵3.14－π＜0∴|3.14－π|＝－(3.14－π)＝π－3.14考点二 已知一个数的绝对值，求这个数【例2】已知一个数的绝对值等于2018，则这个数是____________ 【解答】∵|2018|＝2018，|－2018|＝2018，∴绝对值等于2018的数是±2018． 故答案为：±2018．【变式】绝对值小于3的所有整数是________________ 【解答】绝对值小于3的所有整数有：－2，－1，0，1，2． 【例3】如果|a |＝2，|b |＝3，且a ＜b ，求a 、b 的值。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【解析】原点两侧各有一个点到原点的距离为3，分别是表示3和－3的点．故选D．【答案】D．【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】 已知a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，则a ，－a ，b ，－b 的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，可以得到a ＞b ＞0．由此再得到－a ＜－b ＜0，所以a ，－a ，b ，－b 的大小关系是－a ＜－b ＜b ＜a ．【答案】－a ＜－b ＜b ＜a ．1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____. 9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于0 16.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零 一切负数，零 一切正数；两个数，右边的数 左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越 ，即离原点越远，表示的数越 ，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而 。
人教版小升初 第3讲 绝对值教案
绝对值【学习目标】1、能准确理解绝对值的几何意义和代数意义,并能准确熟练地求一个有理数的绝对值。
2、能掌握有理数大小的比较方法，初步培养学生观察、分析、归纳和概括的思维能力。
【知识要点】1．绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2、数a 的绝对值的意义①几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
强调：表示0的点与原点的距离是0，所以|0|＝0。
表示“距离”的数是非负数，所以绝对值是一个非负数。
②代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
即： a （a>0）, a （a 0）|a|= 0(a=0), 或|a|=-a(a<0), -a （a<0）3、有理数的大小比较在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．由此，我们也可得到有理数大小比较的法则：1.正数都大于0；2.负数都小于0；3.正数大于一切负数；4.两个负数，绝对值大的其值反而小．5.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
6.互为相反数的两个数绝对值相等。
如：|2|=2，|-2|=2【经典例题】例1、求8,－8,41,－41，0的绝对值。
例2、利用数轴求下列各数的绝对值：-3、211、0、4、-0.5。
例3、画一条数轴，并在数轴上找出与原点距离为2、3、0的点。
例4、比较下列每组数的大小：（1）2和-2 ； （2）0和│-32│； （3）-1和-5； （4）7.265--和； （5）||a 和0.例5、讨论一下│a │+a 的值的情况。
★例6、数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小；（3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--a b【经典练习】一、填空题1、0.618的符号是，绝对值是2、绝对值是9的数是；绝对值是9的正数是3、数轴上到原点的距离为5的数所表示的数是4、绝对值是1的数是5、用“ ＞ ”、“＜”号填空： -8 -6； 0 -18； +0.01 0；6、有理数中,绝对值最小的数是 。
小升初数学衔接第3讲：绝对值
第3讲 绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
注：这里可以是正数，也可以是负数和0.因为点B 、D 表示的数互为相反数，且它们的绝对值相等，合作探究1：在数轴上表示出下列各数，并求出它们的绝对值。
-2，1.5，0，7，-3.5，5．解：依题意得：数轴可表示为：如图所示数轴上的A 、B 、O 、C 、D 、E 分别表示-2，1.5，0，7，-3.5，5．|-2|=2，|1.5|=1.5，|0|=0，|7|=7，|-3.5|=3.5，|5|=5．根据此题的结果我们可归纳总结正数的绝对值、负数的绝对值、0的绝对值各有的特点，因此可得出（2）合作探究2：绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。
(1)当是正数时，a = a ； (2) 当是负数时，a = -a ；(3)当是0时，a = 0 . 3.对于任意的有理数a ，0a ，即任意的有理数a 的绝对值是一个非负数，绝对值最小的有理数是0. 合作探究3：例题：写出下列各数的绝对值：6，-8，-3.9，52，2-11，100,0 解：55226=6-8=8-3.9=3.9=-=100=1000=0221111，，，，，，. （3）合作探究4：有理数的比较大小。
下列各数表示北京某一天4个时间的气温，122，-0.5，1，-2．则它们的大小关系是-2＜-0.5＜1＜122． 把上述各数的点在数轴上表示出来，然后观察它们在数轴上的位置关系如图所示：a a a a a a a a122=2.5， 结论：1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。
3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例题精讲：比较下列各组数的大小．（1）54-与43- （2）31，21-，|31|--， 0． 解：（1）|-54|=54=2016，|-43|=43=2015， 因为2016>2015,所以-54 ＜-43； （2）因为-|-31|=-31>-21,所以 31 ＞0＞-|-31|＞-21． （4）拓展延伸已知：|a-1|+|b+2|=0，求a 、b 的值.解：因为|a-1|+|b+2|=0，且|a-1|≥0，|b+2|≥0，所以根据非负数的性质可得：|a-1|=0，|b+2|=0，所以a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2.（5）巩固练习1.求 +8、-12、-3、+3、－1.6的绝对值．解：|+8|=8 ；|-12|=12 ； |-3|= 3； |+3|= 3 ；∣-1.6∣=1.6.三、课堂小结：这节课我们学习了哪些知识？1、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
第3讲 绝对值的计算--基础班
第3讲 绝对值⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩绝对值的非负性比较大小绝对值数轴与绝对值绝对值的几何意义 知识点1 绝对值的非负性绝对值的性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a （a≥0），则x=±a.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.【典例】1.若|a|=3，|b|=2，且a ＜0＜b ，则a 的相反数与b 的和为________． 【解析】解：因为|a|=3，|b|=2， 所以a=±3，b=±2， 因为a ＜0＜b ， 所以a=﹣3，b=2，所以a 的相反数与b 的和=3+2=5． 故答案为：5．【方法总结】根据绝对值的性质即可求得a ，b 的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a ，b 的值是解题的关键. 2.已知|x -2017|+|y ﹣2016|=0，则x+y=____ 【解析】解：由|x -2017|+|y ﹣2016|=0，得x-2017=0，y﹣2016=0，解得x=2017，y=2016．x+y=4033，【方法总结】此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案．【随堂练习】1．（2019秋•孝义市期末）|x﹣1|+|y+3|＝0，则y﹣x﹣的值是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．1【解答】解：∵|x﹣1|+|3+y|＝0，∴x﹣1＝0，3+y＝0，解得y＝﹣3，x＝1，∴y﹣x﹣＝﹣3﹣1﹣＝﹣4．故选：A．2．（2020•东莞市校级一模）若|x﹣1|+|y+2|＝0，则x﹣3y的值为．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2；∴x﹣3y＝1﹣3×（﹣2）＝1+6＝7．故答案为：7．3．（2019秋•阳江期中）若|a+5|+|b﹣2|+|c+4|＝0，求÷的值．【解答】解：∵|a+5|+|b﹣2|+|c+4|＝0，∴a+5＝0，b﹣2＝0，c+4＝0，解得a＝﹣5，b＝2，c＝﹣4，÷＝×＝×＝5，即÷的值是5．知识点2比较大小两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．【典例】1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（）A. ﹣2B. 0C. ﹣3.2D. 4【解析】解：利用绝对值比较两数大小的方法，将4个数两两比较后按由小到大的顺序排列，得﹣3.2＜﹣2＜0＜4，所以最小的数是﹣3.2，故选C.【方法总结】先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•绥棱县期末）在﹣5，﹣0.9，0，﹣0.01这四个数中，最大的负数是（）A．﹣5B．﹣0.9C．0D．﹣0.01【解答】解：∵|﹣5|＞|﹣0.9|＞|﹣0.01|，∴﹣5＜﹣0.9＜﹣0.01，∴在﹣5，﹣0.9，0，﹣0.01这四个数中，最大的负数是﹣0.01．故选：D．2．（2020•兰山区模拟）下列各数中，比1大的是（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵2＞1，∴选项A符合题意；∵0＜1，∴选项B不符合题意；∵﹣1＜1，∴选项C符合题意；∵﹣2＜1，∴选项D不符合题意．3．（2019秋•崇川区校级期末）比较大小：﹣1＜﹣（填“＞”“＜”或“＝”）【解答】解：∵|﹣1|＞||，∴．故答案为：＜知识点3数轴与绝对值绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.【典例】1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．【解析】解：∵|a|=2，|b|=2，|c|=4，∴a=±2，b=±2，c=±4，由数轴可知a＜0，b＞0，c＞0，∴a=﹣2，b=2，c=4．【方法总结】先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.【随堂练习】1．（2018秋•沙坪坝区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c|+|c ﹣a|＝．【解答】解：由图知：c＜b＜0＜a，∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴|b﹣c|﹣|c|+|c﹣a|＝b﹣c+c+a﹣c＝a+b﹣c．故答案为：a+b﹣c．2．（2017秋•渝中区校级期末）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简|a|﹣|b ﹣a|+|c﹣a|＝a﹣b﹣c．【解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴b﹣a＞0，c﹣a＜0，∴|a|﹣|b﹣a|+|c﹣a|＝﹣a﹣b+a+a﹣c＝a﹣b﹣c，故答案为：a﹣b﹣c．知识点4 绝对值的几何意义式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.【典例】1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______【解析】解：∵|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，即表示a的点与表示c的点之间的距离为4，表示b的点与表示d的点之间的距离为4，表示a的点与表示d的点之间的距离为5，∴表示a的点与表示b的点之间的距离为5﹣4=1，表示c的点与表示d的点之间的距离为5﹣4=1，∴表示b的点与表示c的点之间的距离为4﹣1=3．即|b﹣c|=3.【方法总结】根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【解析】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）通过数轴可知，到点2距离为5的数是7和-3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x-（-3）|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，由数轴可知，x应为数轴上3到6当中的任一点，且最短距离为3，故有最小值，最小值是3．【方法总结】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.【随堂练习】1．（2017秋•卫辉市期中）|x+1|+|x﹣3|的最小值是_____．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+3=﹣2x+2，则﹣2x+2≥4；当﹣1＜x≤3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1﹣x+3=4；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1+x﹣3=2x﹣2，则2x﹣2＞4．综上所述|x+1|+|x﹣3|的最小值为4．故答案为：4．2．（2017秋•宜兴市期中）当有理数a满足______条件时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．【解答】解：当a＜﹣4时，|a+4|+|a﹣5|=﹣a﹣4+5﹣a=1﹣2a＞9；当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+5﹣a=9；当a＞5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+a﹣5=2a﹣1＞9；故当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．故答案为：﹣4≤a≤5．3．（2017秋•高新区期末）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若|x ﹣3|=|x+1|，则x=____； （2）式子|x ﹣3|+|x+1|的最小值为____； （3）若|x ﹣3|+|x+1|=7，求x 的值．【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x ﹣3＜0，x+1＞0，∴原式可化为3﹣x=x+1， ∴x=1；（2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x ﹣3|+|x+1|有最小值． ∴|x ﹣3|=3﹣x ，|x+1|=x+1， ∴|x ﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4；（3）∵|x ﹣3|+|x+1|=7，若x ＞3，则原式可化为（x ﹣3）+（x+1）=7，x=； 若﹣1≤x≤3，则﹣（x ﹣3）+（x+1）=7，x 不存在； 若x ＜﹣1，则﹣（x ﹣3）﹣（x+1）=7，x=﹣； ∴x=或x=﹣．故答案为：1，4，x=或x=﹣．综合集训1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣23|中，负数有_______________.【解析】解：因为﹣（﹣2）=2，﹣|﹣7|=-7，﹣|+1|=-1，|﹣23|=23，负数有﹣|﹣7|，﹣|+1|．故答案为﹣|﹣7|，﹣|+1|.2.若|m|=|﹣7|，则m=__________． 【解析】解：∵|﹣7|=7， ∴|m|=|﹣7|=7， ∴m=±7， 故答案为：±7．3.在数﹣5，﹣13，−25，−16中，大于﹣15的数有___________.【解析】解：∵|﹣5|=5，|﹣15|=15，5＞15，∴﹣5＜﹣15； ∵|﹣13|=13，|﹣15|=15，13＞15，∴﹣13＜﹣15； ∵|﹣25|=25，|﹣15|=15，25＞15，∴﹣25＜﹣15；∵|﹣16|=16，|﹣15|=15，16＜15，∴﹣16＞﹣15． 故答案为−16. 4.填空：（1）﹣34的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______． 【解析】解：（1）﹣34的绝对值的相反数是﹣34，﹣0.3的相反数的绝对值是 0.3； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是±2；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为 3和﹣3； （4）相反数等于它本身的数是 0，相反数等于它的绝对值的数是非正数，故答案为：﹣3，0.3；±2；3，﹣3；0，非正数．45.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．【解析】解：∵|x﹣2|+|y-3|=0，∴x=2，y=3，∴x+y=2+3=5．故答案为：5．6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．【解析】解：∵|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，∴x+1=0，y﹣2=0，z+3=0，解得：x=﹣1，y=2，z=﹣3，∴|x|+|y|+|z|=|﹣1|+|2|+|﹣3|=6．7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p ﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.【解析】解：∵|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，∴| r﹣s|=12-10=2，∴|q﹣r|=9-2=7．8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．【解析】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0，∴a=2，b=3，c=4，∴a+2b+3c=2+6+12=20．9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？【解析】本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以-1≤x≤3。
Q3-第3讲--绝对值拓展(答案卷).docx
第二章有理数及其运算第三讲绝对值的拓展绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素，它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关键。
★=绝对值知识拓展=★1、定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数d的点与原点的距离。
记作：|a|。
a (a > 0) a («>0)2、代数意义：|。
|彳0 (a = 0) => |Q L-a (a < 0) -a (a < 0)几何意义：从数轴上看，|a|表示数。
的点与原点的距离(即长度，非负)。
|d_4、基本性质：非负性：20(1)| db |=| a | • | 纠(3 ) \a^=\a2 \=a2(5) \a+b\<^a\-^-\b\5、数学方法：(1)数形结合思想(2)分类讨论思想(3)特殊值法1、去掉绝对值的符号：注意讨论绝对值内部整体正、0、负，尤其是绝对值内部为负时，去掉绝对值后前面要填上负号。
2、绝对值非负性的运用3、正数-负数二正数；负数-正数二负数★=考点例题指导=★总>|考点一|：绝对值的意义【例1] (1)已知\a\= 1,|Z?|=2,则a — b的值为_____________________________________________________________________ ；(2) G是任意有理数，则\-a\-a的值等于；(3) 已知\a\=2」纠=4,且|a +纠=)a| + |b|,则匕2 =a-b(4) 已知兀vyvO,设M=|x|,N=|y|,P = 士』，则M,N,P的大小关系是___________________________ O【例2】若|a|=5」创=3, ^\a-b\=b-a t求\a + h\的值。
© 变式训练(一)★=易错点归纳=★Q、数b的两点间的距离。
高考数学一轮复习第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义理含解析
第3讲绝对值不等式1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔□03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔□04ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．1．概念辨析(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.( )(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 答案 B解析 ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.(2)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. (3)函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为________． 答案 6解析 因为|x －3|＋|x ＋3|≥|(x －3)－(x ＋3)|＝6，当－3≤x ≤3时，|x －3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为6.(4)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 答案 (－∞，4)解析 |x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．题型 一 解绝对值不等式设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x －5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <4，3x －3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. 解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)由(1)的解法二知，f (x )min ＝－92.条件探究 把举例说明中函数改为“f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|”，解不等式|f (x )|>1.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{|x x <13或1<x <3或x >5.解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤 (1)零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．解 当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{|x －53<x <13，求a 的值．解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.题型 二 绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值 1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解 (1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5， ∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |，∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式 (多维探究)2．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .结论探究 举例说明条件不变，求证：|x －2y ＋1|<a ＋2. 证明 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|<|x －1|＋|2(y －1)|＝|x －1|＋|2(y －2)＋2|<|x －1|＋2|y －2|＋2a 3＋2·a3＋2＝a ＋2.1．证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． 2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)由2x －a ＝0得x ＝a2，由x －1＝0得x ＝1， 由a <2知a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －x函数的图象如图所示．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合题意；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．条件探究 把举例说明函数改为“f (x )＝|2x －1|－|x －a |”，若x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解，求a 的取值范围．解 当x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解⇔|x －a |<－2x 有解⇔2x <x －a <－2x 有解⇔3x <a <－x 有解，∵3x >－3，－x <1，∴－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤0，所以x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，解得x ≤－2，所以x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，解得x ≥4，所以x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)因为|g (x )|＝||x －a |－|x －3|| ≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|， 所以g (x )∈[－|a －3|，|a －3|]，所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]， 因为[－1,2]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．。
第3讲 绝对值的化简(学生版)
知识导航1在数轴上表示2有理数3有理数1若2当有理数3已知1如果2已知3设知识导航1已知2若1已知2先化简再求值．3若C. D.练习9A. B. C. D.或若非零有理数，，满足：，则的值为（）．四、课后故事高斯奖高斯奖由德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立，以纪念“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss,1777-1855），主要用于奖励在数学之外的应用领域，如经济、技术乃至日常生活中有深刻影响的数学家。
高斯奖设立于2002 年，并于2006 年在马德里召开的第25 届国际数学家大会上首次颁发。
高斯奖包含一笔奖金和一枚奖章；奖金目前为一万欧元，资金来源于1998 年在柏林召开的ICM 的结余。
高斯奖章正反图案均以数学中的基本元素点、线、曲线来构图。
正面勾勒出高斯的头像，并刻文“For Applications of Mathematics”（“为应用数学”）；反面为一曲线、一点和一方框组成的图以表示高斯的伟大成就之一：以最小二乘法来确定行星的轨迹。
这是应用数学的典范。
1801 年元旦，意大利天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi ）发现了后来被命名为谷神星的小行星。
皮亚齐跟踪观测了40 天后由于谷神星运行至太阳背后而丢失。
科学家们开始了利用皮亚齐的观测数据来预测谷神星出现位置。
时年只有24 岁的高斯运用早在1794 年就创立的最小二乘法理论，准确地预测了谷神星的轨迹。
同年底，天文学家Zack 在很接近高斯预测的位置上重新发现了谷神星。
高斯绘谷神星的轨迹图1809 年高斯在题为《围绕太阳沿圆锥曲线轨道公转的天体的运动理论》一文中，正式发表了最小二乘法理论。
此前法国的勒让德（Adrien-Marie Legendre）也独立发现了最小二乘法原理。
不过高斯对最小二乘法的贡献确实很大。
他在1822 年证明了回归分析中最小二乘法在一定意义上是最优的。
他还利用最小二乘理论，得出了拉普拉斯等人苦思不得的误差分布——现在常称的高斯分布。
2021-2022学年人教版小升初数学讲义第3讲《绝对值及其应用》
第三讲 绝对值及其应用知识1.掌握绝对值的含义；2.掌握正数、负数、0的绝对值的算法. 方法1.灵活应用绝对值比较大小；2.灵活掌握绝对值在解题中的应用； 2.掌握非负数的应用.1.一般地，数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值，记作 .2.正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 . 即当a ＞0时，a = ；当a ＜0时，a = ；当a =0时，a = .【注意】：绝对值等于它本身的数是__________.所以若a a =，那么a 就是非负数；若a a -=，那么a 就是非正数.下列说法：①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①① ①①①①①①① ①A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个下列说法中正确的是（ ）A ．若|a |=|b |，则a =bB ．若|a |=|b |，则a ，b 互为相反数C ．-|b |的绝对值一定是负数D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数01课堂目标02知识梳理03例题精析绝对值的定义题型一例1 例2在数轴上，下面说法中不正确的是（ ）A ．两个有理数，绝对值小的离原点近B ．大数对应的数在右边C ．两个负数，较大的数对应的点离原点近D ．两个有理数，大数离原点近 下列说法中，正确的有（ ）①负数没有绝对值；①绝对值最小的有理数是0；① 任何数的绝对值都是非负数；①互为相反数的两个数的绝对值相等.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个计算：=-+7.3______；=0______；=--3.3______；=+-75.0______；=+-75.0______.写出下列各数的绝对值：6，-3.5，0，25，112-，-4，1.2，π. 若|x |=5，|y |=2且x ＜0，y ＞0，则x +y =（ ）A ．7B ．-7C ．3D ．-3如果|a |=4，|b |=2，且|a +b |=a +b ，则a -b 的值是_________.若3=x ，1=y ，则=+y x _________.若4=x ，y 是5的相反数，则=+y x _________. 若m 满足32=+m ，则m 的取值是_________. 如果a a 33-=，则a 一定是（ ）A ．非正数B ．负数C ．非负数D ．正数若|a |=-a ，则a 的值不可以是（ ）A ．2B ．-5C ．0D ．-0.5变式1 变式2 绝对值的计算题型二例1变式1 例2例3变式2 变式3 变式4 例4变式5在有理数21-，-1，0，2中，最小的数是（）A．0B．21-C．-1D．2下列比较有理数的大小，正确的是（）A．0105>-B．1010001.0-<-C．2020120191->-D．2019202020182019-<-下列各数中，比-2021小的是（）A．-2022B．2021C．0D．-0.1已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是（）A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．-a<a<0<-b<b B．a<-a<0<-b<b C．-b<a<0<-a<b D．a<0<-a<b<-b 若0＜m＜1，m、m2、1m的大小关系是（）A．mmm12<<B．mmm12<<C．21mmm<<D．mmm<<21已知-1≤x≤2，则化简代数式3|x-2|-|x+1|的结果是（）A．-4x+5B．4x+5C．4x-5D．-4x-5当1＜x＜5时，化简|x-1|+|x-6|=_______.比较大小题型三例1例2变式1例3【方法总结】比较大小我们可以使用代值的方法.变式2变式3绝对值的化简题型四例1【方法总结】绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号.变式1①①①①①①①①|b-a|-|a-1|+|b+2|①①①①_______.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______.已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|-|a-b|结果是_______.数轴上，有理数a、b、-a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c-b|的结果为（）A．ca22+B．ba22+C．bc22-D．0已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|-|c-a|+|b+2c|=_______.代数式|x+2|+|-2|的最小值等于_______.若a为有理数，则|a-3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2|-|a-1|的最大值是_______．|x-6|+|x-1|①①①①①_______.求|x-2|+|x-7|的最小值是_______；|x-2|-|x-7|的最大值是_______.求|x-1|+|x+4|的最小值是_______.例2【方法总结】在数轴上，左-右<0，右-左>0.例3变式2变式3变式4绝对值的应用题型五例1例2【方法总结】1.|x-a|+|x-b|有最小值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之和，那么当介于a、b之间时，就有最小值|a|+|b|.2.|x-a|-|x-b|有最大值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之差，那么当位于a、b之外时，就有最小大值|a-b|.变式1变式2变式3若ab ≠0，那么bb aa +的取值不可能是（ ） A ．-2 B ．0C ．1D ．2已知a ，b ，c 为有理数且abc ≠0，则=++ccb b a a _______. 已知a ，b 为非零有理数，则bb a a +的值为（ ）A ．±2B ．0C ．±2或0D ．2已知1=abcabc ，那么=++cc b b a a _______.已知02)1(2=++-y x ，则=x ______，=y ______.已知0332)3(2=--+-y x x ，则=x ______，=y ______. 已知3-+y x 与2)2(-x 互为相反数，则=-+yx yx 2______. 已知03)22(2=-++-y x x ，则=x ______，=y ______. 已知2)1(-y 与4-+y x 互为相反数，则=-y x 3______.第三讲 绝对值及其应用作业1.下列说法正确的是（ ）A ．最小的正整数是1B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．一个数的绝对值一定比0大2.下列说法不正确的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．0的绝对值是0C ．一个有理数不是整数就是分数D ．1是绝对值最小的正数3.一个负数在增大时，它的绝对值在______（填“增大”或“减小”）；一个正数在增大时，它的绝对值在______（填“增大”或“减小”）.例3 例4变式4 变式5 绝对值非负性的应用题型六例5【方法总结】非负数+非负数=0，那么它们应该都等于0. 例6 例7变式6 变式7 作业一 绝对值的定义1.5-的绝对值是（）A．5-B．5C．51D．51-2.2-等于（）A．2B．2-C．2±D．213.21-的相反数等于（）A．2-B．21-C．2D．214.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y<0，则x+y=_______.5.若|x|=1，|y|=5，则x+y=_______.6.若|x|=2，|y|=3，且xy>0，则x+y=_______.7.如果xx22-=，则x一定是（）A．非正数B．负数C．非负数D．正数8.如果11+=+aa，则a+1一定是（）A．非正数B．负数C．非负数D．正数1.下列四个数中，最小的数是（）A．3-B．0C．1-D．72.下列各数，依照从大到小顺序排列的是（）A．20，-6，-2.13B．13，-2.6，-20C．-2.6，-13，20D．20，-13.6，-2 3.如果a、b都是实数，且a＜b，那么下列结论中，正确的是（）A．1<baB．ba->+-1C．ba11>D．ba<4.如图，数a在原点的左边，则a、-a、0的大小关系正确的是（）A．-a＜0＜a B．-a＜a＜0C．a＜0＜-a D．a＜-a＜05.a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，-a，-b的大小顺序是（）A．-a＜b＜a＜-b B．b＜-a＜-b＜a C．-a＜-b＜b＜a D．b＜-a＜a＜-b 作业二绝对值的计算作业三比较大小1.数a的位置如图，化简|a|+|a+4|=______.2.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|-a的结果是______.3.已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|-|a-b|结果是______.1.代数式|x+1|+|x-2|的最小值等于_______.2.代数式|a+2|+|a-3|的最小值是_______，|a+2|-|a-3|的最大值是_______．3.已知a，b，c为非零有理数，则ccbbaa++的值为_______．1.已知02)1(2=-++ba，则=a______，=b______.2.已知2)1(-x与7-+yx互为相反数，则=x______，=y______.3.已知03)1(2=-+-yx，则=-yx2______.作业四绝对值的化简作业五绝对值的应用作业六绝对值非负性的应用。
第3讲+绝对值与含绝对值的不等式
第3讲绝对值与含绝对值的不等式一知识要点1. 实数的绝对值的定义及性质数轴上表示数的点与原点的距离，就是数a的绝对值，记为|a|.根据定义有思考1：|x-3|的几何意义？ |3x+4| 几何意义?2. 含有绝对值的不等式的解法（1）最简单的含有绝对值的不等式解法：的解为.无解.无解.的解为的解为的一切实数.的解为一切实数.（2）较简单的含有绝对值的不等式的解法：（ⅰ）（ⅱ）或.(ⅲ)的解法：先求出使每个绝对值符号内的数学史子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。
这种方法称为零点分段法。
思考2： |x+1|<2的解? |x-1|>2 的解?|x+5| ≤ 0的解集？ |x-4| ≥ 0的解集？练习1. 求等式的解集.(1) |3x-5|< -1 的解集？ (2) |x- 4| ≥ -2 的解集？(3) |2x-1| ≤ 0的解集？ (4) |x+3| > 0 的解集？(5) |x2-5x|> 6 的解集？( (6) 3<| 2x+1 | <5 的解集？（ⅳ）或思考3. 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x练习2. 若不等式|x-a|+3x≤0的解集包含{x|x≤ -1},则实数a的取值范围_________________. [-4, 2]3. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系（1）（2）例1. 解不等式 |x-1|+|x+2|≥ 5例2. 解不等式 |x+2|-|x-3|<3练习3：1. 对任意实数x,使|x+m|+|x-3| ≥ 3成立,则m的取值范围是_____.2. 对任意实数x,使|x+m|-|x-3| ≤3成立,则m的取值范围是_____.3. 对任意实数x,使|x-3|-|x+m| ≤3成立,则m的取值范围是_____.变1. 已知函数f(x)=a|x+1|-b|2x-4|(a,b∈R).(1) a=1.b=1/2时,解不等式f(x) ≤ 0.(2) b=1 时,函数既有最大值又有最小值,求满足条件的a的取值集合.例3 解不等式 |2x+1|+|x-3| ≤ 7例4. 解不等式 |2x+1|-|x-3|<7变1. 任意实数x,使|x+1| + |2x-3| ≥ a成立, 则a的取值范围是______.变2. 任意实数x,使 |x+1|- |2x-3| ≤ a成立, 则a的取值范围是______.变3. 存在实数x,使 |2x-3| -|x+1|≤ a成立, 则a的取值范围是______.例5. 设实数满足: a<9a3-11a<|a|,则a的取值范围____.例6. 已知t为常数, f(x)=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2, 则t=____.练习3.1. 设是满足的实数，那么（）A.B.C.D.2.不等式的解是（）A.B.或C.D.或3.的解是（）A.B.或C.或D.且4.解不等式（1）；（2）（3）5.解不等式（1）（2）6.6. 解不等式.7.解不等式8.解不等式9．解关于的不等式（m为常数）.10．若满足不等式的值也满足不等式，求的取值范围.。
第03讲 绝对值与相反数(解析版)
第3讲 绝对值与相反数1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．考点01：相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．考法01：20161-的相反数是（ ） A ．2016 B ．﹣2016 C ．20161 D ．20161-【思路】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数． 【答案】C【解析】解：∵20161-与20161只有符号不同， ∴﹣20161的相反数是20161．故选：C ．【总结】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．考点02：多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．考法02：（本溪校级月考）化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}． 【答案】解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．【总结】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．考点03：绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．考法03：求下列各数的绝对值． 112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案】 方法1：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3． 因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．方法2：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3． 因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭【总结】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．考点04：有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．考法04：比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ； (3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ； （4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--=⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭．(4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>，所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【总结】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．考向01：绝对值的非负性已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n 的值．【思路】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3． 【答案】解：因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0 所以|2-m|＝0，|n-3|＝0 即2-m ＝0，n-3＝0 所以m ＝2，n ＝3 故m-2n ＝2-2×3＝-4．【解析】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a ＝b ＝…＝m ＝0．考向02：绝对值的应用正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大． 【总结】绝对值越小，越接近标准．考向03：化简已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【易错01】若|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y= ． 【答案】-1.∵|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数， ∴|x ﹣2|+（y+3）2=0， ∴x ﹣2=0，y+3=0， 解得x=2，y=﹣3， ∴x+y=2+（﹣3）=﹣1． 故答案为：﹣1． 【易错02】如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．四、考场失分防范【思路】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．【易错03】若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．【思路】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．【易错04】已知a、b为有理数，且满足：12，则a=_______，b=________．【答案】由，，，可得∴【总结】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．五、考试真题探秘【真题01】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【思路】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关. 【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻．【总结】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.【真题02】已知|a|=2，|b|=2，|c|=3，且有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，计算a+b+c 的值．【答案】解：由数轴上a 、b 、c 的位置知：b ＜0，0＜a ＜c ； 又∵|a|=2，|b|=2，|c|=3， ∴a=2，b=﹣2，c=3； 故a+b+c=2﹣2+3=3．【真题03】已知有理数a ，b 满足ab 2＜0，a ＋b ＞0，且|a |＝2，|b |＝3，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －13＋(b －1)2的值．【答案】解：由ab 2＜0，知a ＜0.因为a ＋b ＞0，所以b ＞0.又因为|a |＝2，|b |＝3， 所以a ＝－2，b ＝3.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －13＋(b －1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－13＋(3－1)2＝73＋4 ＝613. 【真题04】如图，A ，B ，C 三点在数轴上，A 表示的数为－10，B 表示的数为14，点C 在点A 与点B 之间，且AC ＝BC .(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求C 点对应的数；(3)甲、乙分别从A ，B 两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s ，乙的速度是2个单位长度/s ，求相遇点D 对应的数．【答案】解：(1)A ，B 两点间的距离为24. (2)C 点对应的数为2. (3)相遇点D 对应的数为－2.【真题05】已知|2－xy |＋(1－y )2＝0. (1)求y2 019＋(－y )2 019的值；(2)求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 019）（y ＋2 019）的值．【答案】解：因为|2－xy |＋(1－y )2＝0，而|2－xy |≥0，(1－y )2≥0， 所以2－xy ＝0 ①，1－y ＝0 ②. 由②得y ＝1.把y ＝1代入①得2－x ＝0，故x ＝2. (1) y2 019＋(－y )2 019＝12 019＋(－1)2 019＝1＋(－1)＝0. (2)1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 019）（y ＋2 019）＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 020×2 021＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋(13－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020－12 021 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 020－12 021＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋14＋…＋(－12 020＋12 020)－12 021＝1－12 021＝2 0202 021.1．2021的相反数是（ ）A.2021B.-2021C. 20211-D.20211【答案】B2．如果0a b +=，那么,a b 两个数一定是（ ）．A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数 【答案】C【解析】若0a b +=，则,a b 一定互为相反数；反之，若,a b 互为相反数，则0a b += 3．下列判断中，正确的是( )．A ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B ．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C ．任何数的绝对值都是正数；D ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． 【答案】B【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0．4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q 【答案】D【解析】解：∵点Q 到原点的距离最远，∴点Q 的绝对值最大． 故选：D ．5．下列各式中正确的是( )． A ．103<- B ．1134->- C ．-3.7＜-5.2 D ．0＞-2 【答案】D六、对点通关训练【解析】0大于负数．6．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b|【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大．7．如果a 与1互为相反数，则|a+2|等于________．【答案】1【解析】∵a 与1互为相反数，∴a=﹣1，把a=﹣1代入|a+2|得，|a+2|=|﹣1+2|=1．8． 化简下列各数： (1)23⎛⎫--= ⎪⎝⎭_ ；(2)45⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ；(3){[(3)]}-+-+=________． 【答案】24;;335- 【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负．9．已知|x|＝2，|y|＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．【答案】 ±2，-5【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5．但由于x ＞y ，所以x=±2，y=-510．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．【答案】a-2【解析】由图可知：a ≥2，所以|a-2|=a-2．11．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．【答案】-3，112．已知4334x x -=-，则x 的取值范围是________．【答案】 34x ≤ 【解析】将43x -看成整体a ，即a a =-，则0a ≤，故430x -≤，34x ≤．13．绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）【解析】解：根据题意画出数轴，如图所示：根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：﹣3，﹣4，﹣5，3，4，5，这几个整数的和为：（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+3+4+5=[（﹣3）+3]+[（﹣4）+4]+[（﹣5）+5]=0．答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．14．化简下列各数，再用“<”连接．(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(4)245⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】 (1)-(-54)＝54(2)-(+3.6)＝-3.6(3)5533⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭（4）224455⎛⎫--=⎪⎝⎭，按从小到大排列可得：52(+3.6)<(+)<(4)(54)35----<--15．已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c 的值是多少？【解析】解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，∴a=﹣5，∵b比最小的正整数大4，∴b=1+4=5，∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，=﹣15+15﹣1=-11.（漳州）﹣13的相反数是（）A . 13 B .-13 C .-3 D .3【答案】A2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C 3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】D【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．4．已知1|3|a=-，则a的值是( )．A．3 B．-3 C．13D．13+或13-【答案】D【解析】∵13a=，∴13a=±，∴13a=±5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是( )． A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b 【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a ≠b ．其中正确的个数为( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=．【答案】1【解析】由题意可知：7,2m n ==，所以27321m n -=-⨯=8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= ．【答案】-2【解析】因为,x z 均为y 的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以z x =，2z =，而y 为z 的相反数，所以y 为-2，综上可得：原式等于-2．9．1的相反数是 ； 的相反数是它本身．【答案】213-，0.10．绝对值不大于11的整数有 个．【答案】23【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．11．如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2021|= ．【答案】2021.【解析】解：∵m ，n 互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n ﹣2021|=|﹣2021|=2021；故答案为2021．12．若1a a =-，则a 0；若a a ≥，则a ． 【答案】＜；任意数.13．若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．【解析】∵|x|=5，∴x=±5，又|y|=2，∴y=±2，又∵|x+y|=x+y ，∴x+y ≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x ﹣y=5﹣2=3，当x=5，y=﹣2时，x ﹣y=5﹣（﹣2）=7．14．若|a+1.2|+|b ﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？【解析】解：∵|a+1.2|+|b ﹣1|=0，∴a+1.2=0，b ﹣1=0，∴a=﹣1.2，b=1，∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．15．阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a-b ∣；当A 、B 两点都不在原点时:①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b-a=∣a-b ∣；②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x为__________．③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．。
第3讲 绝对值的几何意义(教师版)
“当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值是
”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：
，
和 ，经研究发现，当
时，值最小为 ．
请你根据他们的解题解决下面的问题．
当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值
是
．
已知
，求相应的 的取值范围及 的最大值．写出解答过程．
表示数 所在的点到数 、 、 三点的距离之和， 则当数 所在的点落在数 所在的点上时，
取最小值，最小值为 ． ，
零点为 、 、 ，
则当
时，
取最小值，
最小值为
．
考点
数 有理数 数轴 数轴比较大小 数轴上的距离问题 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义求最小值 绝对值化简 结合数轴化简绝对值
作业7
小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
．
当 为偶数时， 应设在第 台和
台之间任何地方；
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
当
时，原式的值最小，最小值是 ．
考点
数 有理数 绝对值化简 零点分段法 绝对值的综合应用
教师备选
同学们都知道，
表示 与 之差的绝对值，实际上也可理解为 与 两数在数轴上所对的两
点之间的距离．试探索：
答案
1． 2．
时，有最大值 ．
解析
当式子
，最小值是 ．
当
，时
当
，时
取最小值时，相应的 的取值范围是
． ．
当
，时
．
第三讲绝对值
第三讲 绝对值【基础知识精讲】1．绝对值的概念：(１)定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
对于任意一个数a , a 的绝对值用｜a ｜表示，读作a 的绝对值。
（2）绝对值的非负性：｜a ｜是数轴上表示a 的点到原点的距离，即｜a ｜代表的是一个长度，所以｜a ｜表示的一定是一个非负数；即：｜a ｜≥0（3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 。
（4）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
2．绝对值的法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“｜｜” ，求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值符号。
对于任意有理数a 有：｜a ｜和a 的关系如下：｜a ｜＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a 或｜a ｜＝(0)(0)a a a a ≥⎧⎪⎨⎪-<⎩ 或 ｜a ｜＝(0)(0)a a a a >⎧⎪⎨⎪-≤⎩3．比较两个有理数的大小。
（1）．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数。
（2）．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．4．若几个非负数的和等于０，则每个非负数都等于０【例题巧解点拨】例1． 求下列各数的绝对值：（1）－38； （2）0.15； （3）)0(<a a ； （4）)0(3>b b ； （5）)2(2<-a a ； （6）b a -．例2．填空：1． ___________的倒数是它本身， _____________的绝对值是它本身．绝对值是它相反数的数是__________，互为相反数的两个数的绝对值_________.2．比较下列各对数的大小：（1）－1_______1； （2）54-________65-；（3）0______－101。
第三讲 绝对值
课题第三讲绝对值年级七科目奥数教师张砚海教学目标 1.理解绝对值的意义2.能对绝对值进行化简教学重难点重点;绝对值的几何意义难点：绝对值化简及应用课堂讲解与练习一、绝对值的几何意义数x的绝对值表示数x在数轴上对应的点到原点的距离。
0≥x2-x表示数x对应的点到2对应的点的距离。
当2-x=3时，x= 2-x的最小值是。
二、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． B练习表示数a、b、c、d的点在数轴上的位置，如图所示：化简│b-c│-│a-2c│-•│d+b│+│d│．例2．已知：zx<<0，0>xy，且xzy>>，那么yxzyzx--+++的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？练习如果0abc≠，求||||||a b ca b c++的值。
例4．（整体的思想）方程x x -=-20162016 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个练习绝对值不小于3但小于5的所有整数的乘积为________；例5．（非负性）已知|ab －2|与|a －1|互为相反数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 练习1.若│a-1│+│ab-2│=0，求11(1)(1)(2004)(2004)a b a b ++++++ 的值．2.若x=-2π，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） （A ）2x+7 （B ）2x-7 （C ）-2x-7 （D ）-2x+7例6．已知a 与b 互为相反数，且│a-2b │=32，求2221a ab b a ab b --++-的值．练习1.已知a 2+│5a-4b+3│=0，求a 2016-8b 3的值．2.已知式子||||||a b ab a b ab ++的最大值为p ，最小值为q ，求代数式669p-q 2的值． 例7 a ，b 为有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b ｜=｜a ｜+｜b ｜；(2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；(3)｜a-b ｜=｜b-a ｜；(4)若｜a ｜=b ，则a=b ；(5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ；(6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜．例8.已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．例9若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例10化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．例11已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．例12设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．例13.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x 且｜1-3x｜=3x-1课后练习1．化简下列各式： （1）x xx - (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．2．若a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜．3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y 的最大值．4．设T=｜x-p ｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p ＜15，对于满足p ≤x ≤15的x 来说，T 的最小值是多少？5．不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果｜a-b ｜+｜b-c ｜=｜a-c ｜，那么B 点应为( )．(1)在A ，C 点的右边； (2)在A ，C 点的左边； (3)在A ，C 点之间； (4)以上三种情况都有可能．6、abcde 是一个五位数，a<b<c<d ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。
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绝对值
姓名 学校 日期
【知识要点】
一、绝对值的概念
1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法
绝对值是一种运算，这个运算符号是“
”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任
意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】
例1 求下列各数的绝对值。
（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：a 与0的大小关系
例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？
例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。
例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?
例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：
（1）比较a 和b 的大小；
（2）比较a 和b 的大小； （3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；
（4）试化简a b b a -+--
经典练习
一、填空题
1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是31
．
2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．
3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．
4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．
5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．
6. 的绝对值比它的本身大．
7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．
二、选择题
1．下列等式中，成立的是（ ）
A 、33±=+
B 、()33--=-
C 、33±=±
D 、31
31=--
2．下列计算中，错误的是（ ）
A 、1257=-+-
B 、04.03.034.0=---
C 、5351
54
=-- D 、31
1312213=---
a b
3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）
A 、相等
B 、都是0
C 、互为相反数
D 、相等或互为相反数
4．下列各式中，不正确的是（ ）
A 、01.001.0->-
B 、001.001.0->-
C 、⎪⎭⎫
⎝⎛--<--3131
D 、2.32.3->--
5．下列判断正确的是（ ）
A 、若b a =，则b a =
B 、若b a =，则b a =
C 、若b a <，则b a <
D 、若b a >，则b a >
三、解答题
1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；
（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．
2．已知一组数；4，－3，21
-，+5.1，21
4-，0，－2.2．在这组数中：
（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；
（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．
3．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）
（A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个
4．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。
5．绝对值小于2014的所有整数之和是 。
6．指出下列各式中a 为什么数．
（1）0=+a a （2）a a =-
7．若7,8==b a ，且b a <，试求b a 和的值．
A B C
课后作业
1．求出下列各数的绝对值．
（1）1 （2）－2 （3）
21 （4）313- （5）0
2．绝对值小于3.5的所有整数有 ．
3．绝对值大于1.2而小于3.7的负整数有 ．
4．（1）=-14.3π ；（2）若2<a ，则=-2a ．
5．化简：()=---3 ；()=-+--32 ．
6．绝对值最小的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；绝对值是它的相反数的是 ．
7．一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A 、21-与21
B 、32-与32-
C 、23-与32
D 、1-与()1--
9．下列各式：①33+=-②5.15.1-=-③11-=-a a ④1=a ，则1=a ⑤⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-2323．其中正确的个数有（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 10．下列说法正确的是（ ）
A 、如果两个数的绝对值相等，则这两个数必相等
B 、如果两个数不相等，那么它们的绝对值肯定不相等
C 、在()()2,2,2,2-------中有两个负数
D 、若()[]7,7--=-+-=b a ，则b a ,互为相反数。